ГЛАВА VI. ТЕОРИЯ ПОЛЯ. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СИЛЬНОГО ЭКСТРЕМУМА

В предыдущей главе, рассматривая достаточные условия слабого экстремума, мы ввели важное понятие сопряженной точки. Это понятие вводится наиболее простым и естественным путем с помощью рассмотрения пучка экстремалей. (Тогда сопряженная точка определяется как точка пересечения данной экстремали бесконечно близкой к ней экстремалью, выходящей из той же самой начальной точки.)

Целесообразность рассмотрения не отдельных экстремалей, а некоторых их семейств становится особенно отчетливой при переходе к достаточным условиям сильного экстремума. Рассмотрение таких семейств экстремалей тесно связано с важным понятием поля, с которого мы и начнем эту главу. По-видимому, понятие поля может быть полезно в разных вопросах, поэтому мы сперва сформулируем его в общей форме, непосредственно не связанной с вариационными задачами.

§ 27. Согласованные граничные условия. Общее определение поля

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений второго порядка

разрешенную относительно старших производных.

Для того чтобы выделить некоторое определенное решение этой системы, нужно задать условий, например, граничные условия вида

при двух значениях х, скажем . (Именно такие граничные условия встречаются обычно в вариационных задачах.) Если требовать выполнения граничных условий (2) только в одной точке, то они выделят решение системы (1), зависящее от параметров.

Введем следующие определения:

Определение 1. Граничные условия

заданные при и граничные условия

заданные при называются согласованными между собой, если каждое решение систёмы (1), удовлетворяющее граничным условиям (а), поставленным при удовлетворяет и граничным условиям , поставленным при и обратно

Определение 2. Пусть при каждом значении х из некоторого сегмента заданы граничные условия

причем граничные условия, отвечающие двум любым значениям х, согласованы между собой. Совокупность таких согласованных между собой граничных условий называется полем (отвечающим данной системе ).

Граничные условия (3), заданные при каждом это система дифференциальных уравнений первого порядка. Требование согласованности их при разных х означает, что решения системы (3) должны удовлетворять и системе (1), т. е. что система (1) есть следствие системы (3).

В силу теоремы существования и единственности для дифферент циальных уравнений, через каждую точку той области, в которой заданы функции проходит одна и только одна интегральная кривая системы уравнений (3) (мы будем называть их траекториями поля). Согласно сказанному выше, каждая из этих кривых будет в то же время и решением исходной системы (1). Таким образом, заданием поля (3) системы (1) в некоторой области О определяется -параметрическое семейство решений системы (1) такое,

что через каждую точку этой области проходит одна и только одна кривая из этого семейства.

Посмотрим, каковы должны быть функции для того, чтобы система (3) была полем для системы (1).

Продифференцировав (3) по х, получаем

т. е.

Итак, система (1) есть следствие системы (3), если

Таким образом, доказана следующая

Теорема. Система первого порядка

представляет собой поле для системы

если функции удовлетворяют следующей системе уравнений с частными производными:

Систему (4) будем называть системой Гамильтона—Якоби для исходной системы (1). Таким образом, каждое решение системы Гамильтона — Якоби (4) задает некоторое поле для исходной системы (1).

Рассмотрим в качестве примера одно линейное уравнение

Для него система Гамильтона — Якоби сводится к одному уравнению

т. е.

Совокупность решений такого уразнсния зависит от произвольной функции и каждое из них определяет, согласно сказанному выше, некоторое поле уравнения (5).

Рассмотрим среди решений уразнения (6) простейшие, а именно те, которые линейны относительно у.

Положим

Получим

т. е.

Мы получили для уравнение Риккати. Решив его и положив

получаем поле уравнения (5), линейное по у.

Аналогичным образом можно найти простейшее поле для системы линейных уравнений

где -матрица. Напишем соответствующую (7) систему уравнений Гамильтона — Якоби

Будем опять искать здесь решение, линейное по К, т. е. имеющее вид

или, в векторных обозначениях,

Подставив это выражение в уравнение (8), получим

т. е.

Таким образом, функции (9) определяют поле системы (7), линейное по у, если матрица удовлетворяет уравнению

которое естественно назвать матричным уравнением Риккати.

Отметим, хотя это нам и не понадобится в дальнейшем, что понятие поля тесно связано с решением краевых задач для системы уравнений второго порядка методом так называемой прогонки. Поясним этот метод на простейшем примере одного уравнения

с граничными условиями

Построим сначала уравнение первого порядка

все решения которого удовлетворяют: 1) граничному условию (На) и 2) уравнению (10). Для выполнения первого требования нужно положить, очевидно,

Чтобы удовлетворить второму требованию, продифференцируем уравнение (12); получим

Подставив сюда вместо правую часть равенства (12), находим

откуда ясно, что уравнение (10) представляет собой следствие уравнения (12), если

Пусть теперь — решение системы (14), удовлетворяющее

начальным условиям (13). Найдя функции мы получаем, таким образом, в каждой точке отрезка граничное условие

Этот процесс переноса граничных условий, заданных первоначально при в каждую из точек отрезка называют прямой прогонкой. Положив, в частности, получим равенство

которое вместе с граничным условием (116) образует систему, определяющую . Если эти значения определяются однозначно, то наша первоначальная краевая задача имеет единственное решение, которое теперь можно найти как решение уравнения (12), принимающее при полученное нами значение . Этот второй этап решения краевой задачи называется обратной прогонкой.

Мы рассмотрели случай одного уравнения. Аналогичный метод можно применить и к системе уравнений второго порядка.

Решение краевой задачи (10), (11) методом прогонки имеет серьезные преимущества по сравнению с более традиционным методом, состоящим в том, что сперва отыскивается общее решение уравнения (10), а потом в нем значения произвольных постоянных подбираются так, чтобы удовлетворялись граничные условия (11а) и (116). Эти преимущества видны особенно отчетливо в тех случаях, когда приходится при решении задачи прибегать к тем или иным приближенным численным методам. (См. И. С. Березин и Н. П. Жидков, Методы приближенных вычислений, ч. II, стр. 386-389.)

Совершенно очевидна связь метода прогонки с введенным выше понятием поля системы уравнений второго порядка. Действительно, прямая прогонка и представляет собой не что иное, как построение для уравнения (10) поля, линейного относительно у, а уравнения (14) — это та система обыкновенных дифференциальных уравнений, к которой сводится система Гамильтона — Якоби (4) в том случае, когда для одного уравнения второго порядка ищется поле, линейное относительно у. (Выше мы рассматривали в качестве примера однородное линейное уравнение и в соответствии с этим искали поле в однородной форме При этом мы получили для функции уравнение Риккати, совпадающее с первым из уравнений

Мы могли бы строить поле, исходя не из левого конца промежутка а из правого; таким образом, в краевой задаче мы фактически имеем дело с двумя полями уравнения (10), одно из которых получается переносом вдоль граничных условий (11а), а другое — переносом от b к а граничных условий (116). Решение краевой задачи, состоящей из уравнения (10) и граничных условий

(11а) и (11б), — это кривая, являющаяся общей траекторией этих двух полей. Таким образом, метод прогонки состоит из построения одного поля (прямая прогонка) и затем выбора из его траекторий такой, которая является одновременно траекторией и второго поля.