Существуют три разновидности метода многих масштабов. Мы дадим их описание на примере линейного демпфируемого осциллятора
\[
\ddot{x}+x=-2 \varepsilon \dot{x} .
\]

Этот пример мы выбрали потому, что можно, во-первых, сравнить полученное приближенное решение с точным и, во-вторых ясней продемонстрировать различные варианты метода, не прибегая к алгебраическим выкладкам.

Получим сначала прямое асимптотическое разложение для малого \&. Пусть
\[
x=x_{0}+\varepsilon x_{1}+\varepsilon^{2} x_{2}+\ldots .
\]

Подстановкой (6.1.2) в (6.1.1) и приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях $\varepsilon$ получаем
\[
\begin{array}{c}
\ddot{x}_{0}+x_{0}=0, \\
\ddot{x}_{1}+x_{1}=-2 \dot{x}_{0}, \\
\ddot{x}_{2}+x_{2}=-2 \dot{x}_{1} .
\end{array}
\]

Общее решение уравнения (6.1.3) имеет вид
\[
x_{0}=a \cos (t+\varphi) \text {, }
\]

где $a$ и $\varphi$-произвольные постоянные. Подставив $x_{0}$ в (6.1.4) и решив полученное уравнение, получим
\[
x_{1}=-a t \cos (t+\varphi) \text {. }
\]

Подставив, далее, $x_{1}$ в (6.1.5) и решив это уравнение относительно $x_{2}$, получим
\[
x_{2}=\frac{1}{2} a t^{2} \cos (t+\varphi)+\frac{1}{2} a t \sin (t+\varphi) \text {. }
\]

Следовательно,
\[
\begin{array}{l}
x=a \cos (t+\varphi)-\varepsilon a t \cos (t+\varphi)+ \\
+\frac{1}{2} \varepsilon^{2} a\left[t^{2} \cos (t+\varphi)+t \sin (t+\varphi)\right]+O\left(\varepsilon^{3}\right) .
\end{array}
\]

Очевидно, что (6.1.9) дает плохое приближение для $x$, если $t$ имеет порядок $\varepsilon^{-1}$. В этом случае второй $\left(\varepsilon x_{1}\right)$ и третий $\left(\varepsilon^{2} x_{2}\right)$ члены уже не малы по сравнению соответственно с $x_{0}$ и $\varepsilon x_{1}$ ( $x_{1}$ и $x_{2}$ содержат вековые члены), как это предполагалось при выводе полученного разложения. Таким образом, прямое разложение перестает быть справедливым, когда $t$ достигает величины $O\left(\varepsilon^{-1}\right)$. Как это обсуждалось в п. 2.1, трудность здесь заключается в том, что область определения бесконечна.

В несостоятельности прямого разложения можно убедиться, рассмотрев точное решение уравнения (6.1.1), которое имеет вид
\[
x=\alpha e^{-\varepsilon t} \cos \left[\sqrt{1-\varepsilon^{2}} t+\varphi\right] .
\]

Равенство (6.1.9) может быть получено разложением решения (6.1.10) при малом $\varepsilon$ и фиксированном $t$. Экспонента и косинус представляются в виде
\[
\begin{array}{c}
\exp (-\varepsilon t)==1-\varepsilon t+\frac{1}{2} \varepsilon^{2} t^{2}+\ldots, \\
\cos \left(\sqrt{1-\varepsilon^{2}} t+\varphi\right)=\cos (t+\varphi)+\frac{1}{2} \varepsilon^{2} t \sin (t+\varphi)+\ldots .
\end{array}
\]

