В этом параграфе мы опишем некоторые из известных методов, с помощью которых можно определять приближенные решения задач с линейным волновым уравнением и связанных с ними эллиптических задач. При описании этих методов мы будем использовать волновое уравнение вида
\[
c^{2}(\mathbf{r})
abla^{2} v-v_{t t}-\omega_{0}^{2}(\mathbf{r}) v=c^{2}(\mathbf{r}) g(\mathbf{r}) e^{i \omega t} .
\]

Положив
\[
v=u(\mathbf{r}) e^{i \omega t},
\]

придем к уравнению
\[

abla^{2} u+k^{2} n^{2}(\mathbf{r}) u=g(\mathbf{r}) .
\]

Здесь $k$ и $n$ представляют собой волновое число и коэффициент преломления и задаются равенствами
\[
k=\frac{\omega}{c_{0}}, \quad n^{2}=\frac{\omega^{2}-\omega_{0}^{\prime}(\mathbf{r})}{\omega^{2}} \frac{c_{0}^{\prime}}{c^{2}(\mathbf{r})},
\]

где $c_{0}$-некоторая характерная скорость. В этой задаче будем предполагать, что $g$-детерминированная функция, в то время как $n$ может быть случайной функцией. Таким образом, результаты могут быть применены к распространению воли в случайной среде.

При постоянном $n$ однородная задача допускает решение в виде плоской волны
\[
u=A e^{i n \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}},
\]

где $A$-постоянная. Решение неоднородной задачи задается интегралом
\[
u=-\int_{V} g(\xi) \frac{e^{i n \mathrm{k}|\mathrm{r}-\xi|}}{4 \pi|\mathrm{r}-\xi|} d \xi
\]

где переменный вектор $\xi$ пробегает объем рассеяния $V$. Если, однако, $n$ не является постоянной величиной, будем искать асимптотические разложения решений уравнения (7.4.3). Выбор того или иного асимптотического метода для получения приближенного решения зависит от значения $k$ и характера пространственного изменения $n$. Если $n$ мало отличается от постоянной, то можно применять так называемое разложение Борна, разработанное физиками, или разложение Неймана, разработанное математиками, а также методы перенормировок или метод Рытова. Если же значения $k$ велики, а $n$-медленно меняющаяся функция состояния, то можно использовать метод геометрической оптики. Хотя эти методы были разработаны для детерминированных задач, они могут быть использованы также в стохастических задачах. Для последних мы опишем также так называемый метод сглаживания, который является аналогом метода усреднения, рассмотренного в гл. 5. Область применения этих методов и дальнейшие ссылки читатель может найти в книгах Чернова [1960], Татарского [1959], Бабича [1970], [1971] и в обзорной статье Фриша [1968].

7.4.1. Разложение Борна – Неймана и диаграммы Фейнмана

Эта методика применима в случае, когда $n$ мало отличается от постоянной. Будем считать, что при этом $k$ и $n$ нормированы таким образом, что постоянная составляющая $n$ равна единице. Тем самым мы получаем возможность записать $n^{2}$ в виде
\[
n^{2}=1+\varepsilon \chi(\mathbf{r}),
\]

где $\varepsilon$ мало, а $\chi=O(1)$. Для статистической задачи мы будем предполагать, что случайная функция $\chi$ от переменной $\mathbf{r}$ центрирована таким образом, что ее среднее значение, обозначаемое через $\langle\chi\rangle$, равно нулю. Для получения разложения Борна [1926] положим
\[
u=\sum_{m=0}^{\infty} \varepsilon^{m} u_{m}
\]

Подставив это разложение в (7.4.3) и приравняв с учетом (7.4.7) коэффициенты при одинаковых степенях $\varepsilon$, получим
\[
\begin{array}{c}
L\left(u_{0}\right)=g, \\
L\left(u_{m}\right)=-k^{2} \chi u_{m-1} \text { для } m \geqslant 1 .
\end{array}
\]

Здесь оператор $L$ определен равенством
\[
L=
abla^{2}+k^{2} .
\]

Уравнения (7.4.9) и (7.4.10) могут быть последовательно решены. Для некоторого заданного $m$ правая часть (7.4.10) считается известной из решения предыдущего уравнения. Следовательно, решение задается равенством
\[
u_{m}(\mathbf{r})=-k^{2} \int_{V} \chi\left(\mathbf{r}_{m}\right) u_{m-1}\left(\mathbf{r}_{m}\right) G_{0}\left(\mathbf{r} ; \mathbf{r}_{m}\right) d \mathbf{r}_{m}, \quad m \geqslant 1,
\]

где $\mathbf{r}_{m}$-переменный вектор, пробегающий объем рассеяния $V$, а $G_{0}$ – функция Грина свободного пространства:
\[
G_{0}(\mathbf{r}, \xi)=-\frac{e^{i k|\mathrm{r}-\xi|}}{4 \pi|\mathrm{r}-\xi|} .
\]

При $g \equiv 0$ уравнение (7.4.9) допускает следующее решение в виде плоской волны:
\[
u_{0}=A e^{i \mathrm{kr}},
\]

где $A$-постоянная. Тогда из (7.4.12) имеем
\[
\begin{aligned}
u_{1}= & -A k^{2} \int_{V} \chi\left(\mathbf{r}_{1}\right) e^{i \mathbf{k} \mathbf{r}_{1}} G_{0}\left(\mathbf{r} ; \mathbf{r}_{1}\right) d \mathbf{r}_{1}, \\
u_{2}= & A k^{4} \int_{V} \chi\left(\mathbf{r}_{1}\right) \chi\left(\mathbf{r}_{2}\right) e^{i \mathbf{k} \mathbf{r}_{1}} G_{0}\left(\mathbf{r} ; \mathbf{r}_{2}\right) G_{0}\left(\mathbf{r}_{2} ; \mathbf{r}_{1}\right) d \mathbf{r}_{1} d \mathbf{r}_{2}, \\
u_{m}= & A(-1)^{m} k^{2 m} \int_{V} \chi\left(\mathbf{r}_{1}\right) \chi\left(\mathbf{r}_{2}\right) \ldots \chi\left(\mathbf{r}_{m}\right) \times \\
& \times e^{i \mathbf{k} \mathbf{r}_{1}} G_{0}\left(\mathbf{r} ; \mathbf{r}_{m}\right) G_{0}\left(\mathbf{r}_{m} ; \mathbf{r}_{m-1}\right) \ldots G_{0}\left(\mathbf{r}_{2} ; \mathbf{r}_{1}\right) d \mathbf{r}_{1} d \mathbf{r}_{2} \ldots d \mathbf{r}_{m} .
\end{aligned}
\]

Член $\varepsilon u_{1}$ в этом разложении называется первым приближением Борна, а член $\varepsilon^{m} u_{m}-m$-м приближением Борна.

Если $\chi$-центрированная случайная функция $\mathbf{r}$, то среднее значение функции $и$ можно получить, усреднив (7.4.8). В результате будем иметь
\[
\begin{aligned}
\langle u\rangle & =A e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}}+A \varepsilon^{2} k^{4} \int_{V}\left\langle\chi\left(\mathbf{r}_{1}\right) \chi\left(\mathbf{r}_{2}\right)\right\rangle e^{i \mathbf{k} \mathbf{r}_{1}} G_{0}\left(\mathbf{r} ; \mathbf{r}_{2}\right) G_{0}\left(\mathbf{r}_{2} ; \mathbf{r}_{1}\right) d \mathbf{r}_{1} d \mathbf{r}_{2}+\ldots+ \\
& +A(-\varepsilon)^{m} k^{2 m} \int_{V}\left\langle\chi\left(\mathbf{r}_{1}\right) \chi\left(\mathbf{r}_{2}\right) \ldots \chi\left(\mathbf{r}_{m}\right)\right\rangle \times \\
& \times e^{i \mathbf{k} \mathbf{r}_{1}} G_{0}\left(\mathbf{r} ; \mathbf{r}_{m}\right) G_{0}\left(\mathbf{r}_{m} ; \mathbf{r}_{m-1}\right) \ldots G_{0}\left(\mathbf{r}_{2} ; \mathbf{r}_{1}\right) d \mathbf{r}_{1} d \mathbf{r}_{2} \ldots d \mathbf{r}_{m}+\ldots
\end{aligned}
\]

Усредненные величины $\left\langle\chi\left(\mathbf{r}_{1}\right) \chi\left(\mathbf{r}_{2}\right) \ldots \chi\left(\mathbf{r}_{m}\right)\right\rangle$ зависят от расположения точек $\mathbf{r}_{1}, \mathbf{r}_{2}, \ldots, \mathbf{r}_{m}$, так как для большинства случайных

