При изучении колебаний слабо нелинейной системы уравнения, описывающие эти колебания, обычно преобразуются к стандартному виду
\[
\dot{\mathrm{x}}=\mathrm{f}(\mathrm{x} ; \varepsilon)=\sum_{m=0}^{\infty} \frac{\varepsilon^{m}}{m !} \mathrm{f}_{m}(\mathrm{x})
\]

где
\[
\mathbf{f}_{m}(\mathbf{x})=\left.\frac{\partial^{m} \mathbf{f}}{\partial \varepsilon^{m}}\right|_{\varepsilon=0}
\]

при помощи метода вариации произвольных постоянных. Здесь x и $\mathbf{f}$-векторы с $N$ компонентами. Вектор х может иметь в ка-

честве своих компонент, например, амплитуды и фазы системы, или орбитальные параметры в невозмущенной задаче двух тел. Обозначим компоненты вектора $\mathbf{f}_{m}$ через $f_{m n}$. Говорят, что компонента $x_{k}$ вектора $\mathbf{x}$ является быстро вращающейся фазой, если $f_{0 k}
ot \equiv 0$.

Ранее было установлено (см. п. 5.2.3), что при изучении системы этого стандартного вида полезно рассмотреть почти тождественное преобразование
\[
\mathbf{x}=\mathbf{X}(\mathbf{y} ; \varepsilon)=\mathbf{y}+\varepsilon \mathbf{X}_{1}(\mathbf{y})+\varepsilon^{2} \mathbf{X}_{2}(\mathbf{y})+\ldots
\]

переменной $\mathbf{x}$ в переменную $\mathbf{y}$, такое, что система (5.7.1) приводится к виду
\[
\dot{\mathbf{y}}=\mathbf{g}(\mathrm{y} ; \varepsilon)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\varepsilon^{n}}{n !} \mathbf{g}_{n}(\mathrm{y})
\]

в котором функции $\mathbf{g}_{n}$ содержат только медленно меняющиеся члены. В п. 5.2.3 функции $\mathbf{X}_{n}$ и $\mathbf{g}_{n}$ определялись с помощью подстановки (5.7.2) в (5.7.1), выделения быстро и медленно меняющихся членов и предположения о том, что $\mathbf{X}_{n}$ содержит только медленно меняющиеся члены.

5.7.1. Ряды и преобразования Ли

В этом пункте преобразование (5.7.2a) определяется как решение системы $N$ дифференциальных уравнений
\[
\frac{d \mathbf{x}}{d \varepsilon}=\mathbf{W}(\mathbf{x} ; \varepsilon),\left.\quad \mathbf{x}\right|_{\varepsilon=0}=\mathbf{y} .
\]

Вектор W называется производящим вектором. На первый взгляд кажется, что мы попали в порочный круг: для упрощения исходной системы дифференциальных уравнений предлагаем решить опять-таки систему $N$ дифференциальных уравнений. Однако это не так, ибо мы интересуемся решением системы (5.7.1) при больших $t$, в то время как решение системы (5.7.3) интересует нас при малых $\varepsilon$; последнее обстоятельство существенно упрощает нашу задачу.

Уравнение (5.7.3) порождает так называемые преобразования Ли (Кемел [1970]), которые, будучи близкими к тождественному преобразованию, являются обратимыми. Если W не зависит от $\varepsilon$, то уравнение (5.7.3) порождает так называемые ряды Ли. При рассмотрении канонической системы Хори $[1966,1967]$ и Депри [1969] полагали
\[
\mathbf{x}=\left[\begin{array}{l}
\mathbf{q} \\
\mathbf{p} \\
t
\end{array}\right], \quad \mathbf{y}=\left[\begin{array}{l}
\mathbf{Q} \\
\mathbf{P} \\
t
\end{array}\right],
\]
где $\mathbf{q}$-вектор координат системы, $\mathbf{p}$-вектор сопряженных импульсов, $t$-время, и определяли вектор $\mathbf{W}$ равенством
\[
\mathbf{W}=\left[\begin{array}{c}
S_{p} \\
-S_{q} \\
0
\end{array}\right], \quad S=S(\mathbf{q}, \mathbf{p}, t ; \varepsilon),
\]

где $S$-производящая функция.
Для преобразования гамильтониана $H=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\varepsilon^{n} / n !\right) H_{n}(\mathbf{q}, \mathbf{p}, t)$ к виду $K=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\varepsilon^{n} / n !\right) K_{n}(\mathbf{Q}, \mathbf{P}, t)$ Хори [1966] построил нерекуррентный алгоритм, использующий ряды Ли. Другой алгоритм для рекуррентного построения функции $K$ с помощью преобразований Ли построил Депри [1969], Кемел [1969a] упростил этот алгоритм. Кемел [1969в], Кэмпбелл и Джеффрис [1970] и Мерсман [1970] показали, что теории Хори и Депри эквивалентны. Хори [1970] показал, что преобразования Ли эквивалентны методике фон Цайпеля вплоть до второго порядка. Шнайад [1970] доказал, что преобразование фон Цайпеля эквивалентно преобразованию Депри; Мерсман [1971] установил эквивалентность преобразований Хори, Депри и фон Цайпеля. Следует упомянуть, что теория возмущения, основанная на рядах и преобразованиях Ли, имеет несколько преимуществ по сравнению с методикой фон Цайпеля. Производяцая функция не является функцией смешанного набора старых и новых переменных, теория эта канонически инвариантна, и для любой функции старых переменных можно получить прямое разложение в новых переменных.

Кемел [1970] ввел в рассмотрение преобразование (5.7.3) и построил алгоритм приведения системы стандартного вида (5.7.1) к виду (5.7.2б). Кроме того, он построил алгоритмы, с помощью которых можно: 1) преобразовать любую вектор-функцию от старых переменных к новым; 2) найти преобразование (5.7.2a) и его обращение. Более глубокое изучение математической и прикладной значимости этих алгоритмов провели Анрар [1970] и Кемел [1971]. Ниже мы построим эти обобщенные алгоритмы и затем в п. 5.7.5 приспособим их к случаю канонических систем.

