§ 32. Вариационный вывод уравнений колебаний струны, мембраны и пластинки

В этом параграфе мы рассмотрим применение полученной в § 31 основной формулы для вариации к выводу уравнений движения некоторых механических систем с бесконечным числом степеней свободы. С дальнейшим изложением содержание этого параграфа не связано.

В § 17 было показано, что уравнения движения для механической системы, состоящей из материальных точек, смогут быть получены из так называемого принципа наименьшего действия, который состоит в следующем: если U — потенциальная энергия системы материальных точек, а кинетическая энергия, то траектория этой системы в фазовом пространстве доставляет минимум функционалу

который называется действием.

В этом параграфе мы рассмотрим применение принципа наименьшего действия к выводу уравнений колебаний (и соответствующих краевых условий) для некоторых простейших систем с бесконечным числом степеней свободы, а именно для струны, мембраны и пластинки.

1. Струна. Рассмотрим движение струны, т. е. гибкой материальной нити с линейной плотностью . Предположим, что концы струны закреплены упруго, т. е. что при отклонении их от положения равновесия возникает сила, пропорциональная этому отклонению, Обозначим отклонение струны от положения равновесия в точке х в момент времени t. Кинетическая энергия струны равна, очевидно,

Найдем теперь выражение для потенциальной энергии струны, находящейся в момент t в положении, описываемом некоторой определенной функцией (при фиксированном t). Эта потенциальная энергия равна той работе, которую нужно затратить для того, чтобы перевести струну из положения

Рис. 8.

равновесия в рассматриваемое положение. Подчеркнем, что струна считается абсолютно гибкой, т. е. вся работа идет на ее растяжение (а не на изгиб). Пусть натяжение струны равно Рассмотрим некоторый элемент струны в двух положениях: начальном и конечном (рис. 9). Мы рассматриваем малые колебания струны, поэтому можно считать, что есть малая величина при всех значениях t. Работа, которая при этом совершается, равна произведению силы (натяжения струны) на путь, который проделывает один из концов рассматриваемого элемента, и на косинус угла между силой натяжения и направлением перемещения.

Рис. 9.

Это произведение равно, очевидно, произведению на удлинение рассматриваемого элемента струны, т. е. равно

где многоточие означает члены более высокого (по сравнению с выписанными) порядка малости. Мы нашли работу, отвечающую элементу струны. Для всей струны эта работа равна

Сюда нужно еще прибавить работу, затрачиваемую на смещение упруго закрепленных концов. Она равна

где — постоянные. Поэтому потенциальная энергия струны, находящейся в момент времени t в положении, описываемом функцией равна

а действие за некоторый промежуток времени имеет вид

Согласно принципу наименьшего действия, функция описывающая реальное движение струны, должна быть экстремалью функционала (5).

Выпишем для этого функционала основное необходимое условие экстремума

Воспользовавшись полученной в предыдущем параграфе формулой (4) для вариации и тем, что вариация суммы равна сумме вариаций, получим

(эта вариация отвечает переходу от функции ) к функции

Относительно функции мы предположим, что

т. е. будем считать, что в начальный и конечный моменты функция не вариируется. Тогда последнее слагаемое в (6) можно преобразовать так:

и затем переписать выражение вариации (6) следующим образом:

Согласно принципу наименьшего действия, это выражение должно быть равно нулю для той функции, которая отвечает реальному движению струны.

Пусть сначала обращается в нуль на концах, т. е. при и при Тогда выражение (7) для сводится к одному двойному интегралу. Приравнивая его нулю, получаем (см. лемму 1 § 5)

Это и есть уравнение колебаний струны. Оно представляет собой уравнение Эйлера для функционала

Пусть функция и удовлетворяет уравнению колебаний струны (8). Для такой функции выражение (7) для вариации U сводится к

Это выражение должно быть. равно нулю. В силу произвольности это требование приводит к двум равенствам

Таким образом, функция описывающая колебания струны, должна удовлетворять уравнению (8) и граничным условиям

связывающим отклонение каждого из концов струны от положения равновесия с направлением касательной к струне на этом же конце.

Если концы струны свободны то и граничные условия (9) принимают вид

т. е. на свободном конце касательная к струне сохраняет все время то направление, которое она имеет в положении равновесия. Жесткое закрепление концов струны, т. е. граничные условия

можно рассматривать как предельный случай упругого закрепления их. Действительно, если считать, что жесткость удерживающих концы струны пружин неограниченно возрастает, то это означает, что Деля (9) на а и (9) на и переходя к пределу, получаем условия (10).

2. Замечание о принципе наименьшего действия. Принцип наименьшего действия широко используется не только в механике, но и в других областях физики: электродинамике, теории поля и т. д. Вместе с тем следует иметь в виду, что этот принцип, в известном смысле, не вполне верен.

