Рассмотрим колебания массы, соединенной с нелинейной пружиной, которые описываются уравнением Дюффинга
\[
\ddot{u}+u+\varepsilon u^{3}=0, \quad u(0)=a, \quad \dot{u}(0)=0,
\]

где $\varepsilon$-малое положительное число. Эта задача допускает интеграл
\[
\dot{u}^{2}+u^{2}+\varepsilon \frac{u^{4}}{2}=\left(1+\frac{\varepsilon a^{2}}{2}\right) a^{2} .
\]

Из уравнения (2.1.2) следует, что при положительном $\varepsilon$ значения $и$ ограничены для всех моментов времени.

Будем искать приближенное решение в виде асимптотического разложения типа Пуанкаре
\[
u=\sum_{m=0}^{\infty} \varepsilon^{m} u_{m}(t)
\]

Подставив его в (2.1.1), разложив по степеням $\varepsilon$ и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях, получим следующие задачи для определения $u_{0}$ и $u_{1}$ :
\[
\begin{array}{c}
\ddot{u}_{0}+u_{0}=0, \quad u_{0}(0)=a, \quad \dot{u}_{0}(0)=0, \\
\ddot{u}_{1}+u_{1}=-u_{0}^{8}, \quad u_{1}(0)=0, \quad \dot{u}_{1}(0)=0 .
\end{array}
\]

Решение, удовлетворяющее начальным условиям, имеет для $u_{0}$ следующий вид:
\[
u_{0}=a \cos t .
\]

Подставляя это значение $u_{0}$ в (2.1.5) и используя тригонометрическое тождество $\cos 3 t=4 \cos ^{3} t-3 \cos t$, получим
\[
\ddot{u}_{1}+u_{1}=-a^{3} \frac{\cos 3 t+3 \cos t}{4} .
\]

Решением уравнения (2.1.7) с начальными условиями (2.1.5) является функция
\[
u_{1}=-\frac{3 a^{8}}{8} t \sin t+\frac{a^{8}}{32}(\cos 3 t-\cos t) .
\]

Таким образом,
\[
u=a \cos t+\varepsilon a^{3}\left[-\frac{3}{8} t \sin t+\frac{1}{32}(\cos 3 t-\cos t)\right]+O\left(\varepsilon^{2}\right) .
\]

Из-за наличия слагаемого $t \sin t$ имеем $u_{1} / u_{0} \rightarrow \infty$ при $t \rightarrow \infty$, поэтому приведенное выше двучленное разложение не является приближением к решению при $t \rightarrow \infty$. Слагаемое $t \sin t$ называется вековым членом; оно стремится к бесконечности при $t \rightarrow \infty$, в то время как выше мы выяснили, что $и$ должно быть ограничено для всех $t$. Разложение (2.1.9) нарушается не только при бесконечном значении переменной $t$; если $t=O\left(\varepsilon^{-1}\right)$, то второй член сравнивается по порядку с первым в противоречие с нашим предположением при выводе (2.1.9) о том, что $\varepsilon u_{1}$ является малой поправкой к $u_{0}$. При дальнейшем вычислении членов ряда будут появляться вековые члены вида $t^{n}(\cos t, \sin t)$. Хотя результирующий ряд и является сходящимся, но сходимость эта медленная, и представить решение для всех $t$ конечным числом слагаемых не удается.

Появление вековых членов характерно для задач о нелинейных колебаниях; следовательно, в этих случаях нельзя ожидать, что прямое разложение окажется равномерно пригодным.

2.1.2. Модель слабой нелинейной неустойчивости

В качестве модели слабой нелинейной неустойчивости стоячей волны рассмотрим следующую задачу:
\[
\begin{aligned}
u_{t t}-u_{x x}-u & =u^{3}, \\
u(x, 0) & =\varepsilon \cos k x, \quad u_{t}(x, 0)=0 .
\end{aligned}
\]

Начальные условия наводят на мысль о разложении вида
\[
u=\varepsilon u_{1}+\varepsilon^{2} u_{2}+\varepsilon^{3} u_{3}+\ldots .
\]

Подставляя это разложение в (2.1.10) и (2.1.11), получим, приравнивая коэффициенты: при $\varepsilon$
\[
\begin{aligned}
u_{1 t t}-u_{1 x x}-u_{1} & =0, \\
u_{1}(x, 0) & =\cos k x, \quad u_{1 t}(x, 0)=0 ;
\end{aligned}
\]

