Сущность метода Лайтхилла заключается в разложении не только зависимой переменной $u\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} ; \varepsilon\right)$ по степеням малого параметра $\varepsilon$, но также и в разложении одной из независимых переменных, скажем $x_{1}$, по степеням $\varepsilon$. Лайтхилл [1949a], [1961] ввел новую независимую переменную и затем разложил $u$ и $x_{1}$ по степеням $\varepsilon$ с коэффициентами, зависящими от $s$. Для первого приближения он предположил, что $x_{1}$ и $s$ совпадают. Таким образом, Лайтхилл предположил следующие разложения для $и$ и $x_{1}$ :
\[
\begin{array}{l}
u=\sum_{m=0}^{\infty} \varepsilon^{m} u_{m}\left(s, x_{2}, x_{3}, \ldots, x_{n}\right), \\
x_{1}=s+\sum_{m=1}^{\infty} \varepsilon^{m} \xi_{m}\left(s, x_{2}, x_{8}, \ldots, x_{n}\right) .
\end{array}
\]

Ясно, что прямое разложение (типа Пуанкаре) состоит только из (3.2.1), в котором $s$ заменено на $x_{1}$. Поскольку это прямое разложение не является равномерно пригодным, Лайтхилл ввел (3.2.2) и выбрал $\xi_{m}$ (называемые растягивающими функциями) так, чтобы оба эти разложения стали равномерно пригодными; т. е. он выбрал $\xi_{m}$ так, чтобы результирующее приближение было равномерно пригодным. В некоторых случаях это достигается, если потребовать, чтобы
\[
\frac{u_{m}}{u_{m-1}} \text { и } \frac{\xi_{m}}{\xi_{m-1}} \text { были ограниченными. }
\]

Другими словами, высшие приближения не должны быть более сингулярными, чем первое.

Сравнивая (3.2.1) и (3.2.2) с (3.1.2) и (3.1.4), мы видим, что метод Лайтхилла является обобщением метода растянутых параметров.

Го [1953], [1956] модифицировал этот метод, чтобы применить его к потоку вязкой жидкости. Поэтому Цянь Сюэ-сэнь [1956] назвал его методом ПЛГ, что значит метод Пуанкаре-Лайтхилла – Го.

Этот метод применялся к ряду задач, преимущественно к задачам о распространении волн в средах без дисперсии. Лайтхилл [1949б] рассмотрел конические ударные волны в стационарном сверхзвуковом потоке. Уизэм [1952] определил картину ударных волн на осесимметричном снаряде в стационарном сверхзвуковом потоке, он же исследовал распространение сферических ударных волн в звездах [1953]. Легра [1951], [1953] и Ли и Шеппард [1966] применили этот метод к исследованию стационарного сверхзвукового обтекания тонкого крыла; Рао [1956] применил его к звуковым хлопкам ${ }^{1}$ ). Хольт и Шварц [1963], Сакураи [1965], Хольт [1967] и Акинсет и Ли [1969] исследовали эффекты при схлопывании сферической каверны; Джасмен [1968] рассмотрел схлопывание сферической каверны, наполненной газом. Сириньяно и Крокко [1964] проанализировали неустойчивость горения, обуслов.яенную химической кинетикой. Сэведж и Хасегава [1967] изучили затухание импульсов в металлах; Сакураи [1968] рассмотрел эффект импеданса плазмы в задаче обратного пинч-эффекта. Эйнауди $[1969,1970]$ применил тот же метод для описания распространения акустических гравитационных волн. Левак [1969] и Завадский и Левак [1971] решили уравнение Власова. Эспедал [1971] использовал сочетание этого метода с методом

сращивания асимптотических разложений для определения эффекта ион-ионных столкновений в ионно-акустических импульсах в плазме.

Асано и Таниути $[1969,1970]$ и Асано [1970] перенесли этот метод на распространение волн в слабо неоднородной среде без дисперсии. Мельник [1965] применил его к энтропийному слою в окрестности конически симметричного крыла. Мак-Интайр [1966] исследовал задачу оптимального управления с разрывными управляющими функциями. Росс [1970] применил его к кинетике биохимических реакций при диффузии.

Баруа [1954] проанализировал вторичные потоки, вызванные вращением в ненагреваемой трубе; Мортон [1959] изучил ламинарную конвекцию в нагреваемой трубе; Моррис [1965] исследовал случай ламинарной конвекции в вертикальной трубе. Чан, Акинс и Банкофф [1966] проанализировали свободную конвекцию жидкого металла от однородно нагреваемой пластины.

Крейн [1959] сделал асимптотическое разложение для пограничных слоев равномерно пригодным. Гольдбург и Чен [1961] обсуждали аномалии, возникающие при применении этого метода и параболических координат к исследованию пограничного слоя на задней кромке. Окендон [1966] исследовал точки отрыва в ньютоновской теории гиперзвукового потока.

Поскольку метод Лайтхилла является обобщением метода растянутых параметров, то первый метод дает результаты, совпадающие с результатами, полученными при использовании второго метода, всегда, когда последний может быть применен. Поэтому ниже рассматриваются задачи, которые не могут быть исследованы методом растянутых параметров.

3.2.1. Дифференциальное уравнение первого порядка

Первым примером, который исследовал Лайтхилл, было дифференциальное уравнение первого порядка
\[
(x+\varepsilon y) \frac{d y}{d x}+q(x) y=r(x), \quad y(1)=b>0,
\]

где $q(x)$ и $r(x)$-регулярные функции при всех рассматриваемых значениях $x$. Вазов [1955] нашел необходимые условия сходимости разложений Лайтхилла для этой задачи. Ашер [1971] исследовал необходимые условия применимости этого метода к уравнениям вида
\[
y^{\prime}=f(x, y)+\varepsilon g(x, y)+\ldots .
\]

Қамсток [1968] показал, что метод Лайтхилла может привести к ошибочным разложениям (см. упр. 3.28) для уравнения
\[
\left(x^{n}+\varepsilon y\right) y^{\prime}+n x^{n-1} y=m x^{m-1}, \quad y(1)=a>1 .
\]

Бернсайд [1970] исследовал равномерность разложения, полученного растяжением переменной $z=x^{n}$ вместо $x$.

