ГЛАВА II. НЕКОТОРЫЕ ОБОБЩЕНИЯ ПРОСТЕЙШЕЙ ЗАДАЧИ. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ

В этой и следующей главах мы рассмотрим некоторые обобщения простейшей задачи вариационного исчисления, рассматривавшейся нами в гл. I.

В § 7 изложена простейшая задача для функционалов с несколькими неизвестными функциями. В § 8—10 рассматриваются различные обобщения простейшей задачи вариационного исчисления. При желании читатель может приступить к чтению гл. III сразу же после изучения § 7.

§ 7. Задача с закрепленными концами в случае n неизвестных функций

Рассмотрим функционал

зависящий от функций где функции удовлетворяют граничным условиям

и установим необходимые условия экстремума для такого функционала. Иными словами, ищется экстремум функционала, определенного на некоторой совокупности кривых, соединяющих две фиксированных точки в -мерном пространстве. Примером подобных задач является отыскание геодезических, т. е. кратчайших, линий между двумя точками некоторого многообразия. Та же самая задача возникает и в геометрической оптике при нахождении пути, по которому распространяется свет в неоднородной среде; согласно принципу Ферма свет идет от точки А в точку В по такому пути, чтобы время прохождения было наименьшим.

Найдем необходимые условия экстремума функционала (1). Для этой цели вычислим его вариацию. Заменив функции близкими к ним функциями где получим

где многоточие означает члены порядка выше первого, а выписанные члены представляют собой главную линейную часть , т. е. вариацию рассматриваемого функционала.

Таким образом,

Все вариации независимы между собой, и мы можем, например, одну из них выбрать произвольно (с соблюдением граничных условий), а все остальные взять равными нулю. Поэтому из равенства

представляющего собой необходимое условие экстремума, вытекает,

для всех п. Воспользовавшись леммой 2 § 3, получаем систему дифференциальных уравнений Эйлера

Итак, для того чтобы кривая

доставляла экстремум функционалу

необходимо, чтобы функции удовлетворяли уравнениям Эйлера (4). Система (4) состоит из уравнений второго

порядка, следовательно, ее общее решение содержит произвольных постоянных, которые определяются из граничных условий (2).

Примеры. 1. Распространение света в неоднородной среде. Пусть пространство заполнено оптически неоднородной средой, так что в каждой точке пространства скорость распространения света есть некоторая функция от координат этой точки. Согласно уже упоминавшемуся принципу Ферма свет идет из одной точки в другую по той кривой, для которой время прохождения света будет наименьшим. Если линия, соединяющая две точки А и В, задана уравнениями

то время, за которое свет проходит вдоль нее, равно

Написав для этого функционала систему уравнений Эйлера

получаем дифференциальные уравнения линий распространения света.

2. Геодезические линии. Рассмотрим некоторую поверхность, заданную векторным уравнением

    (5)

Линия минимальной длины, соединяющая две точки и лежащая на данной поверхности, называется геодезической линией. Найдем уравнения геодезических линий. Их можно, очевидно, получить как уравг нения Эйлера, соответствующие некоторой вариационной задаче, а именно задаче о нахождении кратчайшего расстояния (считая по поверхности) между двумя точками, лежащими на данной поверхности.

Линия, лежащая на поверхности может быть задана уравнениями

Длина ее отрезка между точками, отвечающими значениям параметра равна

где Е, F и G — коэффициенты первой квадратичной формы поверхности т. е.

Напишем для функционала (6) уравнения Эйлера. Получаем

Рассмотрим в качестве простейшего примера круглый цилиндр

    (7)

и найдем геодезические линии на этом цилиндре. Здесь роль параметров и и v играют переменные . Первая квадратичная форма цилиндра (7) имеет следующие коэффициенты:

Следовательно, уравнения геодезических для этой поверхности будут

т. е.

Деля одно из этих уравнений на другое, получим

Решение этого уравнения

представляет собой двупараметрическое семейство винтовых линий, лежащих на рассматриваемом цилиндре.

Понятие геодезической может быть определено не только для поверхностей, но и для многообразий большего числа измерений. Нахождение геодезических линий -мерного многообразия приводится, очевидно, к решению вариационной задачи для функционала, зависящего от функций.

Замечание. Выше мы для каждого функционала

получили отвечающую ему вполне определенную систему уравнений Эйлера. Поставим обратную задачу: пусть заданы левые части уравнений Эйлера

Требуется по ним восстановить функцию определяющую функционал (1). Такая задача решается неоднозначно. Действительно, если мы прибавим к выражению, стоящему под знаком интеграла в функционале (1), полный дифференциал какой-либо функции, т. е. прибавим к F выражение вида

то соответствующие уравнения Эйлера при этом не изменятся, так как выражение

(рассматриваемое как функция от ) тождественно равно нулю. В этом легко убедиться, подставив сюда вместо выражение (8). Сам функционал (1) от добавления к нему какого-либо полного дифференциала изменится, очевидно, на некоторую постоянную величину.