при $\varepsilon^{2}$
\[
\begin{aligned}
u_{2 t t}-u_{2 x x}-u_{2} & =0, \\
u_{2}(x, 0)=u_{2 t}(x, 0) & =0 ;
\end{aligned}
\]

при $\varepsilon^{3}$
\[
\begin{aligned}
u_{3 t t}-u_{3 x x}-u_{3} & =u_{1}^{3}, \\
u_{3}(x, 0)-u_{3 t}(x, 0) & =0 .
\end{aligned}
\]

Решение задачи (2.1.13) для первого порядка имеет вид
\[
u_{1}=\cos \sigma_{1} t \cos k x, \quad \sigma_{1}^{2}=k^{2}-1 .
\]

Таким образом, волна устойчива при $k>1$ и неустойчива при $k<1$. Особый случай $k=1$ разделяет устойчивые и неустойчивые волны.

Решением задачи (2.1.14) для второго порядка является функция $u_{2}=0$. Подставляя в (2.1.15) выражение (2.1.16) для $u_{1}$ и решая задачу, получим
\[
\begin{array}{l}
u_{3}=\frac{3}{128 \sigma_{1}^{2}}\left[12 \sigma_{1} t \sin \sigma_{1} t+\cos \sigma_{1} t-\cos 3 \sigma_{1} t\right] \cos k x+ \\
+\frac{1}{128 k^{2}}\left[3\left(\cos \sigma_{1} t-\cos \mu t\right)+k^{2}\left(\cos 3 \sigma_{1} t-\cos \mu t\right)\right] \cos 3 k x,
\end{array}
\]

где $\mu^{2}=9 k^{2}-1$. Следовательно,
\[
\begin{aligned}
u=\varepsilon \cos \sigma_{1} t \cos k x & +\varepsilon^{2}\left[\frac{9}{32 \sigma_{1}} t \sin \sigma_{1} t \cos k x+\right. \\
& + \text { члены, ограниченные при } t \rightarrow \infty] .
\end{aligned}
\]

Здесь вновь прямое разложение нарушается при $t=O\left(\varepsilon^{-2}\right)$ или при бо́льших значениях $t$ вследствие наличия векового члена $t \sin \sigma_{1} t$.

2.1.3. Сверхзвуковое обтекание тонкого крыла

В качестве третьего примера, поясняющего ответственность бесконечной области за неравномерность в разложении типа Пуанкаре, рассмотрим равномерное невязкое сверхзвуковое обте-
Рис. 2.1.

кание тонкого симметричного крыла, изображенного на рис.2.1. Представим вектор скорости в виде $\mathbf{q}=U \operatorname{grad}(x+\varphi)$; потенциал $\varphi$ для стационарного двумерного безвихревого изэнтропического течения удовлетворяет уравнению
\[
\begin{aligned}
\varphi_{y y}-B^{2} \varphi_{x x}= & M^{2}\left[\frac{\gamma-1}{2}\left(2 \varphi_{x}+\varphi_{x}^{2}+\varphi_{y}^{2}\right)\left(\varphi_{x x}+\varphi_{y y}\right)+\right. \\
& \left.+\left(2 \varphi_{x}+\varphi_{x}^{2}\right) \varphi_{x x}+2\left(1+\varphi_{x}\right) \varphi_{y} \varphi_{x y}+\varphi_{y}^{2} \varphi_{y y}\right],
\end{aligned}
\]

где $B^{2}=M^{2}-1, M-$ число Маха свободного потока ${ }^{1}$ ). Нормальная составляющая скорости обращается в нуль на поверхности крыла, т.е. течение на поверхности происходит по касательной. Следовательно, имеем
\[
\frac{\varphi_{y}}{1+\varphi_{x}}=\varepsilon T^{\prime}(x) \text { при } y=\varepsilon T(x), \quad 0 \leqslant x \leqslant l,
\]

где $l$-длина хорды крыла. Граничные условия на бесконечности вверх по течению имеют вид
\[
\varphi(x, y)=0 .
\]

Используя метод последовательных приближений, Ван Дайк [1952] получил для уравнения (2.1.19) с граничным условием (2.1.21) решение второго порядка при малом, но конечном $\varepsilon$. Будем искать разложение типа Пуанкаре, приняв в качестве параметра возмущения $\varepsilon$. Пусть
\[
\varphi=\varepsilon \varphi_{1}+\varepsilon^{2} \varphi_{2}+\ldots .
\]