сред существует масштаб корреляции $l$ (т. е. значения $\chi$ в точках, отстоящих друг от друга на расстоянии, превышающем $l$, не коррелированы). Чтобы получить зависимость от масштаба корреляции, разложим эти усредненные величины в ряды по расширяющимся группам переменных следующего вида:
\[
\begin{array}{l}
\left\langle\chi\left(\mathbf{r}_{1}\right) \chi\left(\mathbf{r}_{2}\right)\right\rangle=R\left(\mathbf{r}_{1}, \mathbf{r}_{2}\right), \\
\left\langle\chi\left(\mathbf{r}_{1}\right) \chi\left(\mathbf{r}_{2}\right) \chi\left(\mathbf{r}_{3}\right)\right\rangle=R\left(\mathbf{r}_{1}, \mathbf{r}_{2}, \mathbf{r}_{3}\right), \\
\left\langle\chi\left(\mathbf{r}_{1}\right) \chi\left(\mathbf{r}_{2}\right) \chi\left(\mathbf{r}_{3}\right) \chi\left(\mathbf{r}_{4}\right)\right\rangle=R\left(\mathbf{r}_{1}, \mathbf{r}_{2}\right) R\left(\mathbf{r}_{3}, \mathbf{r}_{4}\right)+R\left(\mathbf{r}_{1}, \mathbf{r}_{3}\right) R\left(\mathbf{r}_{2}, \mathbf{r}_{4}\right)+ \\
+R\left(\mathbf{r}_{1}, \mathbf{r}_{4}\right) R\left(\mathbf{r}_{2}, \mathbf{r}_{3}\right)+R\left(\mathbf{r}_{1}, \mathbf{r}_{2}, \mathbf{r}_{3}, \mathbf{r}_{4}\right), \\
\left\langle\chi\left(\mathbf{r}_{1}\right) \chi\left(\mathbf{r}_{2}\right) \ldots \chi\left(\mathbf{r}_{m}\right)\right\rangle=\sum_{k_{1}+\ldots k_{s}=m} R\left(\xi_{1}, \ldots, \xi_{k_{1}}\right) R\left(\zeta_{1}, \ldots, \zeta_{k_{2}}\right) \times \\
\times R\left(\boldsymbol{\eta}_{1}, \ldots, \boldsymbol{\eta}_{k_{s}}\right), \\
\end{array}
\]

где $k_{i} \geqslant 2$. Так, суммирование в последнем уравнении проводится по всем возможным разбиениям множества точек $\mathbf{r}_{1}, \mathbf{r}_{2}, \ldots, \mathbf{r}_{m}$ на группы, содержащие по крайней мере две точки. Если $\chi$-центрированная гауссовская случайная ункция, то все корреляционные функции обратятся в нуль, за исключением двухточечных корреляционных функций. С помоцью (7.4.19) и (7.4.18) можно получить для $\langle u\rangle$ выражение, зависящее от $k$-точечных корреляционных функций.
При $g
eq 0$ частное решение уравнения (7.4.9) имеет вид
\[
u_{0}(\mathbf{r})=M g=\int_{V} g\left(\mathbf{r}_{0}\right) G_{0}\left(\mathbf{r} ; \mathbf{r}_{0}\right) d \mathbf{r}_{0} .
\]

Тогда из (7.4.12) имеем
\[
\begin{aligned}
u_{m}(\mathbf{r})=( & -1)^{m} k^{2 m} \int_{V} g\left(\mathbf{r}_{0}\right) \chi\left(\mathbf{r}_{1}\right) \chi\left(\mathbf{r}_{2}\right) \ldots \chi\left(\mathbf{r}_{m}\right) G_{0}\left(\mathbf{r} ; \mathbf{r}_{m}\right) \times \\
& \times G_{0}\left(\mathbf{r}_{m} ; \mathbf{r}_{m-1}\right) \ldots G_{0}\left(\mathbf{r}_{2} ; \mathbf{r}_{1}\right) G_{0}\left(\mathbf{r}_{1} ; \mathbf{r}_{0}\right) d \mathbf{r}_{0} d \mathbf{r}_{1} \ldots d \mathbf{r}_{m}
\end{aligned}
\]

или, в операторной форме,
\[
u_{m}=\left(-k^{2} M \chi\right)^{m} M g \text {, }
\]

где оператор $M$ определен в (7.4.20). Поэтому имеет место
\[
u(\mathbf{r})=M g+\sum_{m=1}^{\infty} \varepsilon^{m}\left(-k^{2} M \chi\right)^{m} M g .
\]

Этот ряд математики называют также рядом Неймана. K этому ряду можно прийти также, обратив соотношение (7.4.3) в интегральное уравнение
\[
u=M g-\varepsilon k^{2} M \chi u
\]

и решая его методом последовательных приближений.

Из (7.4.23) можно определить функцию Грина $G$ для уравнения (7.4.3) в виде
\[
\begin{array}{l}
G\left(\mathbf{r} ; \mathbf{r}_{0}\right)=G_{0}\left(\mathbf{r} ; \mathbf{r}_{0}\right)-\varepsilon k^{2} \int \chi\left(\mathbf{r}_{1}\right) G_{0}\left(\mathbf{r} ; \mathbf{r}_{1}\right) G_{0}\left(\mathbf{r}_{1} ; \mathbf{r}_{0}\right) d \mathbf{r}_{1}+ \\
\quad+\varepsilon^{2} k^{4} \int \chi\left(\mathbf{r}_{1}\right) \chi\left(\mathbf{r}_{2}\right) G_{0}\left(\mathbf{r} ; \mathbf{r}_{2}\right) G_{0}\left(\mathbf{r}_{2} ; \mathbf{r}_{1}\right) G_{0}\left(\mathbf{r}_{1} ; \mathbf{r}_{0}\right) d \mathbf{r}_{1} d \mathbf{r}_{2}+ \\
\quad+\ldots+(-1)^{m} \varepsilon^{m} k^{2 m} \int \chi\left(\mathbf{r}_{1}\right) \chi\left(\mathbf{r}_{2}\right) \ldots \chi\left(\mathbf{r}_{m}\right) G_{0}\left(\mathbf{r} ; \mathbf{r}_{m}\right) \times \\
\quad \times G_{0}\left(\mathbf{r}_{m} ; \mathbf{r}_{m-1}\right) \ldots G_{0}\left(\mathbf{r}_{2} ; \mathbf{r}_{1}\right) G_{0}\left(\mathbf{r}_{1} ; \mathbf{r}_{0}\right) d \mathbf{r}_{1} d \mathbf{r}_{2} \ldots d \mathbf{r}_{m}+\ldots
\end{array}
\]

В операторной форме эта функция будет иметь вид
\[
G=\sum_{m=0}^{\infty}\left(G_{0} \mathscr{L}\right)^{m} G_{0}, \quad \mathscr{L}_{\varphi} \longrightarrow-\varepsilon k^{2} \chi(\mathbf{r}) \varphi(\mathbf{r}) .
\]

Этот ряд был представлен Фришем [1968] с помощью, как он назвал, „голой“ диаграммы. При этом он использовал следующие условные обозначения: $G_{0}$ представляется сплошной линией, а $\mathscr{L}$-точкой. Тогда $G$ представляется диаграммным рядом

Этот ряд физически интерпретируется с помощью многократного рассеяния. Член с номером $m$ соответствует волне, которая свободно распространяется от $\mathbf{r}_{0}$ к $\mathbf{r}_{1}$, рассеивается на неоднородностях в $\mathbf{r}_{1}$, распространяется свободно до $\mathbf{r}_{2}$, рассеивается на $\mathbf{r}_{2}$ и так далее. Фриш [1968] представил двойную функцию Грина (тензорное произведение функции $G$ на комплексно сопряженную величину)
\[
G \otimes \bar{G}=G\left(\mathbf{r} ; \mathbf{r}_{0}\right) \bar{G}\left(\xi ; \xi_{0}\right)
\]

в виде следующего ряда двойных „голых“ диаграмм:

Здесь каждая двойная диаграмма соответствует тензорному произведению оператора, представляемого верхней линией, на опе-

ратор, комплексно сопряженный оператору, представляемому нижней линией.

Если $\chi$-центрированный случайный процесс, то $\langle G\rangle$ может быть представлено следующим „одетым“ диаграммным рядом (Фриш, [1968]):

В этом диаграммном ряде использованы следующие условные обозначения:
(1) Точки, принадлежащие данной группе, соединены пунктирной линией.
(2) Каждой „голой“ диаграмме, содержащей функцию $\chi$ в виде $k$ множителей, мы сопоставляем столько \”одетых“ диаграмм, сколько существует разных разбиений множества $\mathbf{r}_{1}, \mathbf{r}_{2}, \ldots, \mathbf{r}_{k}$ на группы, содержащие по крайней мере две точки.
(3) Для вычисления по „одетой“ диаграмме сплошные линии следует заменить на $G_{0}$, пучок пунктирных линий, оканчивающихся в $\mathbf{r}_{1}, \mathbf{r}_{2}, \ldots, \mathbf{r}_{s}$, – на множитель
\[
\left(-\varepsilon k^{2}\right)^{s} R\left(\mathbf{r}_{1}, \mathbf{r}_{2}, \ldots, \mathbf{r}_{s}\right),
\]

а интегрирование следует проводить по всем промежуточным точкам. Так, имеем

Аналогично, ковариацию $\langle G \otimes \bar{G}\rangle$ можно выразить в виде следующего ряда „одетых“ двойных диаграмм:
$(7.4 .32)$

Здесь имеем, например,

В случае гауссовской случайной функции не обращаются в нуль только двухточечные корреляционные функции; следовательно, в (7.4.29) такие диаграммы, как 3 и 7 , а в (7.4.32) такие, как 5, исчезают.

