Вариационное исчисление

Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление, 1961 г. - 228 с.

В основу этого популярного курса положены лекции, читавшиеся И. М. Гельфандом на механико-математическом факультете МГУ. Однако содержание книги значительно выходит за рамки материала, фактически излагавшегося на лекциях. Авторы ставили своей целью изложить основы вариационного исчисления в доступной и в то же время достаточно современной форме. Значительное внимание в книге уделено физическим применениям вариационных методов — каноническим уравнениям, вариационным принципам механики, законам сохранения и т. д.

ПРЕДИСЛОВИЕ
ГЛАВА I. ФУНКЦИОНАЛЫ. ПРОСТЕЙШАЯ ЗАДАЧА ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
§ 2. Функциональные пространства
§ 3. Дифференциал функционала Необходимое условие экстремума
§ 4. Простейшая задача вариационного исчисления. Уравнение Эйлера
§ 5. Случай нескольких переменных. Задача со свободными концами
§ 6. Вариационная производная. Инвариантность уравнения Эйлера
ГЛАВА II. НЕКОТОРЫЕ ОБОБЩЕНИЯ ПРОСТЕЙШЕЙ ЗАДАЧИ. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ
§ 7. Задача с закрепленными концами в случае n неизвестных функций
§ 8. Вариационные задачи в параметрической форме
§ 9. Функционалы, зависящие от производных высших порядков
§ 10. Изопериметрическая задача. Условный экстремум
ГЛАВА III. ОСНОВНАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ ВАРИАЦИИ ФУНКЦИОНАЛА. ЗАДАЧИ С ПОДВИЖНЫМИ КОНЦАМИ
§ 11. Основная формула для вариации функционала
§ 12. Задача с подвижными концами
§ 13. Случай не гладких экстремалей. Условия Вейерштрасса — Эрдмана
ГЛАВА IV. КАНОНИЧЕСКИЙ ВИД УРАВНЕНИЙ ЭЙЛЕРА. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ. УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА – ЯКОБИ
§ 14. Канонический вид уравнений Эйлера. Первые интегралы
§ 15. Преобразование Лежандра. Канонические преобразования
§ 16. Связь между инвариантностью интеграла … и первыми интегралами уравнений Эйлера (теорема Нетер)
§ 17. Принцип наименьшего действия
§ 18. Законы сохранения
§ 19. Уравнение Гамильтона — Якоби. Теорема Якоби
ГЛАВА V. ВТОРАЯ ВАРИАЦИЯ. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СЛАБОГО ЭКСТРЕМУМА
§ 20. Квадратичные функционалы. Вторая вариация функционала
§ 21. Формула для второй вариации. Условие Лежандра
§ 22. Исследование квадратичного функционала
§ 23. Сопряженные точки. Необходимое условие Якоби
§ 24. Достаточные условия слабого экстремума
§ 25. Условия Якоби для функционалов, зависящих от нескольких функций
§ 26. Связь условий Якоби с теорией квадратичных форм в конечномерном пространстве
ГЛАВА VI. ТЕОРИЯ ПОЛЯ. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СИЛЬНОГО ЭКСТРЕМУМА
§ 27. Согласованные граничные условия. Общее определение поля
§ 28. Поле функционала
§ 29. Инвариантный интеграл Гильберта
§ 30, Функция Вейерштрасса. Достаточные условия сильного экстремума
ГЛАВА VII. ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
§ 31. Основная формула для вариации функционала в случае фиксированной области
§ 32. Вариационный вывод уравнений колебаний струны, мембраны и пластинки
§ 33. Основная формула для вариации в случае переменной области. Теорема Нетер
§ 34. Принцип стационарного действия для полей. Законы сохранения
§ 35. Примеры: уравнение Клейна — Гордона и уравнения Максвелла
ГЛАВА VIII. ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ. ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ В ЗАДАЧЕ ШТУРМА — ЛИУВИЛЛЯ
§ 38. Понятие о прямых методах вариационного исчисления
§ 37. Метод Ритца и метод ломаных
§ 38. Собственные функции и собственные значения краевой задачи Штурма — Лиувилля
ДОПОЛНЕНИЕ I. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ И КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
ДОПОЛНЕНИЕ II. ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ В ЗАДАЧАХ ОБ ОПТИМАЛЬНОМ РЕГУЛИРОВАНИИ

Вариационное исчисление

Оглавление