Главная > Методы возмущений (А.Х. Найфэ)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

В этом параграфе мы опишем некоторые из известных методов, с помощью которых можно определять приближенные решения задач с линейным волновым уравнением и связанных с ними эллиптических задач. При описании этих методов мы будем использовать волновое уравнение вида
c2(r)abla2vvttω02(r)v=c2(r)g(r)eiωt.

Положив
v=u(r)eiωt,

придем к уравнению
\[

abla^{2} u+k^{2} n^{2}(\mathbf{r}) u=g(\mathbf{r}) .
\]

Здесь k и n представляют собой волновое число и коэффициент преломления и задаются равенствами
k=ωc0,n2=ω2ω0(r)ω2c0c2(r),

где c0-некоторая характерная скорость. В этой задаче будем предполагать, что g-детерминированная функция, в то время как n может быть случайной функцией. Таким образом, результаты могут быть применены к распространению воли в случайной среде.

При постоянном n однородная задача допускает решение в виде плоской волны
u=Aeinkr,

где A-постоянная. Решение неоднородной задачи задается интегралом
u=Vg(ξ)eink|rξ|4π|rξ|dξ

где переменный вектор ξ пробегает объем рассеяния V. Если, однако, n не является постоянной величиной, будем искать асимптотические разложения решений уравнения (7.4.3). Выбор того или иного асимптотического метода для получения приближенного решения зависит от значения k и характера пространственного изменения n. Если n мало отличается от постоянной, то можно применять так называемое разложение Борна, разработанное физиками, или разложение Неймана, разработанное математиками, а также методы перенормировок или метод Рытова. Если же значения k велики, а n-медленно меняющаяся функция состояния, то можно использовать метод геометрической оптики. Хотя эти методы были разработаны для детерминированных задач, они могут быть использованы также в стохастических задачах. Для последних мы опишем также так называемый метод сглаживания, который является аналогом метода усреднения, рассмотренного в гл. 5. Область применения этих методов и дальнейшие ссылки читатель может найти в книгах Чернова [1960], Татарского [1959], Бабича [1970], [1971] и в обзорной статье Фриша [1968].

7.4.1. Разложение Борна — Неймана и диаграммы Фейнмана

Эта методика применима в случае, когда n мало отличается от постоянной. Будем считать, что при этом k и n нормированы таким образом, что постоянная составляющая n равна единице. Тем самым мы получаем возможность записать n2 в виде
n2=1+εχ(r),

где ε мало, а χ=O(1). Для статистической задачи мы будем предполагать, что случайная функция χ от переменной r центрирована таким образом, что ее среднее значение, обозначаемое через χ, равно нулю. Для получения разложения Борна [1926] положим
u=m=0εmum

Подставив это разложение в (7.4.3) и приравняв с учетом (7.4.7) коэффициенты при одинаковых степенях ε, получим
L(u0)=g,L(um)=k2χum1 для m1.

Здесь оператор L определен равенством
L=abla2+k2.

Уравнения (7.4.9) и (7.4.10) могут быть последовательно решены. Для некоторого заданного m правая часть (7.4.10) считается известной из решения предыдущего уравнения. Следовательно, решение задается равенством
um(r)=k2Vχ(rm)um1(rm)G0(r;rm)drm,m1,

где rm-переменный вектор, пробегающий объем рассеяния V, а G0 — функция Грина свободного пространства:
G0(r,ξ)=eik|rξ|4π|rξ|.

При g0 уравнение (7.4.9) допускает следующее решение в виде плоской волны:
u0=Aeikr,

где A-постоянная. Тогда из (7.4.12) имеем
u1=Ak2Vχ(r1)eikr1G0(r;r1)dr1,u2=Ak4Vχ(r1)χ(r2)eikr1G0(r;r2)G0(r2;r1)dr1dr2,um=A(1)mk2mVχ(r1)χ(r2)χ(rm)××eikr1G0(r;rm)G0(rm;rm1)G0(r2;r1)dr1dr2drm.

Член εu1 в этом разложении называется первым приближением Борна, а член εmumm-м приближением Борна.

Если χ-центрированная случайная функция r, то среднее значение функции и можно получить, усреднив (7.4.8). В результате будем иметь
u=Aeikr+Aε2k4Vχ(r1)χ(r2)eikr1G0(r;r2)G0(r2;r1)dr1dr2+++A(ε)mk2mVχ(r1)χ(r2)χ(rm)××eikr1G0(r;rm)G0(rm;rm1)G0(r2;r1)dr1dr2drm+

Усредненные величины χ(r1)χ(r2)χ(rm) зависят от расположения точек r1,r2,,rm, так как для большинства случайных

сред существует масштаб корреляции l (т. е. значения χ в точках, отстоящих друг от друга на расстоянии, превышающем l, не коррелированы). Чтобы получить зависимость от масштаба корреляции, разложим эти усредненные величины в ряды по расширяющимся группам переменных следующего вида:
χ(r1)χ(r2)=R(r1,r2),χ(r1)χ(r2)χ(r3)=R(r1,r2,r3),χ(r1)χ(r2)χ(r3)χ(r4)=R(r1,r2)R(r3,r4)+R(r1,r3)R(r2,r4)++R(r1,r4)R(r2,r3)+R(r1,r2,r3,r4),χ(r1)χ(r2)χ(rm)=k1+ks=mR(ξ1,,ξk1)R(ζ1,,ζk2)××R(η1,,ηks),

где ki2. Так, суммирование в последнем уравнении проводится по всем возможным разбиениям множества точек r1,r2,,rm на группы, содержащие по крайней мере две точки. Если χ-центрированная гауссовская случайная ункция, то все корреляционные функции обратятся в нуль, за исключением двухточечных корреляционных функций. С помоцью (7.4.19) и (7.4.18) можно получить для u выражение, зависящее от k-точечных корреляционных функций.
При geq0 частное решение уравнения (7.4.9) имеет вид
u0(r)=Mg=Vg(r0)G0(r;r0)dr0.