Рассмотрим простейшую механическую систему — материальную точку, колеблющуюся вокруг положения равновесия под действием упругой силы (осциллятор). Потенциальная энергия такой материальной точки равна

а кинетическая

поэтому для нее действие имеет вид

Уравнение движения осциллятора

Каждое его решение записывается в виде

значения постоянных А и а определяются из граничных условий.

Уравнение (12) представляет собой уравнение Эйлера для функционала (11). Однако утверждать, что его решение (13) обязательно реализует минимум функционала (11), мы, вообще говоря, не можем. Действительно, рассмотрим, например, решение

оно проходит через точку и удовлетворяет условию . С точкой (0, 0) сопряжена точка t — (в этой точке экстремаль (14) пересекается с каждой из экстремалей, удовлетворяющих условию ) Так как для рассматриваемого функционала (11)

то при экстремаль

удовлетворяет достаточным условиям минимума (не только слабого, но и сильного). Однако если рассматривать интервал времени, больший чем то утверждать, что соответствующая экстремаль обязательно будет давать минимум функционалу (11), нельзя.

Рассмотрим теперь систему осцилляторов; ее кинетическая энергия записывается в виде квадратичной формы от скоростей

    (15)

а потенциальная энергия — в виде квадратичной формы от координат

Так как квадратичная форма (15), представляющая кинетическую энергию, положительно определенна, то формы (15) и (16) можно

линейной заменой переменных одновременно привести к сумме квадратов, т. е. к виду

В этих новых переменных действие записывается так:

Напишем соответствующие уравнения Эйлера

Это — уравнение движения системы осцилляторов. Будем считать все положительными (это означает, что рассматриваются колебания системы вокруг положения устойчивого равновесия). Тогда решения системы (17) имеют вид

где — постоянные, определяемые из начальных условий, а Рассуждения, аналогичные проведенным выше для одного осциллятора, показывают, что отрезок траектории (задается уравнениями вида (17)), временная длина которого не превосходит , где не содержит сопряженных точек и удовлетворяет всем остальным достаточным условиям минимума. Однако, если рассматривается интервал времени, больший чем то гарантировать, что отрезок экстремали, отвечающий этому интервалу, действительно реализует минимум действия, нельзя.

Рассмотрим теперь колебания струны. Мы не будем приводить здесь такой анализ, как для одного или нескольких осцилляторов, а ограничимся следующим элементарным рассуждением.

Решение уравнения колебаний струны

может быть записано в виде

где определяются из начальных и краевых условий, а

Поэтому струну можно рассматривать, в известном смысле, как систему бесконечного числа осцилляторов, имеющих собственные частоты Но числа не ограничены сверху, поэтому аналогия с осцилляторами заставляет думать, что для струны нет временного интервала, настолько малого, чтобы на ней решение уравнения струны непременно реализовывало бы минимум функционала, представляющего собой действие для колеблющейся струны длины Аналогичные рассуждения можно провести и для других систем с бесконечным числом степеней свободы.

Исходя из изложенных соображений, лучше говорить не о принципе наименьшего, а о принципе стационарного действия, понимая под этим обращение в нуль вариации действия вдоль истинной траектории движения.

3. Мембрана. Рассмотрим задачу о колебаниях мембраны. Обозначим отклонение точки мембраны от равновесия в момент времени t. Кинетическая энергия мембраны в момент

где p — плотность мембраны, а интеграл берется по всей занимаемой мембраной области. Найдем потенциальную энергию мембраны в состоянии, описываемом функцией где t фиксировано. Она равна работе, которую нужно затратить для того, чтобы перевести мембрану из положения равновесия в рассматриваемое положение. Эта работа слагается из работы смещения края мембраны (который мы будем считать закрепленным упруго) и работы, затрачиваемой на деформацию мембраны. Первое слагаемое равно

где L — граница мембраны, и — ее отклонение от положения равновесия, а — коэффициент упругости в точке s. Второе слагаемое может быть записано в виде

Действительно, подобно тому, как работа, затрачиваемая на деформацию элемента струны, равна произведению натяжения на изменение длины, работа, затрачиваемая на деформацию элемента мембраны,

равна произведению натяжения мембраны на изменение площади этого элемента. При деформации мембраны элемент площади переходит в Ограничиваясь в выражении

главными членами получаем, приращение элемента площади

Работа, совершаемая при деформации элемента мембраны, равна

а работа, затрачиваемая на деформацию всей мембраны, есть

Таким образом, для мембраны действие имеет вид

Воспользовавшись формулой (4) предыдущего параграфа, найдем вариацию этого функционала, считая, что функция и переходит в

