Чтобы определить равномерно пригодное разложение для задачи
\[
\frac{d u}{d x}=F(x, u, \varepsilon), u\left(x_{0}\right)=u_{0},
\]

Темпл [1958], подобно тому, как это делал Лайтхилл, ввел новую независимую переменную $s$ и предположил, что
\[
u=u(s, \varepsilon), \quad x=x(s, \varepsilon) .
\]

Лайтхилл предполагал, что
\[
\begin{array}{c}
u=u_{0}(s)+\varepsilon u_{1}(s)+\varepsilon^{2} u_{2}(s)+\ldots, \\
x=s+\varepsilon x_{1}(s)+\varepsilon^{2} x_{2}(s)+\ldots,
\end{array}
\]

и выбирал $x_{i}$ так, чтобы оба эти разложения были равномерно пригодными. Темпл же заменил исходное уравнение двумя эквивалентными уравнениями
\[
\frac{d u}{d s}=U(x, u, s, \varepsilon), \quad \frac{d x}{d s}=X(x, u, s, \varepsilon),
\]

такими, чтобы $U$ и $X$ были регулярными по $\varepsilon$. Затем он нашел прямое возмущенное разложение для $u$ и $x$. Таким образом, метод Темпла систематическим образом определяет $x_{i}$. Аналогичный подход использовали Уизэм, Лайтхилл, Фокс, Линь и Девисон. Он обсуждался ранее в случае гиперболических уравнений, где построение равномерно пригодных разложений достигалось разложением по одному или нескольким параметрам характеристик.
В качестве примера рассмотрим задачу
\[
(x+\varepsilon y) \frac{d y}{d x}+(2+x) y=0, \quad y(1)=e^{-1} .
\]

Этот пример обсуждался Темплом. Он является частным случаем звдачи (3.2.9). Темпл заменил вышеприведенное уравнение на
\[
s \frac{d x}{d s}=x+\varepsilon y, \quad s \frac{d y}{d s}=-(2+x) y .
\]

Эти уравнения аналитичны по $\varepsilon$ и обладают следующими разложениями:
\[
\begin{array}{c}
y=s^{-2} e^{-s}\left[1-\varepsilon \int_{1}^{s} \varphi(t) d t\right]+O\left(\varepsilon^{2}\right), \\
x=s[1+\varepsilon \varphi(s)]+O\left(\varepsilon^{2}\right),
\end{array}
\]

где
\[
\varphi(s)=\int_{1}^{s} s^{-4} e^{-s} d s
\]

При $s \rightarrow 0$ имеем
\[
\begin{array}{l}
x=s-\frac{1}{3} \varepsilon s^{-2}+O\left(\varepsilon^{2} s^{-4}\right) \\
y=s^{-2}-\frac{1}{6} \varepsilon s^{-4}+O\left(\varepsilon^{2} s^{-6}\right) .
\end{array}
\]

Следовательно, при $x=0$
\[
y=\left(\frac{3}{\varepsilon}\right)^{2 / 3}+O\left(\varepsilon^{-1 / 3}\right),
\]

что согласуется с выражением (3.2.33), полученным методом Лайтхилла.