Ясно, что областью неравномерности является окрестность точки $x=0$. Для $\varepsilon=0$ уравнение (3.2.4) имеет решение вида
\[
y=\left[\exp \int^{x}-\frac{q(t)}{t} d t\right]\left[\int^{x} \frac{r(t)}{t}\left(\exp \int^{t} \frac{q(\tau)}{\tau} d \tau\right) d t+c\right] .
\]

Положим $q(0)=q_{0}$, тогда
\[
\exp \int^{x} \frac{q(t)}{t} d t=x^{q_{0}} R(x)
\]

где через $R(x)$ обозначена функция, регулярная при $x=0$. Поскольку $r(x)$ регулярна при $x=0$, то
\[
y=R(x)+O\left(x^{-a_{0}}\right) \text { при } x \rightarrow 0,
\]

кроме тех случаев, когда $q_{0}$-целое отрицательное число. В этом случае
\[
y=R(x)+O\left(x-a_{0} \ln x\right) \quad \text { при } \quad x \rightarrow 0 .
\]

Из равенств (3.2.7) и (3.2.8) мы видим, что для нулевого приближения решение уравнения (3.2.4) ограничено или неограничено в зависимости от того, имеет ли место $q_{0}<0$ или $q_{0} \geqslant 0$. Чтобы продемонстрировать детали описываемого метода, мы применим его для частного случая $q_{0}=2$.

Для этого рассмотрим следующую задачу, исследованную Лайтхиллом [1949a] и Цянь Сюэ-сэнем [1956]:
\[
(x+\varepsilon y) \frac{d y}{d x}+(2+x) y=0, \quad y(1)=A e^{-1},
\]

где $A$-постоянная. Следуя Лайтхиллу, мы предположим, что
\[
\begin{array}{l}
y=\sum_{m=0}^{\infty} \varepsilon^{m} y_{m}(s), \\
x=s+\sum_{m=1}^{\infty} \varepsilon^{m} x_{m}(s) .
\end{array}
\]

Тогда
\[
\frac{d y}{d x}=\frac{\frac{d y}{d s}}{\frac{d x}{d s}}=\frac{\sum_{m=0}^{\infty} \varepsilon^{m} y_{m}^{\prime}(s)}{1+\sum_{m=1}^{\infty} \varepsilon^{m} x_{m}^{\prime}(s)} .
\]

Чтобы учесть граничное условие, необходимо определить значение $s$, соответствующее $x=1$. Обозначим его через $\tilde{s}$. Таким

образом, мы пришли к уравнению
\[
\tilde{s}=1-\sum_{m=1}^{\infty} \varepsilon^{m} x_{m}(\tilde{s}) .
\]

Разложим $\tilde{s}$ по степеням $\varepsilon$
\[
\tilde{s}=1+\varepsilon \vec{s}_{1}+\varepsilon^{2} \tilde{s}_{2}+\ldots .
\]

Подставив (3.2.14) в (3.2.13), разложив и приравняв коэффициенты при равных степенях $\varepsilon$, придем к равенству
\[
\tilde{s}=1-\varepsilon x_{1}(1)-\varepsilon^{2}\left[x_{2}(1)-x_{1}(1) x_{1}^{\prime}(1)\right]+\ldots .
\]

Граничное условие теперь может быть записано в виде
\[
A e^{-1}=y_{0}(1)+\varepsilon\left[y_{1}(1)-y_{0}^{\prime}(1) x_{1}(1)\right]+\ldots
\]

или
\[
\begin{array}{l}
y_{0}(1)=A e^{-1}, \\
y_{1}(1)=y_{0}^{\prime}(1) x_{1}(1) .
\end{array}
\]

Подставив (3.2.10)-(3.2.12) в (3.2.9), разложив и приравняв коэффициенты при $\varepsilon^{0}$ и $\varepsilon$ к нулю, получим
\[
\begin{array}{l}
s y_{0}^{\prime}+(2+s) y_{0}=0, \\
s y_{1}^{\prime}+(2+s) y_{1}=-(2+s) y_{0} x_{1}^{\prime}-\left(y_{0}+y_{0}^{\prime}\right) x_{1}-y_{0} y_{0}^{\prime} .
\end{array}
\]

Решение для $y_{0}$ имеет вид
\[
y_{0}=A e^{-s_{S}-2} .
\]

Поэтому (3.2.20) преобразуется к виду
\[
\frac{d}{d s}\left(\frac{y_{1}}{y_{0}}\right)=\frac{1}{s}\left[-(2+s) x_{1}^{\prime}+\frac{2}{s} x_{1}+A e^{-s_{s}-2}\left(\frac{2}{s}+1\right)\right] .
\]

Если $x_{1}=0$, то уравнение (3.2.22) приведется к уравнению для членов первого порядка в прямом разложении, где $y_{1}$ более сингулярно при $x=0$, чем $y_{0}$. Действительно, $y_{0}=O\left(x^{-2}\right)$, в то время как $y_{1}=O\left(x^{-5}\right)$ при $x \longrightarrow 0$. Чтобы сделать это разложение равномерно пригодным, $x_{1}$ можно выбрать так, чтобы $y_{1}$ было не более сингулярно, чем $y_{0}$, обратив для этого в нуль правую часть уравнения (3.2.22). Однако Лайтхилл нашел, что равномерно пригодное разложение можно получить, выбрав $x_{1}$ так, чтобы устранить главную особенность. Поэтому мы положим
\[
x_{1}^{\prime}-\frac{x_{1}}{s}=\frac{A}{s^{3}}
\]

или
\[
x_{1}=-\frac{A}{3 s^{2}} \text {. }
\]

Тогда (3.2.22) примет вид
\[
\frac{d}{d s}\left[\frac{y_{1}}{y_{0}}\right]=-\frac{2 A}{3 s^{3}}-\frac{2 A}{s^{4}}+A e^{-s}\left(\frac{1}{s^{3}}+\frac{2}{s^{4}}\right),
\]

следовательно,
\[
y_{1}=A^{2} e^{-s} s^{-2}\left[\frac{2}{3 s^{3}}+\frac{1}{3 s^{2}}-\int_{s}^{1} e^{-\xi}\left(\frac{2}{\xi^{4}}+\frac{1}{\xi^{3}}\right) d \xi\right] .
\]

Растягивающая функция $x_{2}$ может быть найдена из условия устранения главной особенности в $y_{2}$ и будет в этом случае иметь вид
\[
x_{2}=-\frac{3 A^{2}}{10 s^{4}} \text {. }
\]