Тогда из (7.4.12) имеем
um(r)=(1)mk2mVg(r0)χ(r1)χ(r2)χ(rm)G0(r;rm)××G0(rm;rm1)G0(r2;r1)G0(r1;r0)dr0dr1drm

или, в операторной форме,
um=(k2Mχ)mMg

где оператор M определен в (7.4.20). Поэтому имеет место
u(r)=Mg+m=1εm(k2Mχ)mMg.

Этот ряд математики называют также рядом Неймана. K этому ряду можно прийти также, обратив соотношение (7.4.3) в интегральное уравнение
u=Mgεk2Mχu

и решая его методом последовательных приближений.

Из (7.4.23) можно определить функцию Грина G для уравнения (7.4.3) в виде
G(r;r0)=G0(r;r0)εk2χ(r1)G0(r;r1)G0(r1;r0)dr1++ε2k4χ(r1)χ(r2)G0(r;r2)G0(r2;r1)G0(r1;r0)dr1dr2+++(1)mεmk2mχ(r1)χ(r2)χ(rm)G0(r;rm)××G0(rm;rm1)G0(r2;r1)G0(r1;r0)dr1dr2drm+

В операторной форме эта функция будет иметь вид
G=m=0(G0L)mG0,Lφεk2χ(r)φ(r).

Этот ряд был представлен Фришем [1968] с помощью, как он назвал, „голой“ диаграммы. При этом он использовал следующие условные обозначения: G0 представляется сплошной линией, а L-точкой. Тогда G представляется диаграммным рядом

Этот ряд физически интерпретируется с помощью многократного рассеяния. Член с номером m соответствует волне, которая свободно распространяется от r0 к r1, рассеивается на неоднородностях в r1, распространяется свободно до r2, рассеивается на r2 и так далее. Фриш [1968] представил двойную функцию Грина (тензорное произведение функции G на комплексно сопряженную величину)
GG¯=G(r;r0)G¯(ξ;ξ0)

в виде следующего ряда двойных „голых“ диаграмм:

Здесь каждая двойная диаграмма соответствует тензорному произведению оператора, представляемого верхней линией, на опе-

ратор, комплексно сопряженный оператору, представляемому нижней линией.

Если χ-центрированный случайный процесс, то G может быть представлено следующим „одетым“ диаграммным рядом (Фриш, [1968]):

В этом диаграммном ряде использованы следующие условные обозначения:
(1) Точки, принадлежащие данной группе, соединены пунктирной линией.
(2) Каждой „голой“ диаграмме, содержащей функцию χ в виде k множителей, мы сопоставляем столько \»одетых“ диаграмм, сколько существует разных разбиений множества r1,r2,,rk на группы, содержащие по крайней мере две точки.
(3) Для вычисления по „одетой“ диаграмме сплошные линии следует заменить на G0, пучок пунктирных линий, оканчивающихся в r1,r2,,rs, — на множитель
(εk2)sR(r1,r2,,rs),

а интегрирование следует проводить по всем промежуточным точкам. Так, имеем

Аналогично, ковариацию GG¯ можно выразить в виде следующего ряда „одетых“ двойных диаграмм:
(7.4.32)

Здесь имеем, например,

В случае гауссовской случайной функции не обращаются в нуль только двухточечные корреляционные функции; следовательно, в (7.4.29) такие диаграммы, как 3 и 7 , а в (7.4.32) такие, как 5, исчезают.

Фриш [1968] показал, что разложения, полученные в этом пункте, являются расходящимися. Более того, он показал также, что эти разложения содержат вековые члены, из-за которых пригодность этих асимптотических разложений ограничивается малыми значениями аргумента. Поскольку величина χ(r1)× ×χ(r2)χ(r2m) равна сумме двухточечных корреляционных функций в количестве 13.5(2m1), то это число слагаемых быстро растет с увеличением m, и это обстоятельство является еще одной причиной, обусловливающей расходимость разложений (7.4.29) и (7.4.32). Шкарофский [1971] модифицировал разложение Борна для случая обратного рассеяния на турбулентной плазме, чтобы исследовать явление насыщения и поперечной поляризации. Рэлей [1917] разработал метод улучшения равномерной пригодности таких разложений, с тем чтобы разложение, полученное им для однократного рассеяния на тонком слое, сделать пригодным для многих слоев. Эта методика называется перенормировкой. Она была развита и расширена рядом исследователей (см. следующий пункт).

7.4.2. Методы перенормировки

Чтобы проиллюстрировать природу неравномерности, которая может возникнуть в разложении Борна (Неймана), и наметить пути ее устранения, рассмотрим простой пример
u+k2(ε)u=0,u(0)=1,

где k-постоянная, определяемая равенством
k=n=0Nεnkn.

Уходящие волны задаются точным соотношением
u=eik(ε)x=exp(ixn=0Nεnkn).

Однако разложение Борна, полученное для (7.4.34), имеет вид
u=eik0xm=01m!(ixn=1Nεnkn)m==eik0x[1+iεk1x+ε2(ik2x12k12x2)++ε3(ik3xk1k2x216ik13x3)+].

Очевидно, что это разложение пригодно только для коротких расстояний и нарушается, когда значения k1x имеют порядок

O(ε1) или больший. Источник неравномерности можно обнаружить, сравнив это разложение Борна с точным решением (7.4.36). Разложив в точном решении выражение exp(ixn=1Nεnkn) в ряд Тейлора по величине ixn=1Nεnkn, разложив, далее, выражение (n=1Nεnkn)m по степеням ε и сгруппировав члены с одинаковой степенью ε, можно получить из точного решения разложение Борна. Хотя ряд Тейлора, полученный разложением expφ по φ, сходится равномерно и абсолютно для всех значений φ, конечным числом членов ряда нельзя приблизить значение ехрч с заданной точностью для всех значений φ. Следовательно, любое равномерно пригодное для всех φ разложение функции expφ должно совпадать с самой функцией ехр φ. Таким образом, чтобы из (7.4.37) получить разложение, равномерно пригодное для значений x порядка O(ε1), следует просуммировать последовательность
1+iεk1x++(iεk1x)m/m!+.

Эта сумма равна exp(ik1x). Тогда (7.4.37) принимает вид
u=exp[i(k0+εk1)x]m=01m!(ixn=2Nεnkn)m==exp[i(k0+εk1)x](1+iε2k2x+iε3k3x12ε4k22x2+).

Это разложение нарушается при k2x=O(ε2). Чтобы увеличить область пригодности этого разложения до значений x=O(ε2), следует просуммировать последовательность m=0(iε2k2x)m/m!. Если не известна явная функциональная зависимость, то эффективным методом суммирования этих последовательностей является метод многих масштабов гл. 6. Суммирование вековых членов можно также произвести другим способом-методом перенормировки. Метод перенормировки был первоначально разработан Рэлеем [1917] с целью обобщить свои результаты по рассеянию на тонком слое на рассеяние на многих слоях. Для однократного рассеяния на одном слое он получил разложение вида
u=eik0x(1+iεμx)

Чтобы получить решение, пригодное для многих слоев, он придал этому разложению вид экспоненты, т. е. записал его в виде
u=exp[i(k0+εμ)x]

Таким способом он эффективно вычислил сумму m=1(iεμx)m/m ! последовательности вековых членов. Процесс суммирования разложений с целью сделать их „более\» равномерно пригодными называется перенормировкой. Эта методика была заново открыта Притуло [1962], о чем говорилось в §3.4.

Чтобы расширить область равномерной пригодности двучленного разложения Борна u=u0+εu1, придадим ему следующий экспоненциальный вид:
u=u0eεu1/u0.

Если для u0 имеем u0=A0expiS0(r), то тогда
u=AeiS(r)

где A=A0exp[εRe(u1/u0)] и S=S0+εIm(u1/u0).
Метод перенормировки был расширен, что позволило получить кинетические уравнения для слабо нелинейных систем (см., например, Ван Хов [1955], [1957]; Пригожин [1962]; Балеску [1963]; Альтшуль и Қарпман [1965]). В соответствии с этим методом последовательности вековых членов выделяются и суммируются с применением диаграмм Фейнмана или без них. Суммирование главных последовательностей вековых членов приводит к квазилинейным уравнениям.

Метод перенормировки широко применялся также при изучении распространения волн в случайных средах (см., например, Татарский [1959, глава 6]; Келлер [1962]; Қарал и Келлер [1964]). Итак, чтобы расширить область равномерной пригодности разложения для G из (7.4.29), придадим величине G экспоненциальный вид
G=G0eψ.

Следовательно, первая перенормировка дает
ψ=G2G0,

где
G2=ε2k4G0(r;r2)G0(r2;r1)G0(r1;r0)R(r1;r2)dr1dr2.

Бурре [1962a], [1962b], Фуруцу [1963], Татарский [1964] и Фриш [1965] использовали диаграммный метод суммирования для нахождения уравнений перенормировки произвольного порядка. Татарский [1964] расположил диаграммы для G и GG¯ таким образом, что удалось обнаружить, что эти диаграммы соответствуют разложениям Неймана для двух интеграль-

ных уравнений с двумя ядрами, имеющими бесконечное число членов. Для случая, когда показатель преломления является центрированной гауссовской величиной, диаграммное разложение для G имеет вид

Для получения интегрального уравнения для G с ядром, состоящим из бесконечного ряда, рассмотрим топологию диаграмм в (7.4.46). Введем следующие определения.
(1) Диаграммой без концов будем называть диаграмму с удаленными внешними отрезками сплошных линий. Так, например, диаграмма 2 без концов имеет вид , а диаграмма 4 без концов имеет вид
(2) Диаграмма без концов называется связной, если ее нельзя разбить на две или более диаграммы, не разрывая ни одной пунктирной линии. Диаграммы 4,5,10,11 и 13-20 являются связными, в то время как диаграммы 3,6,7,8,9 и 12 не являются связными. Несвязные диаграммы могут быть разбиты на множители; например, диаграмма

может быть записана в виде произведения следующих пяти диаграмм: ,
(3) Массовым оператором Q, обозначаемым через , называется сумма всевозможных связных диаграмм, входящих в G; т. е. имеем

Все несвязные диаграммы, состоящие из двух связных диаграмм, встречаются в сумме диаграмм вида , а все несвязные диаграммы, состоящие из трех связных диаграмм, встречаются в сумме диаграмм вида . Из сказанного следует, что величина G, обозначаемая линией — , описывается следующим уравнением Дайсона (Татарский [1964]):

или в аналитическом виде
G(r;r0)=G0(r;r0)+G0(r;r1)Q(r1;r2)G(r2;r0)dr1dr2.

Аналогичное уравнение, введенное впервые Дайсоном [1949], широко использовалось в квантовой электродинамике, квантовой теории поля и в задаче многих тел. Если функция χ однородна, то массовый оператор Q инвариантен по отношению к переносу и представляет собой оператор свертки, преобразование Фурье которого является оператором умножения на обычные функции. Следовательно, совершив преобразование Фурье в (7.4.49), получим
G(x)=1k2x2+1k2x2Q(x)G(x),

коль скоро
G0(x)=1k2x2.

