Чтобы проиллюстрировать трудность, связанную с наличием малого параметра при старшей производной, рассмотрим следующий пример (Латта [1964]):
\[
\begin{array}{c}
\varepsilon y^{\prime \prime}+y^{\prime}+y=0, \quad 0 \leqslant x \leqslant 1, \\
y(0)=a, \quad y(1)=b .
\end{array}
\]

Здесь $\varepsilon$-малое положительное число. Будем искать сначала пря:мое разложение вида
\[
y=\sum_{n=0}^{\infty} \varepsilon^{n} y_{n}(x), \quad \varepsilon \ll 1 .
\]
Подстановка в (2.2.1) и приравнивание коэффициентов при равных степенях $\varepsilon$ приводит к уравнениям
\[
\begin{array}{l}
y_{0}^{\prime}+y_{0}=0, \\
y_{n}^{\prime}+y_{n}=-y_{n-1}^{\prime} .
\end{array}
\]

Нетрудно видеть, что для приближения порядка $n$ величину $y_{n-1}$ можно считать известной, и, следовательно, $y_{n}$ для любого $n$ задается дифференциальным уравнением первого порядка. Отсюда следует, что решения уравнений (2.2.4) и (2.2.5) не могут удовлетворить обоим граничным условиям (2.2.2), и одно из них должно быть опущено. В п. 4.1.2 показано, что должно быть опущено граничное условие в нуле. Решив уравнения для первых двух слагаемых и наложив граничное условие $y(1)=b$, получим
\[
y=b e^{1-x}+\varepsilon b e^{1-x}(1-x)+O\left(\varepsilon^{2}\right) .
\]

Значение в нуле $y=b e(1+\varepsilon)$, вообще говоря, отличается от $a$ из (2.2.2). Следовательно, погрешность в (2.2.3) не является равномерной на $[0,1]$ и разложение вблизи нуля нарушается.

Для понимания природы неравномерности обратимся, далее, к точному решению уравнения (2.2.1) с условиями (2.2.2):
\[
y=\frac{\left(a e^{s_{2}}-b\right) e^{s_{1} x}+\left(b-a e^{s_{1}}\right) e^{s_{2} x}}{e^{s_{2}-e^{s_{1}}}},
\]

где
\[
s_{1,2}=\frac{-1 \pm \sqrt{1-4 \varepsilon}}{2 \varepsilon} .
\]

Можно показать, что предел при фиксированном $x$
\[
\lim _{\varepsilon \rightarrow 0} y(x, \varepsilon)=b e^{1-x}
\]

соответствует первому члену в (2.2.6) и удовлетворяет граничному условию $y(1)=b$. Чтобы понять, что же происходит в граничной точке $x=0$, вычислим $y$, используя (2.2.7), с точностью порядка $\varepsilon$, обозначив эту величину через $\tilde{y}$. При $\varepsilon \rightarrow 0$ имеем
\[
s_{1}=-1+O(\varepsilon), \quad s_{2}=-\frac{1}{\varepsilon}+1+O(\varepsilon) .
\]

Следовательно,
\[
\tilde{y}=b e^{1-x}+(a-b e) e^{-(x / \varepsilon)+x}+O(\varepsilon) .
\]

В проведенных выше вычислениях член, пропорциональный $\exp [-(x / \varepsilon)+x]$, был учтен, поскольку оценка проводится

не только для случая $\varepsilon \rightarrow 0$, но также и для случая $x \rightarrow 0$. По способу построения (2.2.11) можно сделать вывод, что порядок погрешности равномерен на $[0,1]$. На рис. 2.3 схематически показано поведение $\tilde{y}$ и первого слагаемого из (2.2.6), которое будем обозначать $\hat{y}$. Видно, что $\tilde{y}$ согласуется с $\hat{y}$ всюду, за исключением малой окрестности нуля, в которой $\tilde{y}$ быстро меняется, чтобы удовлетворить граничному условию. Таким обра-
Рис. 2.3.

зом, функция $y(x ; \varepsilon)$ является непрерывной при $\varepsilon>0$ и при $\varepsilon=0$ терпит разрыв. В само: деле, справедливы соотношения
\[
\begin{array}{l}
\lim _{\varepsilon \rightarrow 0} \lim _{x \rightarrow 0} y(x ; \varepsilon)=a, \\
\lim _{x \rightarrow 0} \lim _{\varepsilon \rightarrow 0} y(x ; \varepsilon)=b e,
\end{array}
\]

которые показывают, что точное решение $y(x ; \varepsilon)$ сходится к $\hat{y}$ (первое слагаемое в (2.2.6)) неравномерно.

