§ 28. Поле функционала

Применим сказанное в предыдущем параграфе к вариационным задачам. Уравнения Эйлера

отвечающие функционалу

образуют систему уравнений второго порядка. Для того чтобы выделить некоторое определенное решение этой системы, нужно задать дополнительных условий, которые обычно задаются в виде граничных условий, т. е. соотношений, связывающих значения в концах интервала (по условий в каждом из концов). Во многих случаях эти граничные условия, естественно, определяются самимрассматриваемым функционалом. Рассмотрим, например, задачу со свободными концами для функционала

отличающегося от рассматривавшихся ранее членами представляющими собой функции координат концов дуги, на которой рассматривается функционал.

Вычислив вариацию функционала (1), получим

Приравняв ее нулю и считая, что кривая есть экстремаль, получим

Так как произвольны, то отсюда получаем

Будем рассматривать граничные условия, отвечающие одному из концов, например При этом вместо будем писать просто

Положим, как обычно,

и запишем граничные условия (2) в виде

Эти соотношения определяют как функции от ,

т. е. задают на гиперплоскости поле направлений (граничные условия), которое будем записывать в виде

Определение 1. Пусть дан функционал

Граничные условия

заданные в точке называются самосопряженными, гели существует такая функция

Теорема 1. Граничные условия являются самосопряженными в том и только том случае, если они удовлетворяют соотношениям

Систему этих равенств мы будем называть условием самосопряженности.

Доказательство. Если граничные условия

самосопряженные, т. е. определяются равенствами (3), то

откуда получаем

Обратно, если граничные условия

таковы, что функции удовлетворяют условиям самосопряженности (4), то представляют собой (при частные производные по некоторой функции Ясно, что, рассмотрев функционал

и приравняв его вариацию нулю, мы придем к исходным граничным условиям которые, таким образом, будут самосопряженными.

Теорема доказана.

Замечание. При т. е. в случае вариационных задач с одной неизвестной функцией, условия самосопряженности (5) отпадают. Непосредственно ясно, что в случае любое граничное условие является самосопряженным.

В предыдущем параграфе мы ввели понятие поля для системы уравнений второго порядка. Сейчас мы сформулируем определение поля для функционала.

Рассмотрим функционал

и отвечающую ему систему уравнений Эйлера

Мы скажем, что граничные условия

заданные при и граничные условия

заданные при согласованы между собой (по отношению к функционалу ), если они согласованы между собой по отношению к системе (7), т. е. если каждая экстремаль, удовлетворяющая при граничным условиям (а), удовлетворяет при условиям и обратно.

Определение 2. Совокупность граничных условий

заданных при всех называется полем функционала

если

а) при каждом значении х эти условия самосопряженные

б) при любых эти условия согласованы между собой (по отношению к рассматриваемому функционалу).

Иначе говоря, полем функционала (б) называется поле системы отвечающих ему уравнений Эйлера (7), удовлетворяющее в каждой точке х условиям самосопряженности.

Равенства (8) представляют собой систему дифференциальных уравнений первого порядка. Ее общее решение (т. е. совокупность траекторий поля) есть -параметрическое семейство экстремалей такое,

через каждую точку той области, в которой задано поле, проходит одна и только одна экстремаль из этого семейства.

Укажем теперь эффективный критерий того, что данная совокупность граничных условий

образует поле функционала.

Теорема 2. Для того чтобы граничные условия

заданные при каждом образовывали поле функционала

необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства

(условия самосопряженности) и

(условия согласованности), где

а Н — функция Гамильтона, т. е.

Доказательство. Мы уже показали выше (теорема 1), что равенства (5) необходимы и достаточны для того, чтобы в каждой точке х граничные условия (8) были самосопряженными. Поэтому остается лишь показать, что, при выполнении равенств (5) в каждой точке, равенства (9) необходимы и достаточны, чтобы граничные условия

были при согласованы. Для доказательства этого утверждения подставим в условие (8) вместо функции

ее выражение (10) (заменив в нем на а вместо подставим Выполнив после

этого в равенстве (9) дифференцирования, получим (аргументы для сокращения записи опускаем)

Так как должны выполняться условия самосопряженности

то это равенство можно переписать следующим образом:

Так как

то равенству (11) можно придать вид

Вдоль траекторий поля имеем: и, следовательно,

поэтому вдоль траекторий поля равенство (12) принимает вид

т. е.

а это и означает, что траектории поля направлений (8) суть экстремали, т. е. что это поле есть поле рассматриваемого функционала.

Тем самым достаточность сформулированного условия доказана. Так как выкладки, приводящие от (9) к (13), могут быть проведены в обратном порядке, то это условие и необходимо.

