§ 38. Собственные функции и собственные значения краевой задачи Штурма — Лиувилля

Рассмотрим применение прямых методов вариационного исчисления к дифференциальным уравнениям на примере следующей задачи. Данр дифференциальное уравнение Штурма — Лиувилля

где имеет непрерывную производную и даны граничные условия

Требуется найти решения уравнения (1), удовлетворяющие граничным условиям (2), определив при этом те значения параметра X, при которых эта задача имеет решения, отличные от тождественного нуля.

Совокупность уравнения (1) и граничных условий (2) мы будем называть краевой задачей Штурма — Лиувилля. Те значения параметра, при которых уравнение (1) имеет ненулевые решения, удовлетворяющие условиям (2), называются собственными значениями, а сами эти решения — собственными функциями данной краевой задачи.

В этом параграфе мы с помощью прямых методов вариационного исчисления установим следующую теорему.

Для краевой задачи (1), (2) существует бесконечная последовательность собственных значений причем каждому из отвечает единственная, с точностью до постоянного множителя, собственная функция.

Одновременно с доказательством сформулированного утверждения мы получим и способ приближенного нахождения этих собственных значений и отвечающих им собственных функций.

Заметим прежде всего, что уравнение (1) есть уравнение Эйлера, отвечающее следующей задаче на условный экстремум: найти минимум функционала

при условиях

и

Поэтому, если некоторая функция будет решением этой вариационной задачи, то она будет решением и уравнения (1) (отличным, очевидно, от тождественного нуля в силу условия ).

Для применения к этой вариационной задаче прямых методов покажем прежде всего, что интеграл (3) ограничен снизу. Так как

но

где

Таким образом, интеграл (2) действительно ограничен снизу.

Воспользуемся теперь изложенным в предыдущем параграфе методом Ритца. Для упрощения записи будем вместо интервала рассматривать интервал . Возьмем на этом интервале какую-либо полную ортогональную систему функций удовлетворяющих граничным условиям (2), например

Рассмотрим всевозможные линейные комбинации первых функций этой системы

и будем искать минимум функционала (3) только на этих функциях. Сам функционал (3) при этом запишется в виде квадратичной формы

а условие (4) — в виде

Граничные условия выполняются автоматически в силу самого выбора функций

Выполнив в левой части равенства (7) интегрирование почленно, получим

Это равенство означает, что квадратичная форма (6), к которой сводится функционал (3) на множестве функций вида (5), рассматривается на поверхности сферы в -мерном пространстве. По теореме Вейерштрасса форма (6) достигает на сфере (8) минимума в некоторой точке. Пусть это будет точка ) и пусть

Полагая получим последовательность минимумов

соответствующих квадратичных форм. Легко видеть, что всегда

Действительно,

а добавление еще одного аргумента может только уменьшить минимум функции. Отсюда и из установленной выше ограниченности функционала J снизу следует, что существует предел

Мы доказали сходимость числовой последовательности составленной из минимумов функционала

на совокупностях функций вида

при Теперь естественно было бы попытаться доказать сходимость последовательности тех функций

на которых соответствующие минимальные значения принимаются. Сначала мы сделаем несколько меньше, а именно покажем, что последовательность содержит некоторую равномерно сходящуюся подпоследовательность.

Покажем для этого, что совокупность функций равномерно ограничена и равностепенно непрерывна.

Действительно, из сходимости последовательности

следует ее ограниченность. Таким образом, при всех ,

где М — некоторое постоянное число. Поэтому

и так как

Из этого неравенства легко получаем, что функции равностепенно непрерывны и равномерно ограничены. Действительно, из условия

вытекает, что

Воспользовавшись неравенством Коши — Буняковского, отсюда получаем

равномерно ограничены. Далее, так как

то равностепенно непрерывны. Согласно теореме Арцела из последовательности можно выбрать равномерно сходящуюся подпоследовательность

Положим

и покажем, что эта предельная функция удовлетворяет уравнению Штурма — Лиувилля (1).

Трудность здесь состоит в том, что в интеграле

мы не можем непосредственно перейти к пределу при так как нам ничего не известно о сходимости производных Поэтому из того, что при каждом k функция реализует минимум интеграла (15) в соответствующем конечномерном пространстве, еще не вытекает сразу, что предельная функция ) дает минимум функционала (1). Для того чтобы обойти указанное затруднение, докажем предварительно следующую лемму.