5.7.2. Обобщенные алгоритмы

Пусть $\mathbf{x}=\mathbf{X}(\mathbf{y} ; \varepsilon)$-решение уравнения (5.7.3), и пусть $\mathbf{y}=\mathbf{Y}(\mathbf{x} ; \varepsilon)$-его обращение. Тогда
\[
d \mathbf{x}=\mathbf{X}_{\mathbf{y}} d \mathbf{y}, \quad d \mathbf{y}=\mathbf{Y}_{\mathbf{x}} d \mathbf{x},
\]

где приняты обозначения
\[
\mathbf{X}_{\mathbf{Y}}=\frac{\partial X_{i}}{\partial Y_{j}} \text { (матрица Якоби) и } \mathbf{X}_{\mathbf{Y}} d \mathbf{y}=\frac{\partial X_{i}}{\partial Y_{f}} d y_{j} .
\]

Из равенств (5.7.5) имеем
\[
d \mathbf{x}=\mathbf{X}_{\mathbf{Y}} \mathbf{Y}_{\mathbf{X}} d \mathbf{x},
\]

откуда
\[
\mathbf{X}_{\mathbf{Y}} \mathbf{Y}_{\mathbf{X}}=I \text { (единичная матрица). }
\]

Следовательно,
\[
\mathbf{Y}_{\mathbf{X}}=\left(\mathbf{X}_{\mathbf{Y}}\right)^{-\mathbf{1}} \text { (обращение матрицы } \mathbf{X}_{\mathbf{Y}} \text { ). }
\]

Из второго соотношения в (5.7.5) получаем равенство
\[
\dot{\mathbf{y}}=\mathbf{Y}_{x} \dot{\mathbf{x}} \text {, }
\]

которое с учетом (5.7.1) можно переписать в виде
\[
\dot{\mathrm{y}}=\mathrm{g}(\mathrm{y} ; \varepsilon)=\left.\mathrm{Y}_{\mathrm{x}} \mathbf{f}\right|_{\mathrm{x}=\mathrm{x}(\mathrm{y}: \varepsilon)} .
\]

Мы хотим получить разложение правой части (5.7.7) по степеням $\varepsilon$ вида
\[
\dot{\mathbf{y}}=\left.\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\varepsilon^{n}}{n !} \frac{d^{n} \mathrm{~g}}{d \varepsilon^{n}}\right|_{\varepsilon=0} .
\]

Из (5.7.7) имеем
\[
\begin{array}{l}
\frac{d \mathbf{g}}{d \varepsilon}=\frac{d}{d \varepsilon}\left[\left(\mathbf{Y}_{\mathbf{X}} \mathbf{f}\right)_{\mathbf{X}=\mathbf{X}(y ; \varepsilon)}\right]= \\
=\left[\frac{\partial}{\partial \mathbf{X}}\left(\mathbf{Y}_{\mathbf{X}} \mathbf{f}\right) \frac{d \mathbf{X}}{d \varepsilon}+\frac{\partial}{\partial \varepsilon}\left(\mathbf{Y}_{\mathbf{X}} \mathbf{f}\right)\right]_{\mathbf{X}=\mathbf{X}(\mathbf{y} ; \varepsilon)^{\circ}}
\end{array}
\]

Справедливо равенство
\[
\frac{\partial}{\partial \varepsilon}\left(\mathbf{Y}_{\mathbf{X}} \mathbf{f}\right)=\mathbf{Y}_{\mathbf{x}} \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \varepsilon}+\frac{\partial}{\partial \mathbf{X}}\left(\frac{\partial \mathbf{Y}}{\partial \varepsilon}\right) \mathbf{f} .
\]

Поскольку равенство $\mathbf{y}=\mathbf{Y}(\mathbf{x} ; \varepsilon)$ является обращением равенства $\mathbf{x}=\mathbf{X}(\mathbf{y} ; \varepsilon)$ (которое задает решение уравнения $d \mathbf{x} / d \varepsilon=\mathbf{W}(\mathbf{x} ; \varepsilon)$ при условии $\mathbf{x}(\varepsilon=0)=\mathbf{y}$ ), то имеем
\[
\frac{d \mathbf{y}}{d \varepsilon}=0=\frac{\partial \mathbf{Y}}{\partial \varepsilon}+\mathbf{Y}_{\mathbf{x}} \frac{d \mathbf{x}}{\partial \varepsilon}+\frac{\partial \mathbf{Y}}{\partial \varepsilon}+\mathbf{Y}_{\mathbf{x}} \mathbf{W},
\]

откуда следует
\[
\frac{\partial \mathbf{Y}}{\partial \varepsilon}=-\mathbf{Y}_{\mathbf{x}} \mathbf{W} .
\]

Тогда (5.7.10) можно переписать в виде
\[
\frac{\partial}{\partial \varepsilon}\left(\mathbf{Y}_{\mathbf{X}} \mathbf{f}\right)=\mathbf{Y}_{\mathbf{X}} \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \varepsilon}-\frac{\partial}{\partial \mathbf{X}}\left(\mathbf{Y}_{\mathbf{X}} \mathbf{W}\right) \mathbf{f} .
\]

Используя это выражение и замечая, что $d \mathbf{X} / d \varepsilon=\mathbf{W}$, перепишем соотношение (5.7.9) в виде
\[
\begin{array}{c}
\frac{d \mathbf{g}}{d \varepsilon}=\frac{d}{d \varepsilon}\left[\left(\mathbf{Y}_{\mathbf{X}} \mathbf{f}_{\mathbf{X}=\mathbf{X}(\mathbf{y} ; \varepsilon)}\right]=\right. \\
=\left[\frac{\partial}{\partial \mathbf{X}}\left(\mathbf{Y}_{\mathbf{X}} \mathbf{f}\right) \mathbf{W}+\mathbf{Y}_{\mathbf{X}} \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \varepsilon}-\frac{\partial}{\partial \mathbf{X}}\left(\mathbf{Y}_{\mathbf{X}} \mathbf{W}\right) \mathbf{f}\right]_{\mathbf{X}=\mathbf{X}(\mathbf{y} ; \varepsilon)} .
\end{array}
\]

После упрощения получим
\[
\frac{\partial \mathrm{g}}{\partial \varepsilon}=\frac{d}{d \varepsilon}\left[\left(\mathbf{Y}_{\mathbf{X}} \mathbf{f}\right)_{\mathbf{x}=\mathbf{X}(\mathbf{y} ; \varepsilon)}\right]=\left[\mathbf{Y}_{\mathbf{X}} D \mathrm{f}\right]_{\mathbf{x}=\mathbf{X}(\mathbf{y} ; \varepsilon)},
\]

где использовано обозначение
\[
D \mathfrak{f}=\frac{\partial \mathfrak{f}}{\partial \varepsilon}+\mathbf{f}_{\mathbf{X}} \mathbf{W}-\mathbf{W}_{\mathbf{x}} \mathbf{f} .
\]

Повторно используя соотношение (5.7.12), можно получить
\[
\frac{d^{n} \mathbf{g}}{d \varepsilon^{n}}=\left[\mathbf{Y}_{\mathrm{X}} D^{n} \mathbf{f}\right]_{\mathbf{X}=\mathbf{X}(\mathrm{Y} ; \varepsilon)} .
\]

Поскольку из условия $\left.\mathbf{x}\right|_{\varepsilon=0}=\mathbf{y}$ следует
\[
\left.\mathbf{Y}_{\mathbf{X}}\right|_{\varepsilon=0}=I \text { (единичная матрица), }
\]

то имеем
\[
\left.\frac{d^{n} \mathbf{g}}{d \varepsilon^{n}}\right|_{\varepsilon=0}=\left.D^{n} \mathbf{f}\right|_{\mathbf{x}=\mathbf{y}, \varepsilon=0} .
\]