Фриш [1968] показал, что разложения, полученные в этом пункте, являются расходящимися. Более того, он показал также, что эти разложения содержат вековые члены, из-за которых пригодность этих асимптотических разложений ограничивается малыми значениями аргумента. Поскольку величина $\left\langle\chi\left(\mathbf{r}_{1}\right) \times\right.$ $\times \chi\left(\mathbf{r}_{2}\right) \ldots \chi\left(\mathbf{r}_{2 m}\right)$ равна сумме двухточечных корреляционных функций в количестве $1 \cdot 3.5 \ldots(2 m-1)$, то это число слагаемых быстро растет с увеличением $m$, и это обстоятельство является еще одной причиной, обусловливающей расходимость разложений (7.4.29) и (7.4.32). Шкарофский [1971] модифицировал разложение Борна для случая обратного рассеяния на турбулентной плазме, чтобы исследовать явление насыщения и поперечной поляризации. Рэлей [1917] разработал метод улучшения равномерной пригодности таких разложений, с тем чтобы разложение, полученное им для однократного рассеяния на тонком слое, сделать пригодным для многих слоев. Эта методика называется перенормировкой. Она была развита и расширена рядом исследователей (см. следующий пункт).

7.4.2. Методы перенормировки

Чтобы проиллюстрировать природу неравномерности, которая может возникнуть в разложении Борна (Неймана), и наметить пути ее устранения, рассмотрим простой пример
\[
u^{\prime \prime}+k^{2}(\varepsilon) u=0, \quad u(0)=1,
\]

где $k$-постоянная, определяемая равенством
\[
k=\sum_{n=0}^{N} \varepsilon^{n} k_{n} .
\]

Уходящие волны задаются точным соотношением
\[
u=e^{i k(\varepsilon) x}=\exp \left(i x \sum_{n=0}^{N} \varepsilon^{n} k_{n}\right) .
\]

Однако разложение Борна, полученное для (7.4.34), имеет вид
\[
\begin{array}{l}
u=e^{i k_{0} x} \sum_{m=0}^{\infty} \frac{1}{m !}\left(i x \sum_{n=1}^{N} \varepsilon^{n} k_{n}\right)^{m}= \\
=e^{i k_{0} x}\left[1+i \varepsilon k_{1} x+\varepsilon^{2}\left(i k_{2} x-\frac{1}{2} k_{1}^{2} x^{2}\right)+\right. \\
\left.\quad+\varepsilon^{3}\left(i k_{3} x-k_{1} k_{2} x^{2}-\frac{1}{6} i k_{1}^{3} x^{3}\right)+\ldots\right] .
\end{array}
\]

Очевидно, что это разложение пригодно только для коротких расстояний и нарушается, когда значения $k_{1} x$ имеют порядок

$O\left(\varepsilon^{-1}\right)$ или больший. Источник неравномерности можно обнаружить, сравнив это разложение Борна с точным решением (7.4.36). Разложив в точном решении выражение $\exp \left(i x \sum_{n=1}^{N} \varepsilon^{n} k_{n}\right)$ в ряд Тейлора по величине $i x \sum_{n=1}^{N} \varepsilon^{n} k_{n}$, разложив, далее, выражение $\left(\sum_{n=1}^{N} \varepsilon^{n} k_{n}\right)^{m}$ по степеням $\varepsilon$ и сгруппировав члены с одинаковой степенью $\varepsilon$, можно получить из точного решения разложение Борна. Хотя ряд Тейлора, полученный разложением $\exp \varphi$ по $\varphi$, сходится равномерно и абсолютно для всех значений $\varphi$, конечным числом членов ряда нельзя приблизить значение ехрч с заданной точностью для всех значений $\varphi$. Следовательно, любое равномерно пригодное для всех $\varphi$ разложение функции $\exp \varphi$ должно совпадать с самой функцией ехр $\varphi$. Таким образом, чтобы из (7.4.37) получить разложение, равномерно пригодное для значений $x$ порядка $O\left(\varepsilon^{-1}\right)$, следует просуммировать последовательность
\[
1+i \varepsilon k_{1} x+\ldots+\left(i \varepsilon k_{1} x\right)^{m} / m !+\ldots .
\]

Эта сумма равна $\exp \left(i k_{1} x\right)$. Тогда (7.4.37) принимает вид
\[
\begin{array}{c}
u=\exp \left[i\left(k_{0}+\varepsilon k_{1}\right) x\right] \sum_{m=0}^{\infty} \frac{1}{m !}\left(i x \sum_{n=2}^{N} \varepsilon^{n} k_{n}\right)^{m}= \\
=\exp \left[i\left(k_{0}+\varepsilon k_{1}\right) x\right]\left(1+i \varepsilon^{2} k_{2} x+i \varepsilon^{3} k_{3} x-\frac{1}{2} \varepsilon^{4} k_{2}^{2} x^{2}+\ldots\right) .
\end{array}
\]

Это разложение нарушается при $k_{2} x=O\left(\varepsilon^{-2}\right)$. Чтобы увеличить область пригодности этого разложения до значений $x=O\left(\varepsilon^{-2}\right)$, следует просуммировать последовательность $\sum_{m=0}^{\infty}\left(i \varepsilon^{2} k_{2} x\right)^{m} / m !$. Если не известна явная функциональная зависимость, то эффективным методом суммирования этих последовательностей является метод многих масштабов гл. 6. Суммирование вековых членов можно также произвести другим способом-методом перенормировки. Метод перенормировки был первоначально разработан Рэлеем [1917] с целью обобщить свои результаты по рассеянию на тонком слое на рассеяние на многих слоях. Для однократного рассеяния на одном слое он получил разложение вида
\[
u=e^{i k_{0} x}(1+i \varepsilon \mu x) \text {. }
\]

Чтобы получить решение, пригодное для многих слоев, он придал этому разложению вид экспоненты, т. е. записал его в виде
\[
u=\exp \left[i\left(k_{0}+\varepsilon \mu\right) x\right] \text {. }
\]

Таким способом он эффективно вычислил сумму $\sum_{m=1}^{\infty}(i \varepsilon \mu x)^{m} / m$ ! последовательности вековых членов. Процесс суммирования разложений с целью сделать их „более\” равномерно пригодными называется перенормировкой. Эта методика была заново открыта Притуло [1962], о чем говорилось в §3.4.

Чтобы расширить область равномерной пригодности двучленного разложения Борна $u=u_{0}+\varepsilon u_{1}$, придадим ему следующий экспоненциальный вид:
\[
u=u_{0} e^{\varepsilon u_{1} / u_{0}} .
\]

Если для $u_{0}$ имеем $u_{0}=A_{0} \exp i S_{0}(\mathbf{r})$, то тогда
\[
u=A e^{i S(r)} \text {, }
\]

где $A=A_{0} \exp \left[\varepsilon \operatorname{Re}\left(u_{1} / u_{0}\right)\right]$ и $S=S_{0}+\varepsilon \operatorname{Im}\left(u_{1} / u_{0}\right)$.
Метод перенормировки был расширен, что позволило получить кинетические уравнения для слабо нелинейных систем (см., например, Ван Хов [1955], [1957]; Пригожин [1962]; Балеску [1963]; Альтшуль и Қарпман [1965]). В соответствии с этим методом последовательности вековых членов выделяются и суммируются с применением диаграмм Фейнмана или без них. Суммирование главных последовательностей вековых членов приводит к квазилинейным уравнениям.

Метод перенормировки широко применялся также при изучении распространения волн в случайных средах (см., например, Татарский [1959, глава 6]; Келлер [1962]; Қарал и Келлер [1964]). Итак, чтобы расширить область равномерной пригодности разложения для $\langle G\rangle$ из (7.4.29), придадим величине $\langle G\rangle$ экспоненциальный вид
\[
\langle G\rangle=G_{0} e^{\psi} .
\]

Следовательно, первая перенормировка дает
\[
\psi=\frac{G_{2}}{G_{0}},
\]

где
\[
G_{2}=\varepsilon^{2} k^{4} \int G_{0}\left(\mathbf{r} ; \mathbf{r}_{2}\right) G_{0}\left(\mathbf{r}_{2} ; \mathbf{r}_{1}\right) G_{0}\left(\mathbf{r}_{1} ; \mathbf{r}_{0}\right) R\left(\mathbf{r}_{1} ; \mathbf{r}_{2}\right) d \mathbf{r}_{1} d \mathbf{r}_{2} .
\]

Бурре [1962a], [1962b], Фуруцу [1963], Татарский [1964] и Фриш [1965] использовали диаграммный метод суммирования для нахождения уравнений перенормировки произвольного порядка. Татарский [1964] расположил диаграммы для $\langle G\rangle$ и $\langle G \otimes \bar{G}\rangle$ таким образом, что удалось обнаружить, что эти диаграммы соответствуют разложениям Неймана для двух интеграль-