2.2.2. Обтекание тела при больших числах Рейнольдса

Рассмотрим двумерное вязкое несжимаемое обтекание тела поступательным потоком, показанного на рис. 2.1. Полная система уравнений Навье-Стокса для установившегося течения

определяет следующее уравнение для функции тока $\psi\left(u=\psi_{y}\right.$, $v=-\psi_{x} ; u$ и $v$-компоненты скорости по осям $x$ и $y$ ):
\[
\left(\psi_{y} \frac{\partial}{\partial x}-\psi_{x} \frac{\partial}{\partial y}-\frac{1}{R}
abla^{2}\right)
abla^{2} \psi=0 .
\]

Здесь $R=U L / v$ — число Рейнольдса, $v$-кинематическая вязкость жидкости. Уравнение (2.2.14) нужно дополнить граничными условиями. На поверхности тела, $y=F(x)$, обращаются в нуль обе компоненты скорости; таким образом,
\[
\begin{aligned}
F^{\prime} \psi_{y}[x, F(x)]+\psi_{x}[x, F(x)] & =0, \\
\psi[x, F(x)] & =0 .
\end{aligned}
\]

Второе условие означает обращение в нуль касательной к телу составляющей скорости (так называемое условие прилипания), в то время как первое условие означает обращение в нуль нормальной составляющей скорости. Третье условие имеет вид
\[
\psi(x, y) \rightarrow y \text { (на бесконечности вверх по течению). }
\]

Пытаясь построить прямое разложение вида
\[
\psi(x, y ; R)=\sum_{m=0}^{\infty} \delta_{m}(R) \psi_{m}(x, y) \text { при } R \rightarrow \infty,
\]

где
\[
\delta_{0}(R)=1, \quad \delta_{m}(R)=o\left[\delta_{m-1}(R)\right] \quad \text { при } \quad R \rightarrow \infty,
\]

мы получим следующее уравнение для первого слагаемого (невязкое течение):
\[
\left(\psi_{0 y} \frac{\partial}{\partial x}-\psi_{0 x} \frac{\partial}{\partial y}\right)
abla^{2} \psi_{0}=0 .
\]

Это уравнение является дифференциальным уравнением не четвертого, а третьего порядка. Поэтому $\psi_{0}$ не может удовлетворить всем граничным условиям (2.2.15) и условию (2.2.17); одно из них следует опустить. Поскольку при невязком течении возможно скольжение по телу, опустить следует граничное условие (2.2.16). Поэтому полученное решение для $\psi_{0}$ является при $R \rightarrow \infty$ очень хорошим приближением точного решения вдали от тела и становится несостоятельным вблизи тела. Касательная составляющая скорости должна обратиться в нуль на поверхности независимо от того, сколь мала вязкость (сколь велико число $R$ ). По этой причине при больших $R$ точное решение близко к $\psi_{0}$ всюду, за исключением тонкого слоя около тела, в котором оно претерпевает быстрое изменение, чтобы восстановить условие прилипания. Этот тонкий слой и есть пограничный слой Прандтля.

2.2.3. Релаксационные колебания

Следующей задачей, которую мы рассмотрим, будет задача об отыскании периодических решений для уравнений вида
\[
\varepsilon u^{\prime \prime}=f\left(u^{\prime}, u\right)
\]

при малом $\varepsilon$ и при условии, что уравнение $f\left(u^{\prime}, u\right)=0$ периодических решений не имеет. Впервые к задачам такого рода обратился Ван-дер-Поль [1927], пытаясь объяснить колебания со
Рис. 2.4.

срывами (релаксационные колебания) в электрической цепи. Эти колебания описываются следующим уравнением, которое называют теперь уравнением Ван-дер-Поля:
\[
u^{\prime \prime}+u=\alpha\left(u^{\prime}-\frac{1}{3} u^{\prime 3}\right) .
\]

Положив $v=u^{\prime}, x=u / \alpha$ и $\varepsilon=\alpha^{-2}$, приведем (2.2.21) к виду
\[
\varepsilon \frac{d v}{d x}=\frac{v-\frac{v^{3}}{3}-x}{v} .
\]

При $\varepsilon=0$ имеем уравнение $x=v-\left(v^{3} / 3\right)$, которое определяет кривую, показанную на рис. 2.4. Предположим, что $\varepsilon$ очень мало, но отлично от нуля, и рассмотрим интегральную кривую, начинающуюся в точке $P$. Поскольку точка $P$ находится вдали от кривой Г, то вплоть до точки $P_{1}$, в которой интегральная кри-

вая достигает кривой $\Gamma$, величина $d v / d x$ равна приближенно $-\infty$. В точке $P_{1}$ имеем $d v / d x=0$.

Поскольку вдали от кривой $\Gamma$ величина $d v / d x$ равна приближенно $\pm \infty$, то интегральная кривая стремится отслеживать кривую $\Gamma$, не отходя от нее, до тех пор пока не достигнет окрестности точки $P_{2}$. В этой точке интегральная кривая сворачивает почти вертикально вверх до пересечения с кривой $\Gamma$ в точке $P_{3}$. Поскольку вдали от кривой $\Gamma$ имеем $d v / d x \approx \pm \infty$, то интегральная кривая отслеживает по часовой стрелке кривую $\Gamma$, оставаясь над ней до некоторой окрестности точки $P_{4}$, где она почти вертикально поворачивает вниз до пересечения с кривой $\Gamma$ в точке $P_{5}$. Затем она отслеживает путь от $P_{5}$ до $P_{2}$. Поэтому предел периодического решения при $\varepsilon \rightarrow 0$ состоит из дуг $P_{5} P_{2}$ и $P_{3} P_{4}$ кривой $\Gamma$ и двух вертикальных отрезков $P_{4} P_{5}$ и $P_{2} P_{3}$. Таким

Рис. 2.5. На верхнем рисункевид недеформированной пластины сверху; на нижнем рисунке-деформированное состояние. образом, предельное решение при $\varepsilon \rightarrow 0$ удовлетворяет уравнению $f\left(u^{\prime}, u\right)=0$ всюду, за исключением некоторых точек, в которых функция $v=u^{\prime}$ имеет скачкообразный разрыв.

