§ 33. Основная формула для вариации в случае переменной области. Теорема Нетер

1. Постановка задачи. В § 31 мы вывели формулу для вариации функционала

считая, что в нем вариируется лишь функция а (а значит, и ее производные), а независимые переменные (следовательно, и область интегрирования О) никак не меняются. Сейчас мы рассмотрим задачу о нахождении вариации функционала (1) в самом общем случае, т. е. когда вариируется не только функция и (и ее производные), но и независимые переменные

Уточним постановку задачи.

Пусть задано преобразование

Если то и можно рассматривать как функцию от Действительно, из соотношений (2) можно в этом случае выразить через подставив эти выражения в (2), представим и в виде

Соотношения (2) (при условии, что переводят область G изменения переменных в некоторую область G изменения переменных Мы предположим, что преобразование (2), (2) при сводится к тождественному преобразованию

Введем для упрощения записи сокращенные обозначения: будем писать х вместо вместо Формулы (2), (2) дают возможность каждой функции и области G сопоставить функцию и область G. Тем самым интегралу

ставится в соответствии интеграл

Наша задача состоит в том, чтобы вычислить вариацию функционала (1), отвечающую переходу от ) т. е. главную линейную (относительно ) часть разности

Проиллюстрируем постановку задачи на простом примере, относящемся к функционалам, зависящим от функций одного переменного.

Пусть

— некоторая кривая у, лежащая в плоскости , и пусть рассматриваемое преобразование представляет собой поворот плоскости на угол е. При этом каждая точка переходит в которую другую точку . В частности, каждая точка кривой у переходит в точку кривой у, получающейся из данной кривой с помощью поворота.

Рис. 10.

2. Формулы для вариаций переменных х и и. Рассмотрим предварительно более подробно переход от и от и к и. Положим

и

Здесь, очевидно,

Введем обозначения

Нам понадобится еще разность

мы представим ее в виде

и положим

Прежде, чем двигаться дальше, рассмотрим смысл введенных нами величин на указанном выше примере поворота на угол s вокруг начала координат. В этом случае каждая точка переходит в точку с координатами

В частности, точка лежащая на кривой у, переходит в точку, лежащую на у и имеющую координаты

поэтому

т. е., в соответствии с (3) и (3),

и, значит (см. (4) и (4)),

То, что вектор, соединяющий точки имеет именно компоненты видно и непосредственно из чертежа.

Далее, в нашем случае,

но так как

то

т. е. в данном случае

или

Вернемся теперь к общему случаю. Найдем связь между Имеем

Так как и отличаются друг от друга на величину порядка , то окончательно

(здесь и ниже символ означает равенство с точностью величин выше первого порядка малости относительно ). Но главная линейная относительно часть разности есть поэтому

или

Для того чтобы вычислить разность

нам нужно еще сосчитать

Точнее говоря, нам нужно вычислить главную линейную относительно часть этого выражения. Мы рбозначим ее символом

Запишем прежде всего Это нам понадобится не только для нахождения но еще и для выражения элемента объема области G через переменные Из формулы (3) получаем, что

где

Далее, отсюда мы получаем, что

и значит

Вернемся к вычислению Имеем

Рассмотрим каждое из стоящих справа трех слагаемых в отдельности.

Разность представляет собой величину порядка , поэтому в первом слагаемом можно дифференцирование по заменить дифференцированием по (в силу (9) результат от этого изменится на величину порядка ). Таким образом, вспоминая, что получаем

но отличается на величину порядка от Поэтому окончательно

Далее

И наконец

Собирая вместе полученные нами формулы (10), (11) и (12), находим

Главную линейную относительно часть разности мы обозначили Пользуясь этим обозначением и обозначениями (4) и (5), мы можем соотношение (13) переписать в таком виде:

    (14)

Итак, соберем вместе полученные нами формулы. Имеем

где — главная линейная часть выражения

Для частного примера, приведенного на стр. 169, все эти соотношения легко усмотреть непосредственно из рис. 10.

3. Основная формула для вариации функционала. Теперь мы уже можем вычислить интересующую нас разность

Для этого сведем прежде всего в выражении для интегрирование к интегрированию по области G. Так как

то якобиан равен (с точностью до величин выше первого порядка относительно

Поэтому

Воспользовавшись формулой Тейлора и выписывая лишь члены первого порядка относительно , получаем

Выписанные члены представляют собой главную линейную относительно часть , т. е. вариацию функционала Заменив здесь на

(см. (6) и (14)), получим

Как и в рассмотренном в § 31 случае фиксированной области О, поставим задачу: записать вариацию как интеграл от выражения

Для этого в выражении (15) сумму

запишем как

а

заменим на

(аналог интегрирования по частям). Окончательно получаем

Это и есть основная формула для вариации. Перепишем ее еще раз, подставив вместо их выражения (5) и (4). Получим

Итак, если дан функционал

и дано преобразование

то вариация функционала J, т. е. главная линейная относительно часть разности

представляется формулой (17), где

и

Заметим, что в том частном случае, когда независимые переменные не вариируются, а вариируется только функция и (и ее производные), в форме (16) последнее слагаемое исчезает, и мы получаем несколько более простое выражение

совпадающее с формулой (4) § 31.

