В этом параграфе мы опишем некоторые из известных методов, с помощью которых можно определять приближенные решения задач с линейным волновым уравнением и связанных с ними эллиптических задач. При описании этих методов мы будем использовать волновое уравнение вида
$$c^2(\mathbf{r})abl{a}^{2}v-v_{tt}-{\omega }_0^2(\mathbf{r})v=c^2(\mathbf{r})g(\mathbf{r})e^{i\omega t}.$$

Положив
$$v=u(\mathbf{r})e^{i\omega t},$$

придем к уравнению
\[

abla^{2} u+k^{2} n^{2}(\mathbf{r}) u=g(\mathbf{r}) .
\]

Здесь $k$ и $n$ представляют собой волновое число и коэффициент преломления и задаются равенствами
$$k=\frac{\omega }{c_0},n^2=\frac{{\omega }^2-{\omega }_0^{\prime }(\mathbf{r})}{{\omega }^2}\frac{c_0^{\prime }}{c^2(\mathbf{r})},$$

где $c_0$-некоторая характерная скорость. В этой задаче будем предполагать, что $g$-детерминированная функция, в то время как $n$ может быть случайной функцией. Таким образом, результаты могут быть применены к распространению воли в случайной среде.

При постоянном $n$ однородная задача допускает решение в виде плоской волны
$$u=A{e}^{in\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}},$$

где $A$-постоянная. Решение неоднородной задачи задается интегралом
$$u=-{\int }_{V}g(\xi )\frac{e^{in\mathrm{k}|\mathrm{r}-\xi |}}{4\pi |\mathrm{r}-\xi |}d\xi$$

где переменный вектор $\xi$ пробегает объем рассеяния $V$. Если, однако, $n$ не является постоянной величиной, будем искать асимптотические разложения решений уравнения (7.4.3). Выбор того или иного асимптотического метода для получения приближенного решения зависит от значения $k$ и характера пространственного изменения $n$. Если $n$ мало отличается от постоянной, то можно применять так называемое разложение Борна, разработанное физиками, или разложение Неймана, разработанное математиками, а также методы перенормировок или метод Рытова. Если же значения $k$ велики, а $n$-медленно меняющаяся функция состояния, то можно использовать метод геометрической оптики. Хотя эти методы были разработаны для детерминированных задач, они могут быть использованы также в стохастических задачах. Для последних мы опишем также так называемый метод сглаживания, который является аналогом метода усреднения, рассмотренного в гл. 5. Область применения этих методов и дальнейшие ссылки читатель может найти в книгах Чернова [1960], Татарского [1959], Бабича [1970], [1971] и в обзорной статье Фриша [1968].

7.4.1. Разложение Борна — Неймана и диаграммы Фейнмана

Эта методика применима в случае, когда $n$ мало отличается от постоянной. Будем считать, что при этом $k$ и $n$ нормированы таким образом, что постоянная составляющая $n$ равна единице. Тем самым мы получаем возможность записать $n^2$ в виде
$$n^2=1+\epsilon \chi (\mathbf{r}),$$

где $\epsilon$ мало, а $\chi =O(1)$. Для статистической задачи мы будем предполагать, что случайная функция $\chi$ от переменной $\mathbf{r}$ центрирована таким образом, что ее среднее значение, обозначаемое через $⟨\chi ⟩$, равно нулю. Для получения разложения Борна [1926] положим
$$u=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{\epsilon }^m{u}_m$$

Подставив это разложение в (7.4.3) и приравняв с учетом (7.4.7) коэффициенты при одинаковых степенях $\epsilon$, получим
$$\begin{array}{c}L\left(u_0\right)=g,\\ L\left(u_m\right)=-k^2\chi u_{m-1}\text{ для }m⩾1.\end{array}$$

Здесь оператор $L$ определен равенством
$$L=abl{a}^2+k^2.$$

Уравнения (7.4.9) и (7.4.10) могут быть последовательно решены. Для некоторого заданного $m$ правая часть (7.4.10) считается известной из решения предыдущего уравнения. Следовательно, решение задается равенством
$$u_m(\mathbf{r})=-k^2{\int }_V\chi \left({\mathbf{r}}_m\right)u_{m-1}\left({\mathbf{r}}_m\right)G_0(\mathbf{r};{\mathbf{r}}_m)d{\mathbf{r}}_m,m⩾1,$$

где ${\mathbf{r}}_m$-переменный вектор, пробегающий объем рассеяния $V$, а $G_0$ — функция Грина свободного пространства:
$$G_0(\mathbf{r},\xi )=-\frac{e^{ik|\mathrm{r}-\xi |}}{4\pi |\mathrm{r}-\xi |}.$$

При $g\equiv 0$ уравнение (7.4.9) допускает следующее решение в виде плоской волны:
$$u_0=A{e}^{i\mathrm{kr}},$$

где $A$-постоянная. Тогда из (7.4.12) имеем
$$\begin{array}{rl}{u}_1=& -A{k}^2{\int }_V\chi \left({\mathbf{r}}_1\right)e^{i\mathbf{k}{\mathbf{r}}_1}{G}_0(\mathbf{r};{\mathbf{r}}_1)d{\mathbf{r}}_1,\\ u_2=& A{k}^4{\int }_V\chi \left({\mathbf{r}}_1\right)\chi \left({\mathbf{r}}_2\right)e^{i\mathbf{k}{\mathbf{r}}_1}{G}_0(\mathbf{r};{\mathbf{r}}_2)G_0({\mathbf{r}}_2;{\mathbf{r}}_1)d{\mathbf{r}}_{1}d{\mathbf{r}}_2,\\ u_m=& A(-1{)}^m{k}^{2m}{\int }_V\chi \left({\mathbf{r}}_1\right)\chi \left({\mathbf{r}}_2\right)\dots \chi \left({\mathbf{r}}_m\right)\times \\ & \times e^{i\mathbf{k}{\mathbf{r}}_1}{G}_0(\mathbf{r};{\mathbf{r}}_m)G_0({\mathbf{r}}_m;{\mathbf{r}}_{m-1})\dots G_0({\mathbf{r}}_2;{\mathbf{r}}_1)d{\mathbf{r}}_{1}d{\mathbf{r}}_2\dots d{\mathbf{r}}_m.\end{array}$$

Член $\epsilon u_1$ в этом разложении называется первым приближением Борна, а член ${\epsilon }^m{u}_m-m$-м приближением Борна.

Если $\chi$-центрированная случайная функция $\mathbf{r}$, то среднее значение функции $и$ можно получить, усреднив (7.4.8). В результате будем иметь
$$\begin{array}{rl}⟨u⟩& =A{e}^{i\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}}+A{\epsilon }^2{k}^4{\int }_V⟨\chi \left({\mathbf{r}}_1\right)\chi \left({\mathbf{r}}_2\right)⟩e^{i\mathbf{k}{\mathbf{r}}_1}{G}_0(\mathbf{r};{\mathbf{r}}_2)G_0({\mathbf{r}}_2;{\mathbf{r}}_1)d{\mathbf{r}}_{1}d{\mathbf{r}}_2+\dots +\\ & +A(-\epsilon {)}^m{k}^{2m}{\int }_V⟨\chi \left({\mathbf{r}}_1\right)\chi \left({\mathbf{r}}_2\right)\dots \chi \left({\mathbf{r}}_m\right)⟩\times \\ & \times e^{i\mathbf{k}{\mathbf{r}}_1}{G}_0(\mathbf{r};{\mathbf{r}}_m)G_0({\mathbf{r}}_m;{\mathbf{r}}_{m-1})\dots G_0({\mathbf{r}}_2;{\mathbf{r}}_1)d{\mathbf{r}}_{1}d{\mathbf{r}}_2\dots d{\mathbf{r}}_m+\dots \end{array}$$

Усредненные величины $⟨\chi \left({\mathbf{r}}_1\right)\chi \left({\mathbf{r}}_2\right)\dots \chi \left({\mathbf{r}}_m\right)⟩$ зависят от расположения точек ${\mathbf{r}}_1,{\mathbf{r}}_2,\dots ,{\mathbf{r}}_m$, так как для большинства случайных

