В § 1.6 было указано, что разложения типа Пуанкаре (прямые разложения), такие, как
\[
f(x ; \varepsilon) \sim \sum_{m=0}^{\infty} \delta_{m}(\varepsilon) f_{m}(x),
\]

где $\delta_{m}(\varepsilon)$-асимптотическая последовательность по параметру $\varepsilon$, являются, как правило, неравномерно пригодными и нарушаются в областях, называемых областями неравномерности. Некоторыми из источников неравномерностей являются следующие: бесконечная область, малый параметр при старшей производной, изменение типа дифференциального уравнения в частных производных и наличие особенностей.

В случае бесконечной области неравномерность заявляет о себе наличием так называемых вековых членов вида $x^{n} \cos x$ и $x^{n} \sin x$, из-за которых отношение $f_{m}(x) / f_{m-1}(x)$ не ограничено, когда $x$ стремится к бесконечности. В случае малого параметра при старшей производной разложение возмущения не может удовлетворить всем граничным и начальным условиям и, таким образом, является непригодным в пограничных и начальных слоях. Поскольку граничные и начальные условия, необходимые для корректной постановки задачи, зависят от типа рассматриваемого дифференциального уравнения в частных производных, то неравномерности могут возникнуть и в том случае, когда тип возмущенных уравнений отличается от типа исходного уравнения. В четвертом случае в разложении в некоторой точке могут появиться особенности, которые не имеют места в точном решении и становятся более выраженными в последующих членах.

Для каждого из источников неравномерности дается несколько примеров, иллюстрирующих возникновение неравномерных разложений и способы их распознавания. Эти примеры поясняют также технику получения возмущений по параметру. Кроме того, большинство из этих примеров вновь появляется в последующих главах, где они приводятся к равномерно пригодному виду. В заключение главы обсуждается роль координат (как зависимых, так и независимых) в получении равномерных или

неравномерных разложений, а также роль методов возмущений в выборе координатных систем, в которых разложения становятся равномерно пригодными.