§ 15. Преобразование Лежандра. Канонические преобразования

Рассмотрим еще один метод приведения уравнений Эйлера к каноническому виду, отличный от изложенного в предыдущем параграфе. Идея этого нового вывода состоит в том, что рассматриваемая вариационная задача заменяется другой, ей эквивалентной и такой, что уравнения Эйлера для этой новой задачи совпадают с каноническими уравнениями Эйлера для первоначальной задачи.

1. Сначала рассмотрим некоторые соображения, относящиеся к задаче о нахождении экстремума функции конечного числа переменных.

Начнем со случая одного переменного. Пусть ищется экстремум (скажем, минимум) функции причем выпукла, т. е.

Введем новую независимую переменную (называемую тангенциальной координатой), положив

Так как, по условию, то из (2) можно выразить через . Введем теперь новую функцию

(здесь есть функция от , определяемая равенством ). Преобразование, определяемое формулами (2) и (3), называется преобразованием Лежандра. Таким образом, преобразование Лежандра — это переход от переменной и функции

к переменной и функции

Легко проверить, что из выпуклости вытекает выпуклость Действительно,

откуда

и, следовательно,

поскольку

Пример. Пусть

Тогда

т. е.

и следовательно,

т. е.

где b связано с а соотношением

Функция определенная равенством (3), иногда называется двойственной по Юнгу к функции Легко проверить, что преобразование

образование Лежандра, примененное к приводит снова к . Действительно, согласно и, кроме того,

Посмотрим теперь, как связан переход от функции с задачей о нахождении экстремума функции Рассмотрим выражение

которое при совпадает с как функцию двух независимых переменных. Покажем, что

Действительно, из условия

получаем

откуда в силу (5) и вытекает (7). Таким образом, задача об отыскании минимума функции равносильна задаче о нахождении минимума выражения как функции двух переменных. Говоря более точно, мы получаем из (7), что

Аналогичные рассуждения можно провести и для функций нескольких независимых переменных. Пусть

— функция переменных, для которой детерминант, составленный из производных,

не обращается в нуль. Положим

и

Выразив через из (8) и подставив эти выражения в (9), получим функцию

Как и в случае одного независимого переменного, непосредственная проверка показывает, что

и потому отыскание минимума функции равносильно отысканию минимума выражения

в котором рассматриваются как независимые переменные. Замечание. Мы показали, что

следовательно, при произвольных значениях

т. е.

где определяются формулами (8) и (9).

Полученное нами неравенство называется неравенством Юнга. Для функций одного переменного его геометрический смысл непосредственно виден из рис. 6.

2. Применим эти рассуждения к функционалам. Пусть дан функционал

Положим

и

(считая, что в правой части этого равенства у представляет собой функцию от определенную равенством ).

Введем новый функционал

в котором у и рассматриваются как две независимые функции, а у есть производная от у. Этот функционал совпадает, очевидно, с исходным функционалом (10), если за взять выражение (11). Напишем для функционала (12) уравнения Эйлера. Получим

Это не что иное, как канонические уравнения для функционала

Мы докажем эквивалентность эти уравнений с уравнением

(и, следовательно, получим новый, независимый от первоначального, вывод канонических уравнений), если докажем, что функционалы (10) и (12) принимают экстремальные значения на одних и тех же кривых.

Для этого заметим прежде всего, что определяемый формулами (11) и (110 переход от функции F переменных к функции Н переменных инволютивен, т. е., проделав преобра зование Лежандра для , мы основа вернемся к функции Действительно, так как)

то

поэтому

Докажем теперь эквивалентность вариационных задач (10) и (12). Это будет доказано, если мы докажем, что минимум по при фиксированном уесть Действительно, тогдя минимум при изменении как , так и у будет совпадать с минимумом

Докажем, что . Так как не содержит то для нахождения минимума достаточно найти минимум подынтегрального выражения в каждой точке, т. е. положить

Отсюда

Но тогда, согласно (15),

и значит .

