В задачах с возмущениями по параметру функции, подлежащие разложению, могут зависеть от одной или большего числа переменных, не считая параметра возмущения. Если построить асимптотическое разложение функции $f(x ; \varepsilon)$, где $x$-скалярная или векторная переменная, не зависящая от $\varepsilon$, по асимптотической последовательности $\delta_{m}(\varepsilon)$, то получим
\[
f(x ; \varepsilon) \sim \sum_{m=0}^{\infty} a_{m}(x) \delta_{m}(\varepsilon) \text { при } \varepsilon \longrightarrow 0 .
\]

Здесь коэффициенты $a_{m}$ являются функциями только переменной $\boldsymbol{x}$. Говорят, что разложение (1.6.1) равномерно пригодно,

если
\[
\begin{array}{l}
f(x ; \varepsilon)=\sum_{m=0}^{N-1} a_{m}(x) \delta_{m}(\varepsilon)+R_{N}(x ; \varepsilon), \\
R_{N}(x ; \varepsilon)=O\left[\delta_{N}(\varepsilon)\right] \text { равномерно для всех } \\
\text { рассматриваемых } x .
\end{array}
\]

В противном случае говорят, что разложение является неравномерно пригодным (такое разложение часто называют сингулярным разложением возмущения). Для того чтобы условия равномерности (1.6.2) выполнялись, необходимо, чтобы для каждого $m$ слагаемое $a_{m}(x) \delta_{m}(\varepsilon)$ было мало по сравнению с предыдущим $a_{m-1}(x) \delta_{m-1}(\varepsilon)$. Поскольку при $\varepsilon \rightarrow 0$ имеем $\delta_{m}(\varepsilon)=$ $=0\left[\delta_{m-1}(\varepsilon)\right]$, для равномерности разложения мы должны требовать, чтобы для всех рассматриваемых $x a_{n}(x)$ было не более сингулярным, чем $a_{m-1}(x)$. Другими словами, каждый член должен быть малой поправкой к предыдущему члену независимо от значения $x$. Равномерно пригодным разложением является следующее:
\[
\begin{array}{l}
\sin (x+\varepsilon)= \\
=\sin x \cos \varepsilon+\cos x \sin \varepsilon= \\
=\sin x\left(1-\frac{\varepsilon^{2}}{2 !}+\frac{\varepsilon^{4}}{4 !}-\frac{\varepsilon^{6}}{6 !}+\ldots\right)+\cos x\left(\varepsilon-\frac{\varepsilon^{3}}{3 !}+\frac{\varepsilon^{5}}{5 !}-\frac{\varepsilon^{7}}{7 !}+\ldots\right)= \\
=\sin x+\varepsilon \cos x-\frac{\varepsilon^{2}}{2 !} \sin x-\frac{\varepsilon^{3}}{3 !} \cos x+\frac{\varepsilon^{4}}{4 !} \sin x+\frac{\varepsilon^{5}}{5 !} \cos x- \\
\quad-\frac{\varepsilon^{6}}{6 !} \sin x-\frac{\varepsilon^{7}}{7 !} \cos x+\ldots \text { при } \varepsilon \rightarrow 0 . \quad \text { (1.6.3) }
\end{array}
\]

Заметим, что коэффициенты при всех степенях $\varepsilon$ ограничены для всех значений $x$, поэтому $a_{m}(x)$ не более сингулярно, чем $a_{m-1}(x)$, и как следствие этого разложение является равномерно пригодным.

Для получения неравномерно пригодного разложения раз. ложим для малых $\varepsilon$ функцию $f(x ; \varepsilon)=\sqrt{x+\varepsilon}$. Получим
\[
\begin{array}{l}
f(x ; \varepsilon)=\sqrt{x+\varepsilon}=\sqrt{x}\left(1+\frac{\varepsilon}{x}\right)^{1 / 2}= \\
=\sqrt{x}\left(1+\frac{\varepsilon}{2 x}-\frac{\varepsilon^{2}}{8 x^{2}}+\frac{\varepsilon^{3}}{16 x^{3}}+\ldots\right) .
\end{array}
\]

Каждый член этого разложения, исключая первый, имеет особенность при $x=0$ и является более сингулярным, чем предыдущий. Следовательно, разложение не является равномерно пригодным. Справедливость его нарушается в окрестности $x=0$. Размеры области неравномерности могут быть оценены в некоторых случаях с помощью предположения о том, что два после-

довательных члена имеют один и тот же порядок. Для (1.6.4) это дает
\[
\frac{\varepsilon}{2 x}=O(1), \quad x=O(\varepsilon) .
\]

Это можно было усмотреть, вспомнив, что ряд Тейлора функции $[1+(\varepsilon / x)]^{1 / 2}$ сходится только при $|\varepsilon / x|$, меньшем единицы.

В качестве второго примера неравномерно пригодного разложения рассмотрим разложение $\exp (-\varepsilon t)$ для малых $\varepsilon$. Эта функция имеет следующий равномерно сходящийся для всех $t$ ряд Тейлора:
\[
e^{-\varepsilon t}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{(\varepsilon t)^{n}}{n !} .
\]

Ясно, что функция $\exp (-\varepsilon t)$ может быть приближенно представлена конечным числом членов только в том случае, когда произведение $\varepsilon t$ мало. Поскольку $\varepsilon$-малая величина, сказанное означает, что $t=O(1)$. Если $t$ имеет порядок $O\left(\varepsilon^{-1}\right)$, то величина $\varepsilon t$ не мала, и усеченный ряд перестает быть справедливым. Например, для $t=2 \varepsilon^{-1}$ первые два члена дают для $\exp (-2)$ значение, равное -1. Нетрудно установить, что если в приведенном выше ряде сохранить конечное число членов, то усеченный ряд может давать удовлетворительное приближение только до некоторого значения $t$, после которого функция $\exp (-\varepsilon t)$ и усеченный ряд отличаются друг от друга на величину, превосходящую заданный предел точности. Добавление дополнительных членов к усеченному ряду увеличит значение $t$, вплоть до которого усеченный ряд дает удовлетворительное приближение, до нового значения $t^{\prime}$. Однако при $t>t^{\prime}$ разность между $\exp (-\varepsilon t)$ и новым усеченным рядом вновь превзойдет заданную точность. Таким образом, для получения разложения, удовлетворительного для всех $t$, необходимы все члены ряда.

То обстоятельство, что асимптотические разложения по параметру не являются равномерно пригодными и перестают быть справедливыми в некоторых областях, является скорее правилом, чем исключением. Эти области, которые упоминаются иногда как пограничные слои, носят название областей неравномерности. Фридрихс [1955] обсуждал появление этих неравномерностей в различных областях математической физики в обзорной статье. Большинство методов теории возмущений было развито с целью превратить неравномерные разложения в равномерно пригодные. В гл. 2 обсуждаются источники неравномерности; в остальных главах развивается техника сведения неравномерных разложений к равномерным.