Поэтому
\[
y=A e^{-s} s^{-2}\left\{1+A \varepsilon\left[\frac{2}{3 s^{3}}+\frac{1}{3 s^{2}}-\int_{s}^{1} e^{-\xi}\left(\frac{2}{\xi^{4}}+\frac{1}{\xi^{3}}\right) d \xi\right]\right\}+O\left(\frac{\varepsilon^{2}}{s^{6}}\right),
\]

где
\[
x=s-\frac{\varepsilon A}{3 s^{2}}-\frac{3 \varepsilon^{2} A^{2}}{10 s^{4}}+O\left(\frac{\varepsilon^{3}}{s^{6}}\right) .
\]

Самое грубое приближение, равномерно пригодное вблизи нуля, имеет вид
\[
y=A e^{-s_{S}-2},
\]

где $s$-корень уравнения
\[
x=s-\frac{\varepsilon A}{3 s^{2}},
\]

который приближенно равен $x$, когда $x \geqslant 0$ и $\varepsilon \ll 1$. Предполагается, что это разложение начинается при положительном значении $x$, и требуется его продолжить в сторону уменьшения $x$ через точку $x=0$. Для физических задач это продолжение прекратится, если до нуля найдется действительная точка ветвления $s$ как функция от $x$. Точка ветвления дается условием $d x / d s=0$, что эквивалентно $x+\varepsilon y=0$, а это является особенностью исходного уравнения (3.2.9). В этом случае точка ветвления дается выражением $s \approx(-2 A \varepsilon / 3)^{1 / 3}$, которое положительно тогда и только тогда, когда $A<0$. Поэтому вышеприведенное разложение будет пригодным вплоть до нуля, если $A>0$, и пригодно лишь до точки $x \approx(3 / 2)(-2 A \varepsilon / 3)^{1 / 3}$, если $A<0$.

Если $A=1$, то $x=0$ соответствует значению
\[
s=\left(\frac{\varepsilon}{3}\right)^{1 / 3}+\frac{9}{10}\left(\frac{\varepsilon}{3}\right)^{2 / 3}+O(\varepsilon) .
\]

Следовательно, при $x=0$
\[
y=\left(\frac{3}{\varepsilon}\right)^{2 / 3}-\frac{3}{10}\left(\frac{3}{\varepsilon}\right)^{1 / 3}+O(1) .
\]

3.2.2. Одномерная задача о космическом корабле Земля – Луна

Одномерная задача о космическом корабле Земля – Луна (см. п. 2.4.2) ${ }^{1}$ изучена Найфэ [1965a] и приведена к уравнению:
\[
\frac{1}{2}\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}=\frac{1-\mu}{x}+\frac{\mu}{1-x}, \quad t(0)=0 .
\]

Предположим, что
\[
\begin{array}{l}
t=t_{0}(s)+\mu t_{1}(s)+O\left(\mu^{2}\right), \\
x=s+\mu x_{1}(s)+O\left(\mu^{2}\right) .
\end{array}
\]

Подставив (3.2.35) и (3.2.36) в (3.2.34) и приравняв коэффициенты при равных степенях $\mu$, получим
\[
\begin{array}{c}
2 t_{0}^{\prime 2}=s, \quad t_{0}(0)=0, \\
\frac{t_{1}^{\prime}}{t_{0}^{\prime 3}}=\frac{x_{1}^{\prime}}{t_{0}^{\prime 2}}+\frac{x_{1}}{s^{2}}+\frac{1}{s}-\frac{1}{1-s}, \quad t_{1}(0)=t_{0}^{\prime}(0) x_{1}(0) .
\end{array}
\]

Решение уравнения (3.2.37) имеет вид
\[
\sqrt{2} t_{0}=\frac{2}{3} s^{3 / 2} .
\]

Если $x_{1}=0$, то $t_{1}=O[\ln (1-x)]$ при $x \rightarrow 1$. Особенность в $t_{1}$ может быть устранена, если правая часть уравнения (3.2.38) обратится в нуль, т. е.
\[
\frac{x_{1}^{\prime}}{t_{0}^{\prime 2}}+\frac{x_{1}}{s^{2}}+\frac{1}{s}-\frac{1}{1-s}=0 .
\]

Решение этого уравнения имеет вид
\[
x_{1}=-1+\frac{1}{2} s^{-1 / 2} \ln \frac{1+s^{1 / 2}}{1-s^{1 / 2}}-\frac{2}{3} s .
\]

Поэтому для первого приближения
\[
\sqrt{2} t=\frac{2}{3} s^{3 / 2}+O(\mu)
\]
1) См. примечание на стр. 54.- Прим. ред.

где $s$-корень уравнения
\[
x=s-\mu\left[1-\frac{1}{2} s^{-1 / 2} \ln \frac{1+s^{1 / 2}}{1-s^{1 / 2}}+\frac{2}{3} s\right]+O\left(\mu^{2}\right) .
\]

3.2.3. Твердый цилиндр, равномерно расширяющийся

в неподвижном воздухе
Рассмотрим далее решение задачи о цилиндрической ударной волне, вызванной цилиндрическим твердым телом, расширяющимся равномерно из нуля в невязком, нетеплопроводном и непсдвижном воздухе. Эта задача также была рассмотрена Лайтхиллом. Предположим, что радиальная скорость расширения равна $\varepsilon a_{0}$, где $a_{0}$-скорость звука в неподвижном воздухе и $\varepsilon$-малый параметр. Скачок распространяется с постоянной скоростью $M a_{0}$, где $M$-число Маха для скачка. Поток между цилиндром и ударной волной – адиабатический и изэнтропический, следовательно, он может быть описан с помощью потенциала $\varphi(r, t)$ (радиальная скорость $q=\varphi_{r}$ ), удовлетворяющего уравнению
\[
a^{2}
abla^{2} \varphi=\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial t^{2}}+2 \frac{\partial \varphi}{\partial r} \frac{\partial^{2} \varphi}{\partial r \partial t}+\left(\frac{\partial \varphi}{\partial r}\right)^{2} \frac{\partial^{2} \varphi}{\partial r^{2}},
\]

где $a$-местная скорость звука, связанная с $a_{0}$ уравнением Бернулли, т. е.
\[
a^{2}+(\gamma-1)\left[\frac{\partial \varphi}{\partial t}+\frac{1}{2}\left(\frac{\partial \varphi}{\partial r}\right)^{2}\right]=a_{0}^{2},
\]

