ДОПОЛНЕНИЕ I. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ И КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

Рассмотрим распространение возбуждения в некоторой среде, которую мы будем считать неоднородной и анизотропной; таким образом, скорость распространения возбуждения зависит, вообще говоря, от точки и от направления. Относительно рассматриваемого процесса мы будем предполагать следующее:

а) каждая точка может находиться лишь в одном из двух состояний: возбуждения или покоя. Таким образом, понятие интенсивности возбуждения мы не вводим;

б) каждая точка, до которой возбуждение дошло в момент времени t, сама становится, начиная с этого момента, источником дальнейшего распространения возбуждения.

Наша цель — показать, что рассмотрение такого процесса позволит получить из геометрических соображений такие основные понятия вариационного исчисления, как канонические уравнения, функцию Гамильтона, уравнение Гамильтона-Якоби и т. д. Проводимые ниже рассуждения не опираются на тот вывод этих понятий, который содержится в основном тексте книги (§§ 14, 19), и, по существу, могут его заменить.

1. Постановка задачи. Пусть среда, в которой распространяется возбуждение, представляет собой -мерное многообразие X, в котором введена некоторая система координат. Таким образом, каждая точка х из X определяется системой чисел Выбрав в X некоторую фиксированную точку, рассмотрим совокупность всевозможных гладких кривых

проходящих через эту точку. Совокупность векторов, касательных к этим кривым в данной точке, т. е. векторов

представляет собой -мерное линейное пространство, называемое касательным пространством. Мы обозначим его

Отметим, что при переходе в X к новым координатам по формулам

векторы х касательного пространства преобразуются по закону

Пусть две близкие точки, лежащие на некоторой кривой

Согласно сказанному выше, скорость распространения возбуждения в X зависит от точки и от направления, т. е. от Обозначим через величину, обратную этой скорости; тогда время за которое возбуждение пройдет из точки в точку можно представить в виде

а время, за которое возбуждение распространится вдоль некоторой конечной дуги, соединяющей точки равно

Если точка возбуждена, то время, через которое возбужденной окажется некоторая точка равно

где минимум берется по всем кривым соединяющим точки Действительно, если возбуждение, распространяясь из точки по всевозможным направлениям, уже дошло по какому-либо пути до точки то все другие соединяющие эти точки пути, по которым возбуждение распространяется за большее время, уже не играют роли. Таким образом, процесс распространения возбуждения в некоторой среде всегда подчиняется известному принципу Ферма: возбуждение распространяется из одной точки в другую всегда вдоль того соединяющего эти точки пути, который оно проходит за наименьшее время. Эти пути мы будем называть траекториями возбуждения.

Вернемся к введенной нами функции Так как время распространения возбуждения вдоль любой кривой положительно, то

Далее, время распространения возбуждения вдоль некоторой кривой, т. е. величина (6), должно зависеть только от этой кривой (а не от выбора ее параметризации). Как известно (см. гл. II § 8), это имеет место в том случае, если функция положительно однородна первой степени относительно х, т. е. если

Поскольку при изменении направления на, противоположное скорость распространения возбуждения не меняется, то

Функция удовлетворяет условию выпуклости

Действительно, пусть рассматриваемая среда однородна, т. е. зависит только от х (но не от точки х). Пусть — два вектора из возбуждение за время распространяется вдоль х и за время — вдоль Тогда оно распространится вдоль за время, не превышающее т. е.

Если же зависит от х, но эта зависимость достаточно гладкая (скажем, существуют производные то те же рассуждения показывают, что условие выпуклости будет выполняться для достаточно малых а отсюда, в силу однородности функции по оно будет выполнено и для всех

Мы будем предполагать функцию удовлетворяющей несколько более сильному, чем (11), условию строгой выпуклости, а именно знак имеет место только в том случае, когда где

Пусть имеется возбуждение, которое в момент занимает некоторую область и затем распространяется дальше. Границу зоны возбуждения мы будем называть фронтом волны. Уравнение фронта волны в момент t можно записать в виде

Задачу нашу можно теперь сформулировать следующим образом: найти уравнение, которому удовлетворяет функция описывающая фронт волны, и уравнения траекторий возбуждения.

