Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Математическая формулировка многих физических задач, в которых встречается функция вида $u(x, \varepsilon)$, может быть дана с помощью дифференциального уравнения $L(u, x, \varepsilon)=0$ с граничным условием $B(u, \varepsilon)=0$, где $x$-скалярная или векторная независимая переменная, а $\varepsilon$-параметр. Такая задача, вообще говоря, не может быть решена точно. Однако если существует $\varepsilon=\varepsilon_{0}$ (выбором отсчета $\varepsilon$ можно добиться $\varepsilon_{0}=0$ ), для которого вышеупомянутая задача решается точно или сравнительно легко, то для малых $\varepsilon$ можно искать решение, скажем, в виде разложения по степеням $\varepsilon$, т. е. в виде где $u_{n}$ не зависит от $\varepsilon$, а $u_{0}(x)$ — решение задачи при $\varepsilon=0$. Это разложение можно подставить затем в равенства $L(u, x, \varepsilon)=0$ и $B(u, \varepsilon)=0$, разложить их для малых $\varepsilon$ и сгруппировать коэффициенты при каждой степени $\varepsilon$. Поскольку эти уравнения должны удовлетворяться для всех значений $\varepsilon$ и последовательность степеней в линейно независима, коэффициент при каждой степени $\varepsilon$ обращается в нуль независимо. При этом обычно получаются простые уравнения относительно $u_{n}$, которые последовательно решаются. Следующие два примера иллюстрируют сказанное. 1.1.1. Алгебраическое уравнение при малом $\varepsilon$. Для $\varepsilon=0$ имеем $u=1$. Пусть $\varepsilon$ мало и отлично от нуля: Положим Тогда (1.1.2) принимает вид Проведя в (1.1.4) разложение при малом $\varepsilon$, получим Сгруппировав коэффициенты при одинаковых степенях $\varepsilon$, будем иметь Поскольку это уравнение выполняется тождественно по $\varepsilon$, коэффициент при каждой степени $\varepsilon$ обращается в нуль независимо. Таким образом, Решением уравнения (1.1.7) является Тогда решением (1.1.8) будет а решением (1.1.9) Следовательно, (1.1.3) принимает вил где многоточием заменены все члены, содержащие $\varepsilon^{n}$ при $n \geqslant 4$. Таким образом, (1.1.13) является аппроксимацией решения уравнения (1.1.2), которое равно 1 при $\varepsilon \equiv 0$. 1.1.2. Осциллятор Ван-дер-Поля В качестве второго примера рассмотрим уравнение Ван-дерПоля [1922] для малого $\varepsilon$. При $\varepsilon=0$ оно сводится к уравнению общее решение которого имеет вид где $a$ и $\varphi$-постоянные. Для определения лучшего приближения к решению уравнения (1.1.14) будем искать возмущенное разложение вида где многоточие заменяет слагаемые, пропорциональные степеням $\varepsilon$, большим двух. Подставляя это разложение в (1.1.14), будем иметь Проведя разложение для малых $\varepsilon$, получим Поскольку $u_{n}$ не зависит от $\varepsilon$ и (1.1.19) справедливо для всех достаточно малых значений $\varepsilon$, коэффициенты при одинаковых степенях $\varepsilon$ в обеих частях этого уравнения должны быть равны. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $\varepsilon$ в обеих частях (1.1.19), получим: для коэффициентов при $\varepsilon$ для коэффициентов при $\varepsilon^{2}$ Заметим, что уравнение (1.1.20) совпадает с (1.1.15) и его общее решение имеет вид (1.1.16), т. е. Подставляя в (1.1.21) выражение для $u_{0}$, получаем Используя тригонометрическое тождество перепишем это уравнение в виде Частным решением его является функция Коль скоро известны $u_{0}$ и $u_{1}$, известна и правая часть уравнения (1.1.22), и его аналогичным образом можно разрешить относительно $u_{2}$. Вопрос о том, насколько полезно полученное таким образом разложение, является предметом изучения этой книги.
|
1 |
Оглавление
|