§ 35. Примеры: уравнение Клейна — Гордона и уравнения Максвелла

В этом параграфе мы рассмотрим кратко в качестве иллюстраций два вида полей: поле скалярных нейтральных частиц и электромагнитное поле.

1. Рассмотрим так называемое уравнение Клейна — Гордона

где -оператор Даламбера

Это уравнение, с помощью которого в теоретической физике описывается поле нейтральных (т. е. не заряженных) скалярных частиц со спином нуль (например, -мезонов), может быть получено из принципа стационарного действия как уравнение, отвечающее лагранжиану

Для этого лагранжиана общее выражение тензора энергии-импульса принимает вид

откуда плотность энергии рассматриваемого поля равна

а плотность вектора импульса равна

Тензор момента количества движения для лагранжиана (2) принимает вид

2. Уравнения Максвелла. В качестве второго конкретного примера возьмем уравнения Максвелла, описывающие электромагнитное поле. Состояние электромагнитного поля задается вектором электрического поля Е и вектором электромагнитного поля Н. Эти величины связаны между собой (при отсутствии зарядов) известными уравнениями Максвелла

Эти уравнения можно свести к одному уравнению, если выразить Е и Н через компоненты четырехмерного вектора электромагнитного потенциала, положив

. По заданным Е и Н потенциал определяется этими соотношениями неоднозначно. Величины Е и Н не меняются, если потенциал заменить потенциалом по формуле

где — некоторая функция. Преобразование (5) называется градиентным преобразованием второго рода. Для того чтобы избежать такой неоднозначности, на четырехмерный вектор можно наложить некоторые дополнительные условия. Обычно в качестве такого дополнительного условия берется так называемое условие Лоренца

Компоненты векторов Е и Н удобно рассматривать как составляющие тензорного поля

Через электромагнитный потенциал эти составляющие выражаются следующим образом:

С помощью тензора уравнения Максвелла записываются в виде

Переходя здесь к потенциалу получаем, что уравнения (10) являются следствием равенств (8), а уравнение (9) с учетом условия Лоренца (6) приводится к виду

где

Покажем, как это уравнение для получается с помощью принципа стационарного действия. Для электромагнитного поля лагранжиан имеет следующий вид:

Заменив здесь их выражениями (4) через вектор электромагнитного потенциала , получим

Уравнения Эйлера

отвечающие этому лагранжиану, могут быть приведены к виду (11). Проверим это, например, для компоненты (для остальных выкладки аналогичны). Из (13) получаем, что

Следовательно,

Из условия Лоренца (6) получаем, что

Поэтому

т. e. для уравнение (14) принимает вид

Аналогично при получаем

Но это и есть не что иное, как записанное в компонентах уравнение (11).

Приводя уравнение (14) к виду (15), мы воспользовались условиями Лоренца. Вместо этого мы могли бы заранее ввести в лагранжиан дополнительный член, а именно положить

Уравнения Эйлера для такого лагранжиана приводятся к виду (15) при произвольном . Налагая условия Лоренца, мы сводим (16) к (13).

Лагранжиан (13), отвечающий уравнениям Максвелла, инвариантен относительно градиентных преобразований, образующих группу, зависящую от одной произвольной функции, а также относительно параллельных переносов и преобразований Лоренца. В силу теоремы Нетер инвариантность лагранжиана относительно указанных преобразований, приводит к соответствующим законам сохранения. Именно инвариантность относительно параллельных переносов приводит к сохранении энергии и трех компонент импульса, а инвариантность относительно лоренцевых преобразований дает сохранение момента количества движения.

Инвариантность лагранжиана (13) относительно группы градиентных преобразований, зависящих от произвольной функции, означает в соответствии со второй теоремой Нетер наличие линейной зависимости между соответствующими уравнениями Эйлера, т. е., иначе говоря, неоднозначность их решения. Действительно, уравнениями Максвелла электромагнитный потенциал не определяется однозначно. Для получения однозначного решения к уравнениям Максвелла следует присоединить еще одно уравнение, в качестве которого обычно берется уже упоминавшееся выше условие Лоренца