Для нахождения $D^{n} \mathbf{f}$ предположим, что вектор $\mathbf{W}$ может быть разложен в ряд
\[
\mathbf{W}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\varepsilon^{n}}{n !} \mathbf{W}_{n+1},
\]

так что преобразование (5.7.3) может быть проведено последовательно до любого порядка. Если имеет место представление $\mathbf{f}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\varepsilon^{n} / n !\right) \mathbf{f}_{n}$, то соотношение (5.7.13) принимает вид
\[
D \mathbf{f}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\varepsilon^{n-1}}{(n-1) !} \mathbf{f}_{n}+\sum_{n=0}^{\infty} \sum_{m=0}^{\infty} \frac{\varepsilon^{n}}{n !} \frac{\varepsilon^{m}}{m !}\left[\frac{\partial \mathbf{f}_{n}}{\partial \mathbf{X}} \mathbf{W}_{m+1}-\frac{\partial \mathbf{W}_{m+1}}{\partial X} \mathbf{f}_{n}\right] .
\]

Полагая $n=k+1$ в первом члене и $n=k-m$ во втором члене, можно переписать это выражение в виде
\[
D \mathfrak{f}=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\varepsilon^{k}}{k !} \mathfrak{f}_{k+1}+\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\varepsilon^{k}}{k !} \sum_{m=0}^{k} C_{m}^{k}\left[\frac{\partial \mathfrak{f}_{k-m}}{\partial \mathbf{X}} \mathbf{W}_{m+1}-\frac{\partial \mathbf{W}_{m+1}}{\partial \mathbf{X}} \mathfrak{f}_{k-m}\right],
\]

или сокращенно
\[
D \mathfrak{f}=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\varepsilon^{k}}{k !} \mathfrak{f}_{k}^{(1)} .
\]

Здесь использованы обозначения
\[
\begin{aligned}
\mathbf{f}_{k}^{(1)} & =\mathbf{f}_{k+1}+\sum_{m=0}^{k} C_{m}^{k} L_{m+1} \mathbf{f}_{k-m}, \\
L_{m} \mathbf{g} & =\frac{\partial \mathbf{g}}{\partial \mathbf{X}} \mathbf{W}_{m}-\frac{\partial \mathbf{W}_{m}}{\partial \mathbf{X}} \mathbf{g}, \\
C_{m}^{k} & =\frac{k !}{(k-m) ! m !} .
\end{aligned}
\]

Повторно используя соотношения (5.7.17) и (5.7.18) и полагая $\mathbf{f}_{k}=\mathbf{f}_{k}^{(0)}$, получим
\[
D^{n} \mathbf{f}=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\varepsilon^{k}}{k !} \mathbf{f}_{k}^{(n)}
\]

где
\[
\mathbf{f}_{k}^{(n)}=\mathbf{f}_{k+1}^{(n-1)}+\sum_{m=0}^{k} C_{m}^{k} L_{n+1} \mathfrak{f}_{k-m}^{(n-1)} .
\]

Следовательно, имеем
\[
\dot{\mathbf{y}}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\varepsilon^{n}}{n !} \mathbf{f}^{(n)}, \quad \mathbf{f}^{(n)}=\left.\mathbf{f}_{0}^{(n)}\right|_{\mathbf{x}=\mathbf{y}} .
\]

Рекуррентное соотношение (5.7.20) может быть наглядно представлено с помощью треугольника Ли, введенного Депри [1969]; он несколько напоминает треугольник Паскаля и показан на рис. 5.3.
Имеем, например,
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{f}^{(1)}=\mathbf{f}_{1}+L_{1} \mathbf{f}_{0}, \\
\mathbf{f}_{1}^{(1)}=\mathbf{f}_{2}+L_{1} \mathbf{f}_{1}+L_{\mathbf{2}} \mathbf{f}_{0}, \\
\mathbf{f}^{(2)}=\mathbf{f}_{1}^{(1)}+L_{1} \mathbf{f}_{0}^{(1)}, \\
\mathbf{f}_{2}^{(1)}=\mathbf{f}_{3}+L_{1} \mathbf{f}_{2}+2 L_{2} \mathbf{f}_{1}+L_{\mathbf{3}} \mathbf{f}_{0}, \\
\mathbf{f}_{1}^{(2)}=\mathbf{f}_{2}^{(1)}+L_{1} \mathbf{f}_{1}^{(1)}+L_{2} \mathbf{f}^{(\mathbf{1})}, \\
\mathbf{f}^{(3)}=\mathbf{f}_{1}^{(2)}+L_{1} \mathbf{f}^{(2)} .
\end{array}
\]

При выводе решений методом возмущений часто бывает необ́ходимо выразить некоторый вектор
\[
\mathbf{F}(\mathbf{x} ; \varepsilon)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\varepsilon^{n}}{n !} \mathbf{F}_{n}(\mathbf{x}), \quad \mathbf{F}_{n}(\mathbf{x})=\left.\frac{\partial^{n} \mathbf{F}}{\partial \varepsilon^{n}}\right|_{\varepsilon=0},
\]

в зависимости от новой переменной $y$ в виде
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{G}(\mathbf{y} ; \varepsilon)=\mathbf{F}[\mathbf{X}(\mathbf{y} ; \varepsilon) ; \varepsilon]= \\
= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\varepsilon^{n}}{n !} \mathbf{F}^{(n)}(\mathbf{y}), \quad \mathbf{F}^{(n)}(y)=\left.\frac{d^{n} \mathbf{F}}{d \varepsilon^{n}}\right|_{\mathbf{x = y}, \quad \varepsilon=0},
\end{array}
\]

где приняты обозначения
\[
\frac{d \mathbf{F}}{d \varepsilon}=\frac{\partial \mathbf{F}}{\partial \varepsilon}+\mathscr{L} \mathbf{F}, \quad \mathscr{L} \mathbf{F}=\frac{\partial \mathbf{F}}{\partial \mathbf{X}} \mathbf{W} .
\]

Рис. 5.3. Треугольник Ли.

Используя (5.7.16) и (5.7.23a), можем выразить это последнее равенство (аналогично выводу (5.7.17)) в виде
\[
\frac{d \mathbf{F}}{d \varepsilon}=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\varepsilon^{k}}{k !} \mathbf{F}_{k}^{(1)}
\]

где
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{F}_{k}^{(1)}=\mathbf{F}_{k+1}+\sum_{m=0}^{k} C_{m}^{k} \mathscr{L}_{m+1} \mathbf{F}_{k-m}, \\
\mathscr{L}_{m} \mathbf{G}=\frac{\partial \mathbf{G}}{\partial \mathbf{X}} \mathbf{W}_{m} .
\end{array}
\]

Повторное применение (5.7.24) и (5.7.25) дает
\[
\frac{d^{n} \mathbf{F}}{d \varepsilon^{n}}=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\varepsilon^{k}}{\bar{k} !} \mathbf{F}_{k}^{(n)}
\]

Здесь приняты обозначения
\[
\mathbf{F}_{k}^{(n)}=\mathbf{F}_{k+1}^{(n-1)}+\sum_{m=0}^{k} C_{m}^{k} \mathscr{L}_{m+1} \mathbf{F}_{k-m}^{(n-1)}, \quad \mathbf{F}_{k}^{(0)}=\mathbf{F}_{k} .
\]

Следовательно,
\[
\mathbf{G}(\mathbf{y} ; \varepsilon)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\varepsilon^{n}}{n !} \mathbf{F}^{(n)}, \mathbf{F}^{(n)}=\left.\mathbf{F}_{0}^{(n)}\right|_{\mathbf{x}=\mathbf{y} .}
\]

Уравнения (5.7.27)-(5.7.29) отличаются по виду от уравнений (5.7 19)-(5.7.21) только наличием другого оператора $\mathscr{L}$; поэтому соотношение (5.7.28) также может быть наглядно представлено с помощью треугольника Ли.

