Математическая формулировка многих физических задач, в которых встречается функция вида $u(x, \varepsilon)$, может быть дана с помощью дифференциального уравнения $L(u, x, \varepsilon)=0$ с граничным условием $B(u, \varepsilon)=0$, где $x$-скалярная или векторная независимая переменная, а $\varepsilon$-параметр. Такая задача, вообще говоря, не может быть решена точно. Однако если существует $\varepsilon=\varepsilon_{0}$ (выбором отсчета $\varepsilon$ можно добиться $\varepsilon_{0}=0$ ), для которого вышеупомянутая задача решается точно или сравнительно легко, то для малых $\varepsilon$ можно искать решение, скажем, в виде разложения по степеням $\varepsilon$, т. е. в виде
\[
u(x ; \varepsilon)=u_{0}(x)+\varepsilon u_{1}(x)+\varepsilon^{2} u_{2}(x)+\ldots,
\]

где $u_{n}$ не зависит от $\varepsilon$, а $u_{0}(x)$ – решение задачи при $\varepsilon=0$. Это разложение можно подставить затем в равенства $L(u, x, \varepsilon)=0$ и $B(u, \varepsilon)=0$, разложить их для малых $\varepsilon$ и сгруппировать коэффициенты при каждой степени $\varepsilon$. Поскольку эти уравнения должны удовлетворяться для всех значений $\varepsilon$ и последовательность степеней в линейно независима, коэффициент при каждой степени $\varepsilon$ обращается в нуль независимо. При этом обычно получаются простые уравнения относительно $u_{n}$, которые последовательно решаются. Следующие два примера иллюстрируют сказанное.

1.1.1. Алгебраическое уравнение
Рассмотрим сначала решение алгебраического уравнения
\[
u=1+\varepsilon u^{3}
\]

при малом $\varepsilon$. Для $\varepsilon=0$ имеем $u=1$. Пусть $\varepsilon$ мало и отлично от нуля: Положим
\[
u=1+\varepsilon u_{1}+\varepsilon^{2} u_{2}+\varepsilon^{3} u_{3}+\ldots,
\]

Тогда (1.1.2) принимает вид
\[
\varepsilon \dot{u}_{1}+\varepsilon^{2} u_{2}+\varepsilon^{3} u_{3}+\ldots=\varepsilon\left(1+\varepsilon u_{1}+\varepsilon^{2} u_{2}+\varepsilon^{3} u_{3}+\ldots\right)^{3} .
\]

Проведя в (1.1.4) разложение при малом $\varepsilon$, получим
\[
\varepsilon u_{1}+\varepsilon^{2} u_{2}+\varepsilon^{3} u_{3}+\ldots=\varepsilon\left[1+3 \varepsilon u_{1}+3 \varepsilon^{2}\left(u_{2}+u_{1}^{2}\right)+\ldots\right] \text {. }
\]

Сгруппировав коэффициенты при одинаковых степенях $\varepsilon$, будем иметь
\[
\varepsilon\left(u_{1}-1\right)+\varepsilon^{2}\left(u_{2}-3 u_{1}\right)+\varepsilon^{3}\left(u_{2}-3 u_{2}-3 u_{1}^{2}\right)+\ldots=0 .
\]

Поскольку это уравнение выполняется тождественно по $\varepsilon$, коэффициент при каждой степени $\varepsilon$ обращается в нуль независимо.

Таким образом,
\[
\begin{aligned}
u_{1}-1 & =0, \\
u_{2}-3 u_{1} & =0, \\
u_{3}-3 u_{2}-3 u_{1}^{2} & =0 .
\end{aligned}
\]

Решением уравнения (1.1.7) является
\[
u_{1}=1 \text {. }
\]

Тогда решением (1.1.8) будет
\[
u_{2}=3 u_{1}=3 \text {, }
\]

а решением (1.1.9)
\[
u_{3}=3 u_{2}+3 u_{1}^{2}=12 .
\]

Следовательно, (1.1.3) принимает вил
\[
u=1+\varepsilon+3 \varepsilon^{3}+12 \varepsilon^{3}+\ldots,
\]

где многоточием заменены все члены, содержащие $\varepsilon^{n}$ при $n \geqslant 4$. Таким образом, (1.1.13) является аппроксимацией решения уравнения (1.1.2), которое равно 1 при $\varepsilon \equiv 0$.