2. Сформулируем поставленную задачу в терминах теории нормированных пространств.

В -мерном линейном пространстве введем норму, положив

Из условий (8) — (11) следует, что ) действительно обладает всеми свойствами нормы (определение нормы см. в § 2). Совокупность векторов из удовлетворяющих условию

будем называть сферой радиуса а в (с центром в точке х). Таким образом, сфера радиуса а — это та область пространства на которую распространится за время а возбуждение, в начальный момент сосредоточенное в точке

Мы можем теперь рассматриваемую задачу сформулировать так: дано -мерное многообразие X, в каждой точке х которого определено касательное пространство задана норма удовлетворяющая, кроме обычных аксиом нормы, условию строгой выпуклости. Найти уравнения, описывающие процесс возбуждения, который из каждой точки х за время распространяется по сфере

3. Рассмотрим, наряду с нормированным пространством пространство линейных функционалов на нем (определение линейного функционала см. в § 3 ). представляет собой -мерное пространство, элементами которого являются векторы называемые контраградиентными векторам из Пространство линейных функционалов на некотором линейном нормированном пространстве называется пространством, сопряженным к данному

В сопряженном пространстве норма вектора определяется следующим образом:

где берется по всем из означает т. е. значение линейного функционала в точке

Обозначим норму элемента через . Таким образом, по определению

Можно показать, что переход от функции к функции , определяемый формулой (12), представляет собой не что иное, как преобразование Лежандра (рассмотренное нами в гл. IV, § 15), но только в параметрической форме.

4. Уравнение Гамильтона — Якоби. Пусть — уравнение фронта волны в момент t. Найдем дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функция Для этого посмотрим, как происходит распространение возбуждения за некоторый малый промежуток времени Каждая точка поверхности сама служит источником возбуждения, которое за время распространится по сфере

Фронт волны в момент представляет собой огибающую этих сфер; действительно, эта огибающая отделяет точки, в которые возбуждение за время, не превышающее может дойти от какой-либо точки фронта от точек, до которых возбуждение за время дойти не успеет. Но такая «поверхность раздела» и есть фронт волны. Следовательно, эта огибающая определяется уравнением Сказанное означает, что гиперплоскость, касательная к поверхности является касательной и к некоторой сфере

с центром в точке х, принадлежащей поверхности Уравнение каждой гиперплоскости в пространстве может быть записано в виде

где

В частности, уравнение гиперплоскости, касательной к поверхности имеет вид

Если гиперплоскость (13) является в то же время касательной к сфере радиуса с центром в точке х, то постоянная С равна радиусу сферы, умноженному на норму вектора т. е. на . Таким образом, уравнение гиперплоскости, касательной к фронту волны и к сфере радиуса проходящей через точку

касания, имеет вид

Но из уравнения фронта волны имеем:

Из двух последних равенств окончательно получаем:

Мы получили уравнение, описывающее изменение фронта волны со временем. Это уравнение (16) представляет собой не что иное, как уравнение Гамильтона — Якоби, рассмотренное нами в § 19.

б. Траектории возбуждения. Выше было сказано, что возбуждение распространяется из одной точки в другую вдоль той линии, которая реализует минимум функционала

среди всех линий, соединяющих две данные точки. Поэтому дифференциальные уравнения траекторий возбуждения можно получить, например, как уравнения Эйлера для функционала (6). Мы, однако, выведем эти уравнения, опираясь лишь на следующие геометрические соображения.

