§ 24. Достаточные условия слабого экстремума

В этом параграфе мы сформулируем систему условий, достаточных для того, чтобы допустимая кривая у = у(х) реализовала слабый экстремум функционала

Эта совокупность условий состоит в следующем:

1. является экстремалью, т. е. удовлетворяет уравнению Эйлера

2. Вдоль этой кривой

(усиленное условие Лежандра).

3. Отрезок не содержит точек, сопряженных с точкой х (усиленное условие Якоби)

Теорема. Если допустимая кривая функционал

удовлетворяет условиям 1—3, то эта кривая реализует слабый минимум данного функционала.

Доказательство. Если отрезок не содержит точек, сопряженных с а, и если на нем то, в силу непрерывности решения уравнения Якоби и функции можно указать такой больший отрезок , который также не содержит точек, сопряженных с а, и на котором

Рассмотрим квадратичный функционал

и соответствующее ему уравнение

Так как функция на отрезке положительна и, следовательно, имеет на этом отрезке положительную нижнюю грань и так как решение уравнения (3), определяемое начальными условиями непрерывно зависит от параметра а, то при всех достаточно малых значениях а будем иметь:

2) Решение уравнения (3), определяемое начальными условиями не обращается в нуль на полусегменте

Как было показано в § 22 (см. теорему 1), из этих двух условий следует, что квадратичный функционал (2) положительно определен при всех достаточно малых а. Иначе говоря, существует такое постоянное число что

Из этого неравенства уже легко следует, что на рассматриваемой экстремали минимум действительно достигается. В самом деле, если — данная экстремаль и — достаточно близкая к ней кривая, то по формуле (6) § 21

где стремятся к нулю, равномерно на отрезке при Далее, в силу неравенства Коши — Буняковского

    (6)

т. е.

Поэтому, если , то

Так как можно взять сколь угодно малым, если достаточно мала, то в силу (4) и (8) получим

при всех достаточно малых . Таким образом, экстремаль действительно реализует слабый минимум (в некоторой достаточно малой окрестности этой кривой) функционала (1). Теорема доказана.

Итак, мы установили достаточные условия слабого экстремума в случае простейшей задачи вариационного исчисления.