ных уравнений с двумя ядрами, имеющими бесконечное число членов. Для случая, когда показатель преломления является центрированной гауссовской величиной, диаграммное разложение для $\langle G\rangle$ имеет вид

Для получения интегрального уравнения для $\langle G\rangle$ с ядром, состоящим из бесконечного ряда, рассмотрим топологию диаграмм в (7.4.46). Введем следующие определения.
(1) Диаграммой без концов будем называть диаграмму с удаленными внешними отрезками сплошных линий. Так, например, диаграмма 2 без концов имеет вид $\rightleftarrows$, а диаграмма 4 без концов имеет вид
(2) Диаграмма без концов называется связной, если ее нельзя разбить на две или более диаграммы, не разрывая ни одной пунктирной линии. Диаграммы $4,5,10,11$ и 13-20 являются связными, в то время как диаграммы $3,6,7,8,9$ и 12 не являются связными. Несвязные диаграммы могут быть разбиты на множители; например, диаграмма

может быть записана в виде произведения следующих пяти диаграмм: ,
(3) Массовым оператором $Q$, обозначаемым через $\bullet$, называется сумма всевозможных связных диаграмм, входящих в $\langle G\rangle$; т. е. имеем

Все несвязные диаграммы, состоящие из двух связных диаграмм, встречаются в сумме диаграмм вида $\longrightarrow$, а все несвязные диаграммы, состоящие из трех связных диаграмм, встречаются в сумме диаграмм вида $\longrightarrow \bullet$. Из сказанного следует, что величина $\langle G\rangle$, обозначаемая линией – , описывается следующим уравнением Дайсона (Татарский [1964]):

или в аналитическом виде
\[
\left\langle G\left(\mathbf{r} ; \mathbf{r}_{0}\right)\right\rangle=G_{0}\left(\mathbf{r} ; \mathbf{r}_{0}\right)+\int G_{0}\left(\mathbf{r} ; \mathbf{r}_{1}\right) Q\left(\mathbf{r}_{1} ; \mathbf{r}_{2}\right)\left\langle G\left(\mathbf{r}_{2} ; \mathbf{r}_{0}\right)\right\rangle d \mathbf{r}_{1} d \mathbf{r}_{2} .
\]

Аналогичное уравнение, введенное впервые Дайсоном [1949], широко использовалось в квантовой электродинамике, квантовой теории поля и в задаче многих тел. Если функция $\chi$ однородна, то массовый оператор $Q$ инвариантен по отношению к переносу и представляет собой оператор свертки, преобразование Фурье которого является оператором умножения на обычные функции. Следовательно, совершив преобразование Фурье в (7.4.49), получим
\[
\langle G(x)\rangle=\frac{1}{k^{2}-x^{2}}+\frac{1}{k^{2}-x^{2}} Q(x)\langle G(x)\rangle,
\]

коль скоро
\[
G_{0}(x)=\frac{1}{k^{2}-x^{2}} .
\]

Разрешая уравнение (7.4.50) относительно $\langle G(x)\rangle$, нолучим
\[
\langle G(x)\rangle=\frac{1}{k^{2}-x^{2}-Q(x)} .
\]

Таким образом, при известном $Q$ величина $\langle G\rangle$ может быть найдена обращением $\langle G(x)\rangle$. Однако точное выражение для $Q$

так же трудно найти, как и выражение для $\langle G\rangle$. Поэтому прибегают к приближенным методам определения $Q$. Простейшее приближение, основанное на уравнении Дайсона, соответствует удерживанию в массовом операторе только первого члена. Имеем при этом

или, в аналитическом виде,
\[
\begin{array}{c}
\left\langle G\left(\mathbf{r} ; \mathbf{r}_{0}\right)\right\rangle= \\
=G_{0}\left(\mathbf{r} ; \mathbf{r}_{0}\right)+\varepsilon^{2} k^{4} \int G_{0}\left(\mathbf{r} ; \mathbf{r}_{1}\right) G_{0}\left(\mathbf{r}_{1} ; \mathbf{r}_{2}\right) R\left(\mathbf{r}_{1} ; \mathbf{r}_{2}\right)\left\langle G\left(\mathbf{r}_{2} ; \mathbf{r}_{0}\right)\right\rangle a \mathbf{r}_{1} a \mathbf{r}_{2} .
\end{array}
\]

Это уравнение, называемое первым уравнением перенормировки, в диаграммном виде было введено в рассмотрение Бурре [1962a], [1962b].

Следует отметить, что уравнения (7.4.49) и (7.4.54) не могут быть решены методом итераций, поскольку это привело бы к появлению вековых членов. Варватсис и Сансер [1971] получили приближенное решение уравнения (7.4.54) в виде
\[
\left\langle G\left(\mathbf{r} ; \mathbf{r}_{0}\right)\right\rangle=G_{0}\left(\mathbf{r} ; \mathbf{r}_{0}\right) e^{\varepsilon^{2} G_{2} / G_{0}},
\]

где
\[
G_{2}=k^{4} \int G_{0}\left(\mathbf{r} ; \mathbf{r}_{1}\right) G_{0}\left(\mathbf{r}_{1} ; \mathbf{r}_{2}\right) G_{0}\left(\mathbf{r}_{2} ; \mathbf{r}_{0}\right) R\left(\mathbf{r}_{1} ; \mathbf{r}_{2}\right) d \mathbf{r}_{1} d \mathbf{r}_{2} .
\]

Это решение равным образом годно как для однородных, так и для неоднородных сред. Мы пришли бы к этому же решению, записав выражение $\langle G\rangle=G_{0}+\varepsilon^{2} G_{2}$ в экспоненциальном виде.

С помощью диаграммной техники Татарский [1964] и Фриш [1968] получили следующее уравнение Бете-Салпетера для случая, когда показатель преломления является гауссовским центрированным процессом или имеет общий вид
(7.4.57)
Здесь оператор интенсивности состоит из всех связных диаграмм без концов, входящих в разложение для $\langle G \otimes \bar{G}\rangle$, т. е.

имеем

Впервые это уравнение было введено Салпетером и Бете [1951] при рассмотрении релятивистских задач со связанным состоянием.

7.4.3. Метод Рытова
Для получения приближенного решения уравнения
\[

abla^{2} u+k^{2}[1+\varepsilon \chi(\mathbf{r})] u=0
\]

положим, следуя Рытову [1937] (см. также Татарский [1959, стр. 121-128]; Чернов [1960, стр. 58-67]),
\[
u=e^{\psi}
\]

и преобразуем (7.4.59) к виду
\[

abla^{2} \psi+
abla \psi \cdot
abla \psi+k^{2}(1+\varepsilon \chi)=0 .
\]

Предположим теперь, что $\psi$ допускает следующее асимптотическое разложение:
\[
\psi=\sum_{n=0}^{\infty} \varepsilon^{n} \psi_{n}(\mathbf{r})
\]

Подставив (7.4.62) в (7.4.61) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях $\varepsilon$, получим
\[
\begin{aligned}

abla^{2} \psi_{0}+
abla \psi_{0} \cdot
abla \psi_{0} & =-k^{2}, \\

abla^{2} \psi_{1}+2
abla \psi_{1} \cdot
abla \psi_{0} & =-k^{2} \chi, \\

abla^{2} \psi_{n}+\sum_{m=0}^{n}
abla \psi_{m} \cdot
abla \psi_{n-m} & =0, \quad n \geqslant 2,
\end{aligned}
\]

Эти уравнения могут быть решены последовательно. Получающееся при этом разложение в точности соответствует разложению Борна $u=\sum_{n=0}^{\infty} \varepsilon^{n} u_{n}$ для уравнения (7.4.59). Действительно, разложение Рытова может быть получего из ряда Борна, если последнему придать экспоненциальный вид. Полагая
\[
\sum_{n=0}^{\infty} \varepsilon^{n} u_{n}=\exp \left(\sum_{m=0}^{\infty} \varepsilon^{m} \psi_{m}\right),
\]

разлагая экспоненту при малых $\varepsilon$ и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $\varepsilon$, можно получить для первых членов
\[
\begin{array}{c}
u_{0}=e^{\psi_{0}}, \quad u_{1}=e^{\psi_{0} \psi_{1}}, \quad u_{2}=e^{\psi_{0}}\left(\psi_{2}+\frac{1}{2} \psi_{1}^{2}\right), \\
u_{3}=e^{\psi_{0}}\left(\psi_{3}+\psi_{1} \psi_{2}+\frac{1}{6} \psi_{1}^{3}\right) .
\end{array}
\]

Таким образом, разложение Рытова представляет собой результат перенормировки разложения Борна и, следовательно, должно иметь более широкую область равномерной пригодности, чем разложение Борна. Однако этот вывод представляется спорным (Хафнагель и Стэнли [1964]; де Вольф [1965], [1967]; Браун [1966], [1967], Фрид [1967]; Хайдбредер [1967]; Тейлор [1967]; Стробен [1968]; Сансер и Варватсис [1969], [1970]).
7.4.4. Приближение геометрической оптики

Целью нашего рассмотрения является получение асимптотического решения уравнения
\[

abla^{2} u+k^{2} n^{2}(\mathbf{r}) u=0
\]

