ГЛАВА IV. КАНОНИЧЕСКИЙ ВИД УРАВНЕНИЙ ЭЙЛЕРА. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ. УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА - ЯКОБИ

Как было отмечено еще во введении, многие физические закономерности выражаются в экстремальных свойствах некоторых функционалов. В этой главе мы рассмотрим применение методов вариационного исчисления к вопросам классической механики системы конечного числа материальных точек. Мы увидим, например, что траектории некоторой механической системы в фазовом пространстве, описывающие эволюцию этой системы с течением времени, можно находить как экстремали некоторого функционала. С помощью вариационного исчисления можно также указывать те величины, связанные с данной физической системой, которые при эволюции рассматриваемой системы не меняются с течением времени. Этот круг вопросов и составляет основное содержание настоящей главы. В первых параграфах этой главы вводится важное для дальнейшего понятие канонических переменных и излагается приведение уравнений Эйлера к каноническому виду. С содержанием этой главы тесно связано Дополнение I, в котором содержится другой независимый вывод канонических уравнений и уравнения Гамильтона — Якоби, а также их геометрическая интерпретация.

§ 14. Канонический вид уравнений Эйлера. Первые интегралы

1. Уравнения Эйлера

отвечающие функционалу зависящему от а функций,

образуют систему уравнений второго порядка. Такую систему можно, и притом различными способами, свести к системе уравнений первого порядка; например, можно принять за новых неизвестных функций и рассматривать систему

где — неизвестные функции, а — независимое переменное. Мы получим, однако, для уравнений Эйлера гораздо более удобную и симметричную форму, введя вместо Другую систему переменных — так называемые канонические переменные.

В § 11 при выводе основной формулы вариации функционала мы ввели следующие величины:

С их помощью мы получили компактное выражение для вариации функционала, а также (§ 13) наглядную интерпретацию условий Вейерштрасса — Эрдмана. Однако особенно ясной становится их роль именно в связи с канонической формой уравнений Эйлера.

Выразив из равенств

величины через мы можем величины

принять за новые переменные вместо прежних переменных

Именно эту замену переменных мы и сделаем в уравнениях Эйлера (2). Одновременно функцию входящую в уравнения Эйлера,

мы выразим через новую функцию связанную с F равенством

(здесь означает соответствующие функции от Определенная этим равенством функция ) называется функцией Гамильтона, отвечающей данному функционалу

Переменные связанные со старыми переменными соотношениями (3) и (4), называются каноническими переменными отвечающими данному функционалу

Переход от старых переменных к новым возможен, если функциональный детерминант е. детерминант матрицы, составленной из производных

отличен от нуля. Мы будем предполагать это условие выполненным

Выясним теперь, как преобразуются уравнения Эйлера (2) при переходе к каноническим переменным. Чтобы сделать в уравнениях Эйлера указанную замену, нужно частные производные (т. е. частные производные от F по взятые при постоянных выразить через частные производные . (которые берутся при постоянных значениях

Непосредственное вычисление этих производных было бы несколько громоздко. Мы избежим длинных выкладок, воспользовавшись выражением дифференциала функции Н. При этом в силу независимости (инвариантности) первого дифференциала от выбора независимых переменных, нам нет необходимости помнить о том, перешли мы уже к новым переменным или нет.

Из определения Н получаем

т. е.

Для того чтобы получить отсюда выражения для частных производных функции И, следовало бы выразить через Однако (в этом по существу и состоит важная особенность канонических переменных) в силу равенств

члены, содержащие в (5), взаимно уничтожаются, и мы получаем

Для получения частных производных функции Н остается выписать коэффициенты при соответствующих дифференциалах справа. Таким образом,

Итак, величины и у выражакхтся через частные производные функции Н по формулам

Пользуясь этими выражениями, можно уравнения Эйлера (2) переписать в виде

Эти уравнений первого порядка образуют систему, эквивалентную (2) и называемую канонической системой уравнений Эйлера рассматриваемого функционала

2. Первые интегралы уравнений Эйлера. Напомним, что первым интегралом некоторой системы дифференциальных уравнений называется функция, сохраняющая постоянные значения вдоль каждой интегральной кривой этой системы. Выясним, какие первые интегралы может иметь каноническая система (9) (а следовательно, и эквивалентная ей первоначальная система ).

Рассмотрим сначала тот случай, когда функция F, определяющая функционал, не зависит от х явно, т. е.

Тогда фулкция тоже не содержит х явно и, следовательно,

Воспользовавшись каноническими уравнениями Эйлера (9), получаем

откуда

вдоль каждой экстремали. Таким образом, если F не зависит от х явно, то функция является первым интегралом уравнений Эйлера.

Рассмотрим теперь некоторую произвольную функцию вида

и выясним, при каких условиях она будет первым интегралом системы (9). При этом мы уже не будем предполагать, что F не зависит от х явно, а рассмотрим общий случай. Вдоль каждой интегральной кривой сйстемы ) имеем

Выражение

называется скобкой Пуассона функций . Мы получаем следующую формулу:

Таким образом, для того чтобы была первым интегралом системы уравнений Эйлера (9), необходимо и достаточно, чтобы скобка Пуассона

была тождественно равна нулю.

Если же не только , но и Ф может явно зависеть от то справедлива, как легко проверить, следующая формула: