Главная > Методы возмущений (А.Х. Найфэ)
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

Чтобы проиллюстрировать трудность, связанную с наличием малого параметра при старшей производной, рассмотрим следующий пример (Латта [1964]):
\[
\begin{array}{c}
\varepsilon y^{\prime \prime}+y^{\prime}+y=0, \quad 0 \leqslant x \leqslant 1, \\
y(0)=a, \quad y(1)=b .
\end{array}
\]

Здесь $\varepsilon$-малое положительное число. Будем искать сначала пря:мое разложение вида
\[
y=\sum_{n=0}^{\infty} \varepsilon^{n} y_{n}(x), \quad \varepsilon \ll 1 .
\]
Подстановка в (2.2.1) и приравнивание коэффициентов при равных степенях $\varepsilon$ приводит к уравнениям
\[
\begin{array}{l}
y_{0}^{\prime}+y_{0}=0, \\
y_{n}^{\prime}+y_{n}=-y_{n-1}^{\prime} .
\end{array}
\]

Нетрудно видеть, что для приближения порядка $n$ величину $y_{n-1}$ можно считать известной, и, следовательно, $y_{n}$ для любого $n$ задается дифференциальным уравнением первого порядка. Отсюда следует, что решения уравнений (2.2.4) и (2.2.5) не могут удовлетворить обоим граничным условиям (2.2.2), и одно из них должно быть опущено. В п. 4.1.2 показано, что должно быть опущено граничное условие в нуле. Решив уравнения для первых двух слагаемых и наложив граничное условие $y(1)=b$, получим
\[
y=b e^{1-x}+\varepsilon b e^{1-x}(1-x)+O\left(\varepsilon^{2}\right) .
\]

Значение в нуле $y=b e(1+\varepsilon)$, вообще говоря, отличается от $a$ из (2.2.2). Следовательно, погрешность в (2.2.3) не является равномерной на $[0,1]$ и разложение вблизи нуля нарушается.

Для понимания природы неравномерности обратимся, далее, к точному решению уравнения (2.2.1) с условиями (2.2.2):
\[
y=\frac{\left(a e^{s_{2}}-b\right) e^{s_{1} x}+\left(b-a e^{s_{1}}\right) e^{s_{2} x}}{e^{s_{2}-e^{s_{1}}}},
\]

где
\[
s_{1,2}=\frac{-1 \pm \sqrt{1-4 \varepsilon}}{2 \varepsilon} .
\]

Можно показать, что предел при фиксированном $x$
\[
\lim _{\varepsilon \rightarrow 0} y(x, \varepsilon)=b e^{1-x}
\]

соответствует первому члену в (2.2.6) и удовлетворяет граничному условию $y(1)=b$. Чтобы понять, что же происходит в граничной точке $x=0$, вычислим $y$, используя (2.2.7), с точностью порядка $\varepsilon$, обозначив эту величину через $\tilde{y}$. При $\varepsilon \rightarrow 0$ имеем
\[
s_{1}=-1+O(\varepsilon), \quad s_{2}=-\frac{1}{\varepsilon}+1+O(\varepsilon) .
\]

Следовательно,
\[
\tilde{y}=b e^{1-x}+(a-b e) e^{-(x / \varepsilon)+x}+O(\varepsilon) .
\]

В проведенных выше вычислениях член, пропорциональный $\exp [-(x / \varepsilon)+x]$, был учтен, поскольку оценка проводится

не только для случая $\varepsilon \rightarrow 0$, но также и для случая $x \rightarrow 0$. По способу построения (2.2.11) можно сделать вывод, что порядок погрешности равномерен на $[0,1]$. На рис. 2.3 схематически показано поведение $\tilde{y}$ и первого слагаемого из (2.2.6), которое будем обозначать $\hat{y}$. Видно, что $\tilde{y}$ согласуется с $\hat{y}$ всюду, за исключением малой окрестности нуля, в которой $\tilde{y}$ быстро меняется, чтобы удовлетворить граничному условию. Таким обра-
Рис. 2.3.