В силу малости $\varepsilon$ мы сможем существенно упростить задачу, перенеся граничное условие (2.1.20) с кривой $y=\varepsilon T(x)$ на отрезок $y=0$ с помощью следующего разложения в ряд Тейлора:
\[
\varphi(x, \varepsilon T)=\varphi(x, 0)+\varepsilon T \varphi_{y}(x, 0)+\frac{1}{2} \varepsilon^{2} T^{2} \varphi_{y y}(x, 0)+\ldots .
\]

Перепишем (2.1.20) в виде
\[
\frac{\varphi_{y}(x, 0)+\varepsilon T \varphi_{y y}(x, 0)+\ldots}{1+\varphi_{x}(x, 0)+\ldots}=\varepsilon T^{\prime}(x), \quad 0 \leqslant x \leqslant l .
\]

Подставляя (2.1.22) в (2.1.19), (2.1.21) и (2.1.23), разлагая для малого $\varepsilon$ и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $\varepsilon$, будем иметь для коэффициентов:
при $\varepsilon$
\[
\begin{array}{c}
\varphi_{1 y y}-B^{2} \varphi_{1 x x}=0, \\
\varphi_{1 y}(x, 0)=T^{\prime}(x), \quad 0 \leqslant x \leqslant l,
\end{array}
\]
\[
\varphi_{1}(x, y)=0 \text { (на бесконечности вверх по течению); }
\]

при $\varepsilon^{2}$
\[
\begin{aligned}
\varphi_{2 y y}-B^{2} \varphi_{2 x x} & =M^{2}\left[(\gamma+1) \varphi_{1 x} \varphi_{1 x x}+(\gamma-1) \varphi_{1 x} \varphi_{1 y y}+2 \varphi_{1 y} \varphi_{1 x y}\right], \\
\varphi_{2 y} & =\varphi_{1 x} T^{\prime}-\varphi_{1 y y} T \text { при } y=0 \text { и } 0 \leqslant x \leqslant l, \\
\varphi_{2}(x, y) & =0 \text { (на бесконечности вверх по течению). }
\end{aligned}
\]
$\varphi_{2}(x, y)=0$ (на бесконечности вверх по течению).

Общее решение уравнения (2.1.24) имеег вид
\[
\varphi_{1}=f(\xi)+g(\eta)
\]

где
\[
\xi=x-B y, \quad \eta=x+B y .
\]

Из условия на бесконечности (2.1.26) следует, что $g=0$, а условие $(2.1 .25)$ дает $\left.f=-T(\xi) / B^{1}\right)$. Поэтому
\[
\varphi_{1}=-T(\xi) / B \text {. }
\]

Подстановка $\varphi_{1}$ в (2.1.27) дает
\[
\varphi_{2 y y}-B^{2} \varphi_{2 x x}=M^{4}(\gamma+1) f^{\prime} f^{\prime \prime} .
\]

Записав левую часть (2.1.32) в переменных $\xi$ и $\eta$, будем иметь
\[
\frac{\partial^{4} \psi^{2}}{\partial \xi \partial \eta}=-\frac{M^{4}(\gamma+1)}{4 B^{2}} f^{\prime} f^{\prime \prime} .
\]

Решение этого уравнения имеет вид
\[
\varphi_{2}=-\frac{M^{4}(\gamma+1)}{8 B^{2}} f^{\prime 2} \eta+h(\xi) .
\]

Из (2.1.28) можно получить, что функция $h^{\prime}(\xi)$ должна иметь вид
\[
h^{\prime}(\xi)=\frac{M^{4}(\gamma+1)}{4 B^{4}} \xi T^{\prime} T^{\prime \prime}+\frac{1}{B^{2}}\left[1-\frac{M^{4}(\gamma+1)}{8 B^{2}}\right] T^{2}-T T^{\prime \prime} .
\]

Поскольку осевая составляющая скорости $u$ равна $U\left(1+\varphi_{x}\right)$, имеем
\[
\begin{aligned}
\frac{u}{U}=1-\varepsilon \frac{T^{\prime}}{B}+\varepsilon^{2}\left[\frac{1}{B^{2}}\right. & \left(1-\frac{M^{4}(\gamma+1)}{4 B^{2}}\right) T^{\prime 2}- \\
& \left.-\frac{\gamma+1}{2} \cdot \frac{M^{4}}{B^{3}} y T^{\prime} T^{\prime \prime}-T T^{\prime \prime}\right]+O\left(\varepsilon^{3}\right) .
\end{aligned}
\]

