В задачах с возмущениями по параметру функции, подлежащие разложению, могут зависеть от одной или большего числа переменных, не считая параметра возмущения. Если построить асимптотическое разложение функции $f(x;\epsilon )$, где $x$-скалярная или векторная переменная, не зависящая от $\epsilon$, по асимптотической последовательности ${\delta }_m(\epsilon )$, то получим
$$f(x;\epsilon )\sim \sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_m(x){\delta }_m(\epsilon )\text{ при }\epsilon ⟶0.$$

Здесь коэффициенты $a_m$ являются функциями только переменной $\mathit{x}$. Говорят, что разложение (1.6.1) равномерно пригодно,

если
$$\begin{array}{l}f(x;\epsilon )=\sum _{m=0}^{N-1}{a}_m(x){\delta }_m(\epsilon )+R_N(x;\epsilon ),\\ R_N(x;\epsilon )=O[{\delta }_N(\epsilon )]\text{ равномерно для всех }\\ \text{ рассматриваемых }x.\end{array}$$

В противном случае говорят, что разложение является неравномерно пригодным (такое разложение часто называют сингулярным разложением возмущения). Для того чтобы условия равномерности (1.6.2) выполнялись, необходимо, чтобы для каждого $m$ слагаемое $a_m(x){\delta }_m(\epsilon )$ было мало по сравнению с предыдущим $a_{m-1}(x){\delta }_{m-1}(\epsilon )$. Поскольку при $\epsilon \to 0$ имеем ${\delta }_m(\epsilon )=$ $=0[{\delta }_{m-1}(\epsilon )]$, для равномерности разложения мы должны требовать, чтобы для всех рассматриваемых $x{a}_n(x)$ было не более сингулярным, чем $a_{m-1}(x)$. Другими словами, каждый член должен быть малой поправкой к предыдущему члену независимо от значения $x$. Равномерно пригодным разложением является следующее:
$$\begin{array}{l}\sin (x+\epsilon )=\\ =\sin x\cos \epsilon +\cos x\sin \epsilon =\\ =\sin x(1-\frac{{\epsilon }^2}{2!}+\frac{{\epsilon }^4}{4!}-\frac{{\epsilon }^6}{6!}+\dots )+\cos x(\epsilon -\frac{{\epsilon }^3}{3!}+\frac{{\epsilon }^5}{5!}-\frac{{\epsilon }^7}{7!}+\dots )=\\ =\sin x+\epsilon \cos x-\frac{{\epsilon }^2}{2!}\sin x-\frac{{\epsilon }^3}{3!}\cos x+\frac{{\epsilon }^4}{4!}\sin x+\frac{{\epsilon }^5}{5!}\cos x-\\ -\frac{{\epsilon }^6}{6!}\sin x-\frac{{\epsilon }^7}{7!}\cos x+\dots \text{ при }\epsilon \to 0.\text{ (1.6.3) }\end{array}$$

Заметим, что коэффициенты при всех степенях $\epsilon$ ограничены для всех значений $x$, поэтому $a_m(x)$ не более сингулярно, чем $a_{m-1}(x)$, и как следствие этого разложение является равномерно пригодным.

Для получения неравномерно пригодного разложения раз. ложим для малых $\epsilon$ функцию $f(x;\epsilon )=\sqrt{x+\epsilon }$. Получим
$$\begin{array}{l}f(x;\epsilon )=\sqrt{x+\epsilon }=\sqrt{x}{(1+\frac{\epsilon }{x})}^{1/2}=\\ =\sqrt{x}(1+\frac{\epsilon }{2x}-\frac{{\epsilon }^2}{8x^2}+\frac{{\epsilon }^3}{16x^3}+\dots ).\end{array}$$

Каждый член этого разложения, исключая первый, имеет особенность при $x=0$ и является более сингулярным, чем предыдущий. Следовательно, разложение не является равномерно пригодным. Справедливость его нарушается в окрестности $x=0$. Размеры области неравномерности могут быть оценены в некоторых случаях с помощью предположения о том, что два после-

довательных члена имеют один и тот же порядок. Для (1.6.4) это дает
$$\frac{\epsilon }{2x}=O(1),x=O(\epsilon ).$$

Это можно было усмотреть, вспомнив, что ряд Тейлора функции $[1+(\epsilon /x){]}^{1/2}$ сходится только при $|\epsilon /x|$, меньшем единицы.

В качестве второго примера неравномерно пригодного разложения рассмотрим разложение $\exp (-\epsilon t)$ для малых $\epsilon$. Эта функция имеет следующий равномерно сходящийся для всех $t$ ряд Тейлора:
$$e^{-\epsilon t}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{(\epsilon t{)}^n}{n!}.$$

Ясно, что функция $\exp (-\epsilon t)$ может быть приближенно представлена конечным числом членов только в том случае, когда произведение $\epsilon t$ мало. Поскольку $\epsilon$-малая величина, сказанное означает, что $t=O(1)$. Если $t$ имеет порядок $O\left({\epsilon }^{-1}\right)$, то величина $\epsilon t$ не мала, и усеченный ряд перестает быть справедливым. Например, для $t=2{\epsilon }^{-1}$ первые два члена дают для $\exp (-2)$ значение, равное -1. Нетрудно установить, что если в приведенном выше ряде сохранить конечное число членов, то усеченный ряд может давать удовлетворительное приближение только до некоторого значения $t$, после которого функция $\exp (-\epsilon t)$ и усеченный ряд отличаются друг от друга на величину, превосходящую заданный предел точности. Добавление дополнительных членов к усеченному ряду увеличит значение $t$, вплоть до которого усеченный ряд дает удовлетворительное приближение, до нового значения $t^{\prime }$. Однако при $t>t^{\prime }$ разность между $\exp (-\epsilon t)$ и новым усеченным рядом вновь превзойдет заданную точность. Таким образом, для получения разложения, удовлетворительного для всех $t$, необходимы все члены ряда.

То обстоятельство, что асимптотические разложения по параметру не являются равномерно пригодными и перестают быть справедливыми в некоторых областях, является скорее правилом, чем исключением. Эти области, которые упоминаются иногда как пограничные слои, носят название областей неравномерности. Фридрихс [1955] обсуждал появление этих неравномерностей в различных областях математической физики в обзорной статье. Большинство методов теории возмущений было развито с целью превратить неравномерные разложения в равномерно пригодные. В гл. 2 обсуждаются источники неравномерности; в остальных главах развивается техника сведения неравномерных разложений к равномерным.