2.2.4. Несимметричный изгиб предварительно напряженных кольцевых пластин
Последним примером рассматриваемого класса является несимметричный изгиб предварительно напряженной кольцевой пластины, исследованный Альцхаймером и Дэвисом [1968]. Наружная кромка пластины жестко заделана, отверстие кольца содержит твердое включение (показано на рис. 2.5). К твердому включению приложен момент, который стремится повернуть его вокруг диаметра и вывести из плоскости пластины. Для тонкой кольцевой пластины без поверхностного нагружения, на которую действуют силы, направленные по плоскости пластины, Тимошенко и Войновский-Кригер [1959] вывели следующее уравнение относительно поперечного смещения $\omega$ :
\[

abla^{4} \omega=\frac{r_{1}^{2}}{D}\left[n_{r} \frac{\partial^{2} \omega}{\partial r^{2}}+n_{\theta}\left(\frac{1}{r} \frac{\partial \omega}{\partial r}+\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2} \omega}{\partial \theta^{2}}\right)+2 n_{r \theta} \frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{1}{r} \frac{\partial \omega}{\partial r}\right)\right] .
\]

Здесь $n_{r}, n_{\theta}$ и $n_{r \theta}$-силы в плоскости на единицу длины. В (2.2.23) полярный радиус и поперечное смещение приведены к безраз-

мерному виду и измеряются в единицах внешнего радиуса $r_{1}$ и толщины пластины $h$ соответственно. Жесткость на изгиб задается формулой $D=E h^{3} / 12\left(1-v^{2}\right)$, где $E$-модуль Юнга, $v-$ коэффициент Пуассона.

Относительно сил в плоскости пластины предположим, что они создают начальное равномерное радиальное предварительное напряжение и достаточно велики, чтобы их можно было считать постоянными величинами при последующем поперечном движении (т. е. $n_{r}=n_{\theta}$ — постоянны, $n_{r \theta}=0$ ). Таким образом, уравнение (2.2.23) сводится к виду
\[
\varepsilon^{2}
abla^{4} \omega-
abla^{2} \omega=0,
\]

где
\[
\varepsilon^{2}=\frac{D}{r_{1}^{2} n} .
\]

Пользуясь рис. 2.5, можно выписать следующие граничные условия:
\[
\begin{array}{c}
\omega=b \alpha \cos \theta, \quad \frac{\partial \omega}{\partial r}=\alpha \cos \theta \quad \text { при } \quad r=b, \\
\omega=\frac{\partial \omega}{\partial r}=0 \quad \text { при } \quad r=1 .
\end{array}
\]

Здесь $\alpha$ предполагается настолько малым, чтобы $\sin \alpha \approx \alpha$, и $b=r_{2} / r_{1}$, где $r_{2}$ — радиус твердого включения.

Граничные условия (2.2.25) и (2.2.26) подсказывают решение вида
\[
\omega=u(r) \cos \theta .
\]

Тогда будем иметь
\[
\begin{aligned}
\varepsilon^{2}\left(\frac{d^{2}}{d r^{2}}+\frac{1}{r} \frac{d}{d r}-\frac{1}{r^{2}}\right)\left(\frac{d^{2} u}{d r^{2}}+\frac{1}{r} \frac{d u}{d r}-\frac{u}{r^{2}}\right)- \\
-\left(\frac{d^{2} u}{d r^{2}}+\frac{1}{r} \frac{d u}{d r}-\frac{u}{r^{2}}\right)=0, \\
u(b)=b \alpha, \quad \frac{d u}{d r}(b)=\alpha, \\
u(1)=0, \quad \frac{d u}{d r}(1)=0 .
\end{aligned}
\]

При $\varepsilon \rightarrow 0$ уравнение (2.2.28) сводится к виду
\[
\frac{d^{2} u}{d r^{2}}+\frac{1}{r} \frac{d u}{d r}-\frac{u}{r^{2}}=0,
\]

который представляет собой уравнение второго порядка. Поэтому его решения не могут удовлетворить четырем граничным усло-

виям (2.2.29) и (2.2.30), и, следовательно, два из них должны быть опущены. Пытаясь построить прямое разложение вида
\[
u=\sum_{n=0}^{\infty} \varepsilon^{n} u_{n}(r)
\]

мы обнаружим, что каждое $u_{n}$ удовлетворяет уравнению (2.2.31). Следовательно, разложение (2.2.32) не является пригодным для всех $r$ из отрезка $[b, 1]$. В п. 4.1.5 с помошью метода сращивания асимптотических разложений получено равномерно пригодное разложение.