для больших волновых чисел $k$ (т. е. для малых длин волн $\lambda=2 \pi / k$ ). Для больших $k$ решение уравнения (7.4.68) допускает асимптотическое разложение вида (Келлер [1958])
\[
u=e^{i k S(r)} \sum_{m=0}^{\infty}(i k)^{-m} u_{m}(\mathrm{r}) .
\]

Подставляя (7.4.69) в (7.4.68) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $k$, получаем
\[
\begin{aligned}

abla S \cdot
abla S & =n^{2}(\mathbf{r}), \text { (уравнение эйконала) } \\
2
abla S \cdot
abla u_{0}+u_{0}
abla^{2} S & =0, \text { (уравнения переноса) } \\
2
abla S \cdot
abla u_{m}+u_{m}
abla^{2} S & =-
abla^{2} u_{m-1} \text { для } m \geqslant 1 .
\end{aligned}
\]

Уравнение (7.4.70) может быть решено методом характеристик, т. е. с помощью уравнений
\[
\begin{array}{r}
\frac{d \mathbf{r}}{d \sigma}=2 \lambda
abla S, \\
\frac{d S}{d \sigma}=2 \lambda n^{2}, \\
\frac{d}{d \sigma}(
abla S)=\lambda
abla\left(n^{2}\right),
\end{array}
\]

где $\sigma$-параметр, а $\lambda$-множитель пропорциональности. Исключив $
abla S$ из первого и третьего уравнений, получим
\[
\frac{d}{d \sigma}\left(\frac{1}{2 \lambda} \frac{d r}{d \sigma}\right)=2 \lambda n
abla n .
\]

Тогда решение второго уравнения в (7.4.73) имеет вид
\[
S=S_{0}+\int_{\sigma_{0}}^{\sigma} 2 \lambda n^{2}[\mathbf{r}(\tau)] d \tau,
\]

где $\mathbf{r}(\sigma)$-решение уравнения (7.4.74) при начальных условиях $\mathbf{r}\left(\sigma_{0}\right)=\mathbf{r}_{0}, d \mathbf{r}\left(\sigma_{0}\right) / d \sigma=\dot{\mathbf{r}}_{0}$. Положив $2 \lambda=n^{-1}$ и считая $\sigma$ длиной дуги вдоль лучей, можем переписать (7.4.74) и (7.4.75) в виде
\[
\begin{array}{c}
\frac{d}{d \sigma}\left[n(\mathbf{r}(\sigma)) \frac{d \mathbf{r}(\sigma)}{d \sigma}\right]=
abla n, \\
S=S_{0}+\int_{\sigma_{0}}^{\sigma} n[\mathbf{r}(\tau)] d \tau .
\end{array}
\]

Вдоль лучей уравнение (7.4.71) принимает вид
\[
2 n[\mathbf{r}(\sigma)] \frac{d u_{0}}{d \sigma}+u_{0}
abla^{2} S[\mathbf{r}(\sigma)]=0 .
\]

Решением этого уравнения является функция
\[
u_{0}=u_{0}\left[\mathbf{r}\left(\sigma_{0}\right)\right] \exp \left\{-\int_{\sigma_{0}}^{\sigma} \frac{
abla^{2} S[r(\tau)]}{2 n[\mathbf{r}(\tau)]} d \tau\right\} .
\]

Аналогично, решением уравнения (7.4.72) будет функция
\[
u_{m}=c \frac{u_{0}[\mathbf{r}(\sigma)]}{u_{0}\left[\mathbf{r}\left(\sigma_{0}\right)\right]}-\int_{\sigma_{0}}^{\sigma} \frac{
abla^{2} u_{m-1}[\mathbf{r}(\tau)]}{2 n[\mathbf{r}(\tau)]} \frac{u_{0}[\mathbf{r}(\sigma)]}{u_{0}[\mathbf{r}(\tau)]} d \tau,
\]

где $c$-постоянная, определяемая из начальных условий.
Разложение, полученнсе в этом пункте, является непригодным на каустике (т. е. на поверхности, огибающей лучи), на границах тени, в фокусах лучей и в окрестности источников. В таких областях соседние лучи пересекаются, и площадь поперечного сечения трубки лучей обращается в нуль. Поскольку в трубке лучей энергия сохраняется, амплитуда поля в этих областях должна быть бесконечной. Ниже будет показано, что на каустике поле является неограниченным; в следующем пункте будет получено разложение, пригодное всюду, в том числе и на каустике.

Для того чтобы показать, что разложение этого пункта нарушается на каустике или в ее окрестности, рассмотрим частный случай $n(\mathbf{r})=1$. Из (7.4.76) имеем, что в этом случае лучи являются прямыми линиями, а из (7.4.77) следует, что $S=S_{0}$ $-\sigma_{0}+\sigma$. Выразим теперь решения уравнений (7.4.71) и (7.4.72)
Рис. 7.1.

в координатной системе, отнесенной к каустике, которую будем предполагать гладкой и выпуклой. На рис. 7.1 изображена точка $P$, расположенная вне каустики, и два луча, проходящие через нее. Выбрав на каустике некоторое направление, мы тем самым введем направление на каждом луче, который обязательно касается каустики в некоторой ее точке. Таким образом, каждая точка $P$, лежащая вне каустики, располагается на двух лучах, один из которых направлен от каустики, другой направлен к ней.

Для двумерного случая обозначим через $s$ длину дуги вдоль каустики и через $\sigma$-длину отрезка луча от точки касания до точки $P$. Таким образом, местоположение точки $P$ определяется числами $s_{1}$ и $\sigma_{1}$ или $s_{2}$ и $\sigma_{2}$. В этих координатах радиус-вектор $\mathrm{r}$ точки $P$ задается равенством
\[
\mathbf{r}=\mathbf{r}_{0}(s)+\sigma \mathrm{e}_{1},
\]

где $\mathbf{r}=\mathbf{r}_{0}(\mathrm{~s})$ – уравнение каустики, а $\mathbf{e}_{1}=d \mathbf{r}_{0} / d s$ – единичный вектор, касательный к каустике. Поскольку $d \mathbf{e}_{1} / d s=\rho^{-1} \mathbf{e}_{2}$, где $\rho^{-1}-$ кривизна в соответствующей точке каустики, то, дифференцируя (7.4.80), будем иметь
\[
d \mathbf{r}=\mathbf{e}_{1} d s+\mathbf{e}_{1} d \sigma+\frac{\sigma}{\rho} \mathbf{e}_{2} d s .
\]

Заменив переменные $\sigma$ и $s$ на
\[
\xi=s, \quad \eta=s+\sigma,
\]

получим
\[
d \mathbf{r}=\mathbf{e}_{1} d \eta+\frac{\eta-\xi}{\rho} \mathbf{e}_{2} d \xi .
\]

Следовательно, имеем
\[
\begin{aligned}

abla f & =\frac{\partial f}{\partial \eta} \mathbf{e}_{1}+\frac{\rho}{\eta-\xi} \frac{\partial f}{\partial \xi} \mathbf{e}_{2}, \\

abla^{2} f & =\frac{1}{\eta-\xi} \frac{\partial}{\partial \eta}\left[(\eta-\xi) \frac{\partial f}{\partial \eta}\right]+\frac{\rho}{\eta-\xi} \frac{\partial}{\partial \xi}\left[\frac{\rho}{\eta-\xi} \frac{\partial f}{\partial \xi}\right] .
\end{aligned}
\]

С помощью равенств, получаемых из (7.4.81),
\[
\frac{\partial}{\partial \eta}=\frac{\partial}{\partial \sigma}, \quad \frac{\partial}{\partial \xi}=\frac{\partial}{\partial s}-\frac{\partial}{\partial \sigma}
\]

можно переписать (7.4.83) и (7.4.84) в виде
\[
\begin{aligned}

abla f & =\frac{\partial f}{\partial \sigma} \mathbf{e}_{1}+\frac{\rho}{\sigma}\left(\frac{\partial f}{\partial s}-\frac{\partial f}{\partial \sigma}\right) \mathbf{e}_{2}, \\

abla^{2} f & =\frac{1}{\sigma} \frac{\partial}{\partial \sigma}\left[\sigma \frac{\partial f}{\partial \sigma}\right]+\frac{\rho}{\sigma}\left(\frac{\partial}{\partial s}-\frac{\partial}{\partial \sigma}\right)\left[\frac{\rho}{\sigma}\left(\frac{\partial f}{\partial s}-\frac{\partial f}{\partial \sigma}\right)\right] .
\end{aligned}
\]

Рассмотрев частный случай $S\left(s, \sigma_{0}\right)=s+\sigma_{0}$, будем иметь
\[
S(s, \sigma)=s+\sigma .
\]

Эта функция является двузначной в соответствии с тем, направлен ли луч от каустики или к ней. Используя в (7.4.78) и (7.4.79) соотношения (7.4.85) и (7.4.86), получим
\[
\begin{array}{c}
u_{0}(s, \sigma)=u_{0}\left(s, \sigma_{0}\right) \sqrt{\frac{\sigma_{0}}{\sigma}}, \\
u_{m}(s, \sigma)=u_{m}\left(s, \sigma_{0}\right) \sqrt{\frac{\sigma_{0}}{\sigma}}-\frac{1}{2} \int_{\sigma_{0}}^{\sigma} \sqrt{\frac{\tau}{\sigma}}
abla^{2} u_{m-1}(s, \tau) d \tau .
\end{array}
\]

Эти функции не ограничены при $\sigma \rightarrow 0$ (т. е. на каустике). Модифицированное разложение, пригодное всюду, включая и окрестность каустики, получено в следующем пункте.

