§ 13. Случай не гладких экстремалей. Условия Вейерштрасса — Эрдмана

В § 4 мы показали (теорема 2), что экстремаль функционала

является дважды непрерывно дифференцируемой функцией, если производная

не обращается в нуль. Существуют, однако, вариационные задачи, в которых экстремум достигается на кривой, являющейся лишь кусочно-гладкой. Примером таких задач может служить рассмотренная нами в § 4 задача о нахождении кривой, проходящей через две заданные точки у и образующей при своем вращении вокруг оси х поверхность возможно меньшей площади.

Действительно, как уже указывалось в § 4, если две заданные точки расположены так, что достаточно малы по сравнению о, то кривая, представляющая собой решение этой задачи, состоит из отрезка на оси х и двух вертикальных отрезков.

Итак, рассмотрим задачу о нахождении экстремума функционала (1), считая, что допустимые кривые удовлетворяют граничным условиям

и могут иметь излом в некоторой точке с (В силу упоминавшейся выше теоремы 2 § 4 излом возможен лишь там, где ).

На каждом из отрезков та кривая, на которой функционал

достигает экстремума, удовлетворяет уравнению Эйлера

Представим рассматриваемый функционал в виде суммы двух функционалов

и вычислим вариацию для каждого из этих двух функционалов в отдельности. На каждом из отрезков граничные условия состоят в том, что один конец допустимой кривой закреплен, а другой свободен. Поэтому, принимая во внимание уравнение Эйлера, получаем с помощью формулы (3) § 12, что

Если имеет место экстремум, то

т. е.

откуда в силу произвольности получаем

На каждом из двух отрезков экстремаль должна удовлетворять уравнению Эйлера, т. е. дифференциальному уравнению второго порядка. При решении этих двух уравнений получаются четыре произвольные постоянные, которые находятся из граничных условий

и условий в точке излома, называемых условиями Вейерштрасса — Эрдмана.

Эти условия выглядят особенно просто, если воспользоваться введенными в § 11 каноническими переменными Действительно, условия Вейерштрасса — Эрдмана просто означают, что канонические переменные должны быть в точке излома непрерывны.

Условия Вейерштрасса — Эрдмана которым должна удовлетворять экстремаль в точке излома, допускает следующую геометрическую интерпретацию.

Фиксируем х и у и будем на одной из координатных осей откладывать значения у, а на другой — значения Мы получим некоторую кривую, изображающую как функцию от у. Тогда первое из условий означает, что касательные к этой кривой в точках параллельны между собой, а второе из этих условий, которое можно переписать в виде

означает, что эти две касательные не только параллельны, но даже совпадают.

Одновременно здесь получается и наглядная интерпретация условия , исключающего возможность излома экстремали. Действительно, если, например, функция F такова, что то экстремаль не может иметь излома, так как при этом условии кривая, изображающая зависимость F от выпукла и касательные к ней, проведенные в двух разных точках, не могут совпадать (ср. с теоремой 2 § 4).

Задача. Найти кривую, проходящую через точки и дающую минимум функционалу