§ 12. Задача с подвижными концами

В простейшей задаче, которой мы в основном до сих пор занимались в качестве граничных условий, определяющих класс допустимых кривых, берутся условия закрепления концов. Сейчас мы рассмотрим задачу иного типа. Чтобы не усложнять дело, ограничимся случаем одной неизвестной функции.

Пусть дан функционал

определенный на гладких кривых, концы которых лежат на двух фиксированных линиях Требуется найти экстремум такого функционала.

Примером подобной задачи может служить нахождение расстояния между двумя линиями.

Воспользуемся тем выражением вариации, которое было получено нами в предыдущем параграфе. При оно имеет вид

Если некоторая кривая дает экстремум рассматриваемому функционалу среди всех допустимых кривых, то она тем более будет давать экстремум и по отношению ко всем кривым, имеющим те же концевые точки. Следовательно, эта кривая должна быть экстремалью, т. е. удовлетворять уравнению Эйлера. Поэтому в выражении (2) первый член обращается в нуль, и мы получаем

Так как (рис. 5)

где — бесконечно малые величины порядка выше первого, то окончательно условие экстремума можно переписать так:

Так как — независимые приращения, то отсюда получаем

Эти граничные условия называются условиями трансверсальности.

Про кривую удовлетворяющую этим условиям, говорят, что она трансверсальна кривым

Рис. 5.

Итак, для решения вариационной задачи с подвижными концами нужно сперва написать и решить соответствующее уравнение Эйлера, а затем найти значения входящих в его общее решение двух произвольных постоянных из условий трансверсальности. В вариационных задачах часто встречаются функционалы вида

Для них условия трансверсальности выглядят особенно просто. Действительно, в этом случае

и следовательно, условие трансверсальности принимает вид

откуда

аналогично на втором конце

т. е. для функционалов вида (4) трансверсальность сводится к ортогональности.

Можно рассматривать задачу с подвижными концами и для функционалов, зависящих от нескольких функций, например, в случае двух функций эту задачу можно сформулировать так:

Среди всевозможных кривых, концы которых лежат на двух фиксированных поверхностях найти ту,

которая дает экстремум функционалу

Воспользовавшись общей формулой для вариации (8) (при и проводя те же самые рассуждения, что и в случае одной неизвестной функции, получаем, что функции определяющие искомую кривую, опять-таки должны удовлетворять уравнениям Эйлера

а в концевых точках должны выполняться условия

которые также называются условиями трансверсальности.