§ 18. Законы сохранения

Рассмотрим снова механическую систему из материальных точек с кинетической энергией

потенциальной энергией

и функцией Лагранжа

Как было показано в предыдущем параграфе, уравнения движения этой системы могут быть получены из принципа наименьшего действия, т. е. из условия минимума интеграла

Посмотрим, что представляют собой для этого интеграла канонические переменные (см. § 14).

Для нашего случая имеем

т. е. представляют собой компоненты импульса частицы, и

т. е. Н есть полная энергия системы.

Замечание. Утверждение, что Н есть полная энергия, будет справедливо и в том случае, если мы вместо декартовых координат введем обобщенные координаты q, (докажите это). Выражения в этом случае называются обобщенными импульсами системы (они, конечно, отличаются от обычных импульсов).

Пользуясь видом подынтегральной функции в функционале (4), мы можем найти те или иные функции, сохраняющие постоянные значения вдоль каждой из траекторий системы, т. е. получим та называемые законы сохранения.

1. Закон сохранения энергии. Пусть рассматриваемая система консервативна, т. е. ее функция Лагранжа L не зависит явно от времени (это означает, что U не зависит от времени). В этом случае, как было показано выше, вдоль каждой экстремали, т. е. полная энергия консервативной системы остается при движении постоянной.

2. Закон сохранения импульса. Пусть L не меняется при параллельном переносе, т. е. при замене на

соответственно. Согласно теореме Нетер (§ 16) из инвариантности интеграла

относительно преобразования

следует, что соответствующая система уравнений Эйлера имеет первый интеграл

где

Поэтому из инвариантности интеграла (4) относительно преобразования

следует, что

Аналогично из инвариантности (4) относительно сдвига вдоль оси у следует, что

а из инвариантности (4) относительно сдвига вдоль оси следует, что

Вектор Р с компонентами

называется полным импульсом системы. Итак, мы показали, что если интеграл

инвариантен относительно параллельного переноса, то полный импульс системы не меняется с течением времени. Это и есть закон сохранения импульса.

Замечание. Инвариантность относительно сдвига в каком-либо одном направлении (например, в направлении оси х) влечет за собой, как видно из сказанного выше, сохранение соответствующей компоненты полного импульса системы.

3. Закон сохранения момента количества движения. Предположим, что

инвариантен относительно вращения вокруг оси z, т. е. относительно следующего преобразования координат:

Воспользуемся снова теоремой Нетер. В данном случае

Таким образом, из теоремы Нетер вытекает, что

    (5)

т. е.

В этой сумме каждое слагаемое представляет собой компоненту векторного произведения — радиус-вектор, а — импульс частицы.

Вектор называется моментом количества движения частицы относительно начала координат. Равенство (5) означает, что сумма компонент моментов количества движения отдельных частиц, т. е. компонента момента количества движения всей системы, есть постоянная величина. Аналогичные утверждения верны и для х- и у-компонент при условии, что инвариантен относительно вращений вокруг соответствующих осей.

Итак, если инвариантен относительно вращений, то момент количества движения системы с течением времени не меняется.

Примеры. 1. Рассмотрим движение материальной точки, притягивающейся по некоторому закону неподвижным центром. В этом случае имеют место закон сохранения энергии (так как L не зависит явно от времени) и закон сохранения момента количества движения. Импульс при таком движении не сохраняется.

2. Материальная точка притягивается однородной материальной прямой (которую примем за ось ). В этом случае сохраняются следующие величины:

а) энергия (так как L не зависит от времени),

б) компонента импульса в направлении оси

в) момент количества движения относительно оси