§ 10. Изопериметрическая задача. Условный экстремум

1. В простейшей задаче вариационного исчисления, которую мы рассматривали в гл. I, класс допустимых линий, помимо тех или иных требований гладкости, определялся условиями, задаваемыми на концах этих линий. Однако ряд приложений вариационного исчисления приводит к задачам, в которых на допустимые кривые, кроме граничных условий, накладываются условия совсем иного типа. Рассмотрим в качестве примера так называемую изопериметрическую задачу. Эта задача формулируется следующим образом.

Среди всех кривых, удовлетворяющих условиям на которых функционал

принимает заданное значение найти ту, для которой другой функционал

достигает экстремума

При решении этой задачи мы предположим, что функции О и F, определяющие функционалы (1) и (2), имеют непрерывные производные первого и второго порядков при и при произвольных значениях . Кроме того, мы предположим, что искомая кривая не является экстремалью функционала (1). Решение поставленной задачи дает следующая

Теорема 1. Если кривая дает экстремум интегралу

удовлетворяет условиям

и не является экстремалью функционала (1), то существует такая постоянная X, что эта кривая ) является эктремалъю функционала

Доказательство. Пусть кривая дает экстремум функционалу при условии, что Возьмем в интервале [а, b] две произвольные точки и придадим приращение отличное от нуля лишь в окрестностях этих точек. Соответствующее приращение функционала J можно представить в виде

где

Потребуем теперь, чтобы провариированная кривая

удовлетворяла условию

можно представить в виде, аналогичном (3). Таким образом, получаем

где при Выберем теперь точку так, что

Такая точка существует, так как по условию не является экстремалью функционала К. При таком выборе точки условию (4) можно придать вид

где

Положив

и подставив в формулу (3) для вместо выражение (5), получим

Первое слагаемое справа представляет собой главную линейную относительно часть , т. е. вариацию функционала J. Так как равенство вариации нулю есть необходимое условие экстремума и так как отлично от нуля, то

что и требовалось доказать.

Полученный результат используется при решении той или иной изопериметрической задачи следующим образом. Составив дифференциальное уравнение (7), находим его общее решение, которое будет содержать параметр X и еще две произвольные постоянные. Эти три величины определяются из граничных условий и условия

Все сказанное выше непосредственно обобщается на случай функционалов, зависящих от нескольких функций и нескольких связей вида (1). Именно пусть, ищется экстремум функционала

при условиях

и

В этом случае необходимым условием экстремума будет

произвольных постоянных, входящих в решение этой системы, и значения k параметров определяются из граничных условий (9) и условий (10). Доказательство для этого общего случая по существу не отличается от изложенного выше, и мы не будем его приводить.

2. В изопериметрической задаче дополнительные условия, которым должны удовлетворять функции имеют вид (10), т. е. задаются с помощью функционалов. Сейчас мы рассмотрим задачу несколько иного типа, а именно:

Найти экстремум функционала

причем допустимые функции удовлетворяют граничным условиям

и k условиям связи вида

Иначе говоря, функционал (8) рассматривается здесь не на всех кривых, удовлетворяющих граничным условиям (9), а только на тех из них, которые лежат на некотором -мерном многообразии.

Эта вариационная задача называется задачей Лагранжа, или задачей на условный экстремум.

Ограничимся для простоты записи случаем т. е. будем искать экстремум функционала

на пространственных кривых

принадлежащих фиксированной поверхности

Решение этой задачи дается следующей теоремой.

Теорема 2. Если кривая

дает условный экстремум функционалу (13) в классе кривых, лежащих на поверхности

причем ни в одной ее точке не обращаются в нуль одновременно, то существует такая функция что кривая (15) является экстремалью функционала

т. е. удовлетворяет дифференциальным уравнениям

Доказательство. Пусть

— кривая, реализующая экстремум функционала (13) при указанных условиях, а близкая к ней допустимая кривая Пусть, далее, функции

отличны от нуля лишь в малой окрестности некоторой точки лежащей между а и b. Положим

Так как — допустимая кривая, то

где — величина выше первого порядка малости по сравнению

Предположим, что из коэффициентов при хотя бы один, например отличен от нуля. Тогда

Воспользовавшись равенством (18), мы можем представить приращение

функционала в виде

— величины порядка выше первого относительно Для того чтобы имел место экстремум, необходимо, чтобы главная линейная часть этого приращения равнялась нулю. Таким образом получаем

или

Вдоль рассматриваемой кривой общее значение отношений (19) есть некоторая функция от Обозначив ее ), мы и приходим к уравнениям (17). Теорема доказана.

Замечание 1. Отметим без доказательства, что установленная выше теорема остается в силе и в том случае, когда за допустимые линии принимаются гладкие пространственные кривые, удовлетворяющие дифференциальному уравнению

Точнее говоря, если кривая дает экстремум функционалу J при условии (20) и если вдоль производные не обращаются в нуль одновременно, то существует такая функция ), что является интегральной кривой системы

где

Замечание 2. Задачу Лагранжа можно рассматривать в некотором смысле как предельный случай изопериметрической задачи. Действительно, если мы предположим, что условие (14) выполняется не всюду, а лишь в некоторой фиксированной точке

то мы получим условие, левую часть которого можно рассматривать как функционал от , т. е. условие того типа, который участвует в изопериметрической задаче. Таким образом, условие (14) можно рассматривать как совокупность бесконечного множества условий типа функционала. В изопериметрической задаче, как мы видели, число множителей Лагранжа равно числу условий связи. В задаче Лагранжа, в соответствии с только что сказанным, появляется функция , т. е. свой множитель X в каждой точке

Примеры 1. Найти кривую в верхней полуплоскости, проходящую через точки имеющую заданную длину и охватывающую вместе с отрезком максимальную площадь.

Решение. Мы ищем функцию для которой

а интеграл принимает максимальное значение. Мы имеем, таким образом, изопериметрическую задачу. В соответствии с изложенным выше составляем функционал

и пишем для него уравнение Эйлера

отсюда находим

Интегрируя, получаем уравнение семейства окружностей. Значения и X определяются из условий и условия

2. Из всех кривых, лежащих на поверхности и проходящих через две заданные точки найти ту, которая имеет наименьшую длину.

Решение. Длина кривой записывается интегралом

Составляем вспомогательный функционал

и пишем соответствующие уравнения Эйлера

Решая эти уравнения, мы получим семейство линий, зависящее от четырех постоянных, значения которых определяются из граничных условий

Замечание 3. Задачу на нахождение условного экстремума функции нескольких переменных можно, как известно, свести к задаче на безусловный экстремум, выразив переменные, на которые наложены связи, через соответствующее число независимых переменных. Аналогичным образом обстоит дело и в вариационных задачах. Например, задачу о нахождении геодезических на некоторой поверхности можно рассматривать как задачу на условный экстремум (пример 2), но можно, представив координаты х, у, z как функции двух параметров, свести эту задачу к отысканию безусловного экстремума (см. конец § 7).