§ 26. Связь условий Якоби с теорией квадратичных форм в конечномерном пространстве

В § 22 было доказано, что квадратичный функционал

положительно определен для всех таких, что в том и только том случае, когда отрезок не содержит точек, сопряженных с а. Функционал (1) представляет собой бесконечномерный аналог квадратичной формы. Естественно поэтому попытаться получить условия положительной определенности этого функционала из условий положительной определенности квадратичной формы с помощью предельного перехода.

Разобьем отрезок на равных частей точками и рассмотрим квадратичную форму

где — значения функций в точке Эта квадратичная форма представляет собой конечномерное приближение функционала (1). Сгруппировав в форме (2) подобные члены и положив перепишем ее в виде

Таким образом, квадратичный функционал (1) приближенно записывается в виде квадратичной формы от с матрицей

где

Симметричная матрица, в которой равны нулю все элементы, кроме стоящих на главной диагонали и на двух соседних с ней диагоналях, называется матрицей Якоби. Квадратичную форму с такой матрицей будем называть формой Якоби. Выведем рекуррентное соотношение, связывающее главные миноры любой матрицы Якоби. Пусть

— один из таких миноров. Разложив его по элементам последней строки, получим

Сформулируем с помощью этого рекуррентного соотношения условие положительной определенности для квадратичной формы Якоби. Соотношение (8) позволяет определить все миноры матрицы Якоби

по двум ее первым минорам Если мы еще положим то соотношение (8) будет справедливо при всех и значения будут определяться этим соотношением однозначно.

Воспользуемся следующим критерием положительной определенности квадратичной формы (критерий Сильвестра): квадратичная форма

положительно определенна в том и только том случае, если все миноры

положительны.

Применительно к квадратичной форме Якоби этот критерий можно сформулировать так: квадратичная форма Якоби положительно определенна в том и только том случае, если все величины, определяемые рекуррентным соотношением и условиями положительны.

Чтобы получить отсюда критерий положительной определенности квадратичного функционала, посмотрим, во что превращается рекуррентное соотношение (8) при

В нашем случае, когда коэффициенты определяются равенствами (5) и (6), рекуррентное соотношение, связывающее миноры матрицы Якоби, принимает вид

Непосредственный предельный переход при (т. е. при ) здесь, очевидно, невозможен, так как коэффициенты при при этом обратятся в бесконечность. Чтобы избежать этого, сделаем «замену переменных», положив

Тогда рекуррентное соотношение (9) примет вид

т. е.

Деля это равенство на получаем

Перейдя здесь к пределу при мы получим дифференциальное уравнение

т. е. уравнение Якоби.

Условие положительности величин удовлетворяющих соотношению (9), равносильно условию положительности величин удовлетворяющих разностному уравнению (11), поскольку множитель

всегда положителен (в силу условия Поэтому условие положительности квадратичной формы (3) можно сформулировать так: эта форма положительно определенна в том и только том случае, если величины , удовлетворяющие разностному уравнению (11), условию (в которое переходит условие и условию (вытекающему из условия , все положительны

Рассмотрим ломаную с вершинами

условия означают, что эта ломаная не пересекает отрезок оси абсцисс. При разностное уравнение (11) переходит в дифференциальное уравнение Якоби, а ломаная — в решение этого дифференциального уравнения, не равное нулю тождественно, удовлетворяющее начальным

условиям и не пересекающее отрезка е. не обращающееся на этом отрезке в нуль). Таким образом, при предельном переходе от квадратичной формы Якоби (3) к квадратичному функционалу (1) условие положительной определенности квадратичной формы переходит в следующее условие для функционала. Для того чтобы квадратичный функционал

был положительно определен, необходимо и достаточно, чтобы решение соответствующего уравнения Якоби

удовлетворяющее начальным условиям не обращалось в нуль при , т. е. чтобы отрезок не содержал точек, сопряженных с а.

А это и есть то условие положительной определенности квадратичного функционала, которое было доказано в § 22 (теорема 1).

Законность описанного выше предельного перехода можно строго обосновать. Мы, однако, не будем на этом останавливаться.