7.4.5. Равномерное разложение на каустике

Для нахождения разложения, пригодного на каустике, мы должны в первую очередь определить размеры области неравномерности и форму решения в этой области. Положим с этой целью в (7.4.68)
\[
u=\psi(\mathbf{r}, k) e^{i k S(\mathbf{r})}
\]

и, полагая $n(\mathbf{r})=1$, получим
\[
k^{2} \psi\left[1-(
abla S)^{2}\right]+i k\left(2
abla S \cdot
abla \psi+\psi
abla^{2} S\right)+
abla^{2} \psi=0 .
\]

Предполагая, что главным является член, пропорциональный $k^{2}$, получим
\[

abla S \cdot
abla S=1 \text { (уравнение эйконала), }
\]
\[
\text { ik }\left(2
abla S \cdot
abla \psi+\psi
abla^{2} S\right)+
abla^{2} \psi=0 \text {. }
\]

Возьмем в качестве решения уравнения (7.4.91) функцию $S=s+\sigma$. Тогда (7.4.92) примет вид
\[
\left\{i k\left(2 \frac{\partial}{\partial \sigma}+\frac{1}{\sigma}\right)+\frac{1}{\sigma} \frac{\partial}{\partial \sigma}\left(\sigma \frac{\partial}{\partial \sigma}\right)+\frac{\rho}{\sigma}\left(\frac{\partial}{\partial s}-\frac{\partial}{\partial \sigma}\right)\left[\frac{\rho}{\sigma}\left(\frac{\partial}{\partial s}-\frac{\partial}{\partial \sigma}\right)\right] \psi=0 .\right.
\]

Чтобы выявить характер решения уравнения (7.4.93) в окрестности каустики, подвергнем это уравнение преобразованию растяжения
\[
\tau=k^{\lambda} \sigma, \quad \lambda>0,
\]

и получим
\[
\begin{array}{l}
i k^{1+\lambda}\left(2 \frac{\partial}{\partial \tau}+\frac{1}{\tau}\right) \psi+ \\
\quad+\left\{\frac{k^{2 \lambda}}{\tau} \frac{\partial}{\partial \tau}\left(\tau \frac{\partial}{\partial \tau}\right)+\frac{\rho k^{2 \lambda}}{\tau}\left(\frac{\partial}{\partial s}-k^{\lambda} \frac{\partial}{\partial \tau}\right)\left[\frac{\rho}{\tau}\left(\frac{\partial}{\partial s}-k^{\lambda} \frac{\partial}{\partial \tau}\right)\right] \psi=0 .\right.
\end{array}
\]

Параметр $\lambda$ определяется из требования, чтобы наибольшая степень $k$ в выражении в фигурных скобках (в том выражении, которым мы пренебрегли в главном члене прямого разложения в предыдущем пункте) была бы равна степени $k$ в первом члене (т. е. в главном члене при разложении по лучу). Это означает, что мы полагаем
\[
1+\lambda=4 \lambda, \quad \lambda=\frac{1}{3} .
\]

Тогда при $k \rightarrow \infty$ уравнение (7.4.94) стремится к виду
\[
i\left(2 \frac{\partial \psi}{\partial \tau}+\frac{\psi}{\tau}\right)+\frac{\rho^{2}}{\tau} \frac{\partial}{\partial \tau}\left(\frac{1}{\tau} \frac{\partial \psi}{\partial \tau}\right)=0 .
\]

Полагая в нем
\[
\psi=e^{-i \tau^{3} / 3 \rho^{2}} V(z), \quad z=\frac{\tau^{2}}{\rho \sqrt[3]{4 \rho}},
\]

придем к уравнению
\[
\frac{d^{2} V}{d z^{2}}+z V=0,
\]

решениями которого являются функции Эйри $A i(-z)$ и $B i(-z)$ (см. п. 7.3.1). Если бы мы проанализировали поведение решения в окрестности границы тени, мы бы нашли, что решение должно быть выражено в функциях Вебера или функциях параболического цилиндра. Теперь мы можем либо срастить это внутреннее разложение с внешним разложением, полученным в предыдущем разделе, и с другим внешним разложением внутри каустики (Бюшал и Келлер [1960]), либо построить одно равномерно пригодное разложение по примеру разложений в задачах с точкой возврата (см. § 7.3).

Следуя Кравцову [1964a], [1964b], Людвигу [1966] и Заудеpеру [1970b], будем искать асимптотическое разложение вида $u=e^{i k \theta(\mathbf{r})}\left\{g(\mathbf{r}, k) V\left[k^{2 / 3} \varphi(\mathbf{r})\right]+\frac{1}{i k^{1 / 3}} h(\mathbf{r}, k) V^{\prime}\left[k^{2 / 3} \varphi(\mathbf{r})\right]\right\}$,
где $\theta$ и $\varphi$ определяются в процессе вычислений, а $V(z)$ задается с помощью (7.4.98). Подставив (7.4.99) в (7.4.68), используя равенство $V^{\prime \prime \prime}+z V^{\prime}+V=0$ и приравнивая нулю коэффициенты при $V$ и $V^{\prime}$, получим
\[
\begin{array}{c}
-k^{2} g\left[\left(
abla \theta^{2}\right)+\varphi(
abla \varphi)^{2}-1\right]-2 k^{2} \varphi h
abla \theta \cdot
abla \varphi+i k\left[2
abla \theta \cdot
abla g+g
abla^{2} \theta+\right. \\
\left.+2 \varphi
abla \varphi \cdot
abla h+\varphi h
abla^{2} \varphi+h(
abla \varphi)^{2}\right]+
abla^{2} g=0, \quad(7.4 .100) \\
-k^{2} h\left[(
abla \theta)^{2}+\varphi(
abla \varphi)^{2}-1\right]-k^{2} g
abla \theta \cdot
abla \varphi+i k\left[2
abla \varphi \cdot
abla g+g
abla^{2} \varphi+\right. \\
\left.+2
abla \theta \cdot
abla h+h
abla^{2} \theta\right]+
abla^{2} h=0 . \quad \text { (7.4.101) }
\end{array}
\]

Коэффициенты при $k^{2}$ в (7.4.100) и (7.4.101) обращаются в нуль при условиях
\[
\begin{aligned}
(
abla \theta)^{2}+\varphi(
abla \varphi)^{2} & =1, \\

abla \theta \cdot
abla \varphi & =0 .
\end{aligned}
\]

Чтобы решить получающиеся уравнения, положим в них
\[
\begin{array}{l}
g(\mathbf{r}, k)=g_{0}(\mathbf{r})+k^{-1} g_{1}(\mathbf{r})+\ldots, \\
h(\mathbf{r}, k)=h_{0}(\mathbf{r})+k^{-1} h_{1}(\mathbf{r})+\ldots
\end{array}
\]

и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях $k^{-1}$. Уравнения первого порядка имеют вид
\[
\begin{aligned}
2
abla \theta \cdot
abla g_{0}+g_{0}
abla^{2} \theta+2 \varphi
abla \varphi \cdot
abla h_{0}+\varphi h_{0}
abla^{2} \varphi+h_{0}(
abla \varphi)^{2} & =0, \\
2
abla \varphi \cdot
abla g_{0}+g_{0}
abla^{2} \varphi+2
abla \theta \cdot
abla h_{0}+h_{0}
abla^{2} \theta & =0 .
\end{aligned}
\]

Уравнения (7.4.102) эквивалентны уравнению эйконала (7.4.70), в то время как уравнения (7.4.104) эквивалентны уравнению переноса (7.4.71). Аналогичные уравнения получил Фаукес [1968, часть II] с помощью метода многих масштабов.

Система (7.4.102) представляет собой нелинейную систему уравнений, которая является эллиптической при $\varphi<0$ (теневая

область), гиперболической при $\varphi>0$ (освещенная область) и параболической при $\varphi=0$ (каустическая кривая или поверхность). Для выпуклой и аналитической каустики системы (7.4.102) и (7.4.104) могут быть решены разложением величин $\theta$ и $\varphi$ в степенные ряды в координатной системе, отнесенной к каустике.

