§ 25. Условия Якоби для функционалов, зависящих от нескольких функций

Понятие сопряженной точки и связанные с ним условия Якоби могут быть обобщены на тот случай, когда рассматривается функционал, зависящий от нескольких функций.

В этом параграфе мы изложим применительно к функционалам, зависящим от нескольких функций, те определения и факты, которые в предыдущих параграфах этой главы были изложены для функционалов от одной функции. Здесь мы будем широко пользоваться векторными обозначениями, в частности, рассматриваемый функционал будем записывать в виде

понимая под у вектор

В тех случаях, когда переход от одной функции к нескольким не связан с какими-либо затруднениями, мы не останавливаемся на подробностях.

Вторая вариация функционала. Условие Лежандра. Если приращение функционала (1), отвечающее переходу от у к можно записать в виде

где при — линейный функционал, а — квадратичный, то квадратичный функционал называется второй вариацией исходного функционала (1) и обозначается

представляет собой при этом, очевидно, первую вариацию функционала (1)).

Применив формулу Тейлора, легко получаем, что при

(т. е. в случае закрепленных концов) вторая вариация функционала (1) имеет вид

Полагая

и рассматривая матрицы составленные из производных как линейные операторы, мы можем переписать выражение (3) в следующей компактной форме:

Интегрируя по частям приведем выражение второй вариации функционала (1) к виду

где

Как и в случае одной неизвестной функции, легко проверить, что в квадратичном функционале

    (4)

«основной вклад» дает член точнее говоря, верна следующая теорема: для того чтобы квадратичный функционал (4) принимал неотрицательные значения для всех ) таких, что

необходимо, чтобы квадратичная форма

не принимала отрицательных значений.

Условие Якоби. Напишем теперь для квадратичного функционала (4) систему уравнений Эйлера

или, в сокращенных обозначениях,

Здесь — элементы матриц Н и Q соответственно. Систему (5) уравнений Эйлера для квадратичного функционала, представляющего собой вторую вариацию функционала (1), назовем системой Якоби этого исходного функционала.

Определение 1. Пусть

— решения системы (5), удовлетворяющие соответственно начальным условиям

(т. е. образуют строки нулевой, — единичной матриц). Точка х называется сопряженной с точкой если в ней обращается в нуль детерминант

Справедлива следующая

Теорема 1. Если отрезок не содержит точек, сопряженных с а, и матрица Р положительно определенна, то квадратичный функционал (4) положительно определен.

Доказательство этой теоремы проводится по тому же плану, что и доказательство теоремы 1 § 22. Пусть W — произвольная

дифференцируемая матрица, удовлетворяющая условию самосопряженности

Тогда

для всякого h, удовлетворяющего граничным условиям (7а). Поэтому мы можем к выражению, стоящему под знаком интеграла (4), прибавить

не изменив значения этого интеграла. При этом получим

Постараемся теперь подобрать матрицу W так, чтобы выражение, стоящее в (9) под знаком интеграла, стало полным квадратом. Для этого достаточно потребовать, чтобы матрица W удовлетворяла следующему уравнению:

которое мы назовем «матричным уравнением Риккати». Действительно, при этом подынтегральное выражение в (9) приводится к виду

т. е.

(так как Р — положительно определенная симметричная матрица, то существует, является симметричной и положительно определенной и имеет обратную матрицу ). Повторив рассуждения, проведенные в случае скалярной функции (стр. 106), можно показать, что

не может быть равно нулю при всех если только Поэтому функционал (9), а значит и (4), принимающий те же значения, что и (9), положительно определенный.

Наконец, если отрезок не содержит точек, сопряженных с а, то в матричном уравнении Риккати (10) можно сделать замену, положив

Получим

Это — матричная форма системы Якоби. Решение уравнения (12), удовлетворяющее начальным условиям

и есть система (6) решений уравнений (5) с начальными условиями (7). Если нет сопряженных точек, т. е. детерминант (8) не обращается в нуль на отрезке , то по формуле (11) находится матрица W, с помощью которой выражение, стоящее под знаком интеграла в функционале (4), приводится к сумме квадратов. Это означает положительную определенность функционала (4). Теорема доказана.