Итак, эквивалентность вариационных задач (10) и (12), а следовательно, и отвечающих им уравнений Эйлера (14) и (13) доказана.

Мы рассмотрели функционалы, зависящие от одной функции. Те же рассуждения остаются в силе и в случае функций. Пример? Рассмотрим функционал

где Р и Q — функции от Для него откуда

Соответствующие канонические уравнения имеют вид

Уравнение Эйлера в обычной форме для функционала (16) имеет вид

3. Рассмотрим теперь следующий вопрос: при каких преобразованиях переменных канонические уравнения Эйлера сохраняют свою каноническую форму?

В конце первой главы мы показали, что уравнение Эйлера

инвариантно по отношению к преобразованию координат, т. е. переходу от переменных х, у к любым другим переменным . При этом у в функционале заменяется на Этим свойством инвариантности обладают и канонические уравнения Эйлера. Однако в силу той симметрии, которая имеется в канонических уравнениях между переменными здесь замену переменных можно понимать в более широком смысле, а именно как переход от переменных к новым переменным

(т. е. преобразуются по собственным формулам, не зависящим от того, как преобразуются переменные ). Однако не при любой за- мене (17) канонические уравнения сохранят свой вид. Посмотрим, какие условия нужно наложить на функции (17) для того, чтобы в новых переменных уравнения Эйлера снова имели канонический вид, т. е. чтобы эти новые переменные удовлетворяли уравнениям

где — некоторая новая функция. Те преобразования вида (17), которые сохраняют канонический вид уравнений Эйлера, называются каноническими преобразованиями. Для нахождения канонических преобразований воспользуемся тем, что канонические уравнения

представляют собой уравнения Эйлера для функционала

в котором рассматриваются как независимых функций. Мы хотим, чтобы новые переменные удовлетворили уравнениям (18) с некоторой функцией Н. Напишем тот функционал, для которого уравнения (18) служат уравнениями Эйлера. Это будет

Здесь — функции от определяемые равенствами (17), а — производная от таким образом, функционалы (20) и (21) представляют собой две различные вариационные задачи для одних и тех же переменных

Мы требуем, чтобы новая система (18) получалась бы из старой системы (19) некоторой заменой переменных, т. е. была бы ей эквивалентна. Это равносильно требованию эквивалентности между вариационными задачами (21) и (20). В гл. II (см. замечание в конце § 7) было показано, что две вариационные задачи эквивалентны (т. е. имеют одни и те же экстремали), если подынтегральные выражения в соответствующих функционалах отличаются друг от друга на некоторый

полный дифференциал, т. е. если

где Ф — некоторая функция.

Таким образом, если преобразование (17) переменных в переменные х, таково, что существует функция Ф, удовлетворяющая условию (22), то преобразование (17) каноническое. Определяемая условием (22) функция Ф называется производящей функцией данного канонического преобразования.

Покажем, что название «производящая функция» здесь действительно оправдано; а именно покажем, что по заданной производящей функции Ф можно найти соответствующее каноническое преобразование. Для этого перепишем равенство (22) в виде

откуда получаем

Но это и есть соответствующее каноническое преобразование. Действительно, равенств (23) устанавливают связь между переменными а также дают выражение для новой функции Гамильтона Н. Очевидно, что условие (22) при этом выполнено, т. е. преобразование (23) действительно каноническое.

Мы считали, что производящая функция задана как функция старых координат новых координат и переменной Может оказаться удобным выразить производящую функцию не через например, через Для этого перепишем соотношение (22) в виде

Выражение (представленное как функция переменных ) и будет новой производящей функцией. Обозначив ее мы можем записать соответствующее ей каноническое преобразование в виде

Если производящая функция канонического преобразования не зависит от времени, то т. е. в этом случае для получения новой функции Гамильтона достаточно в Н подставить вместо их выражения через

Задача. Проверить, что замена является каноническим преобразованием. Написать соответствующую производящую функцию.