Обычно формулой вариации функционала приходится пользоваться тогда, когда представляет собой экстремальную поверхность

этого функционала, т. е. удовлетворяет соответствующему уравнению Эйлера

В этом случае выражение для вариации сводится к

в общем случае и к

в случае, когда независимые переменные не вариируются.

4. Обобщения на случай нескольких функций или несколъких параметров. Формулы, аналогичные формулам (16) — (19), можно, конечно, получить и в том случае, когда рассматриваемый функционал зависит не от одной функции а, а от нескольких, т. е. если и является не скалярной величиной, а векторной. Если , то, например, формула (16) для вариации принимает вид

Другое, также часто полезное для приложений обобщение полученных нами выше формул для вариации состоит в следующем. Будем считать, что совокупность преобразований, переводящих зависит не от одного параметра , а от нескольких. Иначе говоря, будем считать, что величина также представляет собой вектор Если соответствующие преобразования писать в виде

и под понимать следующие выражения:

то формула сохранится без всяких изменений и в рассматриваемом общем случае.

5. Теорема Нетер. Из полученной нами формулы вариации функционала вытекает одна из важных теорем вариационного исчисления — теорема Нетер об инвариантных вариационных задачах, которая для случая одного независимого переменного была доказана нами в § 16. Сформулируем прежде всего определение инвариантности функционала,

Пусть дан функционал

Будем рассматривать преобразования «независимых переменных и функции имеющие вид

Интеграл (20) мы назовем инвариантом данной совокупности преобразований, если

для каждого из преобразований, принадлежащих этой совокупности. Здесь интеграл слева берется по любой области изменения переменных а справа — по соответствующей области изменения переменных

Иными словами, если — поверхность, заданная уравнением а — поверхность, заданная уравнением в которую переводится преобразованием (21), то инвариантность функционала (20) означает, что

Для случая т. е. применительно к функционалам от линий, понятие инвариантности уже вводилось в § 16. Там же были рассмотрены и простейшие примеры. Приведем еще один пример. Функционал

ичвариантен относительно преобразований

Действительно, пусть — поверхность, заданная уравнением Найдем уравнение поверхности о, получающейся из а преобразованием (23). Из первых двух равенств (23) получаем, что

следовательно, а задается уравнением

Запишем это уравнение так:

Тогда имеем

Вернувшись в этом интеграле к прежним переменным х и у, получим

Упражнение. Пусть

Вычислить если а цолучается преобразованием (23).

Теорема Нетер. Пусть задана совокупность преобраьо ваний

Тогда из инвариантности функционала

относительно преобразований (24) следует, что

где

Здесь определяются формулами (24), и — произвольная экстремальная поверхность функционала (25).

Если преобразования (24) зависят не от одного параметра, а от параметров то из инвариантности функционала (25) относительно такой совокупности преобразований следует существование линейно независимых соотношений

где

— любая экстремальная поверхность. Наконец, если функционал (25) зависит от векторной функции , то соотношения заменяются соотношениями

Доказательство теоремы Нетер сразу же вытекает из общей формулы (17) для вариации. Действительно, если функционал (25) инвариантен относительно преобразований (24), то вариация этого

функционала (отвечающая переходу от и равна нулю. Если экстремальная поверхность, то для нее

и формула (17) принимает вид

Так как область здесь произвольна, то отсюда следует

что и требовалось доказать.

Для случая преобразований, зависящих от нескольких параметров, доказательство не содержит ничего нового, поэтому мы его опускаем.

Замечание 1. Если — произвольная функция (не экстремаль), то для нее из инвариантности функционала (25) относительно преобразований (24) вытекает соотношение

Замечание 2. Если то соотношение (26) принимает вид

    (28)

т. е.

вдоль каждой экстремали Иначе говоря, соотношение (28) представляет собой первый интеграл системы уравнений Эйлера, отвечающих функционалу

Если этот функционал инвариантен относительно совокупности преобразований зависящих от параметров, то отвечающая ему система; уравнений Эйлера имеет линейно независимых первых интегралов

вида (28). Мы пришли к тому частному случаю теоремы Нетер, который был изложен в § 16.

Пусть некоторый функционал инвариантен относительно группы преобразований, зависящих не от нескольких параметров, а от некоторого числа произвольных функций. Тогда имеет место вторая теорема Нетер, согласно которой между левыми частями уравнений Эйлера, отвечающих вариационной задаче, инвариантной относительно группы преобразований, зависящих от произвольных функций, существует тождественных соотношений, т. е. этих уравнений являются следствиями остальных. Простейший пример такой инвариантности дают параметрические задачи, рассмотренные нами в § 8. Действительно, преобразования, оставляющие инвариантной соответствующую вариационную задачу, - это всевозможные замены параметра. В случае параметрической задачи на плоскости рассматривается функционал

инвариантный относительно преобразований

Группа этих преобразований зависит от одной произвольной функции поэтому между левыми частями отвечающих этой задаче уравнений Эйлера

должно существовать одно тождественное соотношение. Действительно, в этом случае имеет место равенство

которое было доказано непосредственной проверкой еще в § 8.

Еще один интересный пример преобразований, зависящих от произвольной функции (так называемое градиентное преобразование в электродинамике), мы рассмотрим в следующем параграфе.

Мы не будем останавливаться на доказательстве теоремы Нетер для групп преобразований, зависящих от произвольных функций, и не будем выписывать в общем виде тех соотношений между уравнениями Эйлера, существование которых утверждает вторая теорема Нетер.