Теорема 2. Если квадратичный функционал

где P — положительно определенная симметричная матрица, положительно определен для всех таких, что

то отрезок [а, b] не содержит точек, сопряженных с а.

Доказательство этой теоремы опирается, как и в случае одной неизвестной функции, на следующую лемму:

Лемма. Если

— решение системы (5), обращающееся в нуль в точках а и b, то

Ее справедливость вытекает из равенства

получающегося интегрированием по частям с учетом граничных условий для

Далее доказательство теоремы 2 проводится следующим образом. Рассмотрим положительно определенный квадратичный функционал

Ему отвечает система уравнений Эйлера

которая при переходит в систему (5), а при — в систему

Предположим, что на отрезке существует точка сопряженная с а, т. е. такая, в которой обращается в нуль детерминант (8). Это равносильно тому, что найдется линейная комбинация решений (6), не равная нулю тождественно и обращающаяся в нуль при Далее, предположив, что система (14) имеет ненулевое решение, обращающееся в нуль в некоторой точке где и повторяя рассуждения, проведенные при доказательстве теоремы 2 § 22, получаем, что наличие такой точки противоречит положительной определенности функционала (13). В частности, при получаем, что нетривиальное решение системы (5) не может обращаться в нуль при Наконец из леммы вытекает, что при условии положительной определенности функционала (4) точка b тоже не может быть нулем какого-либо нетривиального решения системы (5). Тем самым доказательство заканчивается.

Те же самые рассуждения показывают, что если от функционала (4) потребовать лишь неотрицательность (а не положительную определенность), то при этом ни одна из внутренних точек отрезка не может быть сопряженной с а.

Соединив теоремы 1 и 2, получаем следующий результат. Квадратичный функционал

положительно определен в том и только том случае, если отрезок не содержит точек, сопряженных с а.

Все сказанное выше относилось к квадратичному функционалу. Вернемся теперь к произвольному функционалу вида

и рассмотрим некоторую его экстремаль.

Точку х, сопряженную с а по отношению к квадратичному функционалу, представляющему собой вторую вариацию данного

функционала, мы будем называть сопряженной с а и по отношению к функционалу (15), а систему уравнений Эйлера для второй вариации назовем системой Якоби данного функционала. Так как неотрицательность второй вариации есть необходимое условие минимума для любого функционала, то с помощью только что сформулированного следствия непосредственно получается

Теорема 3 (необходимое условие Якоби для функционалов, зависящих от нескольких функций). Для того чтобы экстремаль

доставляла минимум функционала

необходимо, чтобы интервал не содержал точек, сопряженных с а.

Мы определили точку, сопряженную с а, как ту точку, в которой обращается в нуль детерминант, составленный из независимых решений системы Якоби, выходящих из данной начальной точки. Этому основному определению равносильны следующие два, в формулировке которых участвуют лишь экстремали рассматриваемого функционала (12) (а не решения системы Якоби).

Определение 2. Пусть из начальной точки выходит экстремалей

под близкими между собой, но линейно независимыми направлениями. Точка х называется сопряженной с а, если в этой точке детерминант

представляет собой бесконечно малую величину более высокого порядка, чем при

Определение 3. Точка х называется сопряженной к а, если существует последовательность экстремалей, выходящих из той же начальной точки и бесконечно близких к данной экстремали, такая, что каждая из этих экстремалей пересекает данную экстремаль и эти точки пересечения имеют точку х своим пределом.

Эквивалентность этих определений устанавливается с помощью рассуждений, аналогичных проведенным в случае одной функции (§ 24)

Достаточные условия. Сформулируем в заключение совокупность условий, достаточных для того, чтобы кривая

доставляла функционалу

слабый минимум.

1. Данная кривая является экстремалью, т. е. удовлетворяет системе уравнений Эйлера

2. Матрица, составленная из производных

положительно определенна при а х

3. Отрезок не содержит точек, сопряженных с а. Доказательство достаточности этих условий опирается на теорему 2 настоящего параграфа и проводится аналогично доказательству достаточности соответствующих условий для случая одной функции.