сред существует масштаб корреляции $l$ (т. е. значения $\chi$ в точках, отстоящих друг от друга на расстоянии, превышающем $l$, не коррелированы). Чтобы получить зависимость от масштаба корреляции, разложим эти усредненные величины в ряды по расширяющимся группам переменных следующего вида:
$$\begin{array}{l}⟨\chi \left({\mathbf{r}}_1\right)\chi \left({\mathbf{r}}_2\right)⟩=R({\mathbf{r}}_1,{\mathbf{r}}_2),\\ ⟨\chi \left({\mathbf{r}}_1\right)\chi \left({\mathbf{r}}_2\right)\chi \left({\mathbf{r}}_3\right)⟩=R({\mathbf{r}}_1,{\mathbf{r}}_2,{\mathbf{r}}_3),\\ ⟨\chi \left({\mathbf{r}}_1\right)\chi \left({\mathbf{r}}_2\right)\chi \left({\mathbf{r}}_3\right)\chi \left({\mathbf{r}}_4\right)⟩=R({\mathbf{r}}_1,{\mathbf{r}}_2)R({\mathbf{r}}_3,{\mathbf{r}}_4)+R({\mathbf{r}}_1,{\mathbf{r}}_3)R({\mathbf{r}}_2,{\mathbf{r}}_4)+\\ +R({\mathbf{r}}_1,{\mathbf{r}}_4)R({\mathbf{r}}_2,{\mathbf{r}}_3)+R({\mathbf{r}}_1,{\mathbf{r}}_2,{\mathbf{r}}_3,{\mathbf{r}}_4),\\ ⟨\chi \left({\mathbf{r}}_1\right)\chi \left({\mathbf{r}}_2\right)\dots \chi \left({\mathbf{r}}_m\right)⟩=\sum _{k_1+\dots k_s=m}R({\xi }_1,\dots ,{\xi }_{k_1})R({\zeta }_1,\dots ,{\zeta }_{k_2})\times \\ \times R({\mathit{\eta }}_1,\dots ,{\mathit{\eta }}_{k_s}),\end{array}$$

где $k_i⩾2$. Так, суммирование в последнем уравнении проводится по всем возможным разбиениям множества точек ${\mathbf{r}}_1,{\mathbf{r}}_2,\dots ,{\mathbf{r}}_m$ на группы, содержащие по крайней мере две точки. Если $\chi$-центрированная гауссовская случайная ункция, то все корреляционные функции обратятся в нуль, за исключением двухточечных корреляционных функций. С помоцью (7.4.19) и (7.4.18) можно получить для $⟨u⟩$ выражение, зависящее от $k$-точечных корреляционных функций.
При $geq0$ частное решение уравнения (7.4.9) имеет вид
$$u_0(\mathbf{r})=Mg={\int }_{V}g\left({\mathbf{r}}_0\right)G_0(\mathbf{r};{\mathbf{r}}_0)d{\mathbf{r}}_0.$$

Тогда из (7.4.12) имеем
$$\begin{array}{rl}{u}_m(\mathbf{r})=(& -1{)}^m{k}^{2m}{\int }_{V}g\left({\mathbf{r}}_0\right)\chi \left({\mathbf{r}}_1\right)\chi \left({\mathbf{r}}_2\right)\dots \chi \left({\mathbf{r}}_m\right)G_0(\mathbf{r};{\mathbf{r}}_m)\times \\ & \times G_0({\mathbf{r}}_m;{\mathbf{r}}_{m-1})\dots G_0({\mathbf{r}}_2;{\mathbf{r}}_1)G_0({\mathbf{r}}_1;{\mathbf{r}}_0)d{\mathbf{r}}_{0}d{\mathbf{r}}_1\dots d{\mathbf{r}}_m\end{array}$$

или, в операторной форме,
$$u_m={(-k^{2}M\chi )}^{m}Mg\text{, }$$

где оператор $M$ определен в (7.4.20). Поэтому имеет место
$$u(\mathbf{r})=Mg+\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{\epsilon }^m{(-k^{2}M\chi )}^{m}Mg.$$

Этот ряд математики называют также рядом Неймана. K этому ряду можно прийти также, обратив соотношение (7.4.3) в интегральное уравнение
$$u=Mg-\epsilon k^{2}M\chi u$$

и решая его методом последовательных приближений.

Из (7.4.23) можно определить функцию Грина $G$ для уравнения (7.4.3) в виде
$$\begin{array}{l}G(\mathbf{r};{\mathbf{r}}_0)=G_0(\mathbf{r};{\mathbf{r}}_0)-\epsilon k^2\int \chi \left({\mathbf{r}}_1\right)G_0(\mathbf{r};{\mathbf{r}}_1)G_0({\mathbf{r}}_1;{\mathbf{r}}_0)d{\mathbf{r}}_1+\\ +{\epsilon }^2{k}^4\int \chi \left({\mathbf{r}}_1\right)\chi \left({\mathbf{r}}_2\right)G_0(\mathbf{r};{\mathbf{r}}_2)G_0({\mathbf{r}}_2;{\mathbf{r}}_1)G_0({\mathbf{r}}_1;{\mathbf{r}}_0)d{\mathbf{r}}_{1}d{\mathbf{r}}_2+\\ +\dots +(-1{)}^m{\epsilon }^m{k}^{2m}\int \chi \left({\mathbf{r}}_1\right)\chi \left({\mathbf{r}}_2\right)\dots \chi \left({\mathbf{r}}_m\right)G_0(\mathbf{r};{\mathbf{r}}_m)\times \\ \times G_0({\mathbf{r}}_m;{\mathbf{r}}_{m-1})\dots G_0({\mathbf{r}}_2;{\mathbf{r}}_1)G_0({\mathbf{r}}_1;{\mathbf{r}}_0)d{\mathbf{r}}_{1}d{\mathbf{r}}_2\dots d{\mathbf{r}}_m+\dots \end{array}$$

В операторной форме эта функция будет иметь вид
$$G=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(G_0\mathcal{L}\right)}^m{G}_0,{\mathcal{L}}_{\phi }⟶-\epsilon k^2\chi (\mathbf{r})\phi (\mathbf{r}).$$

Этот ряд был представлен Фришем [1968] с помощью, как он назвал, „голой“ диаграммы. При этом он использовал следующие условные обозначения: $G_0$ представляется сплошной линией, а $\mathcal{L}$-точкой. Тогда $G$ представляется диаграммным рядом

Этот ряд физически интерпретируется с помощью многократного рассеяния. Член с номером $m$ соответствует волне, которая свободно распространяется от ${\mathbf{r}}_0$ к ${\mathbf{r}}_1$, рассеивается на неоднородностях в ${\mathbf{r}}_1$, распространяется свободно до ${\mathbf{r}}_2$, рассеивается на ${\mathbf{r}}_2$ и так далее. Фриш [1968] представил двойную функцию Грина (тензорное произведение функции $G$ на комплексно сопряженную величину)
$$G\otimes \overline{G}=G(\mathbf{r};{\mathbf{r}}_0)\overline{G}(\xi ;{\xi }_0)$$

в виде следующего ряда двойных „голых“ диаграмм:

Здесь каждая двойная диаграмма соответствует тензорному произведению оператора, представляемого верхней линией, на опе-

ратор, комплексно сопряженный оператору, представляемому нижней линией.

Если $\chi$-центрированный случайный процесс, то $⟨G⟩$ может быть представлено следующим „одетым“ диаграммным рядом (Фриш, [1968]):

В этом диаграммном ряде использованы следующие условные обозначения:
(1) Точки, принадлежащие данной группе, соединены пунктирной линией.
(2) Каждой „голой“ диаграмме, содержащей функцию $\chi$ в виде $k$ множителей, мы сопоставляем столько \»одетых“ диаграмм, сколько существует разных разбиений множества ${\mathbf{r}}_1,{\mathbf{r}}_2,\dots ,{\mathbf{r}}_k$ на группы, содержащие по крайней мере две точки.
(3) Для вычисления по „одетой“ диаграмме сплошные линии следует заменить на $G_0$, пучок пунктирных линий, оканчивающихся в ${\mathbf{r}}_1,{\mathbf{r}}_2,\dots ,{\mathbf{r}}_s$, — на множитель
$${(-\epsilon k^2)}^{s}R({\mathbf{r}}_1,{\mathbf{r}}_2,\dots ,{\mathbf{r}}_s),$$

а интегрирование следует проводить по всем промежуточным точкам. Так, имеем

Аналогично, ковариацию $⟨G\otimes \overline{G}⟩$ можно выразить в виде следующего ряда „одетых“ двойных диаграмм:
$(7.4.32)$

Здесь имеем, например,

В случае гауссовской случайной функции не обращаются в нуль только двухточечные корреляционные функции; следовательно, в (7.4.29) такие диаграммы, как 3 и 7 , а в (7.4.32) такие, как 5, исчезают.