5.7.3. Упгощенные общие алгоритмы

Для упрощения алгоритма, задаваемого, например, с помощью соотношения (5.7.20), Кемел [1969], [1970] записывал сначала это соотношение в виде
\[
\mathbf{f}_{k}^{(n)}=\mathbf{f}_{k-1}^{(n+1)}-\sum_{m=0}^{k-1} C_{m}^{k-1} L_{m+1} \mathfrak{f}_{k-m-1}^{(n)} .
\]

Затем он последовательно исключал функции из правой части, чтобы наконец выразить $f_{k}^{(n)}$ в виде линейного функционала от функций $\mathbf{f}^{(n+k)}, \mathbf{f}^{(n+k-1)}, \ldots, f^{(n)}$. Предположим поэтому, что
\[
\mathfrak{f}_{k}^{(n)}=\mathbf{f}^{(n+k)}-\sum_{i=1}^{k} C_{j}^{k} G_{i} \mathbf{f}^{(n+k-j)}
\]

где линейный оператор $G_{j}$ является функцией операторов $L_{j}$, $L_{j-1}, \ldots, L_{1}$. Подставив (5.7.31) в (5.7.30), получим следующее рекуррентное соотношение:
\[
G_{j}=L_{j}-\sum_{m=1}^{j-1} C_{m-1}^{j-1} L_{m} G_{j-m}, \quad 1 \leqslant j \leqslant n .
\]

Например, имеем
\[
\begin{array}{l}
G_{1}=L_{1}, \\
G_{2}=L_{2}-L_{1} L_{1}, \\
G_{3}=L_{3}-L_{1}\left(L_{2}-L_{1} L_{1}\right)-2 L_{2} L_{1} .
\end{array}
\]

При $n=0$ и $n=1$ из (5.7.31) имеем
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{f}^{(k)}=\mathbf{f}_{k}+\sum_{i=1}^{k} C_{j}^{k} \mathbf{f}_{j, k-j}, \\
\mathfrak{f}_{k}^{(1)}=\mathbf{f}^{(k+1)}-\sum_{i=1}^{k} C_{j}^{k} \mathbf{f}_{i, k-i+1},
\end{array}
\]

где
\[
\mathbf{f}_{j, i}=G_{j} \mathbf{f}^{(i)}=L_{j} f^{(i)}-\sum_{m=1}^{i=1} C_{m-1}^{j-1} L_{m} \mathbf{f}_{j-m, i} .
\]

Это и есть упрощенный алгоритм Кемела. При $\mathbf{f}^{(i)}=0$ будем иметь $\mathrm{f}_{j, i}=0$, поскольку в рекуррентном соотношении второй индекс $i$ фиксирован.

Кемел получил более удобную форму этого алгоритма, записав (5.7.35) в виде
\[
\mathbf{f}^{(k)}=\mathfrak{f}_{k-1}^{(1)}+\sum_{j=1}^{k-1} C_{j}^{k-1} \mathfrak{f}_{j, k-j} .
\]

Из (5.7.18а) имеем, что
\[
\mathfrak{f}_{k-1}^{(1)}=\mathfrak{f}_{k}+\sum_{j=1}^{k-1} C_{j-1}^{k-1} L_{j} \mathfrak{f}_{k-j}+L_{k} \mathbf{f}_{0} .
\]

Поэтому (5.7.37) можно переписать в виде
\[
\mathfrak{f}^{(k)}=\mathfrak{f}_{k}+\sum_{i=1}^{k-1}\left[C_{j-1}^{k-1} L_{j} \mathfrak{f}_{k-j}+C_{j}^{k-1} \mathfrak{f}_{j, k-j}\right]+L_{k} \mathfrak{f}_{0} .
\]

Вспомнив, что $d \mathbf{x} / d \varepsilon=\mathbf{W}$, будем иметь из (5.7.3):
\[
\mathbf{x}=\mathbf{y}+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\varepsilon^{n}}{n !} \mathbf{x}^{(n)}(\mathbf{y})
\]

где
\[
\mathbf{x}^{(n+1)}(\mathbf{y})=\left.\frac{d^{n} \mathbf{W}}{d \varepsilon^{n}}\right|_{\varepsilon=0, \mathbf{x}=\mathbf{y}} \text { для } n \geqslant 1 .
\]

Тогда из соотношений (5.7.16) и (5.7.34) следует
\[
\mathbf{x}^{(k)}=\mathbf{W}_{k}+\sum_{j=1}^{k-} C_{j}^{k-1} \mathbf{x}_{j, k-j}, k \geqslant 1
\]

где
\[
\mathbf{x}_{j, i}=\mathscr{L}_{j} \mathbf{x}^{(i)}-\sum_{m=1}^{i-1} C_{m-1}^{j-1} \mathscr{L}_{m} \mathbf{x}_{j-m, i}
\]

Для нахождения обратного преобразования
\[
\mathbf{y}=\mathbf{x}+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\varepsilon^{n}}{n !} \mathbf{y}^{(n)}(\mathbf{x})
\]

следует исключить разность $\mathbf{x}$ – из соотношений (5.7.39) и (5.7.42). Это дает
\[
\mathbf{u}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\varepsilon^{n}}{n !} \mathbf{y}^{(n)}(\mathbf{x})=-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\varepsilon^{n}}{n !} \mathbf{x}^{(n)}(\mathbf{y}) .
\]

Поскольку, однако,
\[
\mathbf{u}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\varepsilon^{n}}{n !} \mathbf{u}_{n}(\mathbf{x})=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\varepsilon^{n}}{n !} \mathbf{u}^{(n)}(\mathrm{y}),
\]

то имеем
\[
\mathbf{u}_{n}(\mathbf{x})=\mathbf{y}^{(n)}(\mathbf{x}), \quad \mathbf{u}^{(n)}(\mathbf{y})=-\mathbf{x}^{(n)}(\mathbf{y}), n \geqslant 1 .
\]

Тогда из (5.7.34) можно получить
\[
\mathbf{y}^{(k)}(\mathbf{x})=-\mathbf{x}^{(k)}(\mathbf{x})+\sum_{i=1}^{k-1} C_{i}^{k} \mathbf{x}_{j, k-j}, k \geqslant 1,
\]

где $\mathbf{x}_{j, i}$ определено соотношением (5.7.41).

