Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
В этом параграфе мы опишем некоторые из известных методов, с помощью которых можно определять приближенные решения задач с линейным волновым уравнением и связанных с ними эллиптических задач. При описании этих методов мы будем использовать волновое уравнение вида Положив придем к уравнению abla^{2} u+k^{2} n^{2}(\mathbf{r}) u=g(\mathbf{r}) . Здесь где При постоянном где где переменный вектор 7.4.1. Разложение Борна — Неймана и диаграммы Фейнмана Эта методика применима в случае, когда где Подставив это разложение в (7.4.3) и приравняв с учетом (7.4.7) коэффициенты при одинаковых степенях Здесь оператор Уравнения (7.4.9) и (7.4.10) могут быть последовательно решены. Для некоторого заданного где При где Член Если Усредненные величины сред существует масштаб корреляции где Тогда из (7.4.12) имеем или, в операторной форме, где оператор Этот ряд математики называют также рядом Неймана. K этому ряду можно прийти также, обратив соотношение (7.4.3) в интегральное уравнение и решая его методом последовательных приближений. Из (7.4.23) можно определить функцию Грина В операторной форме эта функция будет иметь вид Этот ряд был представлен Фришем [1968] с помощью, как он назвал, „голой“ диаграммы. При этом он использовал следующие условные обозначения: Этот ряд физически интерпретируется с помощью многократного рассеяния. Член с номером в виде следующего ряда двойных „голых“ диаграмм: Здесь каждая двойная диаграмма соответствует тензорному произведению оператора, представляемого верхней линией, на опе- ратор, комплексно сопряженный оператору, представляемому нижней линией. Если В этом диаграммном ряде использованы следующие условные обозначения: а интегрирование следует проводить по всем промежуточным точкам. Так, имеем Аналогично, ковариацию Здесь имеем, например, В случае гауссовской случайной функции не обращаются в нуль только двухточечные корреляционные функции; следовательно, в (7.4.29) такие диаграммы, как 3 и 7 , а в (7.4.32) такие, как 5, исчезают. Фриш [1968] показал, что разложения, полученные в этом пункте, являются расходящимися. Более того, он показал также, что эти разложения содержат вековые члены, из-за которых пригодность этих асимптотических разложений ограничивается малыми значениями аргумента. Поскольку величина 7.4.2. Методы перенормировки Чтобы проиллюстрировать природу неравномерности, которая может возникнуть в разложении Борна (Неймана), и наметить пути ее устранения, рассмотрим простой пример где Уходящие волны задаются точным соотношением Однако разложение Борна, полученное для (7.4.34), имеет вид Очевидно, что это разложение пригодно только для коротких расстояний и нарушается, когда значения
Эта сумма равна Это разложение нарушается при Чтобы получить решение, пригодное для многих слоев, он придал этому разложению вид экспоненты, т. е. записал его в виде Таким способом он эффективно вычислил сумму Чтобы расширить область равномерной пригодности двучленного разложения Борна Если для где Метод перенормировки широко применялся также при изучении распространения волн в случайных средах (см., например, Татарский [1959, глава 6]; Келлер [1962]; Қарал и Келлер [1964]). Итак, чтобы расширить область равномерной пригодности разложения для Следовательно, первая перенормировка дает где Бурре [1962a], [1962b], Фуруцу [1963], Татарский [1964] и Фриш [1965] использовали диаграммный метод суммирования для нахождения уравнений перенормировки произвольного порядка. Татарский [1964] расположил диаграммы для ных уравнений с двумя ядрами, имеющими бесконечное число членов. Для случая, когда показатель преломления является центрированной гауссовской величиной, диаграммное разложение для Для получения интегрального уравнения для может быть записана в виде произведения следующих пяти диаграмм: , Все несвязные диаграммы, состоящие из двух связных диаграмм, встречаются в сумме диаграмм вида или в аналитическом виде Аналогичное уравнение, введенное впервые Дайсоном [1949], широко использовалось в квантовой электродинамике, квантовой теории поля и в задаче многих тел. Если функция коль скоро Разрешая уравнение (7.4.50) относительно Таким образом, при известном так же трудно найти, как и выражение для или, в аналитическом виде, Это уравнение, называемое первым уравнением перенормировки, в диаграммном виде было введено в рассмотрение Бурре [1962a], [1962b]. Следует отметить, что уравнения (7.4.49) и (7.4.54) не могут быть решены методом итераций, поскольку это привело бы к появлению вековых членов. Варватсис и Сансер [1971] получили приближенное решение уравнения (7.4.54) в виде где Это решение равным образом годно как для однородных, так и для неоднородных сред. Мы пришли бы к этому же решению, записав выражение С помощью диаграммной техники Татарский [1964] и Фриш [1968] получили следующее уравнение Бете-Салпетера для случая, когда показатель преломления является гауссовским центрированным процессом или имеет общий вид имеем Впервые это уравнение было введено Салпетером и Бете [1951] при рассмотрении релятивистских задач со связанным состоянием. 