Фриш [1968] показал, что разложения, полученные в этом пункте, являются расходящимися. Более того, он показал также, что эти разложения содержат вековые члены, из-за которых пригодность этих асимптотических разложений ограничивается малыми значениями аргумента. Поскольку величина $⟨\chi \left({\mathbf{r}}_1\right)\times$ $\times \chi \left({\mathbf{r}}_2\right)\dots \chi \left({\mathbf{r}}_{2m}\right)$ равна сумме двухточечных корреляционных функций в количестве $1\cdot 3.5\dots (2m-1)$, то это число слагаемых быстро растет с увеличением $m$, и это обстоятельство является еще одной причиной, обусловливающей расходимость разложений (7.4.29) и (7.4.32). Шкарофский [1971] модифицировал разложение Борна для случая обратного рассеяния на турбулентной плазме, чтобы исследовать явление насыщения и поперечной поляризации. Рэлей [1917] разработал метод улучшения равномерной пригодности таких разложений, с тем чтобы разложение, полученное им для однократного рассеяния на тонком слое, сделать пригодным для многих слоев. Эта методика называется перенормировкой. Она была развита и расширена рядом исследователей (см. следующий пункт).

7.4.2. Методы перенормировки

Чтобы проиллюстрировать природу неравномерности, которая может возникнуть в разложении Борна (Неймана), и наметить пути ее устранения, рассмотрим простой пример
$$u^{\prime \prime }+k^2(\epsilon )u=0,u(0)=1,$$

где $k$-постоянная, определяемая равенством
$$k=\sum _{n=0}^N{\epsilon }^n{k}_n.$$

Уходящие волны задаются точным соотношением
$$u=e^{ik(\epsilon )x}=\exp \left(ix\sum _{n=0}^N{\epsilon }^n{k}_n\right).$$

Однако разложение Борна, полученное для (7.4.34), имеет вид
$$\begin{array}{l}u=e^{i{k}_{0}x}\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{m!}{\left(ix\sum _{n=1}^N{\epsilon }^n{k}_n\right)}^m=\\ =e^{i{k}_{0}x}[1+i\epsilon k_{1}x+{\epsilon }^2(i{k}_{2}x-\frac{1}{2}{k}_1^2{x}^2)+\\ +{\epsilon }^3(i{k}_{3}x-k_1{k}_2{x}^2-\frac{1}{6}i{k}_1^3{x}^3)+\dots ].\end{array}$$

Очевидно, что это разложение пригодно только для коротких расстояний и нарушается, когда значения $k_{1}x$ имеют порядок

$O\left({\epsilon }^{-1}\right)$ или больший. Источник неравномерности можно обнаружить, сравнив это разложение Борна с точным решением (7.4.36). Разложив в точном решении выражение $\exp \left(ix\sum _{n=1}^N{\epsilon }^n{k}_n\right)$ в ряд Тейлора по величине $ix\sum _{n=1}^N{\epsilon }^n{k}_n$, разложив, далее, выражение ${\left(\sum _{n=1}^N{\epsilon }^n{k}_n\right)}^m$ по степеням $\epsilon$ и сгруппировав члены с одинаковой степенью $\epsilon$, можно получить из точного решения разложение Борна. Хотя ряд Тейлора, полученный разложением $\exp \phi$ по $\phi$, сходится равномерно и абсолютно для всех значений $\phi$, конечным числом членов ряда нельзя приблизить значение ехрч с заданной точностью для всех значений $\phi$. Следовательно, любое равномерно пригодное для всех $\phi$ разложение функции $\exp \phi$ должно совпадать с самой функцией ехр $\phi$. Таким образом, чтобы из (7.4.37) получить разложение, равномерно пригодное для значений $x$ порядка $O\left({\epsilon }^{-1}\right)$, следует просуммировать последовательность
$$1+i\epsilon k_{1}x+\dots +{\left(i\epsilon k_{1}x\right)}^m/m!+\dots .$$

Эта сумма равна $\exp \left(i{k}_{1}x\right)$. Тогда (7.4.37) принимает вид
$$\begin{array}{c}u=\exp \left[i(k_0+\epsilon k_1)x\right]\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{m!}{\left(ix\sum _{n=2}^N{\epsilon }^n{k}_n\right)}^m=\\ =\exp \left[i(k_0+\epsilon k_1)x\right](1+i{\epsilon }^2{k}_{2}x+i{\epsilon }^3{k}_{3}x-\frac{1}{2}{\epsilon }^4{k}_2^2{x}^2+\dots ).\end{array}$$

Это разложение нарушается при $k_{2}x=O\left({\epsilon }^{-2}\right)$. Чтобы увеличить область пригодности этого разложения до значений $x=O\left({\epsilon }^{-2}\right)$, следует просуммировать последовательность $\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(i{\epsilon }^2{k}_{2}x\right)}^m/m!$. Если не известна явная функциональная зависимость, то эффективным методом суммирования этих последовательностей является метод многих масштабов гл. 6. Суммирование вековых членов можно также произвести другим способом-методом перенормировки. Метод перенормировки был первоначально разработан Рэлеем [1917] с целью обобщить свои результаты по рассеянию на тонком слое на рассеяние на многих слоях. Для однократного рассеяния на одном слое он получил разложение вида
$$u=e^{i{k}_{0}x}(1+i\epsilon \mu x)\text{. }$$

Чтобы получить решение, пригодное для многих слоев, он придал этому разложению вид экспоненты, т. е. записал его в виде
$$u=\exp \left[i(k_0+\epsilon \mu )x\right]\text{. }$$

Таким способом он эффективно вычислил сумму $\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}(i\epsilon \mu x{)}^m/m$ ! последовательности вековых членов. Процесс суммирования разложений с целью сделать их „более\» равномерно пригодными называется перенормировкой. Эта методика была заново открыта Притуло [1962], о чем говорилось в §3.4.

Чтобы расширить область равномерной пригодности двучленного разложения Борна $u=u_0+\epsilon u_1$, придадим ему следующий экспоненциальный вид:
$$u=u_0{e}^{\epsilon u_1/u_0}.$$

Если для $u_0$ имеем $u_0=A_0\exp i{S}_0(\mathbf{r})$, то тогда
$$u=A{e}^{iS(r)}\text{, }$$

где $A=A_0\exp \left[\epsilon \mathrm{Re}\left(u_1/u_0\right)\right]$ и $S=S_0+\epsilon \mathrm{Im}\left(u_1/u_0\right)$.
Метод перенормировки был расширен, что позволило получить кинетические уравнения для слабо нелинейных систем (см., например, Ван Хов [1955], [1957]; Пригожин [1962]; Балеску [1963]; Альтшуль и Қарпман [1965]). В соответствии с этим методом последовательности вековых членов выделяются и суммируются с применением диаграмм Фейнмана или без них. Суммирование главных последовательностей вековых членов приводит к квазилинейным уравнениям.

Метод перенормировки широко применялся также при изучении распространения волн в случайных средах (см., например, Татарский [1959, глава 6]; Келлер [1962]; Қарал и Келлер [1964]). Итак, чтобы расширить область равномерной пригодности разложения для $⟨G⟩$ из (7.4.29), придадим величине $⟨G⟩$ экспоненциальный вид
$$⟨G⟩=G_0{e}^{\psi }.$$

Следовательно, первая перенормировка дает
$$\psi =\frac{G_2}{G_0},$$

где
$$G_2={\epsilon }^2{k}^4\int G_0(\mathbf{r};{\mathbf{r}}_2)G_0({\mathbf{r}}_2;{\mathbf{r}}_1)G_0({\mathbf{r}}_1;{\mathbf{r}}_0)R({\mathbf{r}}_1;{\mathbf{r}}_2)d{\mathbf{r}}_{1}d{\mathbf{r}}_2.$$

Бурре [1962a], [1962b], Фуруцу [1963], Татарский [1964] и Фриш [1965] использовали диаграммный метод суммирования для нахождения уравнений перенормировки произвольного порядка. Татарский [1964] расположил диаграммы для $⟨G⟩$ и $⟨G\otimes \overline{G}⟩$ таким образом, что удалось обнаружить, что эти диаграммы соответствуют разложениям Неймана для двух интеграль-

ных уравнений с двумя ядрами, имеющими бесконечное число членов. Для случая, когда показатель преломления является центрированной гауссовской величиной, диаграммное разложение для $⟨G⟩$ имеет вид