Ясно, что $\exp (-\varepsilon t)$ можно аппроксимировать конечным числом членов только при условии, что $\varepsilon t$ мало. В силу малости $\varepsilon$ это означает, что $t=O$ (1). Если же $t$ имеет порядок $\varepsilon^{-1}$, то $\varepsilon t$ уже не мало, и приближение с помощью усеченного ряда оказывается неудовлетворительным. Приведенный выше усеченный ряд дает хорошее приближение только до некоторого значения $t$, после которого $\exp (-\varepsilon t)$ отличается от усеченного ряда на величину, превышающую заданный предел точности. Добавлением новых членов к усеченному ряду значение $t$ можно увеличить до некоторого нового значения $t^{\prime}$, в пределах которого новый усеченный ряд будет давать удовлетворительное приближение. Однако при $t>t^{\prime}$ разность между $\exp (-\varepsilon t)$ и новым усеченным рядом вновь превосходит заданную точность. Для того чтобы разложение $\exp (-\varepsilon t)$ оказалось удовлетворительным для всех значений $t$, следует учесть в нем все члены. Таким образом, при построении разложения, справедливого для времен порядка $e^{-1}$, произведение $\varepsilon t$ следует рассматривать как одну переменную величину $T_{1}=O(1)$. Тогда любое усеченное разложение $\exp (-\varepsilon t)$, справедливое для времен порядка $\varepsilon^{-1}$, имеет вид
\[
\exp (-\varepsilon t)=\exp \left(-T_{1}\right)
\]

Аналогично, усеченное разложение (6.1.12) является неудовлетворительным при $t$ порядка $O\left(\varepsilon^{-2}\right)$. Для получения усеченного асимптотического разложения $\cos \left[\sqrt{1-\varepsilon^{2}} t+\varphi\right]$, справедливого при $t=O\left(\varepsilon^{-2}\right)$, комбинацию $\varepsilon^{2} t$ следует трактовать как

одну переменную величину $T_{2}=O(1)$. Тогда будем иметь
\[
\begin{array}{l}
\cos \left[\sqrt{1-\varepsilon^{2}} t+\varphi\right]=\cos \left[t-\frac{1}{2} T_{2}+\varphi-\frac{1}{8} \varepsilon^{4} t+\ldots\right]= \\
\quad=\cos \left[t-\frac{1}{2} T_{2}+\varphi\right]+\frac{1}{8} \varepsilon^{4} t \sin \left[t-\frac{1}{2} T_{2}+\varphi\right]+\ldots .
\end{array}
\]

Разложение (6.1.14) справедливо и при $t=O\left(\varepsilon^{-2}\right)$, так как поправочный (второй) член имеет порядок $O\left(\varepsilon^{2}\right)$ или меньший вплоть до времен порядка $O\left(\varepsilon^{-2}\right)$. Однако при $t=O\left(\varepsilon^{-4}\right)$ это раз.тожение нарушается, ибо второй член уже не мал по сравнению с первым. Чтобы получить разложение, справедливое для времен порядка $O\left(\varepsilon^{-4}\right)$, следует ввести еще одну переменную $T_{4}=\varepsilon^{4} t=O(1)$.

В проведенных выше рассуждениях предполагалось, что $x(t ; \varepsilon)$ явно зависит от $t, \varepsilon t, \varepsilon^{2} t, \ldots$ и от $\varepsilon$. Это можно усмотреть и из точного решения. Таким образом, для получения усеченного разложения, справедливого для времен порядка $O\left(\varepsilon^{-M}\right)$, где $M$-целое положительное число, мы должны считать х завйсящим от $M+1$ разных масштабов времени $T_{0}, T_{1}, \ldots, T_{M}$, где
\[
T_{m}=\varepsilon^{m} t \text {. }
\]

Масштаб времени $T_{1}$ соответствует более медленному времени, чем масштаб $T_{0}$, а $T_{2}$ соответствует более медленному времени, чем масштаб $T_{1}$. В общем случае время $T_{n}$ медленнее $T_{n-1}$. Итак, предположим, что
\[
\begin{aligned}
x(t ; \varepsilon) & =\tilde{x}\left(T_{0}, T_{1}, \ldots, T_{M} ; \varepsilon\right)= \\
& =\sum_{m=0}^{M-1} \varepsilon^{m} x_{m}\left(T_{0}, T_{1}, \ldots, T_{M}\right)+O\left(\varepsilon T_{M}\right) .
\end{aligned}
\]