5.7.4. Схема процедуры

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений, записанную в стандартном виде
\[
\dot{\mathbf{x}}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{e^{n}}{n !} \mathbf{f}_{n}(\mathbf{x})
\]

Суть алгоритмов, рассмотренных в предыдущем пункте, заключается в том, что с помощью перехода от переменной $\mathbf{x}$ к переменной у уравнение (5.7.45) приводится к виду
\[
\mathbf{y}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\varepsilon^{n}}{n !} \mathbf{g}_{n}(\mathrm{y})
\]

в котором величины $\mathrm{g}_{n}$ не содержат быстропериодических членов. Для этого строится почти тождественное преобразование вида
\[
\mathbf{x}=\mathbf{y}+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\varepsilon^{n}}{n !} \mathbf{x}^{(n)}(\mathbf{y}) .
\]

Это преобразование приводит некоторый вектор
\[
\mathbf{F}(\mathbf{x} ; \varepsilon)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\varepsilon^{n}}{n !} \mathbf{F}_{n}(\mathbf{x})
\]

к виду
\[
\mathbf{F}(\mathbf{x} ; \varepsilon)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\varepsilon^{n}}{n !} \mathbf{F}^{(n)}(\mathbf{y})
\]

Алгоритмы, описанные в предыдущем пункте, могут быть реализованы на ЭВМ, поскольку их действие сводится к повторному применению элементарных операций. Ниже будет описана процедура для второго порядка точности. Положим для начала
\[
\begin{aligned}
\mathrm{g}_{0}(\mathrm{y}) & =\mathrm{f}_{0}(\mathrm{y}), \\
\mathrm{F}^{(0)}(\mathrm{y}) & =\mathrm{F}_{0}(\mathrm{y}) .
\end{aligned}
\]

Затем, приступая к разложению первого порядка, запишем линейное дифференциальное уравнение в частных производных
\[
\mathrm{g}_{1}(\mathrm{y})=\mathrm{f}_{1}(\mathrm{y})+L_{1} \mathrm{f}_{\mathbf{0}} .
\]

Положим $g_{1}$ равным медленно меняющимся членам $l_{\text {, }}$ и разрешим получающееся уравнение относительно $\mathbf{W}_{1}$. Тогда могут быть вычислены величины
\[
\begin{aligned}
\mathbf{x}^{(1)} & =\mathbf{W}_{1}, \\
\mathbf{F}_{1,0} & =\mathscr{L}_{1} \mathbf{F}^{(0)}, \\
\mathbf{F}^{(1)} & =\mathbf{F}_{1}+\mathbf{F}_{1,0} .
\end{aligned}
\]

Вычислив
\[
\mathrm{g}_{1,1}=L_{1} \mathrm{~g}_{1},
\]

мы можем приступить к разложению второго порядка. Запишем дифференциальное уравнение
\[
\mathrm{g}_{2}=\mathbf{f}_{2}+L_{1} \mathbf{f}_{1}+\mathbf{g}_{1,1}+L_{2} \mathbf{f}_{\mathrm{n}}
\]

и положим $\mathbf{g}_{2}$ равным медленно меняющимся членам правой части. Этим завершается построение разложения второго порядка.

Проиллюстрируем эту процедуру, применив ее к уравнению Ван-дер-Поля
\[
\ddot{q}+q=\varepsilon\left(1-q^{2}\right) \dot{q},
\]

решение которого при $\varepsilon=0$ имеет вид
\[
q=a \cos \varphi, \quad \varphi=i+\beta .
\]

Используя метод вариации произвольных постоянных, уравнение (5.7.54) можно заменить системой (см. п. 5.2.3)
\[
\begin{array}{c}
\dot{a}=\frac{1}{2} \varepsilon\left[a\left(1-\frac{1}{4} a^{2}\right)-a C_{2}+\frac{1}{4} a^{3} C_{4}\right], \\
\dot{\varphi}=1+\frac{1}{2} \varepsilon\left[\left(1-\frac{1}{2} a^{2}\right) S_{2}-\frac{1}{4} a^{2} S_{4}\right],
\end{array}
\]

где
\[
C_{n}=\cos n \varphi, \quad S_{n}=\sin n \varphi .
\]

Уравнения (5.7.56) и (5.7.57) имеют вид (5.7:1), причем
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{x}=\left[\begin{array}{l}
a \\
\varphi
\end{array}\right], \\
\mathfrak{f}_{0}=\left[\begin{array}{l}
0 \\
1
\end{array}\right], \\
\mathbf{f}_{1}=\left[\begin{array}{c}
\frac{1}{2} a\left(1-\frac{1}{4} a^{2}\right)-\frac{1}{2} a C_{2}+\frac{1}{8} a^{3} C_{4} \\
\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2} a^{2}\right) S_{2}-\frac{1}{8} a^{2} S_{4} \\
\mathfrak{f}_{n}=0 \text { при } n>1 .
\end{array}\right],
\end{array}
\]

Совершим теперь переход от переменной $\mathbf{x}=\left[\begin{array}{l}a \\ \varphi\end{array}\right]$ к $\mathbf{y}=\left[\begin{array}{l}a^{*} \\ \varphi^{*}\end{array}\right]$. Из соотношений (5.7.50), (5.7.59) получим
\[
\mathbf{g}_{0}=\left[\begin{array}{l}
0 \\
1
\end{array}\right] .
\]

С помощью (5.7.18б) и (5.7.59) находим, что
\[
L_{n} \mathrm{f}_{0}=-\frac{\partial \mathbf{W}_{n}}{\partial \varphi^{*}} .
\]

Следовательно, (5.7.51) принимает вид
\[
\mathrm{g}_{1}=\mathrm{f}_{1}-\frac{\partial \mathbf{W}_{1}}{\partial \varphi^{*}} .
\]

Считая, что быстропериодические члены в $\mathbf{f}_{\boldsymbol{i}}$ отнесены к $\mathbf{W}_{1}$, найдем
\[
\mathrm{g}_{1}=\left[\begin{array}{c}
\frac{1}{2} a^{*}\left(1-\frac{1}{4} a^{*^{2}}\right) \\
0
\end{array} .\right.
\]

Решив полученное в результате уравнение, будем иметь
\[
\mathbf{W}_{1}=\left[\begin{array}{l}
-\frac{1}{4} a^{*} S_{2}^{*}+\frac{1}{32} a^{*^{*}} S_{4}^{*} \\
-\frac{1}{4}\left(1-\frac{1}{2} a^{*^{2}}\right) C_{2}^{*}+\frac{1}{32} a^{*^{2}} C_{4}^{*}
\end{array}\right],
\]