1.1.2. Осциллятор Ван-дер-Поля

В качестве второго примера рассмотрим уравнение Ван-дерПоля [1922]
\[
\frac{d^{2} u}{d t^{2}}+u=\varepsilon\left(1-u^{2}\right) \frac{d u}{d t}
\]

для малого $\varepsilon$. При $\varepsilon=0$ оно сводится к уравнению
\[
\frac{d^{2} u}{d t^{2}}+u=0,
\]

общее решение которого имеет вид
\[
u=a \cos (t+\varphi)
\]

где $a$ и $\varphi$-постоянные. Для определения лучшего приближения к решению уравнения (1.1.14) будем искать возмущенное разложение вида
\[
u(t ; \varepsilon)=u_{0}(t)+\varepsilon u_{1}(t)+\varepsilon^{2} u_{2}(t)+\ldots,
\]

где многоточие заменяет слагаемые, пропорциональные степеням $\varepsilon$, большим двух. Подставляя это разложение в (1.1.14), будем иметь
\[
\begin{array}{l}
\frac{d^{2} u_{0}}{d t^{2}}+u_{0}+\varepsilon\left(\frac{d^{2} u_{1}}{d t^{2}}+u_{1}\right)+\varepsilon^{2}\left(\frac{d^{2} u_{2}}{d t^{2}}+u_{2}\right)+\ldots= \\
=\varepsilon\left[1-\left(u_{0}+\varepsilon u_{1}+\varepsilon^{2} u_{2}+\ldots\right)^{2}\right]\left[\frac{d u_{n}}{d t}+\varepsilon \frac{d u_{1}}{d t}+\varepsilon^{2} \frac{d u_{2}}{d t}+\ldots\right] .
\end{array}
\]

Проведя разложение для малых $\varepsilon$, получим
\[
\begin{aligned}
\frac{d^{2} u_{0}}{d t^{2}}+ & u_{0}+\varepsilon\left(\frac{d^{2} u_{1}}{d t^{2}}+u_{1}\right)+\varepsilon^{2}\left(\frac{d^{2} u_{2}}{d t^{2}}+u_{2}\right)+\ldots= \\
& =\varepsilon\left(1-u_{0}^{2}\right) \frac{d u_{0}}{d t}+\varepsilon^{2}\left[\left(1-u_{0}^{2}\right) \frac{d u_{1}}{d t}-2 u_{0} u_{1} \frac{d u_{0}}{d t}\right]+\ldots .
\end{aligned}
\]

Поскольку $u_{n}$ не зависит от $\varepsilon$ и (1.1.19) справедливо для всех достаточно малых значений $\varepsilon$, коэффициенты при одинаковых степенях $\varepsilon$ в обеих частях этого уравнения должны быть равны. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $\varepsilon$ в обеих частях (1.1.19), получим:
для коэффициентов при $\varepsilon^{0}$
\[
\frac{d^{2} u_{0}}{d t^{2}}+u_{0}=0,
\]

для коэффициентов при $\varepsilon$
\[
\frac{d^{2} u_{1}}{d t^{2}}+u_{1}=\left(1-u_{0}^{2}\right) \frac{d u_{0}}{d t},
\]

для коэффициентов при $\varepsilon^{2}$
\[
\frac{d^{2} u_{2}}{d t^{2}}+u_{2}=\left(1-u_{0}^{2}\right) \frac{d u_{1}}{d t}-2 u_{0} u_{1} \frac{d u_{0}}{d t} .
\]

Заметим, что уравнение (1.1.20) совпадает с (1.1.15) и его общее решение имеет вид (1.1.16), т. е.
\[
u_{0}=a \cos (t+\varphi) \text {. }
\]

Подставляя в (1.1.21) выражение для $u_{0}$, получаем
\[
\frac{d^{2} u_{1}}{d t^{2}}+u_{1}=-\left[1-a^{2} \cos ^{2}(t+\varphi)\right] a \sin (t+\varphi) .
\]

Используя тригонометрическое тождество
\[
\cos ^{2}(t+\varphi) \sin (t+\varphi)=\frac{\sin (t+\varphi)+\sin 3(t+\varphi)}{4},
\]

перепишем это уравнение в виде
\[
\frac{d^{2} u_{1}}{d t^{2}}+u_{1}=\frac{a^{3}-4 a}{4} \sin (t+\varphi)+\frac{1}{4} a^{3} \sin 3(t+\varphi) .
\]

Частным решением его является функция
\[
u_{1}=-\frac{a^{3}-4 a}{8} t \cos (t+\varphi)-\frac{1}{32} a^{3} \sin 3(t+\varphi) .
\]

Коль скоро известны $u_{0}$ и $u_{1}$, известна и правая часть уравнения (1.1.22), и его аналогичным образом можно разрешить относительно $u_{2}$. Вопрос о том, насколько полезно полученное таким образом разложение, является предметом изучения этой книги.