Остаточный член в (6.1.16) записан в виде $O\left(\varepsilon T_{M}\right)$, чтобы напомнить читателю, что рассматриваемое разложение справедливо вплоть до времен порядка $O\left(\varepsilon^{-M}\right)$. Желая сохранить равномерное приближение вне этого интервала времени, мы должны использовать другие масштабы времени. Из (6.1.15) и (6.1.16) можно видеть, что исходная задача с обыкновенным дифференциальным уравнением перешла в задачу с уравнением в частных производных. Если же в исходной задаче рассматривалось уравнение в частных производных, то введение разных масштабов времени увеличит число независимых переменных. Применив правило дифференцирования сложной функции, получим, что дифференцирование по времени изменится в соответствии с равенством
\[
\frac{d}{d t}=\frac{\partial}{\partial T_{0}}+\varepsilon \frac{\partial}{\partial T_{1}}+\varepsilon^{2} \frac{\partial}{\partial T_{2}}+\ldots .
\]

Равенства (6.1.15) вместе с (6.1.17) определяют одну из разновидностей метода многих масштабов, а именно метод многих переменных. Эта методика развита в работах Старрока [1957], [1963], Фримена [1963], Найфэ [1965 в, г], [1968] и Сандри [1965], [1967]. Из (6.1.16) и (6.1.17) видно, что при получении разложения с равномерным приближением вместе с зависимой переменной по степеням малого параметра разлагается и оператор дифференцирования. Поэтому Старрок и Найфэ назвали этот метод методом разложения производной.

Подставляя (6.1.16) и (6.1.17) в (6.1.1) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $\varepsilon$, получим уравнения, из которых определяются $x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{M}$. Решения этих уравнений будут содержать произвольные функции от масштабов времени $T_{1}, T_{2}, \ldots, T_{M}$. Для определения этих функций необходимо потребовать выполнения некоторых дополнительных условий. Поскольку равенство (6.1.16) должно выполняться для времен порядка $\varepsilon^{-M}$, то величина $\varepsilon^{m} x_{m}$ должна быть малой поправкой к $\varepsilon^{m-1} x_{m-1}$. Последняя в свою очередь должна быть малой поправкой к $\varepsilon^{m-2} x_{m-2}$. Итак, мы требуем, чтобы
\[
\frac{x_{m}}{x_{m-1}}<\infty \text { для всех } T_{0}, T_{1}, \ldots, T_{M} .
\]

Это условие не означает, что каждое $x_{m}$ ограничено. На самом деле каждое $x_{m}$ может быть неограниченным. Однако, как и в методике Лайтхилла ( $\S 3.2$ ), это условие требует, чтобы особенность высших приближений не превосходила особенности первого члена. Это условие эквивалентно исключению вековых членов. Вторая разновидность метода многих масштабов была введена Коулом и Кеворкяном [1963] и применена Кеворкяном [1966a] и Коулом [1968] при решении некоторых примеров. Моррисон [1966a] показал, что эта процедура с точностью до второго порядка эквивалентна методу усреднения; Перко [1969] установил их эквивалентность до $n$-го порядка. Кеворкян [1966b] показал эквивалентность этой процедуры в первом порядке методу фон Цайпеля. Рассмотрев точное решение (6.1.10), мы заметим, что время $t$ фигурирует в нем в одной из двух комбинаций: $\varepsilon t$ или $\sqrt{1-\varepsilon^{2}} t$. Следовательно, для получения разложения, справедливого для больших времен, необходимо ввести два масштаба времени
\[
\xi=\varepsilon t, \quad \eta=\sqrt{1-\varepsilon^{2}} t=\left(1-\frac{1}{2} \varepsilon^{2}-\frac{1}{8} \varepsilon^{4}+\cdots\right) t .
\]

Поэтому Коул и Кеворкян [1963] предположили, что
\[
x(t ; \varepsilon)=\tilde{x}(\xi, \eta ; \varepsilon)=\sum_{m=0}^{M-1} \varepsilon^{m} x_{m}(\xi ; \eta)+O\left(\varepsilon^{M}\right),
\]

где
\[
\xi=\varepsilon t, \quad \eta=\left(1+\varepsilon^{2} \omega_{2}+\varepsilon^{3} \omega_{3}+\cdots+\varepsilon^{M} \omega_{M}\right) t,
\]