зом, функция $y(x ; \varepsilon)$ является непрерывной при $\varepsilon>0$ и при $\varepsilon=0$ терпит разрыв. В само: деле, справедливы соотношения
\[
\begin{array}{l}
\lim _{\varepsilon \rightarrow 0} \lim _{x \rightarrow 0} y(x ; \varepsilon)=a, \\
\lim _{x \rightarrow 0} \lim _{\varepsilon \rightarrow 0} y(x ; \varepsilon)=b e,
\end{array}
\]

которые показывают, что точное решение $y(x ; \varepsilon)$ сходится к $\hat{y}$ (первое слагаемое в (2.2.6)) неравномерно.

2.2.2. Обтекание тела при больших числах Рейнольдса

Рассмотрим двумерное вязкое несжимаемое обтекание тела поступательным потоком, показанного на рис. 2.1. Полная система уравнений Навье-Стокса для установившегося течения

определяет следующее уравнение для функции тока $\psi\left(u=\psi_{y}\right.$, $v=-\psi_{x} ; u$ и $v$-компоненты скорости по осям $x$ и $y$ ):
\[
\left(\psi_{y} \frac{\partial}{\partial x}-\psi_{x} \frac{\partial}{\partial y}-\frac{1}{R}
abla^{2}\right)
abla^{2} \psi=0 .
\]

Здесь $R=U L / v$ – число Рейнольдса, $v$-кинематическая вязкость жидкости. Уравнение (2.2.14) нужно дополнить граничными условиями. На поверхности тела, $y=F(x)$, обращаются в нуль обе компоненты скорости; таким образом,
\[
\begin{aligned}
F^{\prime} \psi_{y}[x, F(x)]+\psi_{x}[x, F(x)] & =0, \\
\psi[x, F(x)] & =0 .
\end{aligned}
\]

Второе условие означает обращение в нуль касательной к телу составляющей скорости (так называемое условие прилипания), в то время как первое условие означает обращение в нуль нормальной составляющей скорости. Третье условие имеет вид
\[
\psi(x, y) \rightarrow y \text { (на бесконечности вверх по течению). }
\]

Пытаясь построить прямое разложение вида
\[
\psi(x, y ; R)=\sum_{m=0}^{\infty} \delta_{m}(R) \psi_{m}(x, y) \text { при } R \rightarrow \infty,
\]

где
\[
\delta_{0}(R)=1, \quad \delta_{m}(R)=o\left[\delta_{m-1}(R)\right] \quad \text { при } \quad R \rightarrow \infty,
\]

мы получим следующее уравнение для первого слагаемого (невязкое течение):
\[
\left(\psi_{0 y} \frac{\partial}{\partial x}-\psi_{0 x} \frac{\partial}{\partial y}\right)
abla^{2} \psi_{0}=0 .
\]

Это уравнение является дифференциальным уравнением не четвертого, а третьего порядка. Поэтому $\psi_{0}$ не может удовлетворить всем граничным условиям (2.2.15) и условию (2.2.17); одно из них следует опустить. Поскольку при невязком течении возможно скольжение по телу, опустить следует граничное условие (2.2.16). Поэтому полученное решение для $\psi_{0}$ является при $R \rightarrow \infty$ очень хорошим приближением точного решения вдали от тела и становится несостоятельным вблизи тела. Касательная составляющая скорости должна обратиться в нуль на поверхности независимо от того, сколь мала вязкость (сколь велико число $R$ ). По этой причине при больших $R$ точное решение близко к $\psi_{0}$ всюду, за исключением тонкого слоя около тела, в котором оно претерпевает быстрое изменение, чтобы восстановить условие прилипания. Этот тонкий слой и есть пограничный слой Прандтля.

