§ 23. Сопряженные точки. Необходимое условие Якоби

1. Применим результаты, полученные в предыдущем параграфе для квадратичного функционала, к простейшей задаче вариационного исчисления, т. е. к исследованию функционала

с граничными условиями

Рассмотрим некоторую экстремаль этого функционала и вычислим его вторую вариацию в окрестности этой экстремали. Как было показано в § 21, вторая вариация функционала (1) записывается в виде

где

Определение 1. Уравнение Эйлера

квадратичного функционала (3) называется уравнением Якоби исходного функционала (1).

Определение 2. Точка х называется сопряженной с точкой по отношению к функционалу (1), если она сопряженна с по отношению к квадратичному функционалу (3), представляющему собой вторую вариацию функционала (1).

Воспользовавшись теоремой 2 предыдущего параграфа, получаем непосредственно следующий важный результат.

Теорема (необходимое условие Якоби). Для того чтобы экстремаль давала минимум функционалу

необходимо, чтобы интервал не содержал точек, сопряженных с а.

Доказательство. В § 20 было доказано, что неотрицательность второй вариации есть необходимое условие минимума. Далее, в силу теоремы 2 § 22, если квадратичный функционал

неотрицателен, то интервал не содержит точек, сопряженных с а. Из сопоставления этих двух фактов вытекает утверждение теоремы.

2. Мы определили уравнение Якоби для функционала (1) как уравнение Эйлера для квадратичного функционала

представляющего собой вторую вариацию. Это же уравнение можно получить и с помощью следующего рассуждения.

Пусть — экстремаль. Выясним, какие условия нужно наложить на чтобы провариированная функция тоже была экстремалью. Подставим в уравнение Эйлера

Воспользовавшись формулой Тейлора и учтя, что — решение уравнения Эйлера, имеем

где — величина выше первого порядка малости относительно h. Отбросив и приведя слева подобные члены, получим

Но это и есть уравнение Якоби, которое мы выше, пользуясь обозначениями

писали в виде

Итак, уравнение Якоби — это дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет с точностью до величин выше первого порядка малости разность между двумя бесконечно близкими экстремалями.

Уравнение, которому удовлетворяет с точностью до малых выше первого порядка разность двух бесконечно близких решений некоторого исходного дифференциального уравнения, называется уравнением в вариациях (для этого исходного уравнения).

Таким образом, уравнение Якоби — это уравнение в вариациях для уравнения Эйлера.

Мы определили сопряженную точку (к данной точке а) как точку, в которой обращается в нуль решение уравнения Якоби, удовлетворяющее начальным условиям Теперь мы можем дать другое определение сопряженной точки. Мы выяснили, что разность между двумя бесконечно близкими экстремалями, выходящими из одной и той же точки, удовлетворяет условию

где величина выше первого порядка малости относительно

Отсюда видно, что совпадает с точностью до величин выше первого порядка малости с некоторым ненулевым решением уравнения Якоби. Поэтому второе определение сопряженной точки можно сформулировать так:

Точка х называется сопряженной к точке если в ней разность между данной экстремалью и произвольной близкой экстремалью выходящей из той же начальной точки, есть величина выше первого порядка малости по сравнению

Можно дать еще и третье определение сопряженной точки, а именно:

Точка х называется сопряженной к точке если она есть предел точек пересечения данной экстремали близкими экстремалями выходящими из той же начальной точки, при

Покажем, что это определение действительно равносильно первым двум. Ясно, что если точка х сопряжена к а в смысле последнего определения (экстремали пересекаются), то она будет сопряженной и в первоначальном смысле. Остается проверить, что верно и обратное. Пусть — рассматриваемая экстремаль, удовлетворяющая

начальному условию

и пусть — экстремаль, выходящая из той же точки а и удовлетворяющая условию

Тогда можно представить в виде

где — решение соответствующего уравнения Якоби, удовлетворяющее условиям

a - величина выше первого порядка малости относительно а. Пусть и пусть Ясно, что (поскольку Воспользовавшись формулой Тейлора легко проверить, что при достаточно малом а выражение

в точках принимает значения разных знаков. Так как при то это и означает, что х есть предел точек пересечения экстремалей при

Пример. Рассмотрим геодезические линии на сфере. Это — дуги больших кругов. Каждая такая дуга есть экстремаль функционала, представляющего собой длину линии на сфере. Для каждой точки М на сфере сопряженной с ней будет диаметрально противоположная точка сферы. Если данная экстремаль вместе с точкой М содержит и диаметрально противоположную ей точку М, то через точку М проходит любая другая экстремаль, проходящая через М (а не только бесконечно близкая к первоначальной). Это связано с тем, что сфера имеет постоянную кривизну. Положение изменится, если рассмотреть, например, близкий к сфере эллипсоид.

В заключение этого параграфа приведем сводку всех установленных выше необходимых условий экстремума. Если вдоль кривой функционал

достигает экстремума, то:

1. Кривая является экстремалью, т. е. удовлетворяет уравнению Эйлера (§ 4)

2. Вдоль этой кривой

в случае минимума и в случае максимума (§ 21).

3. Интервал не содержит точек, сопряженных с а (§ 23).