Разрешая уравнение (7.4.50) относительно G(x), нолучим
G(x)=1k2x2Q(x).

Таким образом, при известном Q величина G может быть найдена обращением G(x). Однако точное выражение для Q

так же трудно найти, как и выражение для G. Поэтому прибегают к приближенным методам определения Q. Простейшее приближение, основанное на уравнении Дайсона, соответствует удерживанию в массовом операторе только первого члена. Имеем при этом

или, в аналитическом виде,
G(r;r0)==G0(r;r0)+ε2k4G0(r;r1)G0(r1;r2)R(r1;r2)G(r2;r0)ar1ar2.

Это уравнение, называемое первым уравнением перенормировки, в диаграммном виде было введено в рассмотрение Бурре [1962a], [1962b].

Следует отметить, что уравнения (7.4.49) и (7.4.54) не могут быть решены методом итераций, поскольку это привело бы к появлению вековых членов. Варватсис и Сансер [1971] получили приближенное решение уравнения (7.4.54) в виде
G(r;r0)=G0(r;r0)eε2G2/G0,

где
G2=k4G0(r;r1)G0(r1;r2)G0(r2;r0)R(r1;r2)dr1dr2.

Это решение равным образом годно как для однородных, так и для неоднородных сред. Мы пришли бы к этому же решению, записав выражение G=G0+ε2G2 в экспоненциальном виде.

С помощью диаграммной техники Татарский [1964] и Фриш [1968] получили следующее уравнение Бете-Салпетера для случая, когда показатель преломления является гауссовским центрированным процессом или имеет общий вид
(7.4.57)
Здесь оператор интенсивности состоит из всех связных диаграмм без концов, входящих в разложение для GG¯, т. е.

имеем

Впервые это уравнение было введено Салпетером и Бете [1951] при рассмотрении релятивистских задач со связанным состоянием.

7.4.3. Метод Рытова
Для получения приближенного решения уравнения
\[

abla^{2} u+k^{2}[1+\varepsilon \chi(\mathbf{r})] u=0
\]

положим, следуя Рытову [1937] (см. также Татарский [1959, стр. 121-128]; Чернов [1960, стр. 58-67]),
u=eψ

и преобразуем (7.4.59) к виду
\[

abla^{2} \psi+
abla \psi \cdot
abla \psi+k^{2}(1+\varepsilon \chi)=0 .
\]

Предположим теперь, что ψ допускает следующее асимптотическое разложение:
ψ=n=0εnψn(r)

Подставив (7.4.62) в (7.4.61) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях ε, получим
\[
\begin{aligned}

abla^{2} \psi_{0}+
abla \psi_{0} \cdot
abla \psi_{0} & =-k^{2}, \

abla^{2} \psi_{1}+2
abla \psi_{1} \cdot
abla \psi_{0} & =-k^{2} \chi, \

abla^{2} \psi_{n}+\sum_{m=0}^{n}
abla \psi_{m} \cdot
abla \psi_{n-m} & =0, \quad n \geqslant 2,
\end{aligned}
\]

Эти уравнения могут быть решены последовательно. Получающееся при этом разложение в точности соответствует разложению Борна u=n=0εnun для уравнения (7.4.59). Действительно, разложение Рытова может быть получего из ряда Борна, если последнему придать экспоненциальный вид. Полагая
n=0εnun=exp(m=0εmψm),

разлагая экспоненту при малых ε и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ε, можно получить для первых членов
u0=eψ0,u1=eψ0ψ1,u2=eψ0(ψ2+12ψ12),u3=eψ0(ψ3+ψ1ψ2+16ψ13).

Таким образом, разложение Рытова представляет собой результат перенормировки разложения Борна и, следовательно, должно иметь более широкую область равномерной пригодности, чем разложение Борна. Однако этот вывод представляется спорным (Хафнагель и Стэнли [1964]; де Вольф [1965], [1967]; Браун [1966], [1967], Фрид [1967]; Хайдбредер [1967]; Тейлор [1967]; Стробен [1968]; Сансер и Варватсис [1969], [1970]).
7.4.4. Приближение геометрической оптики

Целью нашего рассмотрения является получение асимптотического решения уравнения
\[

abla^{2} u+k^{2} n^{2}(\mathbf{r}) u=0
\]

для больших волновых чисел k (т. е. для малых длин волн λ=2π/k ). Для больших k решение уравнения (7.4.68) допускает асимптотическое разложение вида (Келлер [1958])
u=eikS(r)m=0(ik)mum(r).

Подставляя (7.4.69) в (7.4.68) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях k, получаем
\[
\begin{aligned}

abla S \cdot
abla S & =n^{2}(\mathbf{r}), \text { (уравнение эйконала) } \
2
abla S \cdot
abla u_{0}+u_{0}
abla^{2} S & =0, \text { (уравнения переноса) } \
2
abla S \cdot
abla u_{m}+u_{m}
abla^{2} S & =-
abla^{2} u_{m-1} \text { для } m \geqslant 1 .
\end{aligned}
\]

Уравнение (7.4.70) может быть решено методом характеристик, т. е. с помощью уравнений
drdσ=2λablaS,dSdσ=2λn2,ddσ(ablaS)=λabla(n2),

где σ-параметр, а λ-множитель пропорциональности. Исключив ablaS из первого и третьего уравнений, получим
ddσ(12λdrdσ)=2λnablan.

Тогда решение второго уравнения в (7.4.73) имеет вид
S=S0+σ0σ2λn2[r(τ)]dτ,

где r(σ)-решение уравнения (7.4.74) при начальных условиях r(σ0)=r0,dr(σ0)/dσ=r˙0. Положив 2λ=n1 и считая σ длиной дуги вдоль лучей, можем переписать (7.4.74) и (7.4.75) в виде
ddσ[n(r(σ))dr(σ)dσ]=ablan,S=S0+σ0σn[r(τ)]dτ.

Вдоль лучей уравнение (7.4.71) принимает вид
2n[r(σ)]du0dσ+u0abla2S[r(σ)]=0.

Решением этого уравнения является функция
u0=u0[r(σ0)]exp{σ0σabla2S[r(τ)]2n[r(τ)]dτ}.

Аналогично, решением уравнения (7.4.72) будет функция
um=cu0[r(σ)]u0[r(σ0)]σ0σabla2um1[r(τ)]2n[r(τ)]u0[r(σ)]u0[r(τ)]dτ,

где c-постоянная, определяемая из начальных условий.
Разложение, полученнсе в этом пункте, является непригодным на каустике (т. е. на поверхности, огибающей лучи), на границах тени, в фокусах лучей и в окрестности источников. В таких областях соседние лучи пересекаются, и площадь поперечного сечения трубки лучей обращается в нуль. Поскольку в трубке лучей энергия сохраняется, амплитуда поля в этих областях должна быть бесконечной. Ниже будет показано, что на каустике поле является неограниченным; в следующем пункте будет получено разложение, пригодное всюду, в том числе и на каустике.

Для того чтобы показать, что разложение этого пункта нарушается на каустике или в ее окрестности, рассмотрим частный случай n(r)=1. Из (7.4.76) имеем, что в этом случае лучи являются прямыми линиями, а из (7.4.77) следует, что S=S0 σ0+σ. Выразим теперь решения уравнений (7.4.71) и (7.4.72)
Рис. 7.1.

в координатной системе, отнесенной к каустике, которую будем предполагать гладкой и выпуклой. На рис. 7.1 изображена точка P, расположенная вне каустики, и два луча, проходящие через нее. Выбрав на каустике некоторое направление, мы тем самым введем направление на каждом луче, который обязательно касается каустики в некоторой ее точке. Таким образом, каждая точка P, лежащая вне каустики, располагается на двух лучах, один из которых направлен от каустики, другой направлен к ней.

Для двумерного случая обозначим через s длину дуги вдоль каустики и через σ-длину отрезка луча от точки касания до точки P. Таким образом, местоположение точки P определяется числами s1 и σ1 или s2 и σ2. В этих координатах радиус-вектор r точки P задается равенством
r=r0(s)+σe1,

где r=r0( s) — уравнение каустики, а e1=dr0/ds — единичный вектор, касательный к каустике. Поскольку de1/ds=ρ1e2, где ρ1 кривизна в соответствующей точке каустики, то, дифференцируя (7.4.80), будем иметь
dr=e1ds+e1dσ+σρe2ds.

Заменив переменные σ и s на
ξ=s,η=s+σ,

получим
dr=e1dη+ηξρe2dξ.

Следовательно, имеем
\[
\begin{aligned}

abla f & =\frac{\partial f}{\partial \eta} \mathbf{e}_{1}+\frac{\rho}{\eta-\xi} \frac{\partial f}{\partial \xi} \mathbf{e}_{2}, \

abla^{2} f & =\frac{1}{\eta-\xi} \frac{\partial}{\partial \eta}\left[(\eta-\xi) \frac{\partial f}{\partial \eta}\right]+\frac{\rho}{\eta-\xi} \frac{\partial}{\partial \xi}\left[\frac{\rho}{\eta-\xi} \frac{\partial f}{\partial \xi}\right] .
\end{aligned}
\]

С помощью равенств, получаемых из (7.4.81),
η=σ,ξ=sσ

можно переписать (7.4.83) и (7.4.84) в виде
\[
\begin{aligned}

abla f & =\frac{\partial f}{\partial \sigma} \mathbf{e}_{1}+\frac{\rho}{\sigma}\left(\frac{\partial f}{\partial s}-\frac{\partial f}{\partial \sigma}\right) \mathbf{e}_{2}, \

abla^{2} f & =\frac{1}{\sigma} \frac{\partial}{\partial \sigma}\left[\sigma \frac{\partial f}{\partial \sigma}\right]+\frac{\rho}{\sigma}\left(\frac{\partial}{\partial s}-\frac{\partial}{\partial \sigma}\right)\left[\frac{\rho}{\sigma}\left(\frac{\partial f}{\partial s}-\frac{\partial f}{\partial \sigma}\right)\right] .
\end{aligned}
\]

Рассмотрев частный случай S(s,σ0)=s+σ0, будем иметь
S(s,σ)=s+σ.

Эта функция является двузначной в соответствии с тем, направлен ли луч от каустики или к ней. Используя в (7.4.78) и (7.4.79) соотношения (7.4.85) и (7.4.86), получим
u0(s,σ)=u0(s,σ0)σ0σ,um(s,σ)=um(s,σ0)σ0σ12σ0στσabla2um1(s,τ)dτ.

Эти функции не ограничены при σ0 (т. е. на каустике). Модифицированное разложение, пригодное всюду, включая и окрестность каустики, получено в следующем пункте.

7.4.5. Равномерное разложение на каустике

Для нахождения разложения, пригодного на каустике, мы должны в первую очередь определить размеры области неравномерности и форму решения в этой области. Положим с этой целью в (7.4.68)
u=ψ(r,k)eikS(r)

и, полагая n(r)=1, получим
k2ψ[1(ablaS)2]+ik(2ablaSablaψ+ψabla2S)+abla2ψ=0.

Предполагая, что главным является член, пропорциональный k2, получим
\[

abla S \cdot
abla S=1 \text { (уравнение эйконала), }
\]
 ik (2ablaSablaψ+ψabla2S)+abla2ψ=0

Возьмем в качестве решения уравнения (7.4.91) функцию S=s+σ. Тогда (7.4.92) примет вид
{ik(2σ+1σ)+1σσ(σσ)+ρσ(sσ)[ρσ(sσ)]ψ=0.

Чтобы выявить характер решения уравнения (7.4.93) в окрестности каустики, подвергнем это уравнение преобразованию растяжения
τ=kλσ,λ>0,

и получим
ik1+λ(2τ+1τ)ψ++{k2λττ(ττ)+ρk2λτ(skλτ)[ρτ(skλτ)]ψ=0.

Параметр λ определяется из требования, чтобы наибольшая степень k в выражении в фигурных скобках (в том выражении, которым мы пренебрегли в главном члене прямого разложения в предыдущем пункте) была бы равна степени k в первом члене (т. е. в главном члене при разложении по лучу). Это означает, что мы полагаем
1+λ=4λ,λ=13.

Тогда при k уравнение (7.4.94) стремится к виду
i(2ψτ+ψτ)+ρ2ττ(1τψτ)=0.

Полагая в нем
ψ=eiτ3/3ρ2V(z),z=τ2ρ4ρ3,

придем к уравнению
d2Vdz2+zV=0,

решениями которого являются функции Эйри Ai(z) и Bi(z) (см. п. 7.3.1). Если бы мы проанализировали поведение решения в окрестности границы тени, мы бы нашли, что решение должно быть выражено в функциях Вебера или функциях параболического цилиндра. Теперь мы можем либо срастить это внутреннее разложение с внешним разложением, полученным в предыдущем разделе, и с другим внешним разложением внутри каустики (Бюшал и Келлер [1960]), либо построить одно равномерно пригодное разложение по примеру разложений в задачах с точкой возврата (см. § 7.3).

Следуя Кравцову [1964a], [1964b], Людвигу [1966] и Заудеpеру [1970b], будем искать асимптотическое разложение вида u=eikθ(r){g(r,k)V[k2/3φ(r)]+1ik1/3h(r,k)V[k2/3φ(r)]},
где θ и φ определяются в процессе вычислений, а V(z) задается с помощью (7.4.98). Подставив (7.4.99) в (7.4.68), используя равенство V+zV+V=0 и приравнивая нулю коэффициенты при V и V, получим
k2g[(ablaθ2)+φ(ablaφ)21]2k2φhablaθablaφ+ik[2ablaθablag+gabla2θ++2φablaφablah+φhabla2φ+h(ablaφ)2]+abla2g=0,(7.4.100)k2h[(ablaθ)2+φ(ablaφ)21]k2gablaθablaφ+ik[2ablaφablag+gabla2φ++2ablaθablah+habla2θ]+abla2h=0. (7.4.101) 

Коэффициенты при k2 в (7.4.100) и (7.4.101) обращаются в нуль при условиях
\[
\begin{aligned}
(
abla \theta)^{2}+\varphi(
abla \varphi)^{2} & =1, \

abla \theta \cdot
abla \varphi & =0 .
\end{aligned}
\]

Чтобы решить получающиеся уравнения, положим в них
g(r,k)=g0(r)+k1g1(r)+,h(r,k)=h0(r)+k1h1(r)+

и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях k1. Уравнения первого порядка имеют вид
2ablaθablag0+g0abla2θ+2φablaφablah0+φh0abla2φ+h0(ablaφ)2=0,2ablaφablag0+g0abla2φ+2ablaθablah0+h0abla2θ=0.

Уравнения (7.4.102) эквивалентны уравнению эйконала (7.4.70), в то время как уравнения (7.4.104) эквивалентны уравнению переноса (7.4.71). Аналогичные уравнения получил Фаукес [1968, часть II] с помощью метода многих масштабов.

Система (7.4.102) представляет собой нелинейную систему уравнений, которая является эллиптической при φ<0 (теневая

область), гиперболической при φ>0 (освещенная область) и параболической при φ=0 (каустическая кривая или поверхность). Для выпуклой и аналитической каустики системы (7.4.102) и (7.4.104) могут быть решены разложением величин θ и φ в степенные ряды в координатной системе, отнесенной к каустике.

Для того чтобы увидеть связь между системой (7.4.102) и уравнением эйконала (7.4.70), умножим второе уравнение в (7.4.102) на ±2φ (мы рассматриваем освещенную область, в которой φ>0 ) и результат сложим с первым из этих уравнений. Получим уравнение
(ablaθ±Vablaφ)2=1,

которое можно записать в виде
(ablaS)2=1

где
S±=θ±23φ3/2.

Аналогичным образом, умножив второе уравнение в (7.4.104) на ±φ, сложив результат с первым из этих уравнений и использовав равенство ablaθablaφ=0, получим
2ablaS±ablaψ±+[abla2S±12φ1/2(Δφ)2]ψ±=0,

где
ψ±=g0±φh0.

Уравнение (7.4.107) отличается от уравнения переноса (7.4.71) только наличием члена ±(1/2)φ1/2(ablaφ)2, из-за которого коэффициент при ψeq становится ограниченным в окрестности каустики.

Заменив V и V их асимптотическими разложениями для больших значений аргумента, придем к разложению геометрической оптики, полученному в предыдущем пункте (для случая освещенной области, φ>0 ). Заменив V и V их асимптотическими разложениями для больших значений аргумента в случае φ<0, получим некоторое разложение в теневой области, которое может быть интерпретировано с помощью комплексных лучей, фаз и коэффициентов переноса.

Обзор работ по равномерным асимптотическим разложениям в задачах распространения волн и дифракции был дан Людвигом [1970b] и Бабичем [1970], [1971]. Роль координатных систем в приведении разложений к равномерно пригодному виду была исследована Заудерером [1970a].

