§ 5. Случай нескольких переменных. Задача со свободными концами

1. Выше мы рассматривали функционалы, зависящие от функций одного переменного, т. е. от линий. Во многих вопросах встречаются функционалы, зависящие от функций нескольких независимых переменных, т. е. от поверхностей. Подробнее такие многомерные вариационные задачи мы рассмотрим в гл. VII, а сейчас покажем лишь, как на случай функционалов, зависящих от поверхностей, переносятся постановка и решение рассмотренной выше простейшей задачи вариационного исчисления.

Ограничимся для простоты записи случаем двух независимых переменных. В случае переменных все рассуждения остаются без изменений. Рассмотрим функционал вида

где — частные производные от и предположим, что ищется функция непрерывная вместе, со своими производными до второго порядка в области О, принимающая на границе этой области заданные значения и дающая экстремум функционалу (1).

Доказательство теоремы 1 § 3 не связано с видом рассматриваемого функционала, поэтому, как и в случае одного независимого переменного, необходимым условием экстремума функционала (1)

является обращение в нуль его вариации, т. е. главной линейной части его приращения.

Для установления необходимых условий экстремума функционала (1) нам понадобится следующая лемма, аналогичная лемме 1 § 3.

Лемма 1. Если интеграл

где — фиксированная функция, непрерывная в области G, обращается в нуль для всякой функции непрерывной вместе со своими частными производными первого порядка и обращающейся в нуль на границе L области G, то во всей области

Действительно, предположим, что в некоторой точке функция отлична от нуля, например положительна, тогда она положительна и в некотором содержащемся в G круге радиуса с центром Тогда если положить

то интеграл (2) сведется к интегралу по, рассматриваемому кругу и будет положителен. Лемма доказана.

Для того чтобы применить необходимое условие экстремума к изучению функционала (1), вычислим вариацию этого функционала.

Если — произвольная дважды непрерывно дифференцируемая функция, обращающаяся в нуль на границе области О, то вместе с области определения функционала (1) принадлежит и ).

Приращение функционала (1) равно

где выписанный интеграл представляет собой главную линейную часть этого приращения, т. е. вариацию.

Применяя формулу Грина

получаем

Так как обращается в нуль на L, то справа первый интеграл исчезает, и мы получаем для вариации функционала следующее выражение:

Итак, для того чтобы поверхность доставляла экстремум, необходимо, чтобы двойной интеграл (3) обращался в нуль для любой , удовлетворяющей указанным выше условиям; в силу леммы Г отсюда вытекает соответствующее уравнение Эйлера

Оно представляет собой уравнение второго порядка в частных производных, причем ищется решение его, принимающее на контуре L заданные значения.

Пример, Найти поверхность наименьшей площади, натянутую на данный контур. Это сводится к отысканию минимума функционала

Уравнение Эйлера для данного случая приводится к виду

где Оно имеет простой геометрический смысл. Для выяснения этого смысла воспользуемся формулой средней кривизны поверхности

где - коэффициенты первой и второй квадратичных форм поверхности. Если поверхность задана явным уравнением то

и, следовательно,

Здесь числитель совпадает с левой частью уравнения Эйлера (4). Таким образом, уравнение (4) означает, что средняя кривизна искомой поверхности равна нулю. Поверхности, имеющие нулевую среднюю кривизну, называются минимальными.

2. Задача со свободными концами. Простейшая задача вариационного исчисления, которую рассматривали до сих пор, является далеко не единственно возможной. Другие типы вариационных задач, с другими граничными условиями, будут рассмотрены в гл. II и III. Однако с одной из таких задач — так называемой задачей со свободными концами, целесообразно познакомиться уже сейчас. Она формулируется следующим образом. Среди всех кривых, концы которых лежат на двух заданных вертикалях найти ту, которая дает экстремум функционалу

Вычислим вариацию функционала (5). Понимая под вариацией, как и выше, главную линейную часть приращения функционала, получаем

Разлагая подынтегральное выражение по степеням А и А, имеем

Таким образом,

Так как здесь, в отличие от задачи с закрепленными концами, уже не обязательно обращается в нуль в точках а и b, то, интегрируя по частям, получаем

где Таким образом, для задачи со свободными концами мы получили следующее выражение вариации:

Рассмотрим сначала такие функции для которых Тогда, как и в простейшей задаче, из условия получаем, что

Итак, для того чтобы кривая могла быть решением задачи со свободными концами, она должна быть экстремалью, т. е. решением уравнения Эйлера (7). Пусть теперь — экстремаль. Тогда в выражении (6) для интегральный член исчезает и условие принимает вид

т. е., в силу произвольности

Таким образом, для решения поставленной задачи нужно найти общий интеграл уравнения Эйлера (7) и затем определить значения произвольных постоянных из условий (8).

Наряду с закрепленными и свободными концами можно рассматривать смешанный случай, т. е. считать, что один конец закреплен, а другой свободен. Пусть, например, ищется экстремум функционала (5) на классе кривых, соединяющих данную точку А (с абсциссой a) и произвольную точку прямой . В этом случае из двух условий (8) остаетсятолько одно условие

а равенство служит вторым краевым условием.

Пример. По какой плоской кривой тяжелая точка должна скатываться вниз из положения для того, чтобы в кратчайшее время достигнуть вертикальной прямой

Решение. Для упрощения записи будем считать, что исходная точка совпадает с началом координат. Так как скорость движения по кривой равна

то

откуда время движения T равно

Общим решением соответствующего уравнения Эйлера будет семейство циклоид

Из условия прохождения искомой кривой через начало координат получаем, что Для определения воспользуемся вторым условием

т. е. при должно быть в правом конце искомой кривой касательная горизонтальна. Отсюда .

Итак, соответствующая кривая задается уравнениями