а $\omega_{n}$-постоянные величины. В данном случае $\xi$ медленнее, чем $\eta$, а производная по времени преобразуется в соответствии с равенством
\[
\frac{d}{d t}=\varepsilon \frac{\partial}{\partial \xi}+\left(1+\varepsilon^{2} \omega_{3}+\varepsilon^{3} \omega_{3}+\ldots+\varepsilon^{M^{\prime}} \omega_{M}\right) \frac{\partial}{\partial \eta} .
\]

Обе эти разновидности можно значительно обобщить. Так, метод многих переменных можно обобщить (Найфэ [1967в]), применив вместо степеней $\varepsilon$ асимптотическую последовательность $\delta_{n}(\varepsilon)$, т. е., положив
\[
\begin{array}{c}
T_{n}=\delta_{n}(\varepsilon) t, \\
\frac{d}{d t}=\sum_{n=0}^{M} \delta_{n}(\varepsilon) \frac{\partial}{\partial T_{n}} .
\end{array}
\]

Уравнения (6.1.22) и (6.1.23) можно далее обобщить, положив
\[
\begin{array}{c}
T_{n}=\delta_{n}(\varepsilon) g_{n}\left[\mu_{n}(\varepsilon) t\right], \\
\frac{d}{d t}=\sum_{n=0}^{M} \delta_{n}(\varepsilon) \mu_{n}(\varepsilon) g_{n}^{\prime}\left[\mu_{n}(\varepsilon) t\right] \frac{\partial}{\partial T_{n}},
\end{array}
\]

где $\mu_{n}(\varepsilon)$ — другая асимптотическая последовательность. Таким образом, (6.1.24) позволяет рассмотреть линейные и нелинейные масштабы времени.

Аналогичным образом может быть обобщена процедура разложения по двум переменным. Так, обобщив (6.1.20) и (6.1.21), можно записать
\[
\begin{array}{c}
\xi=\mu(\varepsilon) t, \quad \eta=\sum_{n=0}^{M} \delta_{n}(\varepsilon) g_{n}[\mu(\varepsilon) t], \\
\frac{d}{d t}=\mu(\varepsilon) \frac{\partial}{\partial \xi}+\left(\sum_{n=0}^{M} \delta_{n}(\varepsilon) \mu(\varepsilon) g_{n}^{\prime}[\mu(\varepsilon) t]\right) \frac{\partial}{\partial \eta} .
\end{array}
\]

В таком общем виде эта техника была развита несколькими исследователями, в том числе Кузмаком [1959], Кокраном [1962], Махони [1962] и Найфэ [1964], [1965в]. Клима, Рамнат и Сандри [1970] исследовали роль преобразований масштабов в получении равномерных асимптотических разложений.

Метод многих масштабов столь популярен, что его заново открывают почти каждые полгода. Он применялся к широкому кругу задач физики, техники и прикладной математики.

Коул и Кеворкян [1963], Найфэ [1965с], [1967в], [1968], Кеворкян [1966a], Дэвис и Олфренд [1967], Швертассек [1969], и

Мьюза [1970], Расмуссен [1970] и Рейсс [1971] изучали слабо линейные и нелинейные колебания, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями второго или третьего порядка. Кузмак [1959] изучал нелинейные колебания, описываемые дифференциальными уравнениями второго порядка со слабо меняющимися коэффициентами. Кокран [1962], Найфэ [1964], [1965b] и Фаукес [1968] использовали обобщенную форму метода для изучения задач с точкой ветвления в линейных дифференциальных уравнениях второго порядка. Кокран [1962], Найфэ [1964], [1965b] и Рамнат и Сандри [1969] использовали обобщенный метод для изучения линейных уравнений с переменными коэффициентами, в то время как Чен и Ву [1970] исследовали действенность масштабов в задаче о старении пружины. Ноердлингер и Петросян [1971] рассматривали линейное неоднородное уравнение со слабо меняющимися коэффициентами, которое описывает влияние космологического расширения на систему самогравитирующих частиц. Кеворкян [1971] исследовал задачу прохождения через резонанс для одномерного осциллятора со слабо меняющейся частотой, Қокран [1962], О’Малли [1968a], [1968b] и Сёрл [1971] применили обобщенный метод к краевым задачам для некоторых нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка, в то время как Кокран [1962] и Акерберг и О’Малли [1970] применили этот метод к уравнениям второго порядка с точками ветвления или пограничным слоем. Там [1968] использовал обобщенную разновидность для решения уравнения Орра-Зоммерфельда.

