Вариационное исчисление
ОглавлениеПРЕДИСЛОВИЕГЛАВА I. ФУНКЦИОНАЛЫ. ПРОСТЕЙШАЯ ЗАДАЧА ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ § 2. Функциональные пространства § 3. Дифференциал функционала Необходимое условие экстремума § 4. Простейшая задача вариационного исчисления. Уравнение Эйлера § 5. Случай нескольких переменных. Задача со свободными концами § 6. Вариационная производная. Инвариантность уравнения Эйлера ГЛАВА II. НЕКОТОРЫЕ ОБОБЩЕНИЯ ПРОСТЕЙШЕЙ ЗАДАЧИ. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ § 7. Задача с закрепленными концами в случае n неизвестных функций § 8. Вариационные задачи в параметрической форме § 9. Функционалы, зависящие от производных высших порядков § 10. Изопериметрическая задача. Условный экстремум ГЛАВА III. ОСНОВНАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ ВАРИАЦИИ ФУНКЦИОНАЛА. ЗАДАЧИ С ПОДВИЖНЫМИ КОНЦАМИ § 11. Основная формула для вариации функционала § 12. Задача с подвижными концами § 13. Случай не гладких экстремалей. Условия Вейерштрасса — Эрдмана ГЛАВА IV. КАНОНИЧЕСКИЙ ВИД УРАВНЕНИЙ ЭЙЛЕРА. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ. УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА - ЯКОБИ § 14. Канонический вид уравнений Эйлера. Первые интегралы § 15. Преобразование Лежандра. Канонические преобразования § 16. Связь между инвариантностью интеграла ... и первыми интегралами уравнений Эйлера (теорема Нетер) § 17. Принцип наименьшего действия § 18. Законы сохранения § 19. Уравнение Гамильтона — Якоби. Теорема Якоби ГЛАВА V. ВТОРАЯ ВАРИАЦИЯ. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СЛАБОГО ЭКСТРЕМУМА § 20. Квадратичные функционалы. Вторая вариация функционала § 21. Формула для второй вариации. Условие Лежандра § 22. Исследование квадратичного функционала § 23. Сопряженные точки. Необходимое условие Якоби § 24. Достаточные условия слабого экстремума § 25. Условия Якоби для функционалов, зависящих от нескольких функций § 26. Связь условий Якоби с теорией квадратичных форм в конечномерном пространстве ГЛАВА VI. ТЕОРИЯ ПОЛЯ. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СИЛЬНОГО ЭКСТРЕМУМА § 27. Согласованные граничные условия. Общее определение поля § 28. Поле функционала § 29. Инвариантный интеграл Гильберта § 30, Функция Вейерштрасса. Достаточные условия сильного экстремума ГЛАВА VII. ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ § 31. Основная формула для вариации функционала в случае фиксированной области § 32. Вариационный вывод уравнений колебаний струны, мембраны и пластинки § 33. Основная формула для вариации в случае переменной области. Теорема Нетер § 34. Принцип стационарного действия для полей. Законы сохранения § 35. Примеры: уравнение Клейна — Гордона и уравнения Максвелла ГЛАВА VIII. ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ. ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ В ЗАДАЧЕ ШТУРМА — ЛИУВИЛЛЯ § 38. Понятие о прямых методах вариационного исчисления § 37. Метод Ритца и метод ломаных § 38. Собственные функции и собственные значения краевой задачи Штурма — Лиувилля ДОПОЛНЕНИЕ I. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ И КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДОПОЛНЕНИЕ II. ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ В ЗАДАЧАХ ОБ ОПТИМАЛЬНОМ РЕГУЛИРОВАНИИ |
