ГЛАВА III. ОСНОВНАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ ВАРИАЦИИ ФУНКЦИОНАЛА. ЗАДАЧИ С ПОДВИЖНЫМИ КОНЦАМИ

§ 11. Основная формула для вариации функционала

Выведем прежде всего общую формулу для вариации функционала

Начнем с того случая, когда рассматриваемый функционал зависит лишь от одной функции, т. е. имеет вид

при этом, однако, в отличие от простейшей задачи, мы будем считать, что концы тех кривых, на которых определен этот функционал, могут сдвигаться произвольным образом. Все рассматриваемые кривые мы будем предполагать гладкими, а расстоянием между двумя кривыми мы назовем величину

где — левые, соответственно правые концы кривых . Так как функции определены, вообще говоря, на разных интервалах, то для того чтобы формула (2) всегда имела смысл, эти кривые нужно продолжить на интервал, содержащий те интервалы, на которых определены у и у, проведя, например, для этого касательные в конечных точках кривых (рис. 4).

Определим вариацию функционала (1) как выражение, линейное относительно приращения h функции у и относительно приращений координат концов и отличающееся от полного приращения функционала на величину выше первого порядка малости по сравнению с расстоянием между функциями

Обозначим координаты концов кривой через а координаты концов провариированной кривой через соответственно.

Рис. 4.

Найдем явное выражение для вариации. Для этого сперва найдем приращение функционала Имеем

Воспользовавшись формулой Тейлора и отбрасывая члены выше первого порядка малости, получим отсюда, что

где означает равенство с точностью до величин порядка выше первого относительно Но, как это ясно из рисунка 4,

(где ~ опять-таки означает равенство с точностью до бесконечно малых порядка выше первого). Поэтому окончательно

Мы получили общую формулу вариации для функционала, зависящего от одной функции. Она содержит в качестве частных случаев формулу вариации для задачи со свободными концами (в этом случае и формулу вариации для простейшей задачи (в этом случае Найдем теперь вариацию функционала

зависящего от функций причем опять-таки для этих функций никаких условий на концах ставить не будем. Поскольку всякую систему функций можно интерпретировать как кривую в -мерном пространстве, функционал (5) можно рассматривать как определенный на некотором множестве кривых в пространстве размерности

Вариацию функционала (5) мы определим как главную линейную (относительно всех приращений ) функций часть приращения функционала. Найдем сперва это приращение:

Главную линейную (относительно ) часть этого приращения можно, воспользовавшись формулой Тейлора, представить в виде

Интегрируя здесь слагаемые, содержащие по частям, получим, что приращение функционала (5) с точностью до бесконечно малых порядка выше первого равно

Обозначим приращение координаты на одном из концов кривой, а — приращение координаты на другом конце. Аналогично случаю функционала, зависящего от одной функции, получаем

Поэтому мы можем окончательно написать

или, короче,

где символ показывает, что нужно взять разность между значениями соответствующей величины в конечной точке дуги и в начальной.

Это выражение линейно относительно величин и отличается на бесконечно малую порядка выше первого от приращения функционала, т. е. представляет собой его вариацию. Выражение (8) и представляет собой ту основную формулу вариации функционала (5), которую мы хотели получить.

Введем следующие обозначения:

В этих новых обозначениях основная формула (8) для вариации функционала запишется следующим образом:

Заметим, что если детерминант, составленный из производных

отличен от нуля, то величины у можно выразить из равенств

через и мы можем в рассматриваемом функционале перейти (локально) от переменных и функции к переменным и функции Н. Переменные называются каноническими переменными. Они играют важную роль в самых разных вопросах вариационного исчисления, и мы будем еще неоднократно с ними встречаться.

Пусть кривая, соединяющая точки является экстремалью. Тогда в выражении для вариации интегральный член обращается в нуль, и мы получаем

или, в других обозначениях,

Равенство

является необходимым условием экстремума для функционала (5) при любых граничных условиях.

В следующих двух параграфах мы применим полученную выше общую формулу вариации к исследованию некоторых типов вариационных задач.