где $S_{n}^{*}=\sin n \varphi^{*}$ и $C_{n}^{*}=\cos n \varphi^{*}$.
С учетом (5.7.61) и (5.7.63) уравнение (5.7.53) принимает вид
\[
g_{2}=L_{1}\left(\mathbf{f}_{1}+\mathbf{g}_{1}\right)-\frac{\partial \mathbf{W}_{2}}{\partial \varphi^{*}} .
\]
Считая, что быстропериодические члены отнесены к $\mathbf{W}_{2}$, получим
\[
\mathbf{g}_{2}=\left\langle L_{1} \mathbf{f}_{1}\right\rangle+\left\langle L_{1} \mathbf{g}_{1}\right\rangle .
\]

Поскольку $\mathrm{g}_{1}$ состоит только из медленно меняющихся членов, a $\mathbf{W}_{1}$ – только из быстропериодических членов, имеем $\left\langle L_{1} \mathbf{g}_{1}\right\rangle=0$. Следовательно,

Тогда имеем
\[
\dot{\mathbf{y}}=\left[\begin{array}{l}
\dot{a}^{*} \\
\dot{\varphi}^{*}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
\frac{1}{2} \varepsilon a^{*}\left(1-\frac{1}{4} a^{4^{2}}\right) \\
1-\frac{1}{8} \varepsilon^{2}\left(1-\frac{3}{2} a^{*^{2}}+\frac{11}{32} a^{*^{4}}\right)
\end{array}\right]
\]

в соответствии с разложением, полученным в п. 5.2.3 с помощью обобщенного метода усреднения.

Чтобы сравнить разложение, полученное в этом пункте, с разложением, которое получено в п. 5.4 .2 с помощью методики Крылова-Боголюбова-Митропольского, необходимо соотношение (5.7.55) выразить в новых переменных. В нашем случае
\[
q=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\varepsilon^{n}}{n !} F_{n}(\mathbf{x})
\]

причем
\[
F_{0}=a \cos \varphi, \quad F_{n}=0 \text { при } n \geqslant 1 .
\]

Из (5.7.50) имеем
\[
F^{(0)}=a^{*} \cos \varphi^{*} .
\]

Тогда соотношения (5.7.52) и (5.7.26) дают
\[
\begin{aligned}
F_{1,0} & =\mathscr{L}_{1}\left(a^{*} \cos \varphi^{*}\right)=\left[\cos \varphi^{*},-a^{*} \sin \varphi^{*}\right] \mathbf{W}_{1}= \\
& =-\frac{1}{4} a^{*}\left(1-\frac{1}{4} a^{*^{2}}\right) \sin \varphi^{*}-\frac{1}{32} a^{*^{3}} \sin 3 \varphi^{*} .
\end{aligned}
\]

Следовательно, имеем равенство
\[
q=a^{*} \cos \varphi^{*}-\frac{1}{4} \varepsilon a^{*}\left[\left(1-\frac{1}{4} a^{*^{2}}\right) \sin \varphi^{*}+\frac{1}{8} a^{*^{2}} \sin 3 \varphi^{*}\right]+O\left(\varepsilon^{2}\right),
\]

которое можно переписать в виде
\[
q=a^{*} \cos \psi-\frac{\varepsilon a^{* 3}}{32} \sin 3 \psi+O\left(\varepsilon^{2}\right),
\]

где
\[
\frac{d \Psi}{d t}=1-\varepsilon^{2}\left(\frac{1}{8}-\frac{a^{* 2}}{8}+\frac{7 a^{* 4}}{256}\right)+O\left(\varepsilon^{2}\right) .
\]

Результат согласуется с разложением, которое получено в п. 5.4.2. с помощью методики Крылова-Боголюбова-Митропольского.

5.7.5. Алгоритмы для канонических систем
Для преобразования гамильтониана
\[
H(\mathbf{p}, \mathbf{q}, t ; \varepsilon)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\varepsilon^{n}}{n !} H_{n}(\mathbf{p}, \mathbf{q}, t)
\]

в новый гамильтониан
\[
K(\mathbf{P}, \mathbf{Q}, t ; \varepsilon)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\varepsilon^{n}}{n !} K_{n}(\mathbf{P}, \mathbf{Q}, t)
\]

Хори [1966, 1967] и Депри [1969] использовали соответственно ряды и преобразования Ли.
Если положить
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{x}=\left[\begin{array}{l}
\mathbf{q} \\
\mathbf{p} \\
t
\end{array}\right], \quad \mathbf{y}=\left[\begin{array}{l}
\mathbf{Q} \\
\mathbf{p} \\
t
\end{array}\right], \\
\mathbf{W}=\left[\begin{array}{r}
S_{p} \\
-S_{q} \\
0
\end{array}\right], \quad \mathbf{f}=\left[\begin{array}{c}
H_{p} \\
-H_{q} \\
1
\end{array}\right],
\end{array}
\]

то гамильтониан $K$ порождает вектор $\mathrm{g}$ согласно равенству
\[
g=\left[\begin{array}{c}
K_{\mathrm{p}} \\
-K_{\mathrm{Q}} \\
1
\end{array}\right] \text {. }
\]

В этом случае алгоритм п. 5.7.3 сводится к скалярному виду (Кемел [1969a]) согласно соотношениям
\[
\begin{array}{c}
K_{0}=H_{0}(\mathbf{Q}, \mathbf{P}, t), \\
K_{n}=H_{n}+\sum_{j=1}^{n-1}\left[C_{j-1}^{n-1} L_{j}^{\prime} H_{n-i}+C_{i}^{n-1} K_{j, n-i}\right]-\frac{\mathscr{D} S_{n}}{\mathscr{D} t},
\end{array}
\]

в которых приняты следующие обозначения:
\[
\begin{array}{c}
L_{j}^{\prime} f=\frac{\partial f}{\partial \mathbf{Q}} \frac{\partial S_{j}}{\partial \mathbf{P}}-\frac{\partial f}{\partial \mathbf{P}} \frac{\partial S_{j}}{\partial \mathbf{Q}}, \\
\frac{\mathscr{D} S_{n}}{\mathscr{D} t}=\frac{\partial S_{n}}{\partial t}-L_{n}^{\prime} H_{0} \\
K_{i, i}=L_{j}^{\prime} K_{i}-\sum_{m=1}^{i-1} C_{m-1}^{j-1} L_{j}^{\prime} K_{i-m, i} .
\end{array}
\]

В результате преобразования, приведенного выше, старые переменные будут выражаться через новые согласно равенствам
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{q}=\mathbf{Q}+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\varepsilon^{n}}{n !} \mathbf{q}^{(n)}(\mathbf{Q}, \mathbf{P}, t) \\
\mathbf{p}=\mathbf{P}+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\varepsilon^{n}}{n !} \mathbf{p}^{(n)}(\mathbf{Q}, \mathbf{P}, t)
\end{array}
\]

