§ 30, Функция Вейерштрасса. Достаточные условия сильного экстремума

Определение. Пусть дан функционал

Функцией Вейерштрасса этого функционала называется следующая функция переменных:

Таким образом, функция Вейерштрасса представляет собой разность между значением функции F (рассматриваемой как функция последних аргументов) в точке w и первыми двумя членами ее разложения Тейлора с центром в точке z. Отсюда видно, что функция Вейерштрасса может быть записана в виде

т. е. как остаточный член формулы Тейлора.

При функция Вейерштрасса допускает следующую наглядногеометрическую интерпретацию: рассмотрим как функцию от z. Тогда

представляет собой расстояние (по вертикали) от кривой, изображающей функцию до касательной к этой кривой, проведенной через фиксированную точку этой кривой.

Целью данного параграфа является установление достаточных условий сильного экстремума для функционала

Напомним (см. §§ 24 и 25), что для достижения слабого экстремума достаточна следующая совокупность условий:

1) кривая является экстремалью,

2) вдоль нее матрица положительно определенна,

3) отрезок не содержит точек, сопряженных с а.

Каждый сильный экстремум является одновременно и слабым экстремумом, но, вообще, говоря, не наоборот, поэтому достаточные условия для сильного экстремума естественно искать следующим образом: «взять за основу» приведенные выше условия и затем дополнить их так, чтобы получить совокупность условий, обеспечивающих наличие не только слабого, но и сильного экстремума. Для нахождения этих дополнительных условий напомним прежде всего, что отсутствие сопряженных точек на рассматриваемой экстремали позволяет окружить эту экстремаль полем функционала (1) (следствие из теоремы 5 § 28). Далее, по этому полю

можно согласно § 29 построить инвариантный интеграл Гильберта

Сравним теперь значение рассматриваемого функционала на данной экстремали обозначим ее у, с его значением на произвольной кривой у, заданной уравнениями и удовлетворяющей граничным условиям. Воспользовавшись тем (см. конец § 29), что величину

можно представить в виде интеграла Гильберта, взятого по кривой 7:

запишем разность

следующим образом:

Экстремаль у реализует сильный минимум, если разность (4) неотрицательна для любой допустимой кривой у, достаточно близкой (в смысле метрики С) к у. Это условие будет, очевидно, выполнено, если выражение, стоящее в правой части равенства (5) под знаком интеграла, неотрицательно. Но это выражение представляет собой не что иное, как функцию Вейерштрасса

в которой вместо представлены компоненты поля вместо У—функции определяющие произвольную допустимую кривую заменены на

Поэтому экстремаль у будет давать функционалу (1) сильный минимум, если мы к условиям 1—3 присоединим следующее требование:

для любых конечных z, в каждой точке некоторой области D, в которой задано поле

Так как функция Вейерштрасса Е непрерывна по х и у, то условие (6) будет выполнено во всех точках, достаточно близких к экстремали у, если в каждой точке этой экстремали выполнено строгое неравенство

при всех конечных

Заметим одновременно, что ослабленное условие

вдоль экстремали у необходимо для того, чтобы эта экстремаль у

давала функционалу (1) сильный минимум. Действительно, если в какой-либо точке экстремума у выполнено противоположное неравенство

то у, z, отрицательно и в некоторой окрестности этой точки. А тогда уже приведенная выкладка (5) приводит нас к тому, что кривую 7 можно в этой окрестности изменить так, чтобы полученная из у в результате этого изменения кривая у удовлетворяла условию

Это означает, что на кривой у минимум не достигается.

Итак, к установленным ранее необходимым условиям экстремума (как сильного; так и слабого), перечисленным в § 24, мы сейчас можем добавить еще следующее необходимое условие сильного экстремума (условие Вейерштрасса).

Если экстремаль у доставляет функционалу

сильный экстремум, то вдоль нее (т. е. при ), при любых z функция Вейерштрасса

неотрицательна.

Вернемся теперь к достаточным условиям сильного экстремума и сформулируем окончательный результат.

Теорема. Кривая доставляет функционалу

сильный минимум, если

1) эта кривая является экстремалью,

2) матрица

положительно определенна при

3) отрезок не содержит точек, сопряженных с а,

4) вдоль экстремали выполнено неравенство

при любых конечных

Действительно, из условий 2) и 3) следует, что экстремаль можно окружить полем и, следовательно, построить интеграл Гильберта. Как уже было сказано выше, условие 4) гарантирует неотрицательность выражения, стоящего в равенстве (5) справа под знаком интеграла в некоторой области, окружающей рассматриваемую экстремаль, а это и обеспечивает сильный минимум функционала.

Так как, согласно сказанному выше, функция Вейерштрасса может быть записана в виде

то условие 4) вытекает из следующего, более грубого условия:

4) матрица

для любых конечных z положительно определенна в некоторой области, содержащей экстремаль

Ясно, что это последнее условие влечет за собой не только условие 4), но и 2).

В случае условие 4) означает, что

при всех z и при принадлежащих некоторой области, которая содержит рассматриваемую экстремаль, т. е. выпуклость как функции от