§ 4. Простейшая задача вариационного исчисления. Уравнение Эйлера

1. Изучение конкретных задач вариационного исчисления мы начнем с так называемой простейшей задачи, которая формулируется следующим образом. Пусть — функция, имеющая непрерывные частные производные по всем переменным до второго порядка включительно. Среди всех функций имеющих непрерывную производную и удовлетворяющих условиям

найти ту функцию, которая доставляет слабый экстремум функционалу

Иначе говоря, простейшая задача вариационного исчисления состоит в отыскании слабого экстремума функционала вида (2) на множестве всех гладких кривых, соединяющих две заданные точки.

Упомянутые во введении примеры 1 и 2 вариационных задач (о нахождении кратчайшей линии и о брахистохроне) принадлежат как раз к этому типу.

Чтобы применить к решению сформулированной простейшей задачи необходимое условие экстремума, найденное в предыдущем параграфе, нужно уметь вычислять вариацию для функционалов вида (2). Выведем соответствующую формулу.

Дадим функции у(х) некоторое приращение Для того чтобы функция

по-прежнему удовлетворяла граничным условиям, нужно, чтобы

Вычислим приращение функционала (2). Оно равно

где многоточие обозначает члены порядка выше первого относительно А и А. Выражение

представляет собой главную линейную часть приращения функционала У, т. е. дифференциал.

Согласно теореме § 3 необходимым условием экстремума является равенство

Но в силу леммы 2 § 3 из равенства (3) вытекает, что

Выражение (4) называется уравнением Эйлера.

Таким образом, установлена следующая Теорема 1. Для того чтобы функционал

определенный на множестве функций имеющих

непрерывную первую производную и удовлетворяющих условиям , достигал на данной функции экстремума, необходимо, чтобы эта функция удовлетворяла уравнению Эйлера

Интегральные кривые уравнения Эйлера называются экстремалями.

Уравнение Эйлера представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка. Его решение должно зависеть, вообще говоря, от двух произвольных постоянных, которые определяются из двух краевых условий

Отметим, что при решении уравнения Эйлера мы, в отличие от обычной для дифференциальных уравнений постановки вопроса, где ищется решение, определенное в окрестности некоторой точки и удовлетворяющее заданным начальным условиям (задачи Коши), ищем решение, определенное во всей фиксированной области и удовлетворяющее заданным граничным условиям. Поэтому вопрос о разрешимости той или иной вариационной задачи не сводится непосредственно к обычным теоремам существования для дифференциальных уравнений.

Приведем следующую теорему С. Н. Бернштейна о существовании и единственности решения в целом для уравнения вида

Если функции непрерывны в каждой конечной точке для любого конечного у и если существует такая постоянная и такие, ограниченные в каждой конечной части плоскости функции

что

то через любые две точки плоскости абсциссы которых различны (), проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения

Мы не будем приводить здесь доказательства этой теоремы.

Уравнение (4) дает необходимое, но, вообще говоря, недостаточное условие экстремума. Вопрос о достаточных условиях экстремума будет рассмотрен в гл. V. В ряде случаев, однако, уже одно уравнение

Эйлера дает исчерпывающее решение задачи. Действительно, часто само существование экстремума бывает ясно из физического или геометрического смысла задачи (например, задачи о брахистохроне, о кратчайшем расстоянии между двумя точками и т. п.). Если при этом существует лишь единственная экстремаль, удовлетворяющая граничным условиям задачи, то именно она и будет непременно той кривой, которая реализует искомый экстремум.

Уравнение Эйлера для функционала представляет собой уравнение второго порядка. Может оказаться, однако, что та кривая, на которой этот функционал достигает экстремума, является дважды дифференцируемой. Рассмотрим, например, функционал

Его минимальное значение, равное нулю, достигается на функции

не имеющей второй производной. Хотя функция и не имеет второй производной, она удовлетворяет соответствующему уравнению Эйлера. Действительно, при имеем

и, следовательно, и хотя уравнение Эйлера имеет порядок два, не существует, подстановка в уравнение Эйлера обращает его в тождество.

Выясним теперь условия, при, которых можно гарантировать существование второй производной у функции представляющей собой решение уравнения Эйлера.