Бабич [1965] получил единое равномерно пригодное разложение для задачи о точечном источнике, в то время как Авила и Келлер [1963] для нее получили сращивание трех разложений.

Заудерер [1964b], Буслаев [1964], Гримшоу [1966], Людвиг [1967], Льюис, Блайстайн и Людвиг [1967], в числе других авторов, рассматривали задачи дифракции на выпуклых телах. Дифракция на прозрачном теле была исследована Ральфом [1968].

Равномерные разложения в задаче дифракции вблизи вогнутой стороны некоторого тела (колебания типа шепчущей галереи) были получены, в числе других авторов, Кравцовым [1964b], Матковским [1966], Людвигом (1970а].

Характеристические переходные области, в которых две каустики расположены близко друг к другу, аналогичны точкам возврата второго порядка. В этих случаях в равномерные разложения входят функции Вебера или функции параболического цилиндра. Некоторые задачи указанного типа изучены Кравцовым [1965], Бабичем и Кравцовой [1967], Вайнштейном [1969] и Заудерером [1970a], [1970b].

Дифракцию на тонком экране (дифракцию Френеля) исследовали Вольф [1967], Керстен [1967], Алувалиа, Льюис и Боерсма [1968].

Области многократного перехода возникают при касательном пересечении двух или более каустик и границ тени, как, например, вблизи границ каустик (Леви и Фельзен [1967]), угловых точек на каустиках (Людвиг [1966]) и точек дифракции гладких тел (Людвиг [1967]). Задачи с переходными областями, в числе других авторов, исследовали Заудерер [1964a], [1970a], Фок [1965], Ральф [1967] и Блайстайн [1967].

7.4.6. Метод сг лаживания

Для того чтобы применить эту методику к уравнению (7.4.3) с центрированной случайной функцией n2(r), преобразуем сначала его в интегральное уравнение
u=Mgεk2Mχu.

Здесь оператор M определен равенством
Mg=Vg(r0)G0(r;r0)dr0,

где G0-функция Грина свободного пространства. Фриш [1968] показал, что многие другие линейные уравнения математической физики, такие, как уравнение Лиувилля для системы взаимодействующих классических частиц, уравнение Хопфа в теории турбулентности и уравнение Фоккера-Планка, могут быть сведены к интегральному уравнению вида (7.4.109).

Вообще говоря, для нас представляет интерес не сама функция u, а ее проекция Pu на некоторое подпространство исходного пространства, на котором определена функция u. Например, в задаче распространения волн в случайной среде можно считать Pu=u, а в случае N взаимодействующих частиц проекция Pu представляет собой функцию распределения скоростей для системы N частиц, полученную интегрированием u по всем пространственным координатам. Введем обозначение
Pu=uc,ui=(IP)u.

В задачах распрсстранения волн в случайных средах uc представляет собой когерентную составляющую поля (среднее значение), в то время как ui представляет собой некогерентную составляющую (флуктуирующую составляющую). Для детерминированной функции g и центрированной случайной функции χ имеем
Pg=g,PM=MP,PχP=0.

Действуя оператором P на (7.4.109) слева, получим
uc=Mgεk2MPχ(Pu+ui)=Mgεk2MPχui.

Действуя опять-таки на (7.4.109) оператором IP слева, получим
ui=εk2M(IP)χ(uc+ui)==εk2M(IP)χucεk2M(IP)χui.

Применив для решения (7.4.114) формально метод последовательных приближений, получим следующую зависимость ui от uc :
ui=n=1[εk2M(IP)χ]nuc.

Подставив это выражение для ui в (7.4.113), будем иметь
uc=Mg{εk2MPχn=1[εk2M(IP)χ]n}uc.

Поскольку uc=Puc, то это уравнение можно записать в виде
uc=Mg+MQuc

где
Q=n=1εk2Pχ[εk2M(IP)χ]nP.

Для случайных операторов уравнение (7.4.116) представляет собой в точности уравнение Дайсона (7.4.49), в котором Q массовый оператор.

Фриш [1968] назвал эту методику методом сглаживания, поскольку она является как бы аналогом метода усреднения (гл. 5), в котором зависимые переменные состоят из медленных и быстропериодических слагаемых. Для стохастических уравнений эту методику впервые ввели Примас [1961], Эрнст и Примас [1963], Татарский и Герценштейн [1963]. Цванциг [1964] применил ее для уравнения Лиувилля.

Сглаживание первого порядка задается соотношением (7.4.116), в котором использован один член выражения (7.4.117), т. е. задается равенством
Q=ε2k4PχM(IP)χP=ε2k4PχMχP.

Следовательно,
uc=Mg+ε2k4MPχMχPuc.

Это уравнение совпадает с уравнением Буре (7.4.54) для линейных случайных сред и с уравнением Ландау для задачи Лиувилля (см., например, Пригожин [1962]). Для линейных случайных сред это первое приближение получили также Келлер [1962] и Кубо [1963].

Упражнения

7.1. Определить для больших значений x асимптотические разложения решений уравнений
(a) y(1+1x+2x2)y=0
(б) y(4x2+1+1x+2x2)y=0,
(B) x2y+xy+(x2n2)y=0,
(г) y+(1+1x+2x2)y=0,
(д) y+xy+y=0.

7.2. Определить для больших значений x асимптотические разложения решений уравнений
(a) y±(14x+2x2)y=0
(6) y±(94x+1)y=0,
(в) y+xy+254x3y=0,
(r) y+x1/3y+x2y=0.

7.3. Рассмотреть уравнение
yλ2x2y=0.
(a) Показать, что точное решение имеет вид
y=axm1+bxm2

где m1,2=1/2±λ2+1/4.
(6) Определить первое приближение ВКБ.
(в) Сравнить это приближение с точным решением (Джеффрис, [1962]).