Лемма. Если для любой функции имеющей непрерывные первую и вторую производные и удовлетворяющей граничным условиям (2), выполнено равенство

где

то у дважды дифференцируема и

Доказательство. Проинтегрируем выражение

по частям. Получаем

Пусть выбрана так, что Тогда два последних члена в полученном выражении обращаются в нуль, и мы получаем равенство

для любой дважды непрерывно дифференцируемой удовлетворяющей условиям Отсюда с помощью интегрирования по частям легко получается, что выражение, стоящее здесь в квадратных скобках, представляет собой многочлен первой степени

Так как в этом равенстве как правая часть, так и второе и третье слагаемые в левой части имеют производные, то имеет производную и выражение Поэтому равенство (16) можно продифференцировать почленно. Получаем

Так как функция не обращается в нуль и дифференцируема, то существует дифференцируя как произведение и приводя подобные члены, окончательно получаем

Так как здесь правая часть и второе слагаемое в левой части равенства дифференцируемы, то существует Дифференцируя (17) почленно, получаем

Лемма доказана.

Вернемся теперь к нашей основной задаче и покажем, что функция представляющая собой предел построенной нами подпоследовательности удовлетворяет уравнению (1) при X, равном

Точка в которой квадратичная форма достигает минимума, определяется, согласно теории условного экстремума, из уравнений

Умножив каждое из этих равенств на произвольное постоянное и просуммировав по k от 1 до , получим

где

Пусть С — произвольная дважды дифференцируемая функция, удовлетворяющая граничным условиям (2). Тогда коэффициенты А можно при каждом выбрать так, что

Отсюда следует, что

Пусть теперь в равенстве (19), которое можно переписать в виде

т пробегает последовательность значений отвечающую сходящейся к функции подпоследовательности Мы можем при этом в равенстве (21) перейти к пределу. Получим

для любой дважды непрерывно дифференцируемой функции . В силу доказанной выше леммы отсюда получаем, что имеет две непрерывные производные и

Действительно, достаточно в указанной лемме положить

Итак, мы показали, что удовлетворяет уравнению (1).

Выше мы определили как предел некоторой подпоследовательности последовательности Покажем, что последовательность сама сходится к Для этого воспользуемся тем, что если X задано, то решение уравнения

удовлетворяющее граничным условиям

и условию нормировки

определено с точностью до знака. Рассмотрим такое решение, и пусть в точке это решение отлично от нуля Выберем знак так, что Знак будем выбирать так, что при каждом . Если не сходится к то из можно выбрать вторую подпоследовательность, сходящуюся к некоторому другому решению . В силу указанной выше единственности (с точностью до знака) решения, удовлетворяющего условиям (2) и (4), но тогда что невозможно, так как Таким образом, (равномерно), если только выбирать соответствующий знак .

Мы доказали существование функции которую обозначим теперь отвечающей одному собственному значению уравнения Штурма — Лиувилля. Следующая собственная функция и отвечающее ей собственное значение могут быть найдены так. Будем искать минимум интеграла (3) при условиях (2) и (4) и дополнительном условии ортогональности

Положим

Подставив это выражение в интеграл (3) вместо ), мы снова получим некоторую квадратичную форму. Будем рассматривать эту квадратичную форму на совокупности функций вида

удовлетворяющих условию ортогональности их к построенным выше функциям т. е. равенству

Равенство (23) представляет собой уравнение (-мерной плоскости в -мерном пространстве, проходящей через начало координат. Ее пересечение со сферой, определяемой условием (4) есть сфера размерности На этой сфере наш функционал (1) сводится опять-таки к квадратичной форме. Применяя теорему Вейерштрасса, видим, что эта квадратичная форма достигает на этой -мерной сфере минимума, который мы обозначим Ясно, что

и так как функционал (3) ограничен снизу, то существует предел

При этом, очевидно,

Построив последовательность функций

каждая из которых реализует соответствующий минимум и удовлетворяет условию ортогональности

мы можем показать, что эта последовательность равномерно сходится к некоторой предельной функции удовлетворяющей уравнению

граничным условиям

условию нормировки

и условию ортогональности к

Таким образом, представляет собой собственную функцию уравнения (1), отвечающую собственному значению . Так как ортогональные между собой, функции не могут быть линейно зависимы, а каждому собственному значению X отвечает лишь одна (с точностью до постоянного множителя) собственная функция, то имеет место строгое неравенство

Повторяя аналогичные рассуждения, можно получить собственные значения и отвечающие им собственные функции и т. д.