Теорема доказана.

Заметим, что равенства (9), представляющие собой систему уравнений в частных производных — это, собственно говоря, то, что в § 27 мы назвали системой Гамильтона — Якоби.

В связи с доказанной теоремой сделаем несколько замечаний.

Если граничные условия

являются согласованными (т. е. решения системы (8) суть экстремали функционала , то проверять их самосопряженность достаточно в какой-либо одной точке. Это вытекает из следующей теоремы.

Теорема 3. Выражение

сохраняет постоянное значение вдоль каждой экстремали.

Доказательство получается непосредственным вычислением производной от выражения (14) вдоль произвольной экстремали.

Согласно сказанному выше, граничные условия

самосопряженны в каждой точке, если они определяются равенствами

Поставим следующий вопрос: какие дополнительные условия нужно наложить на функцию для того, чтобы граничные условия, определяемые этими равенствами, были не только самосопряженными в каждой точке, но и согласованными, т. е. чтобы они представляли собой поле функционала. Ответ дает следующая

Теорема 4. Граничные условия определяемые при а равенствами

согласованы, если функция удовлетворяет уравнению Гамильтона — Якоби

Доказательство. Принимая во внимание, что

    (16)

можно уравнение Гамильтона — Якоби (15) переписать в виде

где . Продифференцировав это равенство по получим

т. е.

а это и есть не что иное, как условия согласованности.

Сейчас уже легко усметреть связь между введенной нами в § 27 системой Гамильтона — Якоби, которая для случая вариационной задачи переходит в условия согласованности (9), и уравнением Гамильтона — Якоби (15), рассмотренным еще в § 19. Для произвольной системы уравнений второго порядка поле представляет собой, как мы видели в § 27, систему уравнений вида

где функции удовлетворяют системе Гамильтона — Якоби. Для случая вариационной задачи эта система Гамильтона — Якоби превращается в условия согласованности (9). На поле функционала мы наложили еще условие самосопряженности граничных условий в каждой точке. Это приводит к тому, что поле функционала определяется уже не функциями ), а одной функцией по которой функции определяются посредством равенств Функция играет, таким образом, по отношению к полю функционала роль своего рода потенциала. При этом, поскольку для функционала поле - определяется уже не функциями, а одной, то и условия согласованности для такого поля задаются не уравнениями, а одним уравнением, т. е. система Гамильтона — Якоби заменяется уравнением Гамильтона — Якоби (15) Рассмотрим в -мерном пространстве некоторую область и пусть — точка, лежащая вне этой области.

Рассмотрим, далее, семейство экстремалей функционала

выходящих из точки с, и такое, что через каждую точку области G проходит одна и только одна экстремаль из этого семейства. Тем самым в каждой точке области О задано направление

Определенное таким образом на G поле направлений мы назовем центральным полем.

Теорема 5. Всякое центральное поле представляет собой поле функционала

(т. е. удовлетворяет условиям согласованности и самосопряженности).

Доказательство. Нужно показать, что поле направлений (20), полученное указанным выше способом, при каждом значении х удовлетворяет условиям самосопряженности. Пусть

где интеграл берется вдоль экстремали, соединяющей точку с точкой Определим в области G поле направлений, положив

Покажем, что это поле направлений совпадает с исходным полем. Тем самым теорема будет доказана, так как исходное поле удовлетворяет условию согласованности (поскольку его траектории — экстремали), а поле, определяемое равенствами (22), самосопряженно в каждой точке в силу теоремы 1.

В § 19 мы уже рассматривали функцию (21) (там мы ее обозначали ) и показали, что

где z — вектор, касательный к экстремали, проходящей через точку (см. стр. 91, формула ). Отсюда видно, что поле направлений, определяемое равенствами (22), действительно совпадает с исходным полем.

Мы скажем, что данная экстремаль у окружена полем, если существует такая область G, содержащая экстремаль , что во всех точках этой области определено поле рассматриваемого функционала, причем такое, что данная экстремаль у является одной из траекторий этого поля,

Из теоремы 5 вытекает важное

Следствие. Если некоторая экстремаль у, заданная уравнениями

не содержит точек, сопряженных с а, то эту экстремаль можно окружить полем.

Действительно, в этом случае можно выбрать настолько малое что

1) экстремаль у можно продолжить на весь отрезок

2) отрезок не содержит точек, сопряженных с . Рассмотрим совокупность экстремалей, выходящих из точки с координатами

Из отсутствия на отрезке точек, сопряженных с , следует, что никакие две экстремали из этого семейства, достаточно близкие к исходной экстремали у, не пересекаются при Эти достаточно близкие к у экстремали определяют в некоторой, содержащей у, области G центральное поле, окружающее у.