в которых введены обозначения
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{q}^{(n)}=\frac{\partial S_{n}}{\partial \mathbf{P}}+\sum_{i=1}^{n-1} C_{j}^{n-1} \mathbf{q}_{j, n-j}, \\
\mathbf{p}^{(n)}=-\frac{\partial S_{n}}{\partial \mathbf{Q}}+\sum_{i=1}^{n-1} C_{j}^{n-1} \mathbf{p}_{i, n-j}, \\
\mathbf{q}_{j, i}=L_{j}^{\prime} \mathbf{q}^{(i)}-\sum_{m=1}^{i-1} C_{m-1}^{j-1} L_{m}^{\prime} \mathbf{q}_{j-m, i}, \\
\mathbf{p}_{j, i}=L_{j}^{\prime} \mathbf{p}^{(i)}-\sum_{m=1}^{i-1} C_{m-1}^{j-1} L_{m}^{\prime} \mathbf{p}_{i-m, i} .
\end{array}
\]

До третьего порядка вышеприведенные алгоритмы будут задаваться следующими соотношениями:
\[
\left.\begin{array}{c}
K_{0}=H_{0}, \\
K_{1}=H_{1}-\frac{\mathscr{D} S_{1}}{\mathscr{D} t}, \\
K_{2}=H_{2}+L_{1}^{\prime} H_{1}+L_{1}^{\prime} K_{1}-\frac{\mathscr{D} S_{2}}{\mathscr{D} t}, \\
K_{\mathbf{8}}=H_{3}+L_{1}^{\prime} H_{2}+2 L_{2}^{\prime} H_{1}+2 L_{1}^{\prime} K_{\mathbf{2}}+L_{2}^{\prime} K_{1}-L_{1}^{\prime 2} K_{1}-\frac{\mathscr{D} S_{3}}{\mathscr{D} t}, \\
\mathbf{q}^{(\mathbf{1})}=\frac{\partial S_{1}}{\partial \mathbf{P}}, \quad \mathbf{q}^{(2)}=\frac{\partial S_{2}}{\partial \mathbf{P}}+L_{1}^{\prime} \mathbf{q}^{(\mathbf{1})}, \\
\mathbf{q}^{(3)}=\frac{\partial S_{3}}{\partial \mathbf{P}}+2 L_{1}^{\prime} \mathbf{q}^{(2)}+L_{2}^{\prime} \mathbf{q}^{(\mathbf{1})}-L_{1}^{\prime 2} \mathbf{q}^{(\mathbf{1})},
\end{array}\right\}
\]

\[
\left.\begin{array}{l}
\mathbf{p}^{(\mathbf{1})}=-\frac{\partial S_{1}}{\partial \mathbf{Q}}, \quad \mathbf{p}^{(2)}=-\frac{\partial S_{2}}{\partial \mathbf{Q}}+L_{1}^{\prime} \mathbf{p}^{(1)}, \\
\mathbf{p}^{(3)}=-\frac{\partial S_{3}}{\partial \mathbf{Q}}+2 L_{1}^{\prime} \mathbf{p}^{(2)}+L_{2}^{\prime} \mathbf{p}^{(1)}-L_{1}^{\prime 2} \mathbf{p}^{(\mathbf{1})} .
\end{array}\right\}
\]

Далее мы проиллюстрируем эту процедуру на примере качающейся пружины с гамильтонианом (5.5.57). Используя решение (5.5.67) – (5.5.70), приведем этот гамильтониан к виду
\[
H=H_{1}+\frac{1}{2} H_{2}+\ldots,
\]

где
\[
\begin{array}{l}
H_{1}=\frac{\alpha_{2}}{l} \sqrt{\frac{2 \alpha_{1}}{k}}\left[\sin ^{2} B_{2}-2 \cos ^{2} B_{2}\right] \sin B_{1}, \\
H_{2}=-\frac{1}{3} \frac{\alpha_{2}^{2}}{m g l} \sin ^{4} B_{2}+\frac{12 \alpha_{1} \alpha_{2}}{k l^{2}} \sin ^{2} B_{1} \cos ^{2} B_{\overline{2}},
\end{array}
\]

и $B_{1}=\omega_{i}\left(t+\beta_{i}\right)$.
C помощью алгоритма, описанного соотношениями (5.7.85)-(5.7.87), перейдем от переменных $\alpha, \beta$ и гамильтониана $H$ соответственно к величинам $\alpha^{*}, \beta^{*}$ и $K=K_{0}+K_{1}+\frac{1}{2} K_{2}+\cdots$. Поскольку $H_{0}=0$, то из (5.7.85) получаем, что $K_{0}=0$, а из (5.7.82б), 一 что $\mathscr{D S}_{n} / \mathscr{D} t=\partial S_{n} / \partial t$. С учетом (5.7.92) соотношение (5.7.86) запишется в виде
\[
\begin{array}{l}
K_{1}=-\frac{\alpha_{2}^{*}}{l} \sqrt{\frac{\alpha_{1}^{*}}{2 k}}\left\{\sin B_{1}^{*}+\frac{3}{2} \sin \left(B_{1}^{*}+2 B_{2}^{*}\right)+\right. \\
\left.\quad+\frac{3}{2} \sin \left[\left(\omega_{1}-2 \omega_{2}\right) t+\omega_{1} \beta_{1}^{*}-2 \omega_{2} \beta_{2}^{*}\right]\right\}-\frac{\partial S_{1}}{\partial t} .
\end{array}
\]

Все слагаемые в $K_{1}$ будут быстропериодическими, если только не выполнено условие $\omega_{1} \approx 2 \omega_{2}$. Если же оно выполнено, то величина $\sin \left[\left(\omega_{1}-2 \omega_{2}\right) t+\omega_{1} \beta_{1}^{*}-2 \omega_{2} \beta_{2}^{*}\right]$ будет иметь большой период (медленно меняющийся). Полагая, что быстропериодические члены исключаются с помощью $S_{1}$, придем к равенствам
\[
\begin{array}{l}
K_{1}=-\frac{3 \alpha_{2}^{*}}{2 l} \sqrt{\frac{\alpha_{1}^{*}}{2 k}} \sin \left[\left(\omega_{1}-2 \omega_{2}\right) t+\omega_{1} \beta_{1}^{*}-2 \omega_{2} \beta_{2}^{*}\right], \\
S_{1}=\frac{\alpha_{2}^{*}}{l} \sqrt{\frac{\alpha_{1}^{*}}{2 k}}\left[\frac{\cos B_{1}^{*}}{\omega_{1}}+\frac{3 \cos \left(B_{1}^{*}+2 B_{2}^{*}\right)}{2\left(\omega_{1}+2 \omega_{2}\right)}\right] .
\end{array}
\]

Если считать, что в (5.7.87) быстропериодические члены исключаются с помощью $S_{2}$, то получим
\[
K_{2}=\left\langle H_{2}\right\rangle+\left\langle L_{1}^{\prime} H_{1}\right\rangle+\left\langle L_{1}^{\prime} K_{1}\right\rangle .
\]