где $\gamma$-отношение удельной теплоемкости газа при постоянном давлении к удельной теплоемкости при постоянном объеме. Газ предполагается совершенным с постоянными удельными теплоемкостями. Потенциал $\varphi$ должен удовлетворять трем граничным условиям. Первое граничное условие: скорость воздуха на поверхности цилиндра равна скорости его расширения, т. е.
\[
\frac{\partial \varphi}{\partial r}\left(\varepsilon a_{0} t\right)+\varepsilon a_{0} .
\]

Вторым граничным условием будет условие непрерывности потенциала ч при переходе через ударную волну. Поскольку в покоящемся воздухе $\varphi=0$, то
\[
\varphi=\left(M a_{0} t\right)=0 .
\]

Третьим условием будет соотношение Рэнкина-Гюгонио между скоростью ударной волны и скоростью воздуха за ней:
\[
\frac{\partial \varphi}{\partial r}\left(M a_{0} t\right)=\frac{2 a_{0}\left(M^{2}-1\right)}{M(\gamma+1)} .
\]

Поскольку задача не имеет характерного линейного размера, все характеристики потока являются функциями лишь от $r / a_{0} t$. Положим
\[
\varphi=a_{0}^{2} t f(x), \quad x=\frac{r}{a_{0} t} .
\]

Тогда задача примет вид
\[
\begin{array}{l}
{\left[1-x^{2}+(\gamma+1) x \frac{d f}{d x}-(\gamma-1) f-\frac{1}{2}(\gamma+1)\left(\frac{d f}{d x}\right)^{2}\right] \frac{d^{2} f}{d x^{2}}+} \\
+\frac{1}{x} \frac{d f}{d x}\left\{1+(\gamma-1)\left[x \frac{d f}{d x}-f-\frac{1}{2}\left(\frac{d f}{d x}\right)^{2}\right]\right\}=0 .
\end{array}
\]

Граничные условия примут вид
\[
\begin{aligned}
\frac{d f}{d x}(\varepsilon) & =\varepsilon, \\
f(M) & =0, \\
\frac{d f}{d x}(M) & =2 \frac{M^{2}-1}{M(\gamma+1)} .
\end{aligned}
\]

Поскольку имеются три граничных условия, наложенные на дифференциальное уравнение второго порядка, то должно существовать соотношение между $M$ и $\varepsilon$.

Так как $\varepsilon$ мало, то $f$ мало, следовательно, члены нулевого порядка в прямом разложении являются решением линейной части уравнения (3.2.50). Она имеет вид
\[
\left(1-x^{2}\right) \frac{d^{2} f}{d x^{2}}+\frac{1}{x} \frac{d f}{d x}=0 .
\]

Используя приведенные граничные условия, найдем, что
\[
f=\varepsilon^{2} \int_{1}^{x} \sqrt{\frac{1}{x^{2}}-1} d x, \quad M=1 .
\]

Это приближенное решение не имеет физического смысла для $x>1$, а число Маха распространяющейся ударной волны должно быть больше единицы.

Чтобы получить пригодное разложение при $x>1$ и определить, насколько $M$ превышает единицу, представляется удобным преобразовать уравнение второго порядка (3.2.50) в два уравнения первого порядка. Положим
\[
\frac{d f}{d x}=g \text {. }
\]

Предположим, что имеют место следующие разложения:
\[
\begin{aligned}
f & =\varepsilon^{2} f_{0}+\varepsilon^{4} f_{1}+\ldots, \\
g & =\varepsilon^{2} g_{0}+\varepsilon^{4} g_{1}+\ldots, \\
x & =s+\varepsilon^{2} x_{1}(s)+\varepsilon^{4} x_{2}(s)+\ldots, \\
M & =1+\varepsilon^{2} M_{1}+\varepsilon^{4} M_{2}+\ldots .
\end{aligned}
\]

Члены нулевого порядка определяются из уравнения (3.2.54) заменой $x$ на $s$, т. е.
\[
\begin{array}{c}
g_{0}=\sqrt{\frac{1}{s^{2}}-1}, \\
f_{0}=\int_{1}^{s} g_{0}(\xi) d \xi .
\end{array}
\]

Задача первого порядка имеет вид
\[
\begin{array}{cr}
\left(1-s^{2}\right) g_{1}^{\prime}+\frac{g_{1}}{s}-\left(1-s^{2}\right) g_{0}^{\prime} x_{1}^{\prime}+\left[-2 s x_{1}+(\gamma+1) s g_{0}-(\gamma-1) f_{0}\right] g_{0}^{\prime}+ \\
+\frac{g_{0}}{s}(\gamma-1)\left(s g_{0}-f_{0}\right)-\frac{g_{0} x_{1}}{s^{2}}=0, & (3.2 .62) \\
f_{1}^{\prime}=g_{1}+g_{0} x_{1}^{\prime} . & (3.2 .63)
\end{array}
\]

При $s \rightarrow 1$ имеем $g_{0} \rightarrow \sqrt{2(1-s)}, f_{0} \rightarrow-\frac{2}{3} \sqrt{2}(1-s)^{3 / 2}$, следовательно, (3.2.62) примет вид
\[
g_{1}=\frac{-x_{1}}{\sqrt{2(1-s)}}+\gamma+1+O(\sqrt{1-s}) \text { при } s \rightarrow 1 .
\]

Таким образом, $g_{1}$ не будет иметь особенности при $s=1$, только если $x_{1}=0$, и, следовательно, $g_{1}(1)=\gamma+1$.

