§ 29. Инвариантный интеграл Гильберта

Пусть G — некоторая односвязная область в -мерном пространстве переменных и пусть в G определено поле

функционала

Как было показано в предыдущем параграфе, поле направлений (1) представляет собой поле функционала (2) в том и только том случае, если функции удовлетворяют условиям самосопряженности

и согласованности

Условия (3) и (4) в совокупности означают, что величина

представляет собой полный дифференциал некоторой функции

Как известно из анализа, эта функция (определенная с точностью до постоянного слагаемого) может быть записана с помощью криволинейного интеграла

взятого вдоль кривой С, идущей из некоторой фиксированной точки в точку Так как под знаком интеграла в (5) стоит полный дифференциал, то выбор кривой С не играет роли: значение интеграла зависит только от точек а не от выбора кривой С. Этот интеграл (5) называется инвариантным интегралом Гильберта.

С помощью уравнений поля

и функции F, определяющей функционал (1), интеграл Гильберта можно записать следующим образом:

Итак, окончательно: инвариантным интегралом Гильберта (отвечающим данному полю) называется выражение (6), где — функции, определяющие поле функционала.

Если кривая С, по которой берется интеграл, является одной из траекторий поля, то вдоль нее

и интеграл (6) сводится к интегралу

взятому вдоль этой траектории.

Подчеркнем следующее, важное для дальнейшего обстоятельство. Если у — некоторая экстремаль, являющаяся одной из траекторий поля, то интеграл Гильберта позволяет значение функционала (2) для этой экстремали записать в виде интеграла, который можно брать по любой кривой, соединяющей концы экстремали у.