Для получения интегрального уравнения для $⟨G⟩$ с ядром, состоящим из бесконечного ряда, рассмотрим топологию диаграмм в (7.4.46). Введем следующие определения.
(1) Диаграммой без концов будем называть диаграмму с удаленными внешними отрезками сплошных линий. Так, например, диаграмма 2 без концов имеет вид $\rightleftarrows$, а диаграмма 4 без концов имеет вид
(2) Диаграмма без концов называется связной, если ее нельзя разбить на две или более диаграммы, не разрывая ни одной пунктирной линии. Диаграммы $4,5,10,11$ и 13-20 являются связными, в то время как диаграммы $3,6,7,8,9$ и 12 не являются связными. Несвязные диаграммы могут быть разбиты на множители; например, диаграмма

может быть записана в виде произведения следующих пяти диаграмм: ,
(3) Массовым оператором $Q$, обозначаемым через $\bullet$, называется сумма всевозможных связных диаграмм, входящих в $⟨G⟩$; т. е. имеем

Все несвязные диаграммы, состоящие из двух связных диаграмм, встречаются в сумме диаграмм вида $⟶$, а все несвязные диаграммы, состоящие из трех связных диаграмм, встречаются в сумме диаграмм вида $⟶\bullet$. Из сказанного следует, что величина $⟨G⟩$, обозначаемая линией — , описывается следующим уравнением Дайсона (Татарский [1964]):

или в аналитическом виде
$$⟨G(\mathbf{r};{\mathbf{r}}_0)⟩=G_0(\mathbf{r};{\mathbf{r}}_0)+\int G_0(\mathbf{r};{\mathbf{r}}_1)Q({\mathbf{r}}_1;{\mathbf{r}}_2)⟨G({\mathbf{r}}_2;{\mathbf{r}}_0)⟩d{\mathbf{r}}_{1}d{\mathbf{r}}_2.$$

Аналогичное уравнение, введенное впервые Дайсоном [1949], широко использовалось в квантовой электродинамике, квантовой теории поля и в задаче многих тел. Если функция $\chi$ однородна, то массовый оператор $Q$ инвариантен по отношению к переносу и представляет собой оператор свертки, преобразование Фурье которого является оператором умножения на обычные функции. Следовательно, совершив преобразование Фурье в (7.4.49), получим
$$⟨G(x)⟩=\frac{1}{k^2-x^2}+\frac{1}{k^2-x^2}Q(x)⟨G(x)⟩,$$

коль скоро
$$G_0(x)=\frac{1}{k^2-x^2}.$$

Разрешая уравнение (7.4.50) относительно $⟨G(x)⟩$, нолучим
$$⟨G(x)⟩=\frac{1}{k^2-x^2-Q(x)}.$$

Таким образом, при известном $Q$ величина $⟨G⟩$ может быть найдена обращением $⟨G(x)⟩$. Однако точное выражение для $Q$

так же трудно найти, как и выражение для $⟨G⟩$. Поэтому прибегают к приближенным методам определения $Q$. Простейшее приближение, основанное на уравнении Дайсона, соответствует удерживанию в массовом операторе только первого члена. Имеем при этом

или, в аналитическом виде,
$$\begin{array}{c}⟨G(\mathbf{r};{\mathbf{r}}_0)⟩=\\ =G_0(\mathbf{r};{\mathbf{r}}_0)+{\epsilon }^2{k}^4\int G_0(\mathbf{r};{\mathbf{r}}_1)G_0({\mathbf{r}}_1;{\mathbf{r}}_2)R({\mathbf{r}}_1;{\mathbf{r}}_2)⟨G({\mathbf{r}}_2;{\mathbf{r}}_0)⟩a{\mathbf{r}}_{1}a{\mathbf{r}}_2.\end{array}$$

Это уравнение, называемое первым уравнением перенормировки, в диаграммном виде было введено в рассмотрение Бурре [1962a], [1962b].

Следует отметить, что уравнения (7.4.49) и (7.4.54) не могут быть решены методом итераций, поскольку это привело бы к появлению вековых членов. Варватсис и Сансер [1971] получили приближенное решение уравнения (7.4.54) в виде
$$⟨G(\mathbf{r};{\mathbf{r}}_0)⟩=G_0(\mathbf{r};{\mathbf{r}}_0)e^{{\epsilon }^2{G}_2/G_0},$$

где
$$G_2=k^4\int G_0(\mathbf{r};{\mathbf{r}}_1)G_0({\mathbf{r}}_1;{\mathbf{r}}_2)G_0({\mathbf{r}}_2;{\mathbf{r}}_0)R({\mathbf{r}}_1;{\mathbf{r}}_2)d{\mathbf{r}}_{1}d{\mathbf{r}}_2.$$

Это решение равным образом годно как для однородных, так и для неоднородных сред. Мы пришли бы к этому же решению, записав выражение $⟨G⟩=G_0+{\epsilon }^2{G}_2$ в экспоненциальном виде.

С помощью диаграммной техники Татарский [1964] и Фриш [1968] получили следующее уравнение Бете-Салпетера для случая, когда показатель преломления является гауссовским центрированным процессом или имеет общий вид
(7.4.57)
Здесь оператор интенсивности состоит из всех связных диаграмм без концов, входящих в разложение для $⟨G\otimes \overline{G}⟩$, т. е.

имеем

Впервые это уравнение было введено Салпетером и Бете [1951] при рассмотрении релятивистских задач со связанным состоянием.

7.4.3. Метод Рытова
Для получения приближенного решения уравнения
\[

abla^{2} u+k^{2}[1+\varepsilon \chi(\mathbf{r})] u=0
\]

положим, следуя Рытову [1937] (см. также Татарский [1959, стр. 121-128]; Чернов [1960, стр. 58-67]),
$$u=e^{\psi }$$

и преобразуем (7.4.59) к виду
\[

abla^{2} \psi+
abla \psi \cdot
abla \psi+k^{2}(1+\varepsilon \chi)=0 .
\]

Предположим теперь, что $\psi$ допускает следующее асимптотическое разложение:
$$\psi =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\epsilon }^n{\psi }_n(\mathbf{r})$$

Подставив (7.4.62) в (7.4.61) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях $\epsilon$, получим
\[
\begin{aligned}

abla^{2} \psi_{0}+
abla \psi_{0} \cdot
abla \psi_{0} & =-k^{2}, \

abla^{2} \psi_{1}+2
abla \psi_{1} \cdot
abla \psi_{0} & =-k^{2} \chi, \

abla^{2} \psi_{n}+\sum_{m=0}^{n}
abla \psi_{m} \cdot
abla \psi_{n-m} & =0, \quad n \geqslant 2,
\end{aligned}
\]

Эти уравнения могут быть решены последовательно. Получающееся при этом разложение в точности соответствует разложению Борна $u=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\epsilon }^n{u}_n$ для уравнения (7.4.59). Действительно, разложение Рытова может быть получего из ряда Борна, если последнему придать экспоненциальный вид. Полагая
$$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\epsilon }^n{u}_n=\exp \left(\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{\epsilon }^m{\psi }_m\right),$$

разлагая экспоненту при малых $\epsilon$ и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $\epsilon$, можно получить для первых членов
$$\begin{array}{c}{u}_0=e^{{\psi }_0},u_1=e^{{\psi }_0{\psi }_1},u_2=e^{{\psi }_0}({\psi }_2+\frac{1}{2}{\psi }_1^2),\\ u_3=e^{{\psi }_0}({\psi }_3+{\psi }_1{\psi }_2+\frac{1}{6}{\psi }_1^3).\end{array}$$

Таким образом, разложение Рытова представляет собой результат перенормировки разложения Борна и, следовательно, должно иметь более широкую область равномерной пригодности, чем разложение Борна. Однако этот вывод представляется спорным (Хафнагель и Стэнли [1964]; де Вольф [1965], [1967]; Браун [1966], [1967], Фрид [1967]; Хайдбредер [1967]; Тейлор [1967]; Стробен [1968]; Сансер и Варватсис [1969], [1970]).
7.4.4. Приближение геометрической оптики

Целью нашего рассмотрения является получение асимптотического решения уравнения
\[

abla^{2} u+k^{2} n^{2}(\mathbf{r}) u=0
\]

для больших волновых чисел $k$ (т. е. для малых длин волн $\lambda =2\pi /k$ ). Для больших $k$ решение уравнения (7.4.68) допускает асимптотическое разложение вида (Келлер [1958])
$$u=e^{ikS(r)}\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}(ik{)}^{-m}{u}_m(\mathrm{r}).$$

Подставляя (7.4.69) в (7.4.68) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $k$, получаем
\[
\begin{aligned}

abla S \cdot
abla S & =n^{2}(\mathbf{r}), \text { (уравнение эйконала) } \
2
abla S \cdot
abla u_{0}+u_{0}
abla^{2} S & =0, \text { (уравнения переноса) } \
2
abla S \cdot
abla u_{m}+u_{m}
abla^{2} S & =-
abla^{2} u_{m-1} \text { для } m \geqslant 1 .
\end{aligned}
\]