Чтобы определить $M_{1}$, используем краевое условие на ударной волне. Если $\tilde{s}$ соответствует положению ударной волны $x=M$, то до порядка $\varepsilon^{2}$ будем иметь
\[
\tilde{s}=1+\varepsilon^{2} M_{1}+\ldots .
\]

Граничное условие (3.2.53) дает
\[
\varepsilon^{2} g_{0}\left(1+\varepsilon^{2} M_{1}+\ldots\right)+\ldots=\frac{4}{\gamma+1} \varepsilon^{2} M_{1}+\ldots .
\]

Подставив выражение для $g_{0}$ из (3.2.61) и приравняв коэффициенты при $\varepsilon^{2}$, получим $M_{1}=0$. Следовательно,
\[
\tilde{s}=1+\varepsilon^{4}\left[M_{2}-x_{2}(1)\right]+\ldots .
\]

Далее (3.2.52) и (3.2.57) дают
\[
f_{1}(1)=0 \text {. }
\]
Уравнение второго порядка для $g_{2}$ дает
\[
g_{2}=-\frac{2 x_{2}-(\gamma+1)^{2}}{2 \sqrt{2(1-s)}}+O(1) \text { при } s \rightarrow 1 .
\]

Для устранения особенности в $g_{2}$ положим
\[
x_{2}=\frac{1}{2}(\gamma+1)^{2} .
\]

Следовательно, $\tilde{s}=1+\varepsilon^{4}\left[M_{2}-(\gamma+1)^{2} / 2\right]$, и с точностью до четвертого порядка граничное условие (3.2.53) дает
\[
\sqrt{(\gamma+1)^{2}-2 M_{2}}+(\gamma+1)=\frac{4 M_{2}}{\gamma+1} .
\]

Решение этого уравнения имеет вид $M_{2}=3(\gamma+1)^{2} / 8$. Следовательно,
\[
M=1+\frac{3}{8}(\gamma+1)^{2} \varepsilon^{4}+O\left(\varepsilon^{6}\right) .
\]

Пэнди [1968] исследовал случай цилиндра, равномерно расширяющегося в неподвижной воде.

3.2.4. Сверхзвуковое обтекание тонкого крыла

В качестве четвертого примера применения метода Лайтхилла рассмотрим построение равномерно пригодного разложения в задаче о сверхзвуковом обтекании тонкого крыла, которая обсуждалась в П. 2.1.3. Прежде чем выписывать разложение, удобно преобразовать исходное уравнение второго порядка в систему двух уравнений первого порядка. Положим
\[
u=\varphi_{x}, \quad v=\varphi_{y} .
\]

Тогда уравнения (2.1.19) – (2.1.21) примут вид
$v_{y}-B^{2} u_{x}=M^{2}\left[(\gamma+1) u u_{x}+(\gamma-1) u v_{y}+2 v v_{x}+\right.$ кубические члены $]$,
\[
\begin{array}{c}
u_{y}=v_{x}, \\
\frac{v+\varepsilon T v_{y}+\ldots}{1+u+\varepsilon T u_{y}+\ldots}=\varepsilon T^{\prime}(x) \text { при } y=0, \\
u(x, y)=v(x, y)=0 \text { вверх по потоку. }
\end{array}
\]

Прямое разложение для этой задачи было найдено в п. 2.1.3, но оно становится непригодным при $y \rightarrow \infty$. Поскольку $u$ и $v$ обращаются в нуль вверх по потоку, равномерно пригодное разложение может быть получено растягиванием исходящих харак-

теристик (т. е. $x-B y=$ const). Положим поэтому
\[
\begin{array}{l}
u=\varepsilon u_{1}(\xi, \eta)+\varepsilon^{2} u_{2}(\xi, \eta)+\ldots, \\
v=\varepsilon v_{1}(\xi, \eta)+\varepsilon^{2} v_{2}(\xi, \eta)+\ldots,
\end{array}
\]

где
\[
\begin{array}{c}
x-B y=\xi+\varepsilon G_{1}(\xi, \eta)+\varepsilon^{2} G_{2}(\xi, \eta)+\ldots, \\
y=\eta .
\end{array}
\]

Растягивающие функции $G_{i}$ можно определить, наложив условие, что разложения (3.2.77) и (3.2.78) должны быть равномерно пригодными для больших расстояний, т. е. $u_{2} / u_{1}$ и $v_{2} / v_{1}$ должны быть ограниченными. Показано, что это условие эквивалентно требованию, чтобы $\xi$ было исходящей характеристикой нелинейных уравнений (Лайтхилл [1949a]; Уизэм [1952], [1953]; Линь [1954]; Фокс [1955]).

Поскольку характеристики уравнения (2.1.19) определяются уравнением
\[
\begin{array}{l}
{\left[1-M^{2}(\gamma-1) \varphi_{x}+\ldots\right](d x)^{2}+\left[2 M^{2} \varphi_{y}+\ldots\right] d x d y-} \\
-\left[B^{2}+M^{2}(\gamma+1) \varphi_{x}+\ldots\right](d y)^{2}=0,
\end{array}
\]

уравнение для исходящих характеристик имеет вид
\[
\left.\frac{d x}{d y}\right|_{\xi=\text { const }}=c,
\]

где
\[
c=B+\frac{M^{2}}{2 B}\left\{\left[B^{2}(\gamma-1)+(\gamma+1)\right] u-2 B v\right\}+\ldots .
\]

Уравнение (3.2.82) может быть переписано в виде
\[
\frac{\partial x}{\partial \eta}=c \frac{\partial y}{\partial \eta} .
\]

Задача, таким образом, свелась к разложению зависимых переменных $u$ и $v$, а также независимой переменной $x$ как функций переменной $\eta=y$ и исходящей характеристики $\xi$ по степеням $\varepsilon$. Таким образом, (3.2.79) эквивалентно разложению
\[
x=x_{0}(\xi, \eta)+\varepsilon x_{1}(\xi, \eta)+\varepsilon^{2} x_{2}(\xi, \eta)+\ldots,
\]

где
\[
x_{0}=\xi+B \eta \text { и } x_{i}=G_{i} \text { для } i \geqslant 1 .
\]

Для устранения произвола в параметризации необходимо задать начальное условие для $x$. Это условие принимается в виде
\[
x(\xi, 0)=\xi \text {. }
\]

Это эквивалентно такому выбору $G_{i}$, при котором они обращаются в нуль при $y=0$.