7.4.3. Метод Рытова abla^{2} u+k^{2}[1+\varepsilon \chi(\mathbf{r})] u=0 положим, следуя Рытову [1937] (см. также Татарский [1959, стр. 121-128]; Чернов [1960, стр. 58-67]), и преобразуем (7.4.59) к виду abla^{2} \psi+ Предположим теперь, что Подставив (7.4.62) в (7.4.61) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях abla^{2} \psi_{0}+ abla^{2} \psi_{1}+2 abla^{2} \psi_{n}+\sum_{m=0}^{n} Эти уравнения могут быть решены последовательно. Получающееся при этом разложение в точности соответствует разложению Борна разлагая экспоненту при малых Таким образом, разложение Рытова представляет собой результат перенормировки разложения Борна и, следовательно, должно иметь более широкую область равномерной пригодности, чем разложение Борна. Однако этот вывод представляется спорным (Хафнагель и Стэнли [1964]; де Вольф [1965], [1967]; Браун [1966], [1967], Фрид [1967]; Хайдбредер [1967]; Тейлор [1967]; Стробен [1968]; Сансер и Варватсис [1969], [1970]). Целью нашего рассмотрения является получение асимптотического решения уравнения abla^{2} u+k^{2} n^{2}(\mathbf{r}) u=0 для больших волновых чисел Подставляя (7.4.69) в (7.4.68) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях abla S \cdot Уравнение (7.4.70) может быть решено методом характеристик, т. е. с помощью уравнений где Тогда решение второго уравнения в (7.4.73) имеет вид где Вдоль лучей уравнение (7.4.71) принимает вид Решением этого уравнения является функция Аналогично, решением уравнения (7.4.72) будет функция где Для того чтобы показать, что разложение этого пункта нарушается на каустике или в ее окрестности, рассмотрим частный случай в координатной системе, отнесенной к каустике, которую будем предполагать гладкой и выпуклой. На рис. 7.1 изображена точка Для двумерного случая обозначим через где Заменив переменные получим Следовательно, имеем abla f & =\frac{\partial f}{\partial \eta} \mathbf{e}_{1}+\frac{\rho}{\eta-\xi} \frac{\partial f}{\partial \xi} \mathbf{e}_{2}, \ abla^{2} f & =\frac{1}{\eta-\xi} \frac{\partial}{\partial \eta}\left[(\eta-\xi) \frac{\partial f}{\partial \eta}\right]+\frac{\rho}{\eta-\xi} \frac{\partial}{\partial \xi}\left[\frac{\rho}{\eta-\xi} \frac{\partial f}{\partial \xi}\right] . С помощью равенств, получаемых из (7.4.81), можно переписать (7.4.83) и (7.4.84) в виде abla f & =\frac{\partial f}{\partial \sigma} \mathbf{e}_{1}+\frac{\rho}{\sigma}\left(\frac{\partial f}{\partial s}-\frac{\partial f}{\partial \sigma}\right) \mathbf{e}_{2}, \ abla^{2} f & =\frac{1}{\sigma} \frac{\partial}{\partial \sigma}\left[\sigma \frac{\partial f}{\partial \sigma}\right]+\frac{\rho}{\sigma}\left(\frac{\partial}{\partial s}-\frac{\partial}{\partial \sigma}\right)\left[\frac{\rho}{\sigma}\left(\frac{\partial f}{\partial s}-\frac{\partial f}{\partial \sigma}\right)\right] . Рассмотрев частный случай Эта функция является двузначной в соответствии с тем, направлен ли луч от каустики или к ней. Используя в (7.4.78) и (7.4.79) соотношения (7.4.85) и (7.4.86), получим Эти функции не ограничены при 7.4.5. Равномерное разложение на каустике Для нахождения разложения, пригодного на каустике, мы должны в первую очередь определить размеры области неравномерности и форму решения в этой области. Положим с этой целью в (7.4.68) и, полагая Предполагая, что главным является член, пропорциональный abla S \cdot Возьмем в качестве решения уравнения (7.4.91) функцию Чтобы выявить характер решения уравнения (7.4.93) в окрестности каустики, подвергнем это уравнение преобразованию растяжения и получим Параметр Тогда при Полагая в нем придем к уравнению решениями которого являются функции Эйри Следуя Кравцову [1964a], [1964b], Людвигу [1966] и Заудеpеру [1970b], будем искать асимптотическое разложение вида Коэффициенты при abla \theta \cdot Чтобы решить получающиеся уравнения, положим в них и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях Уравнения (7.4.102) эквивалентны уравнению эйконала (7.4.70), в то время как уравнения (7.4.104) эквивалентны уравнению переноса (7.4.71). Аналогичные уравнения получил Фаукес [1968, часть II] с помощью метода многих масштабов. Система (7.4.102) представляет собой нелинейную систему уравнений, которая является эллиптической при область), гиперболической при Для того чтобы увидеть связь между системой (7.4.102) и уравнением эйконала (7.4.70), умножим второе уравнение в (7.4.102) на которое можно записать в виде где Аналогичным образом, умножив второе уравнение в (7.4.104) на где Уравнение (7.4.107) отличается от уравнения переноса (7.4.71) только наличием члена Заменив Обзор работ по равномерным асимптотическим разложениям в задачах распространения волн и дифракции был дан Людвигом [1970b] и Бабичем [1970], [1971]. Роль координатных систем в приведении разложений к равномерно пригодному виду была исследована Заудерером [1970a]. Бабич [1965] получил единое равномерно пригодное разложение для задачи о точечном источнике, в то время как Авила и Келлер [1963] для нее получили сращивание трех разложений. Заудерер [1964b], Буслаев [1964], Гримшоу [1966], Людвиг [1967], Льюис, Блайстайн и Людвиг [1967], в числе других авторов, рассматривали задачи дифракции на выпуклых телах. Дифракция на прозрачном теле была исследована Ральфом [1968]. Равномерные разложения в задаче дифракции вблизи вогнутой стороны некоторого тела (колебания типа шепчущей галереи) были получены, в числе других авторов, Кравцовым [1964b], Матковским [1966], Людвигом (1970а]. Характеристические переходные области, в которых две каустики расположены близко друг к другу, аналогичны точкам возврата второго порядка. В этих случаях в равномерные разложения входят функции Вебера или функции параболического цилиндра. Некоторые задачи указанного типа изучены Кравцовым [1965], Бабичем и Кравцовой [1967], Вайнштейном [1969] и Заудерером [1970a], [1970b]. Дифракцию на тонком экране (дифракцию Френеля) исследовали Вольф [1967], Керстен [1967], Алувалиа, Льюис и Боерсма [1968]. Области многократного перехода возникают при касательном пересечении двух или более каустик и границ тени, как, например, вблизи границ каустик (Леви и Фельзен [1967]), угловых точек на каустиках (Людвиг [1966]) и точек дифракции гладких тел (Людвиг [1967]). Задачи с переходными областями, в числе других авторов, исследовали Заудерер [1964a], [1970a], Фок [1965], Ральф [1967] и Блайстайн [1967]. 7.4.6. Метод сг лаживания Для того чтобы применить эту методику к уравнению (7.4.3) с центрированной случайной функцией Здесь оператор где Вообще говоря, для нас представляет интерес не сама функция В задачах распрсстранения волн в случайных средах Действуя оператором Действуя опять-таки на (7.4.109) оператором Применив для решения (7.4.114) формально метод последовательных приближений, получим следующую зависимость Подставив это выражение для Поскольку где Для случайных операторов уравнение (7.4.116) представляет собой в точности уравнение Дайсона (7.4.49), в котором Фриш [1968] назвал эту методику методом сглаживания, поскольку она является как бы аналогом метода усреднения (гл. 5), в котором зависимые переменные состоят из медленных и быстропериодических слагаемых. Для стохастических уравнений эту методику впервые ввели Примас [1961], Эрнст и Примас [1963], Татарский и Герценштейн [1963]. Цванциг [1964] применил ее для уравнения Лиувилля. Сглаживание первого порядка задается соотношением (7.4.116), в котором использован один член выражения (7.4.117), т. е. задается равенством Следовательно, Это уравнение совпадает с уравнением Буре (7.4.54) для линейных случайных сред и с уравнением Ландау для задачи Лиувилля (см., например, Пригожин [1962]). Для линейных случайных сред это первое приближение получили также Келлер [1962] и Кубо [1963]. Упражнения 7.1. Определить для больших значений 7.2. Определить для больших значений 7.3. Рассмотреть уравнение где 7.4. Определить первое приближение для больших 7.5. Рассмотреть уравнение Положить 7.6. Определить равномерное асимптотическое разложение для решения уравнения 7.7. Рассмотреть уравнение 7.8. Рассмотреть уравнение 7.9. Определить равномерное асимптотическое разложение общего решения уравнения 7.10. Функции Бесселя 7.11. Определить равномерные асимптотические разложения решений уравнения 7.12. Рассмотреть задачу Гретца о теплопроводности в трубе 7.13. Дано, что 7.14. Рассмотреть задачу Гретца о теплопроводности в трубе 7.15. Вновь рассмотреть упражнение (7.14). (а) Определить с помощью преобразования Лангера разложение, пригодное вдали от точки 7.16. Рассмотреть уравнение Определить приближенное решение этого уравнения при условии, что 7.17. Рассмотреть задачу 7.18. Рассмотреть задачу 7.19. Дано, что 7.20. Каким способом можно определить частное решение уравнения при
|
1 |
Оглавление
|