Уравнение (7.4.70) может быть решено методом характеристик, т. е. с помощью уравнений
$$\begin{array}{r}\frac{d\mathbf{r}}{d\sigma }=2\lambda ablaS,\\ \frac{dS}{d\sigma }=2\lambda n^2,\\ \frac{d}{d\sigma }(ablaS)=\lambda abla\left(n^2\right),\end{array}$$

где $\sigma$-параметр, а $\lambda$-множитель пропорциональности. Исключив $ablaS$ из первого и третьего уравнений, получим
$$\frac{d}{d\sigma }\left(\frac{1}{2\lambda }\frac{dr}{d\sigma }\right)=2\lambda nablan.$$

Тогда решение второго уравнения в (7.4.73) имеет вид
$$S=S_0+{\int }_{{\sigma }_0}^{\sigma }2\lambda n^2[\mathbf{r}(\tau )]d\tau ,$$

где $\mathbf{r}(\sigma )$-решение уравнения (7.4.74) при начальных условиях $\mathbf{r}\left({\sigma }_0\right)={\mathbf{r}}_0,d\mathbf{r}\left({\sigma }_0\right)/d\sigma ={\dot{\mathbf{r}}}_0$. Положив $2\lambda =n^{-1}$ и считая $\sigma$ длиной дуги вдоль лучей, можем переписать (7.4.74) и (7.4.75) в виде
$$\begin{array}{c}\frac{d}{d\sigma }[n(\mathbf{r}(\sigma ))\frac{d\mathbf{r}(\sigma )}{d\sigma }]=ablan,\\ S=S_0+{\int }_{{\sigma }_0}^{\sigma }n[\mathbf{r}(\tau )]d\tau .\end{array}$$

Вдоль лучей уравнение (7.4.71) принимает вид
$$2n[\mathbf{r}(\sigma )]\frac{d{u}_0}{d\sigma }+u_{0}abl{a}^{2}S[\mathbf{r}(\sigma )]=0.$$

Решением этого уравнения является функция
$$u_0=u_0\left[\mathbf{r}\left({\sigma }_0\right)\right]\exp \{-{\int }_{{\sigma }_0}^{\sigma }\frac{abl{a}^{2}S[r(\tau )]}{2n[\mathbf{r}(\tau )]}d\tau \}.$$

Аналогично, решением уравнения (7.4.72) будет функция
$$u_m=c\frac{u_0[\mathbf{r}(\sigma )]}{u_0\left[\mathbf{r}\left({\sigma }_0\right)\right]}-{\int }_{{\sigma }_0}^{\sigma }\frac{abl{a}^2{u}_{m-1}[\mathbf{r}(\tau )]}{2n[\mathbf{r}(\tau )]}\frac{u_0[\mathbf{r}(\sigma )]}{u_0[\mathbf{r}(\tau )]}d\tau ,$$

где $c$-постоянная, определяемая из начальных условий.
Разложение, полученнсе в этом пункте, является непригодным на каустике (т. е. на поверхности, огибающей лучи), на границах тени, в фокусах лучей и в окрестности источников. В таких областях соседние лучи пересекаются, и площадь поперечного сечения трубки лучей обращается в нуль. Поскольку в трубке лучей энергия сохраняется, амплитуда поля в этих областях должна быть бесконечной. Ниже будет показано, что на каустике поле является неограниченным; в следующем пункте будет получено разложение, пригодное всюду, в том числе и на каустике.

Для того чтобы показать, что разложение этого пункта нарушается на каустике или в ее окрестности, рассмотрим частный случай $n(\mathbf{r})=1$. Из (7.4.76) имеем, что в этом случае лучи являются прямыми линиями, а из (7.4.77) следует, что $S=S_0$ $-{\sigma }_0+\sigma$. Выразим теперь решения уравнений (7.4.71) и (7.4.72)
Рис. 7.1.

в координатной системе, отнесенной к каустике, которую будем предполагать гладкой и выпуклой. На рис. 7.1 изображена точка $P$, расположенная вне каустики, и два луча, проходящие через нее. Выбрав на каустике некоторое направление, мы тем самым введем направление на каждом луче, который обязательно касается каустики в некоторой ее точке. Таким образом, каждая точка $P$, лежащая вне каустики, располагается на двух лучах, один из которых направлен от каустики, другой направлен к ней.

Для двумерного случая обозначим через $s$ длину дуги вдоль каустики и через $\sigma$-длину отрезка луча от точки касания до точки $P$. Таким образом, местоположение точки $P$ определяется числами $s_1$ и ${\sigma }_1$ или $s_2$ и ${\sigma }_2$. В этих координатах радиус-вектор $\mathrm{r}$ точки $P$ задается равенством
$$\mathbf{r}={\mathbf{r}}_0(s)+\sigma {\mathrm{e}}_1,$$

где $\mathbf{r}={\mathbf{r}}_0(\mathrm{s})$ — уравнение каустики, а ${\mathbf{e}}_1=d{\mathbf{r}}_0/ds$ — единичный вектор, касательный к каустике. Поскольку $d{\mathbf{e}}_1/ds={\rho }^{-1}{\mathbf{e}}_2$, где ${\rho }^{-1}-$ кривизна в соответствующей точке каустики, то, дифференцируя (7.4.80), будем иметь
$$d\mathbf{r}={\mathbf{e}}_{1}ds+{\mathbf{e}}_{1}d\sigma +\frac{\sigma }{\rho }{\mathbf{e}}_{2}ds.$$

Заменив переменные $\sigma$ и $s$ на
$$\xi =s,\eta =s+\sigma ,$$

получим
$$d\mathbf{r}={\mathbf{e}}_{1}d\eta +\frac{\eta -\xi }{\rho }{\mathbf{e}}_{2}d\xi .$$

Следовательно, имеем
\[
\begin{aligned}

abla f & =\frac{\partial f}{\partial \eta} \mathbf{e}_{1}+\frac{\rho}{\eta-\xi} \frac{\partial f}{\partial \xi} \mathbf{e}_{2}, \

abla^{2} f & =\frac{1}{\eta-\xi} \frac{\partial}{\partial \eta}\left[(\eta-\xi) \frac{\partial f}{\partial \eta}\right]+\frac{\rho}{\eta-\xi} \frac{\partial}{\partial \xi}\left[\frac{\rho}{\eta-\xi} \frac{\partial f}{\partial \xi}\right] .
\end{aligned}
\]

С помощью равенств, получаемых из (7.4.81),
$$\frac{\partial }{\partial \eta }=\frac{\partial }{\partial \sigma },\frac{\partial }{\partial \xi }=\frac{\partial }{\partial s}-\frac{\partial }{\partial \sigma }$$

можно переписать (7.4.83) и (7.4.84) в виде
\[
\begin{aligned}

abla f & =\frac{\partial f}{\partial \sigma} \mathbf{e}_{1}+\frac{\rho}{\sigma}\left(\frac{\partial f}{\partial s}-\frac{\partial f}{\partial \sigma}\right) \mathbf{e}_{2}, \

abla^{2} f & =\frac{1}{\sigma} \frac{\partial}{\partial \sigma}\left[\sigma \frac{\partial f}{\partial \sigma}\right]+\frac{\rho}{\sigma}\left(\frac{\partial}{\partial s}-\frac{\partial}{\partial \sigma}\right)\left[\frac{\rho}{\sigma}\left(\frac{\partial f}{\partial s}-\frac{\partial f}{\partial \sigma}\right)\right] .
\end{aligned}
\]

Рассмотрев частный случай $S(s,{\sigma }_0)=s+{\sigma }_0$, будем иметь
$$S(s,\sigma )=s+\sigma .$$

Эта функция является двузначной в соответствии с тем, направлен ли луч от каустики или к ней. Используя в (7.4.78) и (7.4.79) соотношения (7.4.85) и (7.4.86), получим
$$\begin{array}{c}{u}_0(s,\sigma )=u_0(s,{\sigma }_0)\sqrt{\frac{{\sigma }_0}{\sigma }},\\ u_m(s,\sigma )=u_m(s,{\sigma }_0)\sqrt{\frac{{\sigma }_0}{\sigma }}-\frac{1}{2}{\int }_{{\sigma }_0}^{\sigma }\sqrt{\frac{\tau }{\sigma }}abl{a}^2{u}_{m-1}(s,\tau )d\tau .\end{array}$$

Эти функции не ограничены при $\sigma \to 0$ (т. е. на каустике). Модифицированное разложение, пригодное всюду, включая и окрестность каустики, получено в следующем пункте.