В механике космического полета Найфэ [1965а] применил обобщенную разновидность метода при анализе задачи о полете аппарата Земля — Луна. Тин и Брофман [1964] и Найфэ [1966] проанализировали задачу старта спутника с малой тягой с круговой орбиты, Ши и Экштейн [1966] исследовали старт с эллиптической орбиты в малой тягой, Кеворкян [1966a] и Брофман [1967] изучили движение спутника с малыми тягой или сопротивлением и Экштейн и Ши [1967] рассмотрели движение спутника с переменной массой и малой тягой. Экштейн, Ши и Кеворкян [1966a] определили движение спутника вокруг основного тела в ограниченной задаче трех тел, в то время как Олфренд и Рэнд [1969] определили устойчивость треугольных точек в эллиптической ограниченной задаче трех тел. Экштейн, Ши и Кеворкян [1966с] оценили члены высших порядков в движении спутника, используя интеграл энергии, а также влияние эксцентриситета и наклонения [1966b]. Ши и Экштейн [1968] рассмотрели движение искусственного спутника, период обращения которого соизмерим с периодом вращения основного тела. В окрестности коллинеарных точек либрации Олфренд [1970] и Найфз [1971b] изучили резонансы при отношении частот два

к одному, а Найфэ и Кемел [1970b] и Олфренд [1971b]-при отношении частот три к одному. Для гамильтоновых систем с двумя степенями свободы Олфренд [1971a] исследовал резонансы при отношении частот два к одному.

Для задач механики полета Эшли [1967] обсуждал роль различных масштабов времени; Найфэ и Сарик [1971b] изучали нелинейные резонансы при движении снаряда со слабой асимметрией. С помощью обобщенной разновидности метода Найфэ [1969a] изучал движение вращающегося снаряда с переменными скоростью вращения и динамическим давлением, но с линейными аэродинамическими характеристиками, в то время как Найфэ и Сарик [1972a] изучали движение с нелинейными динамическими характеристиками и переменными скоростью вращения и динамическим давлением. Рамнат [1970b] изучал динамику переходных процессов для летательного аппарата.

В механике твердого тела Амазиго, Будянски и Кэрриер [1970] рассматривали нелинейное выпучивание неидеальной колонны; Рейсс и Матковский [1971] исследовали нелинейное динамическое выпучивание сжатой упругой колонны. Мортелл [1968] рассматривал задачу о бегущей волне в цилиндрической оболочке и распространение волн по сферической оболочке [1969]. Келли [1965] и Морино [1969] изучали нелинейный флаттер панели, Сприггс, Месситер и Андерсон [1969] рассматривали флаттер мембраны.

В теории дифференциальных уравнений в частных производных Кокран [1962], Найфэ [1965b] и Камсток [1971] изучали эллиптические уравнения. Фаукес ([1968], часть II) получил равномерно пригодные разложения для задач о каустике. Нойберт [1970] получил решения уравнения Гельмгольца для турбулентной воды. Уингейт и Дэвис [1970] рассматривали распространение волн в неоднородном стержне. Келлер и Когельман [1970] для уравнения в частных производных исследовали задачу с нелинейными начальными условиями.

Люк [1966] изучал уравнение Клейна-Гордона и общие вариационные уравнения второго порядка; Эмери [1970] исследовал случай нескольких зависимых переменных и несколько быстро вращающихся фаз. Абловитц и Бенни [1970] для уравнения Клейна — Гордона исследовали эволюцию многофазных колебаний. Найфэ и Хассан [1971] и Найфэ и Сарик [1972b] исследовали нелинейные диспергирующие волны на поверхности раздела двух жидкостей и в горячей электронной плазме. Паркер [1969] рассматривал влияние релаксации и диффузионного демпфирования на диспергирующие волны.

В теории взаимодействия волн Бенни и Саффмэн [1966], Бенни [1967], Дейвидсон [1967], Бенни и Ньюэлл [1967], Хоулт [1968], Ньюэлл [1968] и Бенни и Ньюэлл [1969] исследовали

нелинейное взаимодействие случайных волн в среде с дисперсией. Дейвидсон [1969] изучал эволюцию во времени волновых корреляций в равномерно турбулентной совокупности слабо нелинейных систем с дисперсией.

