§ 2. Функциональные пространства

При изучении функций переменных удобно пользоваться геометрическим языком, рассматривая набор чисел как точку -мерного пространства. Точно так же геометрический язык полезен и при изучении функционалов. Каждую функцию принадлежащую какому-либо классу, мы будем рассматривать как точку

некоторого пространства. Пространства, элементами которых являются функции, мы будем называть функциональными пространствами.

В то время как для изучения функций от данного числа независимых переменных достаточно рассматривать одно пространство, а именно -мерное евклидово пространство, не существует какого-либо «универсального» функционального пространства; сами эти пространства приходится выбирать в зависимости от характера рассматриваемой вариационной задачи. Например, если речь идет о функционале вида то естественно рассматривать его на совокупности всех функций, имеющих непрерывную первую производную, а в случае функционала вида следует за соответствующее функциональное пространство взять класс дважды непрерывно дифференцируемых функций. Поэтому для того чтобы задать функциональное пространство, надо прежде всего задать класс рассматриваемых функций.

Для функционалов, так же как и для обычных функций, рассматриваемых в классическом анализе, важную роль играет понятие непрерывности. Для того чтобы сформулировать это понятие для функционалов, необходимо ввести в функциональном пространстве, тем или иным путем, понятие близости элементов. Это удобнее всего сделать, введя для функций понятие нормы — аналог расстояния между точками в евклидовом пространстве.

Хотя в дальнейшем мы будем всегда рассматривать именно функциональные пространства, нам удобнее будет сейчас ввести понятие нормы несколько более общим и абстрактным образом, а именно сформулировав определение линейного нормированного пространства.

Линейным пространством называется совокупность R элементов произвольной природы, для которых определены операции сложения и умножения их на числа, причем выполнены следующие аксиомы:

3. Существует такой элемент 0 (нулевой элемент), что для любого х из R.

4. Для каждого существует такой элемент что

Линейное пространство R называется нормированным, если каждому элементу поставлено в соответствие неотрицательное число норма этого элемента так, что только при

В линейном нормированном пространстве можно говорить о стоянии между элементами, понимая под расстоянием между величину Элементами линейного нормированного пространства могут быть объекты произвольной природы: системы чисел, векторы (т. е. направленные отрезки), матрицы, функции и т. д.

Для нас важны следующие пространства.

1. Пространство С, состоящее из всех непрерывных функций, определенных на некотором отрезке . Сложение элементов и умножение их на числа вводятся как обычные сложение функций и умножение их на числа, а норма определяется как максимум модуля, т. е.

Рис. 1.

Таким образом, в пространстве С мы считаем функцию отстоящей от функции не больше чем на , если ее график целиком лежит внутри полосы, шириной (по вертикали), окружающей график функции (рис. 1).

2. Пространство состоящее из всех функций, определенных на некотором отрезке и непрерывных на этом отрезке вместе со своей первой производной. Операции сложения и умножения на числа вводятся так же, как и в С, а норма определяется формулой

Таким образом, близость функций в пространстве означает, что близки как сами функции, так и их первые производные. Действительно, если

то

3. Пространство состоящее из всех функций на отрезке , имеющих непрерывные производные до порядка включительно, где — некоторое целое фиксированное число. Сумма элементов и произведение элемента на число определяются так же.

как и в предыдущих случаях, а норма определяется формулой

где под производной нулевого порядка понимается сама функция. Близость функций в этом пространстве означает, следовательно, близость значений как самих функций, так и их производных до порядка включительно. Легко проверить, что в каждом из указанных выше трех пространств все аксиомы линейного нормированного пространства действительно выполнены.

Аналогично можно ввести пространства функций нескольких переменных, например пространства непрерывных функций переменных, пространство непрерывных функций переменных, имеющих непрерывные первые производные, и т. д.

После того как в линейном (в частности, функциональном) пространстве R введена норма, для функционалов естественно вводится понятие непрерывности, а именно:

Определение: Функционал называется непрерывным в точке если для любого существует такое что как только

На первый взгляд может показаться, что при изучении функционалов и, в частности, при решении вариационных задач можно обойтись пространством С — самым обширным из всех перечисленных. На самом деле это не так. Действительно, как уже указывалось выше, один из основных типов функционалов, рассматриваемых в вариационном исчислении, — это функционалы вида

Легко видеть, что такой функционал будет непрерывен, если близость функций понимать как близость в пространстве но он не будет, вообще говоря, непрерывен, если пользоваться нормой, введенной в пространстве . В то же время на пространстве этот функционал (в частности, длина кривой) непрерывен. Для того чтобы иметь возможность пользоваться обычными аналитическими методами, например предельным переходом, разумно выбирать каждый раз функциональное пространство так, чтобы интересующий нас функционал был непрерывен.

В заключение этого параграфа сделаем следующее замечание. Выше речь шла о линейных пространствах и функционалах на них. Однако во многих вариационных задачах приходится рассматривать функционалы на совокупности функций, не образующих линейного пространства, например на совокупности плоских кривых, проходящих через две фиксированные точки (см. § 4). Несмотря на это, понятие линейного нормированного пространства и связанные с ним понятия расстояния между функциями, непрерывности функционала и т. д. играют важную роль в вариационном исчислении. С аналогичным положением приходится встречаться и в анализе: рассматривая функции переменных, удобно пользоваться понятием -мерного евклидова пространства, однако область определения той или иной функции может, и не быть линейным многообразием.