7.4.5. Равномерное разложение на каустике

Для нахождения разложения, пригодного на каустике, мы должны в первую очередь определить размеры области неравномерности и форму решения в этой области. Положим с этой целью в (7.4.68)
$$u=\psi (\mathbf{r},k)e^{ikS(\mathbf{r})}$$

и, полагая $n(\mathbf{r})=1$, получим
$$k^2\psi [1-(ablaS{)}^2]+ik(2ablaS\cdot abla\psi +\psi abl{a}^{2}S)+abl{a}^2\psi =0.$$

Предполагая, что главным является член, пропорциональный $k^2$, получим
\[

abla S \cdot
abla S=1 \text { (уравнение эйконала), }
\]
$$\text{ ik }(2ablaS\cdot abla\psi +\psi abl{a}^{2}S)+abl{a}^2\psi =0\text{. }$$

Возьмем в качестве решения уравнения (7.4.91) функцию $S=s+\sigma$. Тогда (7.4.92) примет вид
$$\{ik(2\frac{\partial }{\partial \sigma }+\frac{1}{\sigma })+\frac{1}{\sigma }\frac{\partial }{\partial \sigma }\left(\sigma \frac{\partial }{\partial \sigma }\right)+\frac{\rho }{\sigma }(\frac{\partial }{\partial s}-\frac{\partial }{\partial \sigma })\left[\frac{\rho }{\sigma }(\frac{\partial }{\partial s}-\frac{\partial }{\partial \sigma })\right]\psi =0.$$

Чтобы выявить характер решения уравнения (7.4.93) в окрестности каустики, подвергнем это уравнение преобразованию растяжения
$$\tau =k^{\lambda }\sigma ,\lambda >0,$$

и получим
$$\begin{array}{l}i{k}^{1+\lambda }(2\frac{\partial }{\partial \tau }+\frac{1}{\tau })\psi +\\ +\{\frac{k^{2\lambda }}{\tau }\frac{\partial }{\partial \tau }\left(\tau \frac{\partial }{\partial \tau }\right)+\frac{\rho k^{2\lambda }}{\tau }(\frac{\partial }{\partial s}-k^{\lambda }\frac{\partial }{\partial \tau })\left[\frac{\rho }{\tau }(\frac{\partial }{\partial s}-k^{\lambda }\frac{\partial }{\partial \tau })\right]\psi =0.\end{array}$$

Параметр $\lambda$ определяется из требования, чтобы наибольшая степень $k$ в выражении в фигурных скобках (в том выражении, которым мы пренебрегли в главном члене прямого разложения в предыдущем пункте) была бы равна степени $k$ в первом члене (т. е. в главном члене при разложении по лучу). Это означает, что мы полагаем
$$1+\lambda =4\lambda ,\lambda =\frac{1}{3}.$$

Тогда при $k\to \mathrm{\infty }$ уравнение (7.4.94) стремится к виду
$$i(2\frac{\partial \psi }{\partial \tau }+\frac{\psi }{\tau })+\frac{{\rho }^2}{\tau }\frac{\partial }{\partial \tau }\left(\frac{1}{\tau }\frac{\partial \psi }{\partial \tau }\right)=0.$$

Полагая в нем
$$\psi =e^{-i{\tau }^3/3{\rho }^2}V(z),z=\frac{{\tau }^2}{\rho \sqrt[3]{4\rho }},$$

придем к уравнению
$$\frac{d^{2}V}{d{z}^2}+zV=0,$$

решениями которого являются функции Эйри $Ai(-z)$ и $Bi(-z)$ (см. п. 7.3.1). Если бы мы проанализировали поведение решения в окрестности границы тени, мы бы нашли, что решение должно быть выражено в функциях Вебера или функциях параболического цилиндра. Теперь мы можем либо срастить это внутреннее разложение с внешним разложением, полученным в предыдущем разделе, и с другим внешним разложением внутри каустики (Бюшал и Келлер [1960]), либо построить одно равномерно пригодное разложение по примеру разложений в задачах с точкой возврата (см. § 7.3).

Следуя Кравцову [1964a], [1964b], Людвигу [1966] и Заудеpеру [1970b], будем искать асимптотическое разложение вида $u=e^{ik\theta (\mathbf{r})}\{g(\mathbf{r},k)V[k^{2/3}\phi (\mathbf{r})]+\frac{1}{i{k}^{1/3}}h(\mathbf{r},k)V^{\prime }[k^{2/3}\phi (\mathbf{r})]\}$,
где $\theta$ и $\phi$ определяются в процессе вычислений, а $V(z)$ задается с помощью (7.4.98). Подставив (7.4.99) в (7.4.68), используя равенство $V^{\prime \prime \prime }+z{V}^{\prime }+V=0$ и приравнивая нулю коэффициенты при $V$ и $V^{\prime }$, получим
$$\begin{array}{c}-k^{2}g[\left(abla{\theta }^2\right)+\phi (abla\phi {)}^2-1]-2k^2\phi habla\theta \cdot abla\phi +ik[2abla\theta \cdot ablag+gabl{a}^2\theta +\\ +2\phi abla\phi \cdot ablah+\phi habl{a}^2\phi +h(abla\phi {)}^2]+abl{a}^{2}g=0,(7.4.100)\\ -k^{2}h[(abla\theta {)}^2+\phi (abla\phi {)}^2-1]-k^{2}gabla\theta \cdot abla\phi +ik[2abla\phi \cdot ablag+gabl{a}^2\phi +\\ +2abla\theta \cdot ablah+habl{a}^2\theta ]+abl{a}^{2}h=0.\text{ (7.4.101) }\end{array}$$

Коэффициенты при $k^2$ в (7.4.100) и (7.4.101) обращаются в нуль при условиях
\[
\begin{aligned}
(
abla \theta)^{2}+\varphi(
abla \varphi)^{2} & =1, \

abla \theta \cdot
abla \varphi & =0 .
\end{aligned}
\]

Чтобы решить получающиеся уравнения, положим в них
$$\begin{array}{l}g(\mathbf{r},k)=g_0(\mathbf{r})+k^{-1}{g}_1(\mathbf{r})+\dots ,\\ h(\mathbf{r},k)=h_0(\mathbf{r})+k^{-1}{h}_1(\mathbf{r})+\dots \end{array}$$

и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях $k^{-1}$. Уравнения первого порядка имеют вид
$$\begin{array}{rl}2abla\theta \cdot abla{g}_0+g_{0}abl{a}^2\theta +2\phi abla\phi \cdot abla{h}_0+\phi h_{0}abl{a}^2\phi +h_0(abla\phi {)}^2& =0,\\ 2abla\phi \cdot abla{g}_0+g_{0}abl{a}^2\phi +2abla\theta \cdot abla{h}_0+h_{0}abl{a}^2\theta & =0.\end{array}$$

Уравнения (7.4.102) эквивалентны уравнению эйконала (7.4.70), в то время как уравнения (7.4.104) эквивалентны уравнению переноса (7.4.71). Аналогичные уравнения получил Фаукес [1968, часть II] с помощью метода многих масштабов.

Система (7.4.102) представляет собой нелинейную систему уравнений, которая является эллиптической при $\phi <0$ (теневая

область), гиперболической при $\phi >0$ (освещенная область) и параболической при $\phi =0$ (каустическая кривая или поверхность). Для выпуклой и аналитической каустики системы (7.4.102) и (7.4.104) могут быть решены разложением величин $\theta$ и $\phi$ в степенные ряды в координатной системе, отнесенной к каустике.

Для того чтобы увидеть связь между системой (7.4.102) и уравнением эйконала (7.4.70), умножим второе уравнение в (7.4.102) на $\pm 2\sqrt{\phi }$ (мы рассматриваем освещенную область, в которой $\phi >0$ ) и результат сложим с первым из этих уравнений. Получим уравнение
$${(abla\theta \pm V^{-}abla\phi )}^2=1,$$

которое можно записать в виде
$$(ablaS{)}^2=1$$

где
$$S^{\pm }=\theta \pm \frac{2}{3}{\phi }^{3/2}.$$

Аналогичным образом, умножив второе уравнение в (7.4.104) на $\pm \sqrt{\phi }$, сложив результат с первым из этих уравнений и использовав равенство $abla\theta \cdot abla\phi =0$, получим
$$2abla{S}^{\pm }\cdot abla{\psi }^{\pm }+[abl{a}^2{S}^{\pm }\mp \frac{1}{2}{\phi }^{-1/2}(\mathrm{\Delta }\phi {)}^2]{\psi }^{\pm }=0,$$

где
$${\psi }^{\pm }=g_0\pm \sqrt{\phi }{h}_0.$$

Уравнение (7.4.107) отличается от уравнения переноса (7.4.71) только наличием члена $\pm (1/2){\phi }^{-1/2}(abla\phi {)}^2$, из-за которого коэффициент при $\psi eq$ становится ограниченным в окрестности каустики.