Для того чтобы увидеть связь между системой (7.4.102) и уравнением эйконала (7.4.70), умножим второе уравнение в (7.4.102) на $\pm 2 \sqrt{\varphi}$ (мы рассматриваем освещенную область, в которой $\varphi>0$ ) и результат сложим с первым из этих уравнений. Получим уравнение
\[
\left(
abla \theta \pm V^{-}
abla \varphi\right)^{2}=1,
\]

которое можно записать в виде
\[
(
abla S)^{2}=1
\]

где
\[
S^{ \pm}=\theta \pm \frac{2}{3} \varphi^{3 / 2} .
\]

Аналогичным образом, умножив второе уравнение в (7.4.104) на $\pm \sqrt{\varphi}$, сложив результат с первым из этих уравнений и использовав равенство $
abla \theta \cdot
abla \varphi=0$, получим
\[
2
abla S^{ \pm} \cdot
abla \psi^{ \pm}+\left[
abla^{2} S^{ \pm} \mp \frac{1}{2} \varphi^{-1 / 2}(\Delta \varphi)^{2}\right] \psi^{ \pm}=0,
\]

где
\[
\psi^{ \pm}=g_{0} \pm \sqrt{\varphi} h_{0} .
\]

Уравнение (7.4.107) отличается от уравнения переноса (7.4.71) только наличием члена $\pm(1 / 2) \varphi^{-1 / 2}(
abla \varphi)^{2}$, из-за которого коэффициент при $\psi
eq$ становится ограниченным в окрестности каустики.

Заменив $V$ и $V^{\prime}$ их асимптотическими разложениями для больших значений аргумента, придем к разложению геометрической оптики, полученному в предыдущем пункте (для случая освещенной области, $\varphi>0$ ). Заменив $V$ и $V^{\prime}$ их асимптотическими разложениями для больших значений аргумента в случае $\varphi<0$, получим некоторое разложение в теневой области, которое может быть интерпретировано с помощью комплексных лучей, фаз и коэффициентов переноса.

Обзор работ по равномерным асимптотическим разложениям в задачах распространения волн и дифракции был дан Людвигом [1970b] и Бабичем [1970], [1971]. Роль координатных систем в приведении разложений к равномерно пригодному виду была исследована Заудерером [1970a].

Бабич [1965] получил единое равномерно пригодное разложение для задачи о точечном источнике, в то время как Авила и Келлер [1963] для нее получили сращивание трех разложений.

Заудерер [1964b], Буслаев [1964], Гримшоу [1966], Людвиг [1967], Льюис, Блайстайн и Людвиг [1967], в числе других авторов, рассматривали задачи дифракции на выпуклых телах. Дифракция на прозрачном теле была исследована Ральфом [1968].

Равномерные разложения в задаче дифракции вблизи вогнутой стороны некоторого тела (колебания типа шепчущей галереи) были получены, в числе других авторов, Кравцовым [1964b], Матковским [1966], Людвигом (1970а].

Характеристические переходные области, в которых две каустики расположены близко друг к другу, аналогичны точкам возврата второго порядка. В этих случаях в равномерные разложения входят функции Вебера или функции параболического цилиндра. Некоторые задачи указанного типа изучены Кравцовым [1965], Бабичем и Кравцовой [1967], Вайнштейном [1969] и Заудерером [1970a], [1970b].

Дифракцию на тонком экране (дифракцию Френеля) исследовали Вольф [1967], Керстен [1967], Алувалиа, Льюис и Боерсма [1968].

Области многократного перехода возникают при касательном пересечении двух или более каустик и границ тени, как, например, вблизи границ каустик (Леви и Фельзен [1967]), угловых точек на каустиках (Людвиг [1966]) и точек дифракции гладких тел (Людвиг [1967]). Задачи с переходными областями, в числе других авторов, исследовали Заудерер [1964a], [1970a], Фок [1965], Ральф [1967] и Блайстайн [1967].

7.4.6. Метод сг лаживания

Для того чтобы применить эту методику к уравнению (7.4.3) с центрированной случайной функцией $n^{2}(\mathbf{r})$, преобразуем сначала его в интегральное уравнение
\[
u=M g-\varepsilon k^{2} M \chi u .
\]

Здесь оператор $M$ определен равенством
\[
M g=\int_{V} g\left(\mathbf{r}_{0}\right) G_{0}\left(\mathbf{r} ; \mathbf{r}_{0}\right) d \mathbf{r}_{0},
\]

где $G_{0}$-функция Грина свободного пространства. Фриш [1968] показал, что многие другие линейные уравнения математической физики, такие, как уравнение Лиувилля для системы взаимодействующих классических частиц, уравнение Хопфа в теории турбулентности и уравнение Фоккера-Планка, могут быть сведены к интегральному уравнению вида (7.4.109).

Вообще говоря, для нас представляет интерес не сама функция $u$, а ее проекция $P u$ на некоторое подпространство исходного пространства, на котором определена функция $u$. Например, в задаче распространения волн в случайной среде можно считать $P u=\langle u\rangle$, а в случае $N$ взаимодействующих частиц проекция $P u$ представляет собой функцию распределения скоростей для системы $N$ частиц, полученную интегрированием $u$ по всем пространственным координатам. Введем обозначение
\[
P u=u_{c}, \quad u_{i}=(I-P) u .
\]

В задачах распрсстранения волн в случайных средах $u_{c}$ представляет собой когерентную составляющую поля (среднее значение), в то время как $u_{i}$ представляет собой некогерентную составляющую (флуктуирующую составляющую). Для детерминированной функции $g$ и центрированной случайной функции $\chi$ имеем
\[
P g=g, \quad P M=M P, \quad P_{\chi} P=0 .
\]

Действуя оператором $P$ на (7.4.109) слева, получим
\[
u_{c}=M g-\varepsilon k^{2} M P \chi\left(P u+u_{i}\right)=M g-\varepsilon k^{2} M P \chi u_{i} .
\]

Действуя опять-таки на (7.4.109) оператором $I-P$ слева, получим
\[
\begin{array}{c}
u_{i}=-\varepsilon k^{2} M(I-P) \chi\left(u_{c}+u_{i}\right)= \\
=-\varepsilon k^{2} M(I-P) \chi u_{c}-\varepsilon k^{2} M(I-P) \chi u_{i} .
\end{array}
\]

Применив для решения (7.4.114) формально метод последовательных приближений, получим следующую зависимость $u_{i}$ от $u_{c}$ :
\[
u_{i}=\sum_{n=1}^{\infty}\left[-\varepsilon k^{2} M(I-P) \chi\right]^{n} u_{c} .
\]

Подставив это выражение для $u_{i}$ в (7.4.113), будем иметь
\[
u_{c}=M g-\left\{\varepsilon k^{2} M P \chi \sum_{n=1}^{\infty}\left[-\varepsilon k^{2} M(I-P) \chi\right]^{n}\right\} u_{c} .
\]

Поскольку $u_{c}=P u_{c}$, то это уравнение можно записать в виде
\[
u_{c}=M g+M Q u_{c} \text {, }
\]

где
\[
Q=-\sum_{n=1}^{\infty} \varepsilon k^{2} P_{\chi}\left[-\varepsilon k^{2} M(I-P) \chi\right]^{n} P .
\]

Для случайных операторов уравнение (7.4.116) представляет собой в точности уравнение Дайсона (7.4.49), в котором $Q$ массовый оператор.

Фриш [1968] назвал эту методику методом сглаживания, поскольку она является как бы аналогом метода усреднения (гл. 5), в котором зависимые переменные состоят из медленных и быстропериодических слагаемых. Для стохастических уравнений эту методику впервые ввели Примас [1961], Эрнст и Примас [1963], Татарский и Герценштейн [1963]. Цванциг [1964] применил ее для уравнения Лиувилля.

Сглаживание первого порядка задается соотношением (7.4.116), в котором использован один член выражения (7.4.117), т. е. задается равенством
\[
Q=\varepsilon^{2} k^{4} P \chi M(I-P) \chi P=\varepsilon^{2} k^{4} P \chi M \chi P .
\]

Следовательно,
\[
u_{c}=M g+\varepsilon^{2} k^{\mathbf{4}} M P_{\chi} M \chi P u_{c} .
\]

Это уравнение совпадает с уравнением Буре (7.4.54) для линейных случайных сред и с уравнением Ландау для задачи Лиувилля (см., например, Пригожин [1962]). Для линейных случайных сред это первое приближение получили также Келлер [1962] и Кубо [1963].

Упражнения

7.1. Определить для больших значений $x$ асимптотические разложения решений уравнений
(a) $y^{\prime \prime}-\left(1+\frac{1}{x}+\frac{2}{x^{2}}\right) y=0$
(б) $y^{\prime \prime}-\left(4 x^{2}+1+\frac{1}{x}+\frac{2}{x^{2}}\right) y=0$,
(B) $x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}+\left(x^{2}-n^{2}\right) y=0$,
(г) $y^{\prime \prime}+\left(1+\frac{1}{x}+\frac{2}{x^{2}}\right) y=0$,
(д) $y^{\prime \prime}+x y^{\prime}+y=0$.

7.2. Определить для больших значений $x$ асимптотические разложения решений уравнений
(a) $y^{\prime \prime} \pm\left(\frac{1}{4 x}+\frac{2}{x^{2}}\right) y=0$
(6) $y^{\prime \prime} \pm\left(\frac{9}{4} x+1\right) y=0$,
(в) $y^{\prime \prime}+x y^{\prime}+\frac{25}{4} x^{3} y=0$,
(r) $y^{\prime \prime}+x^{-1 / 3} y^{\prime}+x^{-2} y=0$.