Получаем

Как и в случае струны, будем считать, что функция определяющая вариацию, равна нулю в начальный и конечный моменты

Воспользовавшись формулой Остроградского и приняв во внимание условие (19), мы можем переписать последнее слагаемое в выражении для вариации (18) следующим образом (здесь и далее мы для сокращения записи опускаем аргументы) в виде поверхностного интеграла:

Так как интеграл

    (21)

равен нулю (как интеграл по цилиндрической поверхности, образующие которой параллельны оси t), а

где означает дифференцирование по направлению нормали к то окончательно выражение (18) для вариации можно переписать в следующем виде:

Предположим сначала, что на границе мембраны т. е. что в граничных точках функция и не вариируется. Тогда в полученном выражении для остается лишь тройной интеграл, и условие приводит к уравнению

Это и есть уравнение колебаний мембраны. Если функция и удовлетворяет этому уравнению, то выражение (22) для сводится к

Приравнивая это выражение к нулю, получаем, в силу произвольности интервала что

Это — граничное условие для уравнения мембраны, отвечающее упругому закреплению ее границы. В частности, если эта граница свободна, то и мы получаем

— граничное условие для свободной мембраны; жесткому закреплению границы отвечает т. е. условие

4. Пластинка. Применим в заключение принцип стационарного действия к выводу уравнения и краевых условий для колебаний пластинки. Пусть — отклонение пластинки от положения равновесия в лючке в момедт времени t. Потенциальная энергия пластинки определяется ее изгибом, следовательно, она должна выражаться вторые производные функции и по пространственным переменным х и у. Далее, выражение для потенциальной энергии должно быть квадратично относительно производных (для получения линейного уравнения колебаний) и не должно зависеть выбора системы, координат. Этим условиям удовлетворяют лишь детерминант матрицы

и квадрат ее следа. Поэтому потенциальная энергия деформации пластинки должна записываться в виде интеграла от

Обычно полагают

где k — коэффициент, зависящий от выбора единиц (в дальнейшем мы будем его считать равным 1). К энергии нужно прибавить еще энергию внешних сил такие есть), действующих на поверхность пластинки и на границу L, а также и энергию заданных на границе изгибающих моментов Суммарное Выражение для этих энергий имеет вид

Кинетическая энергия пластцнки записывается, очевидно, в виде

где — плотность.

Таким образом, для действия получаем следующее выражение:

Заметим, что выражение (26) представляет собой функционал более общего вида, чем те, которые мы рассматривали выше (струна, мембрана), так как подынтегральное выражение зависит от производных неизвестной функции порядка выше первого. Вариацию функционала (26), отвечающую переходу от функции и к функции можно представить в следующем виде (промежуточные выкладки мы опускаем):

где

и

(здесь - направляющие косинусы внешней нормали и касательной ). Считая, что на границе пластинки функция и и ее нормальная производная не вариируются, получаем, в силу произвольности как интервала так и выбора внутри области О, уравнение

представляющее собой уравнение вынужденных колебаний пластинки. При отсутствии внешних сил (т. е. при получаем уравнение свободных колебаний пластинки

Наконец, полагая в уравнении получим уравнение для нахождения положения равновесия упругой пластинки, нагруженной внешними силами:

Это последнее уравнение может быть получено непосредственно из условия обращения в минимум потенциальной энергии пластинки.

Если удовлетворяет уравнению (27), то выражение для вариации действия принимает вид

В силу произвольности интервала функций и получаем, что

Это — называемые естественные граничные условия. Если граница пластинки закреплена, т. е. если на границе

то естественные граничные условия заменяются условиями (31). Если же рассматривается опертая пластинка, т. е. сама граница пластинки Неподвижна, но направление нормали к ней в точках границы может меняться, то получаем следующие граничные условия:

Следует обратить внимание на то, что выражение

которое, очевидно, представляет собой дивергенцию вектора не участвует в уравнении (27), а входит лишь

в граничные условия. В силу этого в уравнение (27) не входит и коэффициент .

Как выше было указано, применительно к пластинке, при отыскании положения равновесия той или иной системы, условие стационарности действия переходит в условие стационарности потенциальной энергии (поскольку для тела, находящегося в положении равновесия, кинетическая энергия равна нулю). При этом устойчивое положение равновесия (а только такие и могут быть реализованы физически) отвечает минимуму потенциальной энергии. В теории упругости для нахождения состояния равновесия упругого тела часто используется вместо принципа минимума потенциальной энергии принцип минимума работы деформации, называемой также принципом Кастилиано. Изложение этого принципа и доказательство эквивалентности его принципу минимума потенциальной энергии читатель может найти, например, в книге Р. Куранта и Д. Гильберта, Методы математической физики, т. I, гл. IV, § 11.