§ 21. Формула для второй вариации. Условие Лежандра

Найдем явное выражение второй вариации в случае простейшей задачи, т. е. для функционала

определенного на кривых с закрепленными концами

Дадим функции приращение удовлетворяющее условиям

Воспользовавшись формулой Тейлора, мы можем представить приращение функционала в следующем виде:

где

и аналогично определяются

Заменив производными взятыми в точке запишем в виде

Величина может быть представлена как

из непрерывности производных следует, что при откуда видно, что есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с Первое из стоящих в (3) справа выражений есть а второе — квадратичное относительно к — представляет собой т. е. вторую вариацию.

Таким образом, для функционала (1) имеем

Приведем это выражение второй вариации к более удобному виду. Интегрируя по частям и учитывая, что получаем

Следовательно, формулу (4) можно переписать в виде

где

Этим выражением для второй вариации мы и будем в дальнейшем пользоваться.

Отметим еще следующий факт, вытекающий из формул (3) и (3). Если ) — экстремаль и некоторая допустимая кривая, то

где

Действительно, так как - экстремаль, то в правой части равенства (3) линейные члены обращаются в нуль, а величина , даваемая формулой (3), может быть приведена к виду интегрированием члена по частям с учетом граничных условий Формулой (6) мы воспользуемся в § 23 при выводе достаточных условий слабого экстремума.

В предыдущем параграфе было показано, что неравенство есть необходимое условие минимума функционала Полученная нами формула (5) позволяет установить некоторые условия неотрицательности второй вариации. Нахождение этих условий основано на следующих соображениях. Квадратичный функционал (5) рассматривается для функций , удовлетворяющих условию При этом условии, если мала производная функция на отрезке , то мала на этом отрезке и сама функция Обратное, однако, неверно: мы можем построить такую функцию что она сама мала, а ее производная велика. Отсюда следует, что в квадратичном функционале (5) слагаемое играет основную роль в том смысле, что оно может быть намного больше, чем второе слагаемое но не может быть намного меньше его (при Поэтому от коэффициента в первую очередь зависит, будет ли функционал (5) принимать значения только одного знака или разных.

Сформулируем теперь точно соответствующее утверждение. Для того чтобы квадратичный функционал

определенный на функциях таких, что

был неотрицательным, необходимо, чтобы выполнялось условие

Действительно, пусть (8) не выполнено, т. е. в некоторой точке пусть Покажем, что в этом случае функционал (7) примет при соответствующем выборе отрицательное значение. Для этого подберем так, чтобы в выражении (5) основной вклад давался бы слагаемым а член был бы мал. Положим

при всех остальных

На интервале имеем

При таком выборе в выражении

остается интегрирование по отрезку . Если положить, что то в силу (9) первое слагаемое в правой части равенства (10) будет стремиться к нулю, а второе — к . Но так как, по предположению, то мы получаем, что

при указанном выше (и достаточно малом ). Тем самым наше утверждение доказано.

Отсюда и из установленного в предыдущем параграфе необходимого условия минимума сразу вытекает следующая Теорема 1 (Лежандр). Для того чтобы функционал

достигал на кривой минимума, необходимо, чтобы вдоль этой кривой выполнялось условие

(условие Лежандра).

Лежандр пытался доказать, что выполнение строгого неравенства в каждой точке экстремали является достаточным условием того, что эта экстремаль дает функционалу (1) минимум (слабый). Для этого он проводил следующее рассуждение. Так как то для любой дифференцируемой функции имеем

Поэтому выражение для второй вариации можно переписать так:

Достаточность условия для минимума можно было бы доказать, если бы удалось подобрать функцию w так, чтобы выражение, стоящее здесь в квадратных скобках, представляло собой полный квадрат. Это, однако, не всегда возможно (как впервые указал Лагранж). Действительно, для этого функция w должна удовлетворять уравнению

Это уравнение всегда, конечно, разрешимо локально, но на достаточно большом отрезке может и не иметь решения

В том, что выполнение неравенства

во всех точках экстремали не может быть достаточным условием того, что эта экстремаль реализует минимум функционала (1), можно убедиться следующим образом. Это условие так же, как и условие

характеризующее экстремаль, носит локальный характер, т. е. оно относится не ко всей кривой в целом, а к ее отдельным точкам.

Поэтому, если условие (11) выполняется для двух каких-либо дуг АВ и ВС, то оно выполняется и для составленной из них кривой АС. В то же время из того, что две части АВ и ВС некоторой кривой доставляют экстремум рассматриваемому функционалу вида (1), не следует, что вся кривая АС будет доставлять экстремум. Например, дуга большого круга на сфере есть кратчайшая из линий, соединяющих концы дуги, если эта дуга составляет меньше половины окружности и не будет кратчайшей (даже среди кривых, достаточно близких к ней), если она превышает половину окружности. Вместе с тем всякая дуга большого круга на сфере является экстремалью функционала, представляющего собой длину кривой на сфере, и в каждой точке такой дуги выполнено, как легко проверить, для этого функционала условие Следовательно, это условие (как и любой набор одних только локальных условий) не может быть достаточным для экстремума.

Несмотря на то, что условие не обеспечивает минимум, сама идея приведения подынтегрального выражения в формуле для второй вариации к полному квадрату (с целью получения достаточных условий экстремума) оказалась очень полезной, а дифференциальное уравнение возникающее при попытке осуществить эту идею, приводит к новым необходимым условиям экстремума (уже не локальным!). Мы вернемся к этим вопросам в §§ 22 и 23.