7.3. Рассмотреть уравнение
\[
y^{\prime \prime}-\lambda^{2} x^{-2} y=0 .
\]
(a) Показать, что точное решение имеет вид
\[
y=a x^{m_{1}}+b x^{m_{2}}
\]

где $m_{1}, 2=1 / 2 \pm \sqrt{\lambda^{2}+1 / 4}$.
(6) Определить первое приближение ВКБ.
(в) Сравнить это приближение с точным решением (Джеффрис, [1962]).

7.4. Определить первое приближение для больших $\lambda$ в задаче на собственные значения
\[
\begin{array}{c}
u^{\prime \prime}+\lambda^{2} f(x) u=0, \quad f(x)>0, \\
u(0)=u(1)=0 .
\end{array}
\]

7.5. Рассмотреть уравнение
\[
u^{\prime \prime}+\left[f(x)+\sum_{n=1}^{\infty} \varepsilon^{n_{g_{n}}(x)}\right] u=0 .
\]

Положить
\[
u=w(x) e^{\varphi(x, \varepsilon)}, \quad \varphi=\sum_{n=1}^{\infty} \varepsilon^{n} \varphi_{n}(x),
\]
где
\[
w^{\prime \prime}+f(x) w=0 .
\]
Определить уравнение для $\varphi$ и затем найти $\varphi_{n}$ (Брулл и Соулер [1966]).

7.6. Определить равномерное асимптотическое разложение для решения уравнения
\[
\ddot{u}+\omega^{2}(\varepsilon t) u=f(\varepsilon t),
\]
где $\varepsilon$-малый параметр, а $f$-ограниченная непериодическая функция $t$.

7.7. Рассмотреть уравнение
\[
\ddot{u}+\omega^{2}(\varepsilon t) u=k \cos \varphi,
\]
в котором $\varphi=\lambda(\varepsilon t)$. Определить равномерные асимптотические разложения для случаев: (а) значения $\lambda$ не близки к $\omega$; (б) при некотором $t=t_{0}>0$ имеет место $\lambda=\omega$ (Кеворкян [1971]).

7.8. Рассмотреть уравнение
\[
\ddot{u}-i\left[\omega_{1}(\varepsilon t)+\omega_{2}(\varepsilon t)\right] \dot{u}-\omega_{1}(\varepsilon t) \omega_{2}(\varepsilon t) u=f(\varepsilon t),
\]
где точки над буквой означают дифференцирование по $t$, а $\varepsilon$-малый параметр. Определить равномерные асимптотические приближения к решениям этого уравнения для случаев: (a) $f(\varepsilon t)=0$; (б) $f(\varepsilon t)$-ограниченная непериодическая функция $t$; (в) $f(\varepsilon t)=k \exp (i \varphi)$, причем $\varphi=\lambda(\varepsilon t)
eq \omega_{i}$; (г) функция $f(\varepsilon t)$ имеет тот же вид, что и в пункте (в), но при некотором $t=t_{0}$ имеет место $\lambda=\omega_{1}$.

7.9. Определить равномерное асимптотическое разложение общего решения уравнения
\[
\varepsilon^{2} y^{\prime \prime}+\varepsilon(2 x+1) y^{\prime}+2 x y=0, \quad 0 \leqslant x \leqslant 1 .
\]

7.10. Функции Бесселя $J_{n}(n x), Y_{n}(n x)$ и $H_{n}^{(1,2)}(n x)$ являются решениями дифференциального уравнения
\[
x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}+n^{2}\left(x^{2}-1\right) y=0 .
\]
Определить равномерное асимптотическое разложение для общего решения этого уравнения при больших $n$.

7.11. Определить равномерные асимптотические разложения решений уравнения
\[
y^{\prime \prime}+\frac{x(1+x)-\varepsilon \alpha}{(1+x)^{2}} y=0, \quad-1<x<\infty,
\]
при малом $\varepsilon$ и $\alpha$-постоянном.

7.12. Рассмотреть задачу Гретца о теплопроводности в трубе
\[
\begin{array}{c}
u^{\prime \prime}+\lambda^{2}\left(1-x^{2}\right) f(x) u=0, \\
u(1)=u(-1)=0,
\end{array}
\]
в которой $\lambda \gg 1$ и $f(x)=f(-x)>0$. Определить первое приближение к $\lambda$ и к собственным функциям, используя: (a) метод сращивания асимптотических разложений (Селлерс, Трибус и Клейн [1956]); (б) метод многих масштабов или преобразование Лангера (Найфэ [1965b]).

7.13. Дано, что $f(x)>0$ и $\lambda \gg 1$. Определить первые приближения в следующих задачах на собственные значения:
(a) $y^{\prime \prime}+\lambda^{2}(1-x) f(x) y=0$,
\[
y(0)=0, \quad y(\infty)<\infty \text {; }
\]
(б) $x y^{\prime \prime}+y^{\prime}+\lambda^{2} x f(x) y=0$,
\[
y(1)=0, \quad y(0)<\infty ;
\]
(в) $y^{n}+\lambda^{2}(1-x)^{n} f(x) y=0, n$-натуральное число,
\[
y(0)=0, \quad y(\infty)<\infty ;
\]
(г) $x y^{\prime \prime}+y^{\prime}+\lambda^{2} x^{n} f(x) y=0, n$ – натуральное число,
\[
y(1)=0, \quad y(0)<\infty ;
\]
(д) $y^{\prime \prime}+\lambda^{2}(x-1)^{n}(2-x)^{m} f(x) y=0, m$ и $n$-натуральные числа,
\[
y<\infty \text { для всех } x .
\]

7.14. Рассмотреть задачу Гретца о теплопроводности в трубе
\[
\begin{array}{c}
r u^{\prime \prime}+u^{\prime}+\lambda^{2} r\left(1-r^{2}\right) f(r) u=0, \\
u(1)=0, \quad u(0)<\infty,
\end{array}
\]
для случая, когда $\lambda \gg 1$ и $f(r)>0$. (а) Определить разложение, пригодное вдали от точек $r=0$ и $r=1$; (б) определить разложения, пригодные к окрестности точек $r=0$ и $r=1$; (в) срастить эти три разложения, определить $\lambda$, получить равномерно пригодное составное разложение (Селлерс, Трибус и Клейн [1956]).

7.15. Вновь рассмотреть упражнение (7.14). (а) Определить с помощью преобразования Лангера разложение, пригодное вдали от точки $r=0$; (б) определить разложение, пригодное вдали от точки $r=1$, используя преобразование Олвера; (в) для нахождения $\lambda$ срастить эти два разложения; (г) получить составное равномерно пригодное разложение; (д) сравнить полученные результаты с результатами упражнения 7.14 .

7.16. Рассмотреть уравнение
\[
y^{\prime \prime}-\lambda^{2}(x-1)(2-x) y=0 .
\]

Определить приближенное решение этого уравнения при условии, что $\lambda \gg 1$ и $y<\infty$ для всех $x$.

7.17. Рассмотреть задачу
\[
\begin{array}{c}
u^{\prime \prime}+\lambda^{2}(1-x)^{n}(x-\mu)^{m} f(x) u=0, \\
u(1)=u(\mu)=0,
\end{array}
\]
в которой $\lambda \gg 1, f(x)>0$, а $n$ и $m$-натуральные числа, $\mu<1$. Определить разложения, пригодные вдали от точек $x=\mu$ и $x=1$, используя преобразование Олвера; срастив их, найти $\lambda$; построить составное разложение.

7.18. Рассмотреть задачу
\[
\begin{array}{c}
r u^{\prime \prime}+\mu u^{\prime}+\lambda r^{n}(1-r)^{m} f(r) u=0, \\
u(1)=0, \quad u(0)<\infty,
\end{array}
\]
в которой $\lambda \gg 1, f(r)>0, \mu$-действительное число, а $n$ и $m$ – натуральные числа. Используя преобразование Олвера, определить разложения, пригодные вдали от точек $r=0$ и $r=1$; срастив их, найти $\lambda$; построить составное разложение (Найфэ [1967a]).

7.19. Дано, что $f(x)>0$ и $\lambda \gg 1$. Определить первые приближения в следующих задачах на собственные значения:
(a) $x y^{\prime \prime}+y^{\prime}+\lambda^{2} x(1-x) f(x) y=0$,
(б) $x y^{\prime \prime}+y^{\prime}+\lambda^{2} x^{n}(1-x)^{m} f(x) y=0$.
Здесь $m$ и $n$-натуральные числа, а собственные функции удовлетворяют условно $y<\infty$ для $x \geqslant 0$.

7.20. Каким способом можно определить частное решение уравнения
\[
u^{\prime \prime}+\lambda^{2} z^{3} u=\lambda^{2} g(z)
\]

при $\lambda \gg 1$ в следующих случаях: (а) $g(0)
eq 0$; (б) $g(0)=0$, но $g^{\prime}(0)
eq 0$; (в) $g(0)=g^{\prime}(0)=0$, но $g^{\prime \prime}(0)
eq 0$; (г) $g(0)=g^{\prime}(0)=g^{\prime \prime}(0)=0$ ?