ГЛАВА V. ВТОРАЯ ВАРИАЦИЯ. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СЛАБОГО ЭКСТРЕМУМА

До сих пор, рассматривая задачу о нахождении экстремума функционала, мы занимались лишь необходимым условием экстремума, состоящим в том, что вариация функционала на экстремальной кривой обращается в нуль.

В этой главе будут изложены достаточные условия слабого экстремума функционалов.

Для нахождения достаточных условий экстремума нам нужно будет ввести понятие второй вариации функционала и изучить ее свойства. Одновременно мы установим и некоторые новые необходимые условия экстремума.

Как будет видно из дальнейшего изложения, существуют удобные для применения достаточные условия экстремума, весьма близкие к необходимым. Достаточные условия экстремума функционалов, излагаемые ниже, отличаются от приводимых в этой же главе необходимых примерно так же, как достаточные условия экстремума для функций отличаются от соответствующих необходимых условий .

§ 20. Квадратичные функционалы. Вторая вариация функционала

Введем некоторые необходимые для дальнейшего изложения общие понятия. Функционал

зависящий от двух элементов х и у (принадлежащих некоторому линейному пространству) называется билинейным, если при фиксированном х он представляет собой линейный функционал от у, а при фиксированном у — линейный функционал от Таким образом, функционал билинеен, если

Полагая в билинейном функционале получаем выражение, называемое квадратичным функционалом.

Билинейный функционал в конечномерном пространстве называется билинейной формой. Каждая билинейная форма может быть записана в виде где координаты векторов х и у в некотором базисе. Полагая здесь получим квадратичную форму

Квадратичный функционал называется положительно определенным, если для любого ненулевого элемента Примеры. 1. Выражение

представляет собой билинейный функционал, а

— квадратичный функционал в пространстве

Более общим примером билинейного функционала является

где — фиксированная функция. Если при всех t, то соответствующий квадратичный функционал

будет положительно определенным.

2. Выражение

представляет собой пример квадратичного функционала, определенного для всех функций из пространства

3. Интеграл

где фиксированная функция двух переменных, является билинейным функционалом в Заменив здесь на получим квадратичный функционал.

Введем теперь понятие второй вариации (второго дифференциала) функционала.

Пусть — функционал, определенный в каком-либо линейном нормированном пространстве В гл. I мы назвали функционал дифференцируемым, если его приращение

можно представить в виде

где линейный функционал и при Величину — главную линейную часть приращения функционала — мы назвали дифференциалом (вариацией) этого функционала и обозначили

Мы скажем, что функционал имеет вторую вариацию, если его приращение можно записать в виде

где линейный функционал (вариация), ) — квадратичный функционал, а при Квадратичный функционал мы будем называть второй вариацией (вторым дифференциалом) функционала и обозначать . В дальнейшем мы будем предполагать у рассматриваемых функционалов существование второй вариации, не оговаривая это особо. Вторая вариация функционала (если она существует) определяется однозначно. Это доказывается в точности так же, как и однозначность первой вариации (§ 3). Легко доказывается следующая

Теорема 1. Для того чтобы функционал при имел минимум (максимум), необходимо, чтобы при выполнялось условие

для всех допустимых

Действительно, в точке экстремума поэтому если то при достаточно малом знак выражения

будет совпадать со знаком Пусть при некотором Тогда при любом имеем

и следовательно, при достаточно малом , т. е. при минимума нет. Аналогичные рассуждения проводятся и в случае максимума.

Неотрицательность второй вариации необходима, но, конечно, не достаточна для того, чтобы функционал достигал на данной кривой минимума. Для получения достаточного условия минимума введем следующее понятие. Мы скажем, что квадратичный функционал заданной в некотором нормированном пространстве, сильно положителен, если существует такое постоянное что

Теорема 2. Для того чтобы функционал определенный в нормированном пространстве Е, имел в точке в которой минимум, достаточно, чтобы при его вторая вариация была сильно положительна, т. е. чтобы выполнялось условие

где

Действительно, выберем настолько малым, чтобы при величина в равенстве (1) удовлетворяла условию Тогда

т. е. имеет место минимум.