§ 6. Вариационная производная. Инвариантность уравнения Эйлера

1. Для функций переменных наряду с понятием дифференциала вводится понятие частной производной. Выше мы ввели понятие дифференциала для функционалов. Выражение, играющее для функционалов ту же роль, что и частные производные для функций переменных, носит название вариационной производной. Мы введем сперва понятие вариационной производной для функционалов вида

отвечающих простейшей задаче. Для этой цели мы перейдем от вариационной задачи к конечномерной, а затем совершим предельный переход.

Разобьем отрезок на равных частей точками

и заменим гладкую функцию ломаной с вершинами

Функционал

при этом можно приближенно заменить суммой

представляющей собой функцию переменных

Обозначим это выражение

Вычислим частные производные и посмотрим, что происходит с этими производными при неограниченном увеличении числа точек деления.

Заметив, что в выражении

каждое переменное входит ровно в два слагаемых (отвечающих ), получаем

Правая часть написанного здесь выражения при т. е. при неограниченном увеличении числа точек деления, стремится, очевидно, к нулю, представляя собой величину порядка . Для того чтобы получить при предел, вообще говоря, отличный от нуля, разделим равенство (2) на Получаем

Заметим, что выражение стоящее в знаменателе слева, имеет непосредственный геометрический смысл. Это — разность между площадями, ограниченными сплошной и пунктирной ломаными (рис. 3). При выражение (3) стремится к пределу, равному

Этот предел и называется вариационной производной функционала (1). Вариационная производная обозначается символом

Таким образом, формула, которая получается из (3) в результате предельного перехода при имеет вид

Мы видим, что полученное нами выражение вариационной производной представляет собой левую часть уравнения Эйлера. Следовательно, уравнение Эйлера означает не что иное, как равенство нулю в каждой точке вариационной производной соответствующего функционала, точно так же, как в анализе необходимым условием экстремума функции переменных является равенство нулю всех ее частных производных.

Рис. 3.

Сформулируем теперь определение вариационной производной в общем случае. Пусть имеется некоторый функционал Дадим функции у приращение, отличное от нуля лишь в окрестности некоторой точки х, и вычислим соответствующее приращение функционала

Разделив это приращение на площадь ограниченную кривой h и осью рассмотрим отношение

Пусть теперь площадь ограниченная кривой стремится к нулю, причем так, что и и длина того интервала, в котором отлична от нуля, стремятся к нулю. Если при этом отношение (5) стремится к некоторому пределу, то этот предел называется вариационной производной функционала в точке Вариационную производную в точке мы обозначим

Задача. Вычислить вариационную производную в точке квадратичного функционала

Для вариационных производных остаются в силе те основные правила, которые хорошо известны для обычных производных, например правила дифференцирования суммы, произведения, сложной функции и т. д.

Во многих случаях оказывается полезным понятие вариации в точке, представляющее собой аналог выражения

Вариацией функционала в точке для кривой называется произведение функциональной производной от У в точке х на площадь области, заключенной между кривыми

Замечание. Из определения вариационной производной ясно, что если отлична от нуля в некоторой окрестности точки и ограничивает площадь то

где когда стремятся к нулю и и длина интервала, в котором отлична от нуля.

2. Инвариантность уравнения Эйлера. Пусть на плоскости вместо переменных введены криволинейные координаты по формулам

Кривой, задаваемой на плоскости уравнением отвечает на плоскости кривая, определяемая некоторым уравнением

При замене переменных (6) функционал

переходит в функционал

Покажем, что если некоторая функция удовлетворяет уравнению Эйлера, то функция удовлетворяет соответствующему уравнению Эйлера

где

Для этого воспользуемся введенным выше понятием вариационной производной. Площадь, ограниченную кривыми на плоскости обозначим а площадь, ограниченную соответствующими кривыми обозначим . Отношение этих площадей стремится к функциональному детерминанту

не равному, по условию, нулю.

Если

то и

Итак, если функция удовлетворяет уравнению Эйлера, то функция удовлетворяет уравнению (7). Иначе говоря, свойство кривой быть (или не быть) экстремалью не зависит от выбора системы координат.

Свойство инвариантности уравнения Эйлера может быть использовано следующим образом. При решении уравдецця Эйлера часто

приходится пользоваться той или иной заменой переменных. В силу свойства инвариантности эту замену можно делать не в уравнении, а прямо в интеграле, представляющем рассматриваемый функционал, а затем уже для нового интеграла писать уравнение Эйлера.

Пусть, например, ищутся экстремали функционала

где Соответствующее уравнение Эйлера имеет вид

Замена

переводит (8) в интеграл вида

которому отвечает уравнение Эйлера

с общим решением

Следовательно, общее решение уравнения (9) есть