ГЛАВА I. ФУНКЦИОНАЛЫ. ПРОСТЕЙШАЯ ЗАДАЧА ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

§ 1. Введение

Во многих задачах, возникающих в анализе, механике, геометрии и т. д., важную роль играют переменные величины, называемые функционалами. Мы говорим, что нам задан функционал, если каждой функции (или кривой) из некоторого класса поставлено в соответствие определенное число. Таким образом, можно сказать, что функционалы — это функции, в которых роль независимого переменного играют кривые или функции.

Приведем примеры функционалов.

1. Рассмотрим на плоскости всевозможные спрямляемые кривые. Каждой такой кривой соответствует определенное число — ее длина. Таким образом, длина кривой представляет собой функционал, определенный на множестве спрямляемых кривых.

2. Поставив в соответствие каждой плоской спрямляемой кривой (которую мы будем рассматривать как однородную материальную линию) ординату ее центра тяжести, мы опять-таки получим некоторый функционал.

3. Рассмотрим на плоскости всевозможные пути, соединяющие две данные точки А и Пусть некоторое тело может двигаться по любому из этих путей, имея в каждой точке определенную скорость Мы получим функционал, поставив в соответствие каждому пути то время, за которое рассматриваемое тело проходит этот путь.

4. Пусть — произвольная, непрерывно дифференцируемая функция, определенная на отрезке Определим на множестве

всех таких функций функционал равенством

5. Рассмотрим более общий пример. Пусть — некоторая непрерывная функция трех переменных. Выражение

где пробегает совокупность всевозможных непрерывно дифференцируемых функций, определенных на отрезке представляет собой функционал. Выбирая ту или иную функцию мы будем получать различные функционалы, например если

то - длина кривой (пример 1), а при получаем предыдущий пример. Функционалы вида (1) мы и будем в основном рассматривать ниже.

Отдельные задачи, связанные с понятием функционала, рассматри-. вались более трехсот лет назад. Первые важные результаты здесь были получены еще Л. Эйлером. Тем не менее до сих пор еще не существует достаточно общих методов «исчисления функционалов», аналогичных классическому анализу («исчислению функций»). Наиболее разработанными являются методы нахождения наибольших и наименьших значений функционалов. Этот наиболее разработанный раздел «исчисления функционалов» называется вариационным исчислением. Правильнее, однако, было бы назвать его «вариационным исчислением в узком смысле», поскольку значение понятия вариации функционала, играющего основную роль в вариационном исчислении, далеко не исчерпывается применениями к задачам на нахождение экстремумов функционалов.

Укажем некоторые типичные примеры вариационных задач, т. е. задач на нахождение наибольших и наименьших значений функционалов.

1. Среди всех плоских кривых, соединяющих две заданные точки А и В, найти ту, которая имеет наименьшую длину; иначе говоря, найти кривую для которой функционал

достигает минимума. Искомой линией будет отрезок прямой, соединяющий точки А и В.

2. Пусть А и В — две фиксированные точки. Время, в течение которого материальная точка скатывается под действием силы тяжести вдоль некоторого пути, соединяющего точки А и В, зависит от выбора этого пути, т. е. представляет собой функционал. Кривая, вдоль которой точка скатывается быстрее всего, носит название брахистохроны. Задача о брахистохроне была поставлена И. Бернулли в 1696 г. и сыграла важную роль в развитии вариационного исчисления. Ее решение было дано И. Бернулли, Я. Бернулли, Ньютоном и Лопиталем. Брахистохрона представляет собой циклоиду, лежащую в вертикальной плоскости, проходящей через А и В.

3. Л. Эйлером было дано решение следующей вариационной задачи (изопериметрическая задача): среди всех замкнутых кривых, имеющих данную длину 5, найти ту, которая ограничивает наибольшую площадь. Такой кривой является окружность.

Во всех указанных выше задачах речь шла о функционалах, представимых в виде

Такие функционалы обладают так называемым свойством «локальности», которое состоит в следующем. Если мы разобьем кривую y = y(x) на части и вычислим значение функционала для каждой из этих частей, то сумма этих значений будет равна значению функционала для всей кривой Именно такие функционалы обычно рассматриваются в вариационном исчислении.

Примером нелокального функционала может служить выражение

представляющее собой абсциссу центра тяжести материальной кривой .

В развитии вариационного исчисления важную роль сыграли многие механические и физические задачи, например упомянутая выше задача о брахистохроне. В свою очередь методы вариационного исчисления широко используются в различных вопросах физики. Следует подчеркнуть, что применения вариационного исчисления в физике не исчерпываются решением отдельных, хотя бы и весьма важных задач. Так называемые «вариационные принципы», о которых речь будет идти в гл. IV и VII, представляют собой, по существу, выражения весьма общих физических закономерностей, имеющих

место в самых различных областях физики, начиная от классической механики и кончая теорией элементарных частиц.

Для понимания существа задач и методов вариационного исчисления очень важно уяснить их связь с задачами классического анализа, т. е. с исследованием функций переменных. Рассмотрим функционал вида

Здесь каждой кривой ставится в соответствие некоторое число. Разобьем отрезок точками

на равных частей и рассмотрим вместо кривой ломаную с вершинами

а сам функционал приближенно заменим суммой

Каждая ломаная однрзначно определяется ординатами своих вершин, а сумма (2) представляет собой функцию переменных Таким образом, вариационную задачу можно приближенно рассматривать как задачу о нахождении экстремума функции от переменных. Этот прием в вариационном исчисление был широко использован Эйлером. Заменяя гладкие кривые ломаными, он сводил задачу о нахождении экстремума функционала к нахождению экстремума функции переменных, а затем с помощью предельного перехода при получал точные решения.

Таким образом, функционалы можно рассматривать как «функции бесконечного числа независимых переменных», а именно значений функции в отдельных точках, а вариационное исчисление — как Соответствующий аналог дифференциального исчисления.