Заменив $V$ и $V^{\prime }$ их асимптотическими разложениями для больших значений аргумента, придем к разложению геометрической оптики, полученному в предыдущем пункте (для случая освещенной области, $\phi >0$ ). Заменив $V$ и $V^{\prime }$ их асимптотическими разложениями для больших значений аргумента в случае $\phi <0$, получим некоторое разложение в теневой области, которое может быть интерпретировано с помощью комплексных лучей, фаз и коэффициентов переноса.

Обзор работ по равномерным асимптотическим разложениям в задачах распространения волн и дифракции был дан Людвигом [1970b] и Бабичем [1970], [1971]. Роль координатных систем в приведении разложений к равномерно пригодному виду была исследована Заудерером [1970a].

Бабич [1965] получил единое равномерно пригодное разложение для задачи о точечном источнике, в то время как Авила и Келлер [1963] для нее получили сращивание трех разложений.

Заудерер [1964b], Буслаев [1964], Гримшоу [1966], Людвиг [1967], Льюис, Блайстайн и Людвиг [1967], в числе других авторов, рассматривали задачи дифракции на выпуклых телах. Дифракция на прозрачном теле была исследована Ральфом [1968].

Равномерные разложения в задаче дифракции вблизи вогнутой стороны некоторого тела (колебания типа шепчущей галереи) были получены, в числе других авторов, Кравцовым [1964b], Матковским [1966], Людвигом (1970а].

Характеристические переходные области, в которых две каустики расположены близко друг к другу, аналогичны точкам возврата второго порядка. В этих случаях в равномерные разложения входят функции Вебера или функции параболического цилиндра. Некоторые задачи указанного типа изучены Кравцовым [1965], Бабичем и Кравцовой [1967], Вайнштейном [1969] и Заудерером [1970a], [1970b].

Дифракцию на тонком экране (дифракцию Френеля) исследовали Вольф [1967], Керстен [1967], Алувалиа, Льюис и Боерсма [1968].

Области многократного перехода возникают при касательном пересечении двух или более каустик и границ тени, как, например, вблизи границ каустик (Леви и Фельзен [1967]), угловых точек на каустиках (Людвиг [1966]) и точек дифракции гладких тел (Людвиг [1967]). Задачи с переходными областями, в числе других авторов, исследовали Заудерер [1964a], [1970a], Фок [1965], Ральф [1967] и Блайстайн [1967].

7.4.6. Метод сг лаживания

Для того чтобы применить эту методику к уравнению (7.4.3) с центрированной случайной функцией $n^2(\mathbf{r})$, преобразуем сначала его в интегральное уравнение
$$u=Mg-\epsilon k^{2}M\chi u.$$

Здесь оператор $M$ определен равенством
$$Mg={\int }_{V}g\left({\mathbf{r}}_0\right)G_0(\mathbf{r};{\mathbf{r}}_0)d{\mathbf{r}}_0,$$

где $G_0$-функция Грина свободного пространства. Фриш [1968] показал, что многие другие линейные уравнения математической физики, такие, как уравнение Лиувилля для системы взаимодействующих классических частиц, уравнение Хопфа в теории турбулентности и уравнение Фоккера-Планка, могут быть сведены к интегральному уравнению вида (7.4.109).

Вообще говоря, для нас представляет интерес не сама функция $u$, а ее проекция $Pu$ на некоторое подпространство исходного пространства, на котором определена функция $u$. Например, в задаче распространения волн в случайной среде можно считать $Pu=⟨u⟩$, а в случае $N$ взаимодействующих частиц проекция $Pu$ представляет собой функцию распределения скоростей для системы $N$ частиц, полученную интегрированием $u$ по всем пространственным координатам. Введем обозначение
$$Pu=u_c,u_i=(I-P)u.$$

В задачах распрсстранения волн в случайных средах $u_c$ представляет собой когерентную составляющую поля (среднее значение), в то время как $u_i$ представляет собой некогерентную составляющую (флуктуирующую составляющую). Для детерминированной функции $g$ и центрированной случайной функции $\chi$ имеем
$$Pg=g,PM=MP,P_{\chi }P=0.$$

Действуя оператором $P$ на (7.4.109) слева, получим
$$u_c=Mg-\epsilon k^{2}MP\chi (Pu+u_i)=Mg-\epsilon k^{2}MP\chi u_i.$$

Действуя опять-таки на (7.4.109) оператором $I-P$ слева, получим
$$\begin{array}{c}{u}_i=-\epsilon k^{2}M(I-P)\chi (u_c+u_i)=\\ =-\epsilon k^{2}M(I-P)\chi u_c-\epsilon k^{2}M(I-P)\chi u_i.\end{array}$$

Применив для решения (7.4.114) формально метод последовательных приближений, получим следующую зависимость $u_i$ от $u_c$ :
$$u_i=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{[-\epsilon k^{2}M(I-P)\chi ]}^n{u}_c.$$

Подставив это выражение для $u_i$ в (7.4.113), будем иметь
$$u_c=Mg-\left\{\epsilon k^{2}MP\chi \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{[-\epsilon k^{2}M(I-P)\chi ]}^n\right\}{u}_c.$$

Поскольку $u_c=P{u}_c$, то это уравнение можно записать в виде
$$u_c=Mg+MQ{u}_c\text{, }$$

где
$$Q=-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\epsilon k^2{P}_{\chi }{[-\epsilon k^{2}M(I-P)\chi ]}^{n}P.$$

Для случайных операторов уравнение (7.4.116) представляет собой в точности уравнение Дайсона (7.4.49), в котором $Q$ массовый оператор.

Фриш [1968] назвал эту методику методом сглаживания, поскольку она является как бы аналогом метода усреднения (гл. 5), в котором зависимые переменные состоят из медленных и быстропериодических слагаемых. Для стохастических уравнений эту методику впервые ввели Примас [1961], Эрнст и Примас [1963], Татарский и Герценштейн [1963]. Цванциг [1964] применил ее для уравнения Лиувилля.

Сглаживание первого порядка задается соотношением (7.4.116), в котором использован один член выражения (7.4.117), т. е. задается равенством
$$Q={\epsilon }^2{k}^{4}P\chi M(I-P)\chi P={\epsilon }^2{k}^{4}P\chi M\chi P.$$

Следовательно,
$$u_c=Mg+{\epsilon }^2{k}^{\mathbf{4}}M{P}_{\chi }M\chi P{u}_c.$$

Это уравнение совпадает с уравнением Буре (7.4.54) для линейных случайных сред и с уравнением Ландау для задачи Лиувилля (см., например, Пригожин [1962]). Для линейных случайных сред это первое приближение получили также Келлер [1962] и Кубо [1963].

Упражнения

7.1. Определить для больших значений $x$ асимптотические разложения решений уравнений
(a) $y^{\prime \prime }-(1+\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2})y=0$
(б) $y^{\prime \prime }-(4x^2+1+\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2})y=0$,
(B) $x^2{y}^{\prime \prime }+x{y}^{\prime }+(x^2-n^2)y=0$,
(г) $y^{\prime \prime }+(1+\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2})y=0$,
(д) $y^{\prime \prime }+x{y}^{\prime }+y=0$.

7.2. Определить для больших значений $x$ асимптотические разложения решений уравнений
(a) $y^{\prime \prime }\pm (\frac{1}{4x}+\frac{2}{x^2})y=0$
(6) $y^{\prime \prime }\pm (\frac{9}{4}x+1)y=0$,
(в) $y^{\prime \prime }+x{y}^{\prime }+\frac{25}{4}{x}^{3}y=0$,
(r) $y^{\prime \prime }+x^{-1/3}{y}^{\prime }+x^{-2}y=0$.

7.3. Рассмотреть уравнение
$$y^{\prime \prime }-{\lambda }^2{x}^{-2}y=0.$$
(a) Показать, что точное решение имеет вид
$$y=a{x}^{m_1}+b{x}^{m_2}$$

где $m_1,2=1/2\pm \sqrt{{\lambda }^2+1/4}$.
(6) Определить первое приближение ВКБ.
(в) Сравнить это приближение с точным решением (Джеффрис, [1962]).