Чтобы перейти от независимых переменных $x$ и $y$ к $\xi \eta$, заметим, что
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial}{\partial \xi}=x_{\xi} \frac{\partial}{\partial x}, \\
\frac{\partial}{\partial \eta}=x_{\eta} \frac{\partial}{\partial x}+y_{\eta} \frac{\partial}{\partial y}=c \frac{\partial}{\partial x}+\frac{\partial}{\partial y} .
\end{array}
\]

Здесь были учтены равенства (3.2.80) и (3.2.84). Следовательно,
\[
\frac{\partial}{\partial x}=\frac{1}{x_{\xi}} \frac{\partial}{\partial \xi}, \quad \frac{\partial}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial \eta}-\frac{c}{x_{\xi}} \frac{\partial}{\partial \xi} .
\]

Подставляя (3.2.77), (3.2.78) и (3.2.85) в (3.2.73)-(3.2.76), (3.2.83), (3.2.84) и (3.2.87), используя (3.2.88) и приравнивая коэффициенты при равных степенях $\varepsilon$, получаем порядок $\varepsilon$
\[
\begin{array}{c}
x_{0 \xi} v_{1 \eta}-\left(B v_{1 \xi}+B^{2} u_{1 \xi}\right)=0, \\
x_{0 \xi} u_{1 \eta}-\left(B u_{1 \xi}+v_{1 \xi}\right)=0, \\
v_{1}(\xi, 0)=T^{\prime}(\xi), \\
x_{1 \eta}=\frac{M^{2}}{2 B}\left\{\left[B^{2}(\gamma-1)+(\gamma+1)\right] u_{1}-2 B v_{1}\right\}, \\
x_{1}(\xi, 0)=0 .
\end{array}
\]

Решение уравнений (3.2.89)-(3.2.91), которое обращается в нуль вверх по потоку, имеет вид
\[
v_{1}=T^{\prime}(\xi), \quad u_{1}=-B^{-1} T^{\prime}(\xi),
\]

что совпадает с линеаризованным решением. Таким образом, (3.2.92) примет вид
\[
x_{1 \eta}=-\frac{1}{2} M^{4}(\gamma+1) B^{-2} T^{\prime}(\xi) .
\]

Решение этого уравнения, подчиненное условию (3.2.93), имеет вид
\[
x_{1}=-\frac{1}{2} M^{4}(\gamma+1) B^{-2} \eta T^{\prime}(\xi) .
\]

Поэтому первый порядок равномерно пригодного разложения дается первыми членами в (3.2.77) и (3.2.78), где
\[
x-B y=\xi-\frac{1}{2} \varepsilon M^{4}(\gamma+1) B^{\sim 2} y T^{\prime}(\xi)+O\left(\varepsilon^{2}\right)
\]

в соответствии с (3.2.85), (3.2.86) и (3.2.96). Это решение показывает, что равномерно пригодное разложение первого порядка

для гиперболических систем уравнений есть просто линеаризованное решение, в котором линеаризованные характеристики заменены на характеристики, вычисленные при включении нелинейных членов первого порядка.

Тем же путем можно построить взсшие приближения. Ли и Шеппард [1966] получили второе приближение.

В общей задаче потенциал скоростей $\varphi$ не обращается в нуль вверх по потоку. В этом случае равномерно пригодное разложение можно получить разложением зависимой и обеих независимых переменных $x$ и $y$ как функций $\varepsilon$ и обеих характеристик нелинейного уравнения $\xi$ и $\eta$. Таким образом мы увеличим систему уравнений (3.2.83), (3.2.84) добавлением уравнений, описывающих приходящие характеристики $\eta$, и включением разложения для $y$, аналогичного (3.2.85). Ниже такая процедура будет показана на примере более общей системы гиперболических уравнений.

3.2.5. Разложения с использованием точных характеристик: нелинейные упругие волны

Для рассмотренных выше гиперболических дифференциальных уравнений равномерно пригодное разложение было получено растяжением одной из характеристик линеаризованного уравнения. Результирующая растянутая координата была лучшим приближением к точной характеристике. Линь [1954] и Фокс [1955] обобщили метод Лайтхилла для задач с гиперболическими дифференциальными уравнениями с двумя независимыми переменными, выбрав характеристические параметры в качестве независимых переменных. Эта процедура сводится к растяжению двух семейств характеристик. Таким образом они смогли рассмотреть общие волны в потоке жидкости, в котором исходящие и приходящие волны взаимодействуют.

Верхаген и Ван Вейнгарден [1965] применили этот метод к задаче о гидравлическом прыжке. Гиро [1965], Осватич [1965] и Циреп и Гейнатц [1965] применили его к газодинамическим волнам конечной амплитуды. Гретлер [1968] разработал косвенный метод расчета течения при плоском обтекании крыла, а Ван Вейнгарден [1968] проанализировал колебания в открытой трубе, близкие к резонансу. Чу и Йин [1963], Рем [1968] и Гендерсен [1967] рассмотрели термически возбуждаемые нелинейные одномерные колебания проводящей жидкости. Чу [1963] и Мортелл [1971] изучили автоколебания в трубе. Лик [1969] проанализировал распространение волн в изэнтропических, химически реагирующих сжимаемых жидкостях, а Лессер [1970] изучил распространение волн в неоднородной среде. Паркер и Варлей [1968] рассматривали нелинейное взаимодействие волн растяжения и

изгиба в упругих мембранах и струнах. Мортелл и Варлей [1971] исследовали нелинейные свободные колебания упругой панели. Ричмонд и Моррисон [1968] применили этот метод к осесимметричной задаче пластичности. Девисон [1968] получил разложение до второго порядка для нелинейных упругих волн в изотропной среде с использованием характеристик в качестве независимых переменных. Сейчас мы продемонстрируем этот метод на примере определения первого приближения для нелинейных упругих волн в анизотропной среде.
Пусть $u$ и $v$-перемещения вдоль направлений $x$ и $y$. Тогда
\[
\begin{array}{l}
\rho u_{t t}=\sigma_{x}, \\
\rho v_{t t}=\tau_{x},
\end{array}
\]

где $\rho$-плотность материала. Положим $P=u_{x}, Q=v_{x}$ и предположим, что напряжения $\sigma$ и $\tau$ являются полиномами от $P$ и $Q$, такими, что
\[
\begin{array}{l}
\sigma_{P} \rightarrow \lambda+2 \mu, \sigma_{Q} \rightarrow 0, \\
\tau_{P} \rightarrow 0, \tau_{Q} \longrightarrow \mu
\end{array}
\]

при $P$ и $Q \rightarrow 0$. Здесь $\lambda$ и $\mu$-коэффициенты Ламэ в линейной теории упругости. Таким образом,
\[
\begin{array}{l}
\frac{\sigma}{\rho}=c_{p}^{2} P+\frac{1}{2} a_{1} P^{2}+a_{2} P Q+\frac{1}{2} a_{3} Q^{2}+\ldots, \\
\frac{\tau}{\rho}=c_{s}^{2} Q+\frac{1}{2} b_{1} P^{2}+b_{2} P Q+\frac{1}{2} b_{3} Q^{2}+\ldots,
\end{array}
\]

