§ 8. Вариационные задачи в параметрической форме

До сих пор мы считали, что кривые, на которых определен тот или иной функционал, заданы своими явными уравнениями, например, в плоском случае уравнениями вида

Часто, однако, удобнее считать, что эти кривые заданы в параметрической форме. Фактически мы уже встречались с этим положением в последнем примере предыдущего параграфа, рассматривая

геодезические линии на поверхности. В этом параграфе мы, ограничиваясь простейшей задачей вариационного исчисления, перенесем полученные ранее результаты на случай параметрического задания кривых. Предположим, что в функционале

мы хотим аргументом считать кривую, заданную не в виде

а в параметрической форме

Тогда функционал (2) запишется в виде

(точка означает дифференцирование ), т. е. в виде функционала, зависящего от двух неизвестных функций

Функция Ф, стоящая здесь под знаком интеграла, положительно однородна первой степени относительно и у (0 и не содержит t явно.

Обратно, пусть дан функционал

где подынтегральная функция Ф не зависит от t явно и является положительно однородной первой степени относительно х и у. Покажем, что значение такого функционала зависит лишь от кривой (в плоскости ), определяемой параметрическими уравнениями , а не от самих функций , т. е. если перейти от t к какому-либо новому параметру , положив

то будет иметь место равенство

Действительно, воспользовавшись однородностью функции Ф по х и у, получаем

что и требовалось. Итак, мы получили следующий результат.

Для того чтобы значения функционала

зависели только от кривой, определяемой в плоскости параметрическими уравнениями но не от выбора ее параметрического представления, необходимо и достаточно, чтобы подынтегральная функция Ф зависела от t явно, а по отношению к х и у была бы положительно однородной функцией первой степени однородности.

Если мы функционал (2) приведем с помощью того или иного параметрического представления кривой к виду

то для функционала (2) мы можем написать два уравнения Эйлера:

Эти два уравнения должны быть эквивалентны одному уравнению

отвечающему функционалу (2), и следовательно, не могут быть независимы. Действительно, легко проверить, что они связаны тождественным соотношением

К этому вопросу мы еще вернемся в гл. VII.

Задача. Написать условия независимости от выбора параметра для функционала т. е. для функционала, заданного на кривых -мерного пространства.