7.4. Определить первое приближение для больших $\lambda$ в задаче на собственные значения
$$\begin{array}{c}{u}^{\prime \prime }+{\lambda }^{2}f(x)u=0,f(x)>0,\\ u(0)=u(1)=0.\end{array}$$

7.5. Рассмотреть уравнение
$$u^{\prime \prime }+[f(x)+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\epsilon }^{n_{g_n}(x)}]u=0.$$

Положить
$$u=w(x)e^{\phi (x,\epsilon )},\phi =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\epsilon }^n{\phi }_n(x),$$
где
$$w^{\prime \prime }+f(x)w=0.$$
Определить уравнение для $\phi$ и затем найти ${\phi }_n$ (Брулл и Соулер [1966]).

7.6. Определить равномерное асимптотическое разложение для решения уравнения
$$\ddot{u}+{\omega }^2(\epsilon t)u=f(\epsilon t),$$
где $\epsilon$-малый параметр, а $f$-ограниченная непериодическая функция $t$.

7.7. Рассмотреть уравнение
$$\ddot{u}+{\omega }^2(\epsilon t)u=k\cos \phi ,$$
в котором $\phi =\lambda (\epsilon t)$. Определить равномерные асимптотические разложения для случаев: (а) значения $\lambda$ не близки к $\omega$; (б) при некотором $t=t_0>0$ имеет место $\lambda =\omega$ (Кеворкян [1971]).

7.8. Рассмотреть уравнение
$$\ddot{u}-i[{\omega }_1(\epsilon t)+{\omega }_2(\epsilon t)]\dot{u}-{\omega }_1(\epsilon t){\omega }_2(\epsilon t)u=f(\epsilon t),$$
где точки над буквой означают дифференцирование по $t$, а $\epsilon$-малый параметр. Определить равномерные асимптотические приближения к решениям этого уравнения для случаев: (a) $f(\epsilon t)=0$; (б) $f(\epsilon t)$-ограниченная непериодическая функция $t$; (в) $f(\epsilon t)=k\exp (i\phi )$, причем $\phi =\lambda (\epsilon t)eq{\omega }_i$; (г) функция $f(\epsilon t)$ имеет тот же вид, что и в пункте (в), но при некотором $t=t_0$ имеет место $\lambda ={\omega }_1$.

7.9. Определить равномерное асимптотическое разложение общего решения уравнения
$${\epsilon }^2{y}^{\prime \prime }+\epsilon (2x+1)y^{\prime }+2xy=0,0⩽x⩽1.$$

7.10. Функции Бесселя $J_n(nx),Y_n(nx)$ и $H_n^{(1,2)}(nx)$ являются решениями дифференциального уравнения
$$x^2{y}^{\prime \prime }+x{y}^{\prime }+n^2(x^2-1)y=0.$$
Определить равномерное асимптотическое разложение для общего решения этого уравнения при больших $n$.

7.11. Определить равномерные асимптотические разложения решений уравнения
$$y^{\prime \prime }+\frac{x(1+x)-\epsilon \alpha }{(1+x{)}^2}y=0,-1<x<\mathrm{\infty },$$
при малом $\epsilon$ и $\alpha$-постоянном.

7.12. Рассмотреть задачу Гретца о теплопроводности в трубе
$$\begin{array}{c}{u}^{\prime \prime }+{\lambda }^2(1-x^2)f(x)u=0,\\ u(1)=u(-1)=0,\end{array}$$
в которой $\lambda \gg 1$ и $f(x)=f(-x)>0$. Определить первое приближение к $\lambda$ и к собственным функциям, используя: (a) метод сращивания асимптотических разложений (Селлерс, Трибус и Клейн [1956]); (б) метод многих масштабов или преобразование Лангера (Найфэ [1965b]).

7.13. Дано, что $f(x)>0$ и $\lambda \gg 1$. Определить первые приближения в следующих задачах на собственные значения:
(a) $y^{\prime \prime }+{\lambda }^2(1-x)f(x)y=0$,
$$y(0)=0,y(\mathrm{\infty })<\mathrm{\infty }\text{; }$$
(б) $x{y}^{\prime \prime }+y^{\prime }+{\lambda }^{2}xf(x)y=0$,
$$y(1)=0,y(0)<\mathrm{\infty };$$
(в) $y^n+{\lambda }^2(1-x{)}^{n}f(x)y=0,n$-натуральное число,
$$y(0)=0,y(\mathrm{\infty })<\mathrm{\infty };$$
(г) $x{y}^{\prime \prime }+y^{\prime }+{\lambda }^2{x}^{n}f(x)y=0,n$ — натуральное число,
$$y(1)=0,y(0)<\mathrm{\infty };$$
(д) $y^{\prime \prime }+{\lambda }^2(x-1{)}^n(2-x{)}^{m}f(x)y=0,m$ и $n$-натуральные числа,
$$y<\mathrm{\infty }\text{ для всех }x.$$

7.14. Рассмотреть задачу Гретца о теплопроводности в трубе
$$\begin{array}{c}r{u}^{\prime \prime }+u^{\prime }+{\lambda }^{2}r(1-r^2)f(r)u=0,\\ u(1)=0,u(0)<\mathrm{\infty },\end{array}$$
для случая, когда $\lambda \gg 1$ и $f(r)>0$. (а) Определить разложение, пригодное вдали от точек $r=0$ и $r=1$; (б) определить разложения, пригодные к окрестности точек $r=0$ и $r=1$; (в) срастить эти три разложения, определить $\lambda$, получить равномерно пригодное составное разложение (Селлерс, Трибус и Клейн [1956]).

7.15. Вновь рассмотреть упражнение (7.14). (а) Определить с помощью преобразования Лангера разложение, пригодное вдали от точки $r=0$; (б) определить разложение, пригодное вдали от точки $r=1$, используя преобразование Олвера; (в) для нахождения $\lambda$ срастить эти два разложения; (г) получить составное равномерно пригодное разложение; (д) сравнить полученные результаты с результатами упражнения 7.14 .

7.16. Рассмотреть уравнение
$$y^{\prime \prime }-{\lambda }^2(x-1)(2-x)y=0.$$

Определить приближенное решение этого уравнения при условии, что $\lambda \gg 1$ и $y<\mathrm{\infty }$ для всех $x$.

7.17. Рассмотреть задачу
$$\begin{array}{c}{u}^{\prime \prime }+{\lambda }^2(1-x{)}^n(x-\mu {)}^{m}f(x)u=0,\\ u(1)=u(\mu )=0,\end{array}$$
в которой $\lambda \gg 1,f(x)>0$, а $n$ и $m$-натуральные числа, $\mu <1$. Определить разложения, пригодные вдали от точек $x=\mu$ и $x=1$, используя преобразование Олвера; срастив их, найти $\lambda$; построить составное разложение.

7.18. Рассмотреть задачу
$$\begin{array}{c}r{u}^{\prime \prime }+\mu u^{\prime }+\lambda r^n(1-r{)}^{m}f(r)u=0,\\ u(1)=0,u(0)<\mathrm{\infty },\end{array}$$
в которой $\lambda \gg 1,f(r)>0,\mu$-действительное число, а $n$ и $m$ — натуральные числа. Используя преобразование Олвера, определить разложения, пригодные вдали от точек $r=0$ и $r=1$; срастив их, найти $\lambda$; построить составное разложение (Найфэ [1967a]).

7.19. Дано, что $f(x)>0$ и $\lambda \gg 1$. Определить первые приближения в следующих задачах на собственные значения:
(a) $x{y}^{\prime \prime }+y^{\prime }+{\lambda }^{2}x(1-x)f(x)y=0$,
(б) $x{y}^{\prime \prime }+y^{\prime }+{\lambda }^2{x}^n(1-x{)}^{m}f(x)y=0$.
Здесь $m$ и $n$-натуральные числа, а собственные функции удовлетворяют условно $y<\mathrm{\infty }$ для $x⩾0$.

7.20. Каким способом можно определить частное решение уравнения
$$u^{\prime \prime }+{\lambda }^2{z}^{3}u={\lambda }^{2}g(z)$$

при $\lambda \gg 1$ в следующих случаях: (а) $g(0)eq0$; (б) $g(0)=0$, но $g^{\prime }(0)eq0$; (в) $g(0)=g^{\prime }(0)=0$, но $g^{\prime \prime }(0)eq0$; (г) $g(0)=g^{\prime }(0)=g^{\prime \prime }(0)=0$ ?