2.2.3. Релаксационные колебания

Следующей задачей, которую мы рассмотрим, будет задача об отыскании периодических решений для уравнений вида
\[
\varepsilon u^{\prime \prime}=f\left(u^{\prime}, u\right)
\]

при малом $\varepsilon$ и при условии, что уравнение $f\left(u^{\prime}, u\right)=0$ периодических решений не имеет. Впервые к задачам такого рода обратился Ван-дер-Поль [1927], пытаясь объяснить колебания со
Рис. 2.4.

срывами (релаксационные колебания) в электрической цепи. Эти колебания описываются следующим уравнением, которое называют теперь уравнением Ван-дер-Поля:
\[
u^{\prime \prime}+u=\alpha\left(u^{\prime}-\frac{1}{3} u^{\prime 3}\right) .
\]

Положив $v=u^{\prime}, x=u / \alpha$ и $\varepsilon=\alpha^{-2}$, приведем (2.2.21) к виду
\[
\varepsilon \frac{d v}{d x}=\frac{v-\frac{v^{3}}{3}-x}{v} .
\]

При $\varepsilon=0$ имеем уравнение $x=v-\left(v^{3} / 3\right)$, которое определяет кривую, показанную на рис. 2.4. Предположим, что $\varepsilon$ очень мало, но отлично от нуля, и рассмотрим интегральную кривую, начинающуюся в точке $P$. Поскольку точка $P$ находится вдали от кривой Г, то вплоть до точки $P_{1}$, в которой интегральная кри-

вая достигает кривой $\Gamma$, величина $d v / d x$ равна приближенно $-\infty$. В точке $P_{1}$ имеем $d v / d x=0$.

Поскольку вдали от кривой $\Gamma$ величина $d v / d x$ равна приближенно $\pm \infty$, то интегральная кривая стремится отслеживать кривую $\Gamma$, не отходя от нее, до тех пор пока не достигнет окрестности точки $P_{2}$. В этой точке интегральная кривая сворачивает почти вертикально вверх до пересечения с кривой $\Gamma$ в точке $P_{3}$. Поскольку вдали от кривой $\Gamma$ имеем $d v / d x \approx \pm \infty$, то интегральная кривая отслеживает по часовой стрелке кривую $\Gamma$, оставаясь над ней до некоторой окрестности точки $P_{4}$, где она почти вертикально поворачивает вниз до пересечения с кривой $\Gamma$ в точке $P_{5}$. Затем она отслеживает путь от $P_{5}$ до $P_{2}$. Поэтому предел периодического решения при $\varepsilon \rightarrow 0$ состоит из дуг $P_{5} P_{2}$ и $P_{3} P_{4}$ кривой $\Gamma$ и двух вертикальных отрезков $P_{4} P_{5}$ и $P_{2} P_{3}$. Таким

Рис. 2.5. На верхнем рисункевид недеформированной пластины сверху; на нижнем рисунке-деформированное состояние. образом, предельное решение при $\varepsilon \rightarrow 0$ удовлетворяет уравнению $f\left(u^{\prime}, u\right)=0$ всюду, за исключением некоторых точек, в которых функция $v=u^{\prime}$ имеет скачкообразный разрыв.

2.2.4. Несимметричный изгиб предварительно напряженных кольцевых пластин
Последним примером рассматриваемого класса является несимметричный изгиб предварительно напряженной кольцевой пластины, исследованный Альцхаймером и Дэвисом [1968]. Наружная кромка пластины жестко заделана, отверстие кольца содержит твердое включение (показано на рис. 2.5). К твердому включению приложен момент, который стремится повернуть его вокруг диаметра и вывести из плоскости пластины. Для тонкой кольцевой пластины без поверхностного нагружения, на которую действуют силы, направленные по плоскости пластины, Тимошенко и Войновский-Кригер [1959] вывели следующее уравнение относительно поперечного смещения $\omega$ :
\[

abla^{4} \omega=\frac{r_{1}^{2}}{D}\left[n_{r} \frac{\partial^{2} \omega}{\partial r^{2}}+n_{\theta}\left(\frac{1}{r} \frac{\partial \omega}{\partial r}+\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2} \omega}{\partial \theta^{2}}\right)+2 n_{r \theta} \frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{1}{r} \frac{\partial \omega}{\partial r}\right)\right] .
\]