где
\[
c_{p}^{2}=\frac{\lambda+2 \mu}{\rho}, \quad c_{\mathrm{s}}^{2}=\frac{\mu}{\rho} .
\]

Здесь $c_{p}$ и $c_{s}$-скорости распространения продольных и поперечных волн. Полагая
\[
R=u_{t} \quad \text { и } \quad s=v_{t}
\]

и подставляя (3.2.101) и (3.2.102) в (7.2.98) и (3.2.99), получаем
\[
\begin{array}{l}
R_{t}-c_{p}^{2} P_{x}=\alpha P_{x}+\beta Q_{x}+\ldots, \\
S_{t}-c_{s}^{2} Q_{x}=\gamma P_{x}+\delta Q_{x}+\ldots,
\end{array}
\]

где
\[
\begin{array}{ll}
\alpha=a_{1} P+a_{2} Q, & \beta=a_{2} P+a_{3} Q, \\
\gamma=b_{1} P+b_{2} Q, & \delta=b_{2} P+b_{3} Q .
\end{array}
\]

Поскольку $P=u_{x}$ и $Q=v_{x}$, то (3.2.104) дает
\[
P_{t}=R_{x}, \quad Q_{t}=S_{x} .
\]

Заметим, что мы представили систему двух дифференциальных уравнений второго порядка (3.2.98), (3.2.99) как систему четырех дифференциальных уравнений первого порядка, которая является более удобной для применения метода растянутых координат.

Для окончательной формулировки задачи необходимо установить начальные условия. Мы рассмотрим случай, исследованный Девисоном [1968]. В этом случае в начальный момент времени материал, занимающий полупространство $x \geqslant 0$, покоится и находится в ненапряженном состоянии, а возмущение возникает в точке $x=0$; т. е.
\[
\begin{array}{c}
P(0, t)=\varepsilon \varphi(t), \quad Q(0, t)=\varepsilon \psi(t) \text { при } t \geqslant 0, \\
P(x, 0)=Q(x, 0)=R(x, 0)=S(x, 0)=0 \text { при } x \geqslant 0, \\
\varphi(t)=\psi(t) \equiv 0 \text { при } t \leqslant 0,
\end{array}
\]

где $\varphi$ и $\psi$-известные функции, а $\varepsilon$-малая, но конечная безразмерная величина. Условие (3.2.111) означает, что вдоль приходящих характеристик $P$ и $Q$ обращаются в нуль. Чтобы получить равномерно пригодное разложение для этой задачи, мы разложим зависимые и независимые переменные как функции от $\varepsilon$ и параметров исходящих характеристик $\xi$ и $\eta$, т. е.
\[
\begin{array}{l}
P=\varepsilon P_{1}(\xi, \eta)+\varepsilon^{2} P_{2}(\xi, \eta)+\ldots, \\
Q=\varepsilon Q_{1}(\xi, \eta)+\varepsilon^{2} Q_{2}(\xi, \eta)+\ldots, \\
R=\varepsilon R_{1}(\xi, \eta)+\varepsilon^{2} R_{2}(\xi, \eta)+\ldots, \\
S=\varepsilon S_{1}(\xi, \eta)+\varepsilon^{2} S_{2}(\xi, \eta)+\ldots, \\
x=x_{0}(\xi, \eta)+\varepsilon x_{1}(\xi, \eta)+\varepsilon^{2} x_{2}(\xi, \eta)+\ldots, \\
t=t_{0}(\xi, \eta)+\varepsilon t_{1}(\xi, \eta)+\varepsilon^{2} t_{2}(\xi, \eta)+\ldots .
\end{array}
\]

Для членов первого порядка в разложениях $P$ и $Q$ характеристические волновые скорости могут быть определены из соотношений (3.2.105), (3.2.106) и (3.2.109) и определяются равенством
\[
c= \pm\left(c_{p}+\frac{\alpha}{2 c_{p}}\right), \quad \pm\left(c_{s}+\frac{\delta}{2 c_{s}}\right) .
\]

Таким образом, с точностью до $O(P, Q)$ исходящие характеристики определяются из
\[
\begin{array}{l}
x_{\eta}=c_{1} t_{\eta}, \\
x_{\mathrm{\xi}}=c_{2} t_{\mathrm{\xi}},
\end{array}
\]

где $c_{1}$ и $c_{2}$-положительные скорости, определяемые соотношениями (3.2.118). Чтобы зафиксировать параметризацию, необходимо поставить начальные условия для $x$ и $t$. Выберем эти усло-

вия в виде
\[
x(\xi, \xi)=0 \text { и } t(\xi, \xi)=\xi .
\]

Начальные условия (3.2.110), выраженные через новые независимые переменные, примут вид
\[
\begin{array}{l}
P(\xi, \xi)=\varepsilon \varphi(\xi), \quad Q(\xi, \xi)=\varepsilon \psi(\xi), \\
P(0, \eta)=Q(\xi, 0)=R(0, \eta)=S(\xi, 0)=0 .
\end{array}
\]

При переходе от независимых переменных $x$ и $t$ к $\xi$ и $\eta$ заметим, что
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial}{\partial \xi}=\frac{\partial x}{\partial \xi} \frac{\partial}{\partial x}+\frac{\partial t}{\partial \xi} \frac{\partial}{\partial t}=\frac{\partial t}{\partial \xi}\left(\frac{\partial}{\partial t}+c_{2} \frac{\partial}{\partial x}\right), \\
\frac{\partial}{\partial \eta}=\frac{\partial t}{\partial \eta}\left(\frac{\partial}{\partial t}+c_{1} \frac{\partial}{\partial x}\right) .
\end{array}
\]

Следовательно,
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial}{\partial x}=\frac{1}{c_{2}-c_{1}}\left(\frac{1}{t_{\xi}} \frac{\partial}{\partial \xi}-\frac{1}{t_{\eta}} \frac{\partial}{\partial \eta}\right), \\
\frac{\partial}{\partial t}=\frac{-1}{c_{2}-c_{1}}\left(\frac{c_{1}}{t_{\xi}} \frac{\partial}{\partial \xi}-\frac{c_{2}}{t_{\eta}} \frac{\partial}{\partial \eta}\right) .
\end{array}
\]