7.4. Определить первое приближение для больших λ в задаче на собственные значения
u+λ2f(x)u=0,f(x)>0,u(0)=u(1)=0.

7.5. Рассмотреть уравнение
u+[f(x)+n=1εngn(x)]u=0.

Положить
u=w(x)eφ(x,ε),φ=n=1εnφn(x),
где
w+f(x)w=0.
Определить уравнение для φ и затем найти φn (Брулл и Соулер [1966]).

7.6. Определить равномерное асимптотическое разложение для решения уравнения
u¨+ω2(εt)u=f(εt),
где ε-малый параметр, а f-ограниченная непериодическая функция t.

7.7. Рассмотреть уравнение
u¨+ω2(εt)u=kcosφ,
в котором φ=λ(εt). Определить равномерные асимптотические разложения для случаев: (а) значения λ не близки к ω; (б) при некотором t=t0>0 имеет место λ=ω (Кеворкян [1971]).

7.8. Рассмотреть уравнение
u¨i[ω1(εt)+ω2(εt)]u˙ω1(εt)ω2(εt)u=f(εt),
где точки над буквой означают дифференцирование по t, а ε-малый параметр. Определить равномерные асимптотические приближения к решениям этого уравнения для случаев: (a) f(εt)=0; (б) f(εt)-ограниченная непериодическая функция t; (в) f(εt)=kexp(iφ), причем φ=λ(εt)eqωi; (г) функция f(εt) имеет тот же вид, что и в пункте (в), но при некотором t=t0 имеет место λ=ω1.

7.9. Определить равномерное асимптотическое разложение общего решения уравнения
ε2y+ε(2x+1)y+2xy=0,0x1.

7.10. Функции Бесселя Jn(nx),Yn(nx) и Hn(1,2)(nx) являются решениями дифференциального уравнения
x2y+xy+n2(x21)y=0.
Определить равномерное асимптотическое разложение для общего решения этого уравнения при больших n.

7.11. Определить равномерные асимптотические разложения решений уравнения
y+x(1+x)εα(1+x)2y=0,1<x<,
при малом ε и α-постоянном.

7.12. Рассмотреть задачу Гретца о теплопроводности в трубе
u+λ2(1x2)f(x)u=0,u(1)=u(1)=0,
в которой λ1 и f(x)=f(x)>0. Определить первое приближение к λ и к собственным функциям, используя: (a) метод сращивания асимптотических разложений (Селлерс, Трибус и Клейн [1956]); (б) метод многих масштабов или преобразование Лангера (Найфэ [1965b]).

7.13. Дано, что f(x)>0 и λ1. Определить первые приближения в следующих задачах на собственные значения:
(a) y+λ2(1x)f(x)y=0,
y(0)=0,y()<
(б) xy+y+λ2xf(x)y=0,
y(1)=0,y(0)<;
(в) yn+λ2(1x)nf(x)y=0,n-натуральное число,
y(0)=0,y()<;
(г) xy+y+λ2xnf(x)y=0,n — натуральное число,
y(1)=0,y(0)<;
(д) y+λ2(x1)n(2x)mf(x)y=0,m и n-натуральные числа,
y< для всех x.

7.14. Рассмотреть задачу Гретца о теплопроводности в трубе
ru+u+λ2r(1r2)f(r)u=0,u(1)=0,u(0)<,
для случая, когда λ1 и f(r)>0. (а) Определить разложение, пригодное вдали от точек r=0 и r=1; (б) определить разложения, пригодные к окрестности точек r=0 и r=1; (в) срастить эти три разложения, определить λ, получить равномерно пригодное составное разложение (Селлерс, Трибус и Клейн [1956]).

7.15. Вновь рассмотреть упражнение (7.14). (а) Определить с помощью преобразования Лангера разложение, пригодное вдали от точки r=0; (б) определить разложение, пригодное вдали от точки r=1, используя преобразование Олвера; (в) для нахождения λ срастить эти два разложения; (г) получить составное равномерно пригодное разложение; (д) сравнить полученные результаты с результатами упражнения 7.14 .

7.16. Рассмотреть уравнение
yλ2(x1)(2x)y=0.

Определить приближенное решение этого уравнения при условии, что λ1 и y< для всех x.

7.17. Рассмотреть задачу
u+λ2(1x)n(xμ)mf(x)u=0,u(1)=u(μ)=0,
в которой λ1,f(x)>0, а n и m-натуральные числа, μ<1. Определить разложения, пригодные вдали от точек x=μ и x=1, используя преобразование Олвера; срастив их, найти λ; построить составное разложение.

7.18. Рассмотреть задачу
ru+μu+λrn(1r)mf(r)u=0,u(1)=0,u(0)<,
в которой λ1,f(r)>0,μ-действительное число, а n и m — натуральные числа. Используя преобразование Олвера, определить разложения, пригодные вдали от точек r=0 и r=1; срастив их, найти λ; построить составное разложение (Найфэ [1967a]).

7.19. Дано, что f(x)>0 и λ1. Определить первые приближения в следующих задачах на собственные значения:
(a) xy+y+λ2x(1x)f(x)y=0,
(б) xy+y+λ2xn(1x)mf(x)y=0.
Здесь m и n-натуральные числа, а собственные функции удовлетворяют условно y< для x0.

7.20. Каким способом можно определить частное решение уравнения
u+λ2z3u=λ2g(z)

при λ1 в следующих случаях: (а) g(0)eq0; (б) g(0)=0, но g(0)eq0; (в) g(0)=g(0)=0, но g(0)eq0; (г) g(0)=g(0)=g(0)=0 ?

1
Оглавление
email@scask.ru