Для $y=O(1)$ третий член в (2.1.36) ограничен и является поэтому малой поправкой ко второму члену, который в свою очередь при $\varepsilon \rightarrow 0$ является малой поправкой к первому члену. Однако с ростом $y$ до значений порядка $O\left(\varepsilon^{-1}\right)$ или бо́льших третий член сравнивается по порядку со вторым и, далее, с первым членом. Это объясняется наличием слагаемого $(1 / 2)(\gamma+1) M^{4} B^{-3} y T^{\prime} T^{\prime \prime}$, из-за которого отношение $u_{2} / u_{1}$ не ограничено при $y \rightarrow \infty$. Хотя в рассматриваемой задаче и не присутствуют тригонометрические функции, слагаемое это может трактоваться как вековой член.

2.1.4. Обтекание сферы при малых числах Рейнольдса

Четвертым примером, показывающим трудность, возникающую при бесконечной области, является несжимаемое равномерное обтекание сферы при малом числе Рейнольдса. Для осесимметричного течения полная система уравнений Навье-Стокса в
Рис. 2.2.

сферической системе координат, изображенной на рис. 2.2 , задает следующее безразмерное уравнение относительно функции тока $\psi(r, \theta)\left(u_{r}=\psi_{\theta} / r^{2} \sin \theta, \quad u_{\theta}=-\psi_{r} / r \sin \theta\right):$
\[
\mathscr{D}^{4} \psi=\frac{R}{r^{2} \sin \theta}\left(\psi_{\theta} \frac{\partial}{\partial r}-\psi_{r} \frac{\partial}{\partial \theta}+2 \operatorname{ctg} \theta \psi_{r}-2 \frac{\psi_{\theta}}{r}\right) \mathscr{D}^{2} \psi,
\]

где $R=U a / v$ – число Рейнольдса ( $v$-кинематическая вязкость) и использовано обозначение
\[
\mathscr{D}^{2}=\frac{\partial^{2}}{\partial r^{2}}+\frac{\sin \theta}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\frac{1}{\sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta}\right) .
\]

Граничные условия на поверхости сферы требуют обращения в нуль скорости; в безразмерном виде будем иметь
\[
\psi(1, \theta)=\psi_{r}(1, \theta)=0 .
\]

Из условия равномерности потока на бесконечности имеем
\[
\psi(r, \theta) \rightarrow \frac{1}{2} r^{2} \sin ^{2} \theta \text { при } r \rightarrow \infty .
\]

Соотношения (2.1.37)-(2.1.40) определяют корректно поставленную задачу относительно функции тока $\psi$.

Будем искать формальное разложение типа Пуанкаре, справедливое при малых $R$ :
\[
\psi(r, \theta ; R)=\sum_{n=0}^{\infty} R^{m} \psi_{t n}(r, \theta) .
\]

Подставляя (2.1.41) с учетом условия (2.1.40) в уравнение (2.1.37), разлагая при малом $R$ и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $R$, получим для коэффициентов: при $R^{0}$
\[
\begin{array}{l}
\mathscr{D}^{4} \psi_{0}=0, \\
\psi_{0}(1, \theta)=\psi_{0 r}(1, \theta)=0, \\
\psi_{0}(r, \theta) \rightarrow \frac{1}{2} r^{2} \sin ^{2} \theta \text { при } r \rightarrow \infty ;
\end{array}
\]

при $R$
\[
\begin{array}{c}
\mathscr{D}^{4} \psi_{1}=\frac{1}{r^{2} \sin \theta}\left(\psi_{0 \theta} \frac{\partial}{\partial r}-\psi_{0 r} \frac{\partial}{\partial \theta}+2 \operatorname{ctg} \theta \psi_{0 r}-2 \frac{\psi_{0 \theta}}{r}\right) \mathscr{D}^{\mathbf{a}} \psi_{0}, \\
\psi_{1}(1, \theta)=\psi_{1 r}(1, \theta)=0, \\
\psi_{1}(r, \theta)=o\left(r^{2}\right) \text { при } r \rightarrow \infty .
\end{array}
\]