Так как функция отвечающая рассматриваемому процессу, предполагается дифференцируемой и строго выпуклой, то через каждую точку сферической поверхности

проходит единственная касательная гиперплоскость, и эта гиперплоскость имеет со сферой только одну общую точку. Отсюда следует, что для двух поверхностей

представляющих собой фронт волны в близкие моменты t и можно говорить о том, в какую именно точку поверхности (б) приходит за время возбуждение из данной точки поверхности (а). Действительно, это та точка через которую

проходит гиперплоскость, касательная одновременно к поверхности (б) и к сфере радиуса с центром в точке . До остальных точек поверхности (б) возбуждение за время не успеет дойти из точки Таким образом, в каждой точке поверхности представляющей собой фронт волны в данный момент, определено некоторое направление распространения возбуждения.

Итак, направление распространения возбуждения это то направление, по которому возбуждение, идущее из данной точки поверхности достигает поверхности быстрее, чем по какому-либо другому направлению.

Пусть — траектория, по которой возбуждение проходит из точки поверхности до точки лежащей на поверхности Тогда в каждой точке направление кривой есть направление распространения возбуждения в том смысле, как это было только что определено. Действительно, вдоль той кривой, направление которой в каждой точке есть направление распространения возбуждения от данной поверхности к близкой, возбуждение проходит быстрее, чем вдоль какой-либо другой кривой.

Таким образом, фиксировав однопараметрическое семейство поверхностей и точку мы получим некоторую траекторию возбуждения. Выбирая точку произвольно, мы получим, что однопараметрическое семейство поверхностей определяет семейство траекторий возбуждения, зависящее от параметров; при этом через каждую точку пространства X проходит одна и только одна траектория из этого семейства.

Рассмотрим теперь полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби, т. е. его решение

зависящее от параметров. Этот полный интеграл определяет -параметрическое семейство поверхностей

Это семейство поверхностей определяет -параметрическое семейство траекторий возбуждения. Так как траектории возбуждения — это экстремали функционала (6), то полученный результат представляет собой геометрическую интерпретацию теоремы Якоби

о построении общего решения системы уравнений Эйлера по полному интегралу уравнения Гамильтона — Якоби.

6. Уравнения траекторий возбуждения. Выведем теперь дифференциальные уравнен траекторий распространения возбуждения. Примем за параметр вдоль каждой из таких траекторий время t. Тогда из равенства

и однородности функции по получаем:

т. е. норма вектора тождественно равна единице. Из соотношения (14) следует, что в каждой точке х вектор (касательный к траектории, вдоль которой распространяется возбуждение) связан с ковариантным вектором (определяющим гиперплоскость, касательную к фронту волны) соотношением

Для любого другого вектора , по определению нормы вектора в сопряженном пространстве, имеем:

Таким образом, выражение

рассматриваемое как функция от , достигает максимума в том случае, когда определяет гиперплоскость, касательную к фронту волны. Поэтому вдоль траектории распространения возбуждения выполнены условия

Мы получили систему обыкновенных уравнений порядка. Так как в них входит неизвестных функций то для полного описания траекторий нужно получить еще уравнений. Для получения недостающих уравнений воспользуемся тем, что поверхности, представляющие собой фронт волны в различные моменты времени, не произвольны, а удовлетворяют уравнению Гамильтона — Якоби

а значения в каждой точке траектории — это компоненты вектора, определяющего гиперплоскость, касательную к фронту волны. Поэтому вдоль каждой траектории имеем:

следовательно,

Введем теперь следующие обозначения. Если функция

рассматривается при как функция от и t, то соответствующую частную производную ее по будем обозначать символом

Если же рассматривается как функция переменных то соответствующую частную производную обозначим

Воспользовавшись уравнением Гамильтона — Якоби, мы можем равенство (18) переписать в виде

Найдем связь между значениями производных

вдоль каждой траектории. Имеем:

Так как вдоль каждой траектории то из (19) получаем:

Мы получили таким образом уравнений, которые вместе с уравнениями (17) образуют систему

интегральными кривыми которой являются линии распространения возбуждения, т. е. экстремали функционала (6). Система (20) представляет собой систему канонических уравнений для вариационной задачи (6). По отношению к уравнению Гамильтона — Якоби (16) система (20) является системой уравнений характеристик.