Теорема 2. Пусть — решение уравнения Эйлера Если функция имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно, то во всех точках в которых

функция у = у(х) имеет непрерывную вторую производную. Доказательство. Рассмотрим разность

где знак указывает, что производные берутся в некоторой промежуточной точке.

Разделив эту разность на рассмотрим предел полученного выражения при (этот предел существует, так как имеет производную по х, в силу уравнения Эйлера она равна ).

Так как вторые производные функции по условию непрерывны, то при стремится к т. е. к значению производной в точке

Второе слагаемое, т. е. при также имеет предел. Это вытекает из существования у и непрерывности второй производной РУУ. Но тогда существует предел и третьего слагаемого (так как предел всей суммы существует), т. е. существует

Если то стремится к пределу , и значит, существует

Из уравнения

можно найти выражение для из которого видно, что у" непрерывна всюду, где . Теорема доказана.

Из этой теоремы вытекает, что экстремаль может иметь излом только в тех точках, где

2. Уравнение Эйлера, выведенное нами в этом параграфе, играет фундаментальную роль во всем вариационном исчислении. Оно представляет собой, вообще говоря, дифференциальное уравнение второго порядка. Укажем некоторые частные случаи, в которых это уравнение может быть сведено к уравнению первого порядка или даже полностью проинтегрировано в квадратурах.

1. Подынтегральная функция не зависит от у. Предположим, что рассматриваемый функционал имеет вид

т. е. F не содержит у явно. В этом случае уравнение Эйлера принимает вид

и имеет, очевидно, первый интеграл

Это — уравнение первого порядка, не содержащее у. Решив его относительно у, получаем соотношение вида

откуда у находится квадратурой.

2. Подынтегральная функция не зависит от х, т. е.

В этом случае

Умножив это выражение на у, получим выражение, которое можно записать в виде

откуда получаем, что в рассматриваемом случае уравнение Эйлера имеет первый интеграл

3. Если F не зависит от у, то уравнение Эйлера принимает вид

т. е. представляет собой не дифференциальное, а конечное уравнение, определяющее одну или несколько кривых.

4. В различных задачах часто встречаются функционалы вида

представляющие собой интеграл от некоторой функции взятый по длине дуги. В этом случае уравнение Эйлера может быть

преобразовано следующим образом:

т. е.

Примеры. 1. Подынтегральная функция не содержит у, поэтому уравнение Эйлера имеет вид

откуда

и следовательно,

Таким образом, решение представляет собой окружность с центром на оси у. Из условий получаем, что Итак, окончательное решение

2. Среди линий, соединяющих две данные точки найти ту, которая при вращении образует поверхность наименьшей площади. Как известно, площадь поверхности вращения равна

Так как здесь подынтегральная функция не зависит явно от то можно сразу написать первый интеграл уравнения Эйлера, это будет:

или

откуда

Разделяя переменные, получаем

т. е.

откуда

Таким образом, искомой кривой является цепная линия, проходящая через заданные точки. Поверхность, образованная вращением цепной линии, называется катеноидом. Значения произвольных постоянных С и определяются из условий

Можно показать, что в зависимости от положения точек здесь возможны следующие случаи:

1) Через точки можно провести единственную кривую вида

тогда эта кривая и является решением задачи.

2) Через точки проходят две экстремали. В этом случае одна из них действительно реализует минимум поверхности вращения, а другая нет.

3) Не существует ни одной кривой вида

проходящей через заданные точки Это означает, что в классе гладких поверхностей вращения, проходящих через данные точки, нет поверхности, реализующей минимум площади. Этот случай можно представить себе следующим образом. Если две заданные точки расположены так, что расстояние между ними достаточно

велико по сравнению с расстояниями их от оси х, то площадь поверхности, состоящей из двух кругов радиусов и соединяющего их центры отрезка оси х (рис. 2), будет меньше, чем площадь любой гладкой поверхности вращения, проходящей через заданные точки. Таким образом, в этом случае решением задачи о минимуме площади является ломаная а в классе поверхностей, образованных вращением гладких кривых, проходящих через заданные точки поверхности, имеющей наименьшую площадь, не существует.

Рис. 2.

3. Рассмотрим функционал

Здесь уравнение Эйлера сводится к конечному уравнению; его решение — прямая (вдоль нее интеграл (5) равен нулю).