Подставляя (3.2.112) – (3.2.117) в (3.2.105), (3.2.106), (3.2.109) и (3.2.118)-(3.2.122), используя (3.2.124) и приравнивая коэффициенты при равных степенях $\varepsilon$, получим порядок $\varepsilon^{0}$
\[
\begin{array}{c}
x_{0 \eta}-c_{p} t_{0 \eta}=0, \\
x_{0 \mathrm{~g}}-c_{s} t_{0 \xi}=0, \\
x_{0}(\xi, \xi)=0, t_{0}(\xi, \xi)=\xi,
\end{array}
\]

порядок $\varepsilon$
\[
\begin{array}{c}
-t_{0 \eta}\left(c_{p} P_{1}+R_{1}\right)_{\xi}+t_{0 \xi}\left(c_{s} P_{1}+R_{1}\right)_{\eta}=0 \\
-t_{0 \eta}\left(c_{p} Q_{1}+S_{1}\right)_{\xi}+t_{0 \xi}\left(c_{s} Q_{1}+S_{1}\right)_{\eta}=0 \\
-t_{0 \eta}\left(c_{p} R_{1}+c_{p}^{2} P_{1}\right)_{\xi}+t_{0 \xi}\left(c_{s} R_{1}+c_{p}^{2} P_{1}\right)_{\eta}=0 \\
-t_{0 \eta}\left(c_{p} S_{1}+c_{s}^{2} Q_{1}\right) \xi+t_{0 \xi}\left(c_{s}, S_{1}+c_{s}^{2} Q_{1}\right)_{\eta}=0 \\
\left(x_{1}-c_{p} t_{1}\right)_{\eta}=\frac{1}{2} c_{p}^{-1}\left(a_{1} P_{1}+a_{2} Q_{1}\right) t_{0 \eta}, \\
\left(x_{1}-c_{s} t_{1}\right)_{\xi}=\frac{1}{2} c_{\mathrm{s}}^{-1}\left(b_{2} P_{1}+b_{3} Q_{1}\right) t_{0 \xi} \\
x_{1}(\xi, \xi)=t_{1}(\xi, \xi)=0 \\
P_{1}(\xi, \xi)=\varphi(\xi), Q_{1}(\xi, \xi)=\psi(\xi), \\
P_{1}(0, \eta)=Q_{1}(\xi, 0)=R_{1}(0, \eta)=S_{1}(\xi, 0)=0 .
\end{array}
\]

Решение задачи (3.2.125)-(3.2.127) имеет вид
\[
x_{0}=\frac{c_{p} c_{s}(\xi-\eta)}{c_{p}-c_{s}}, \quad t_{0}=\frac{c_{p} \xi-c_{s} \eta}{c_{p}-c_{s}}
\]

и является просто линеаризованными характеристиками
\[
t_{0}-\frac{x_{0}}{c_{p}}=\xi, \quad t_{0}-\frac{x_{0}}{c_{s}}=\eta .
\]

Подставив выражение для $t_{0}$ из (3.2.136) в уравнения (3.2.128) (3.2.131) и решив полученные уравнения при условиях (3.2.135), получим
\[
\begin{array}{l}
P_{1}(\xi, \eta)=\varphi(\xi), \quad Q_{1}(\xi, \eta)=\psi(\eta), \\
R_{1}(\xi, \eta)=-c_{p} \varphi(\xi), \quad S_{1}(\xi, \eta)=-c_{s} \psi(\eta),
\end{array}
\]

что является просто решением линеаризованной задачи без множителя $\varepsilon$. Подставив это решение в (3.2.132) и (3.2.133), получим
\[
\begin{array}{l}
\left(x_{1}-c_{p} t_{1}\right)_{\eta}=\Gamma_{1} a_{1} \varphi(\xi)+\Gamma_{1} a_{2} \psi(\eta), \\
\left(x_{1}-c_{s} t_{1}\right)_{\xi}=\Gamma_{2} b_{2} \varphi(\xi)+\Gamma_{2} b_{3} \psi(\eta),
\end{array}
\]

где $\left(\Gamma_{1}, \Gamma_{2}\right)=-(1 / 2)\left(c_{p}-c_{s}\right)^{-1}\left(c_{s} / c_{p},-c_{p} / c_{s}\right)$. Решение уравнений (3.2.138), подчиненное условию (3.2.134), имеет вид
\[
\begin{array}{l}
x_{1}-c_{p} t_{1}=\Gamma_{1} a_{1}(\eta-\xi) \varphi(\xi)+\Gamma_{1} a_{2} \int_{\xi}^{\eta} \psi(\zeta) d \zeta, \\
x_{1}-c_{s} t_{1}=\Gamma_{2} b_{2} \int_{\eta}^{\xi} \varphi(\zeta) d \zeta+\Gamma_{2} b_{3}(\xi-\eta) \psi(\eta) .
\end{array}
\]

Поэтому равномерно пригодное разложение первого порядка имеет вид
\[
\begin{array}{ll}
P=\varepsilon \varphi(\xi)+O\left(\varepsilon^{2}\right), & R=-\varepsilon c_{p} \varphi(\xi)+O\left(\varepsilon^{2}\right), \\
Q=\varepsilon \psi(\eta)+O\left(\varepsilon^{2}\right), & S=-\varepsilon c_{s} \psi(\eta)+O\left(\varepsilon^{2}\right),
\end{array}
\]

где $\xi$ и $\eta$ определяются из равенств
\[
\begin{array}{l}
x-c_{p} t=-c_{p} \xi+\varepsilon \Gamma_{1}\left[a_{1}(\eta-\xi) \varphi(\xi)+a_{2} \int_{\xi}^{\eta} \psi(\zeta) d \zeta\right]+O\left(\varepsilon^{2}\right), \\
x-c_{s} t=-c_{s} \eta+\varepsilon \Gamma_{2}\left[b_{2} \int_{\eta}^{\xi} \varphi(\zeta) d \zeta+b_{3}(\xi-\eta) \psi(\eta)\right]+O\left(\varepsilon^{2}\right) .
\end{array}
\]

Как и в описанной в предыдущем разделе задаче о сверхзвуковом обтекании тонкого крыла, равномерно пригодное разложение до первого порядка есть просто линеаризованное решение, в ко-

тором линеаризованные характеристики заменены характеристиками, вычисленными с использованием нелинейных членов первого порядка.

Решение может быть непосредственно продолжено до высших порядков. В изотропном случае решение до второго порядка получили Девисон [1968] и Наир и Неммат-Нассер [1971] для однородных и неоднородных материалов соответственно.