Условие (2.1.44) подсказывает, что $\psi_{0}$ надо искать в виде
\[
\psi_{0}=f(r) \sin ^{2} \theta .
\]

Подставив функцию этого предполагаемого вида в (2.1.42), получим уравнение
\[
f^{\mathrm{IV}}-\frac{4 f^{\prime \prime}}{r^{2}}+\frac{8 f^{\prime}}{r^{3}}-\frac{8 f}{r^{4}}=0,
\]

общее решение которого имеет вид
\[
f=c_{4} r^{4}+c_{2} r^{2}+c_{1} r+c_{-1} r^{-1} .
\]

Из граничного условия (2.1.44) имеем $c_{4}=0, c_{2}=1 / 2$, а граничные условия (2.1.43) дают $c_{1}=-3 / 4, c_{-1}=1 / 4$. Окончательно имеем
\[
\psi_{0}=\frac{1}{4}\left(2 r^{2}-3 r+\frac{1}{r}\right) \sin ^{2} \theta .
\]

Это решение было получено Стоксом [1851].
Подставив $\psi_{0}$ вида (2.1.51) в уравнение (2.1.45), получим
\[
\mathscr{D}^{4} \psi_{1}=-\frac{9}{4}\left(\frac{2}{r^{2}}-\frac{3}{r^{3}}+\frac{1}{r^{5}}\right) \sin ^{2} \theta \cos \theta .
\]

Уравнение (2.1.52) и граничные условия (2.1.46), (2.1.47) подсказывают, что частное решение будет иметь вид
\[
\psi_{1}=g(r) \sin ^{2} \theta \cos \theta .
\]

Функция $g$ должна удовлетворять следующим уравнению и граничным условиям:
\[
\begin{aligned}
g^{\mathrm{IV}}-\frac{12 g^{\prime \prime}}{r^{2}}+\frac{24 g^{\prime}}{r^{3}} & =-\frac{9}{4}\left(\frac{2}{r^{2}}-\frac{3}{r^{3}}+\frac{1}{r^{5}}\right), \\
g(1) & =g^{\prime}(1)=0, \\
g(r) & =o\left(r^{2}\right) \text { при } r \rightarrow \infty .
\end{aligned}
\]

Общее решение уравнения (2.1.54) имеет вид
\[
g=b_{-2} r^{-2}+b_{0}+b_{3} r^{3}+b_{5} r^{5}-\frac{3}{16} r^{2}+\frac{9}{32} r+\frac{3}{32} \frac{1}{r} .
\]

Из граничного условия (2.1,56) следует, что $b_{3}=b_{5}=0$. Однако даже такой выбор $b_{3}$ и $b_{5}$ не обеспечивает требуемого поведения функции $g$ при $r \rightarrow \infty$ из-за наличия члена – (3/16) $r^{2}$. Ясно, что никаким выбором $b_{0}$ и $b_{-2}$ этот недостаток нельзя устранить. Более того, невозможно отыскать другое частное решение уравнения (2.1.52), которое обеспечило бы соответствующее поведение функции $\psi_{1}$ при $r \rightarrow \infty$. Граничные условия (2.1.55) требуют, чтобы $b_{0}=b_{-2}=-3 / 32$. Следовательно,
\[
\psi_{1}=-\frac{3}{32}\left(2 r^{2}-3 r+1-\frac{1}{r}+\frac{1}{r^{2}}\right) \sin ^{2} \theta \cos \theta .
\]

Трудность, связанная с прямым разложением, здесь вновь возникает из-за наличия бесконечной области. Двучленное разложение
\[
\begin{array}{c}
\psi=\frac{1}{4}\left(2 r^{2}-3 r+\frac{1}{r}\right) \sin ^{2} \theta-\frac{3}{32} R\left(2 r^{2}-3 r+1-\frac{1}{r}+\frac{1}{r^{2}}\right) \times \\
\times \sin ^{2} \theta \cos \theta+O\left(R^{2}\right) \text { при } R \rightarrow 0
\end{array}
\]

удовлетворяет граничным условиям на поверхности и не удовлетворяет граничным условиям на бесконечности. Таким образом, это разложение перестает быть справедливым при больших $r$. Это обстоятельство носит название парадокса Уайтхеда [1889], впервые получившего это решение [1889] методом последовательных приближений и указавшего первым на его неравномерность.