Усредненные величины в выражении для $K_{2}$ задаются равенствами
\[
\begin{array}{l}
\left\langle L_{1}^{\prime} K_{1}\right\rangle=\left\langle\frac{\partial K_{1}}{\partial \beta_{1}} \frac{\partial S_{1}}{\partial \alpha_{1}}\right\rangle+\left\langle\frac{\partial K_{1}}{\partial \beta_{2}} \frac{\partial S_{1}}{\partial \alpha_{2}}\right\rangle-\left\langle\frac{\partial K_{1}}{\partial \alpha_{1}} \frac{\partial S_{1}}{\partial \beta_{1}}\right\rangle-\left\langle\frac{\partial K_{1}}{\partial \alpha_{2}} \frac{\partial S_{1}}{\partial \beta_{2}}\right\rangle=0, \\
\left\langle H_{2}\right\rangle=-\frac{\alpha_{2}^{* 2}}{8 i n g l}+\frac{3 \alpha_{1}^{*} \alpha_{2}^{*}}{k l^{2}} \approx-\frac{\alpha_{2}^{* 2}}{2 k l^{2}}+\frac{3 \alpha_{1}^{*} \alpha_{2}^{*}}{k l^{2}} \\
\left\langle L_{1} H_{1}\right\rangle=\left\langle\frac{\partial H_{1}}{\partial \beta_{1}} \frac{\partial S_{1}}{\partial \alpha_{1}}\right\rangle+\left\langle\frac{\partial H_{1}}{\partial \beta_{2}} \frac{\partial S_{1}}{\partial \alpha_{2}}\right\rangle-\left\langle\frac{\partial H_{1}}{\partial \alpha_{1}} \frac{\partial S_{1}}{\partial \beta_{1}}\right\rangle-\left\langle\frac{\partial H_{1}}{\partial \alpha_{2}} \frac{\partial S_{1}}{\partial \beta_{2}}\right\rangle= \\
=-\left[1+\frac{9 \omega_{1}}{4\left(\omega_{1}+2 \omega_{2}\right)}\right] \frac{\alpha_{2}^{* 2}}{4 k l^{2}}-\frac{9 \alpha_{1}^{*} \alpha_{2}^{*}}{4 k l^{2}} \frac{\omega_{2}}{\omega_{1}+2 \omega_{2}} \approx \\
\approx-\frac{17 \alpha_{2}^{*}}{32 k l^{2}}-\frac{9 \alpha_{1}^{*} \alpha_{2}^{*}}{16 k l^{2}}
\end{array}
\]

В соотношения (5.7.99) и (5.7.100) использовано то обстоятельство, что $\omega_{1} \approx 2 \omega_{2}$ (т. е. $k l \approx 4 m g$, как это следует из определения $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ ). Имеем, следовательно,
\[
K_{2}=-\frac{33 \alpha_{2}^{* *}}{32 k l^{2}}+\frac{39 \alpha_{1}^{*} \alpha_{2}^{*}}{16 k l^{2}}
\]

и, далее,
\[
\begin{array}{l}
K= K_{0}+K_{1}+\frac{1}{2} K_{2}+\cdots= \\
=-\frac{3 \alpha_{2}^{*}}{2 l} \sqrt{\frac{\alpha_{1}^{*}}{2 k}} \sin \left[\left(\omega_{1}-2 \omega_{2}\right) t+\omega_{1} \beta_{1}^{*}-2 \omega_{2} \beta_{2}^{*}\right]- \\
-\frac{33 \alpha_{2}^{* 2}}{64 k l^{2}}+\frac{39 \alpha_{1}^{*} \alpha_{2}^{*}}{32 k l^{2}}+\cdots
\end{array}
\]

Чтобы исключить явную зависимость $K$ от $t$, совершим переход от переменных $\alpha^{*}$ и $\beta^{*}$ к переменным $\alpha^{\prime}$ и $\beta^{\prime}$ с помощью производящей функции
\[
S^{\prime}=\alpha_{1}^{\prime}\left[\frac{\left(\omega_{1}-2 \omega_{2}\right) t}{\omega_{1}}+\beta_{1}^{*}\right]+\alpha_{2}^{\prime} \beta_{2}^{*} .
\]

Будем иметь
\[
\begin{array}{l}
\alpha_{1}^{*}=\frac{\partial S^{\prime}}{\partial \beta_{1}^{*}}=\alpha_{1}^{\prime}, \\
\alpha_{2}^{*}=\frac{\partial S^{\prime}}{\partial \beta_{2}^{*}}=\alpha_{2}^{\prime}, \\
\beta_{1}^{\prime}=\frac{\partial S^{\prime}}{\partial \alpha_{1}^{\prime}}=\frac{\left(\omega_{1}-2 \omega_{2}\right) t}{\omega_{1}}+\beta_{1}^{*}, \\
\beta_{2}^{\prime}=\frac{\partial S^{\prime}}{\partial \alpha_{2}^{\prime}}=\beta_{2}^{*}
\end{array}
\]

и, далее,
\[
\begin{array}{l}
K^{\prime}=K+\frac{\partial S^{\prime}}{\partial t}=-\frac{3 \alpha_{2}^{\prime}}{2 l} \frac{\sqrt{\alpha_{1}^{\prime}}}{\sqrt{2 k}} \sin \left(\omega_{1} \beta_{1}^{\prime}-2 \omega_{2} \beta_{2}^{\prime}\right)- \\
-\frac{33 \alpha_{2}^{\prime 2}}{64 k l^{2}}+\frac{39 \alpha_{1}^{\prime} \alpha_{2}^{\prime}}{32 k l^{2}}+\frac{\omega_{1}-2 \omega_{2}}{\omega_{1}} \alpha_{1}^{\prime}
\end{array}
\]

Вспоминая, что $\dot{\alpha}_{i}^{\prime}=-\partial K^{\prime} / \partial \beta_{i}^{\prime}$ и $\dot{\beta}_{i}^{\prime}=\partial K^{\prime} / \partial \alpha_{i}^{\prime}$, можем записать
\[
\begin{array}{c}
\dot{\alpha}_{1}^{\prime}=\frac{3 \omega_{1} \alpha_{2}^{\prime} \sqrt{\alpha_{1}^{\prime}}}{2 l \sqrt{2 k}} \cos \gamma, \\
\dot{\alpha}_{2}^{\prime}=-\frac{3 \omega_{2} \alpha_{2}^{\prime} \sqrt{\alpha_{1}^{\prime}}}{l \sqrt{2 k}} \cos \gamma, \\
\dot{\beta}_{1}^{\prime}=-\frac{3 \alpha_{2}^{\prime}}{4 l \sqrt{2 k \alpha_{1}^{\prime}}} \sin \gamma+\frac{39 \alpha_{2}^{\prime}}{32 k l^{2}}+\frac{\omega_{1}-2 \omega_{2}}{\omega_{1}}, \\
\dot{\beta}_{2}^{\prime}=-\frac{3 \sqrt{\alpha_{1}^{\prime}}}{2 l \sqrt{2 k}} \sin \gamma-\frac{33 \alpha_{2}^{\prime}}{32 k l^{2}}+\frac{39 \alpha_{1}^{\prime}}{32 k l^{2}},
\end{array}
\]

где принято обозначение
\[
\gamma=\omega_{1} \beta_{1}^{\prime}-2 \omega_{2} \beta_{2}^{\prime} .
\]