Здесь $n_{r}, n_{\theta}$ и $n_{r \theta}$-силы в плоскости на единицу длины. В (2.2.23) полярный радиус и поперечное смещение приведены к безраз-

мерному виду и измеряются в единицах внешнего радиуса $r_{1}$ и толщины пластины $h$ соответственно. Жесткость на изгиб задается формулой $D=E h^{3} / 12\left(1-v^{2}\right)$, где $E$-модуль Юнга, $v-$ коэффициент Пуассона.

Относительно сил в плоскости пластины предположим, что они создают начальное равномерное радиальное предварительное напряжение и достаточно велики, чтобы их можно было считать постоянными величинами при последующем поперечном движении (т. е. $n_{r}=n_{\theta}$ – постоянны, $n_{r \theta}=0$ ). Таким образом, уравнение (2.2.23) сводится к виду
\[
\varepsilon^{2}
abla^{4} \omega-
abla^{2} \omega=0,
\]

где
\[
\varepsilon^{2}=\frac{D}{r_{1}^{2} n} .
\]

Пользуясь рис. 2.5, можно выписать следующие граничные условия:
\[
\begin{array}{c}
\omega=b \alpha \cos \theta, \quad \frac{\partial \omega}{\partial r}=\alpha \cos \theta \quad \text { при } \quad r=b, \\
\omega=\frac{\partial \omega}{\partial r}=0 \quad \text { при } \quad r=1 .
\end{array}
\]

Здесь $\alpha$ предполагается настолько малым, чтобы $\sin \alpha \approx \alpha$, и $b=r_{2} / r_{1}$, где $r_{2}$ – радиус твердого включения.

Граничные условия (2.2.25) и (2.2.26) подсказывают решение вида
\[
\omega=u(r) \cos \theta .
\]

Тогда будем иметь
\[
\begin{aligned}
\varepsilon^{2}\left(\frac{d^{2}}{d r^{2}}+\frac{1}{r} \frac{d}{d r}-\frac{1}{r^{2}}\right)\left(\frac{d^{2} u}{d r^{2}}+\frac{1}{r} \frac{d u}{d r}-\frac{u}{r^{2}}\right)- \\
-\left(\frac{d^{2} u}{d r^{2}}+\frac{1}{r} \frac{d u}{d r}-\frac{u}{r^{2}}\right)=0, \\
u(b)=b \alpha, \quad \frac{d u}{d r}(b)=\alpha, \\
u(1)=0, \quad \frac{d u}{d r}(1)=0 .
\end{aligned}
\]

При $\varepsilon \rightarrow 0$ уравнение (2.2.28) сводится к виду
\[
\frac{d^{2} u}{d r^{2}}+\frac{1}{r} \frac{d u}{d r}-\frac{u}{r^{2}}=0,
\]

который представляет собой уравнение второго порядка. Поэтому его решения не могут удовлетворить четырем граничным усло-

виям (2.2.29) и (2.2.30), и, следовательно, два из них должны быть опущены. Пытаясь построить прямое разложение вида
\[
u=\sum_{n=0}^{\infty} \varepsilon^{n} u_{n}(r)
\]

мы обнаружим, что каждое $u_{n}$ удовлетворяет уравнению (2.2.31). Следовательно, разложение (2.2.32) не является пригодным для всех $r$ из отрезка $[b, 1]$. В п. 4.1.5 с помошью метода сращивания асимптотических разложений получено равномерно пригодное разложение.

Categories

1
Оглавление
email@scask.ru