В теории волн на воде Кэрриер [1966] рассматривал гравитационные волны в воде переменной глубины, Хугстратен [1968], Фримен и Джонсон [1970] изучали волны в мелкой воде в течениях со сдвигом. Джейкобс [1967] решал уравнения приливов. Меррей [1968] рассматривал поверхностные колебания в баке, возникающие при истечении жидкости. Чу и Мей [1970] изучали медленно меняющиеся волны Стокса. Мак Голдрик [1970] и Найфэ [1970b] рассматривали случай резонанса во второй гармонике при взаимодействии капиллярных и гравитационных волн, в то время как Найфэ [1970d], [1971a] исследовал случай резонанса в третьей гармонике.

В теории атмосферы Ньюэлл [1969] рассматривал резонансное взаимодействие пакетов волн Россби, Стоун [1969] — задачу о бароклинных волнах. Шаббар [1971] исследовал механизм резонанса, поддерживающего волны Россби; Линдзен [1971] изучал распространение экваториальных волн Танаи и Кельвина.

В физике плазмы Болл [1964], Тауссиг [1969] и Там [1969], [1970] рассматривали распространение нелинейных волн в холодной плазме; Найфэ [1965c] и Дас [1971] исследовали нелинейные колебания в горячей электронной плазме. Дейвидсон [1968] рассматривал нелинейные колебания в плазме Власова-Максвелла. Пейре [1966] изучал волны в плазме, возникающие в ускорителе; Батлер и Гриббен [1968] рассматривали нелинейные волны в неоднородной плазме. Мароли и Поццоли [1969] изучали проникновение высокочастотных электромагнитных волн в слабо ионизированную плазму. Абрахам-Шраунер [1970a] [1970в] исследовал подавление ухода электронов в газе Лорентца. Чень и Левак [ 1970], Чень [1971] и Прасад [1971] изучали параметрическое возбуждение в плазме, в то время как Левак [1971] рассматривал взаимодействие электростатических волн в плазме. Добровольный и Роджистер [1971] и Роджистер [1971] рассматривали распространение гидромагнитных волн в плазме с большой концентрацией электронов.

В теории гидродинамической устойчивости и устойчивости плазмы Фримен и Резерфорд [1964] развили кинетическую теорию для слабо неустойчивой плазмы; Олбрайт [1970] рассматривал стабилизацию поперечной неустойчивости плазмы. Келли [1967] исследовал устойчивость невязкого слоя со сдвигом. Бенни и Роскес [1969] рассматривали неустойчивость гравитационных волн. Киан [1969] и Найфэ [1969в] изучали неустойчивость Рэлея — Тейлора; Ньюэлл и Уайтхед [1969] рассматривали послекритическую конвекцию Рэлея — Бонара. Найфэ [1970с] исследо-

вал нелинейную устойчивость жидкой струи. Найфэ и Сарик [1971а] изучали нелинейную неустойчивость Қельвина-Гельмгольца; Пюри [1971] исследовал влияние вязкости и наличия мембраны на колебания двух жидкостей, имеющих общую границу. Стюартсон и Стюарт [1971] рассматривали нелинейную устойчивость плоского течения Пуазейля. Митчелл [1971] применил эту методику для исследования неустойчивости горения.

В механике жидкости Жермен [1967] и Лик [1970] дали обзор исследований, выполненных в последнее время по аэродинамике и нелинейному распространению волн в жидкостях с помощью методов сращивания асимптотических разложений, координатных преобразований и многих масштабов. Бенни [1965] исследовал картину течения, которая возникает, когда на стационарное вращение диска накладываются колебания с конечной амплитудой; Барсилон [1970] рассматривал линейную вязкую теорию установившихся течений вращающейся жидкости. Рабберт и Ландал [1937] изучали задачу о трансзвуковом обтекании крыла. Пейре [1970] рассматривал задачу об установившемся течении в канале проводящей сжимаемой жидкости. Чон и Сирович [1971] изучали задачу газовой динамики для установившегося сверхзвукового течения с диссипацией. Чень, Кирш и Ли [1971] рассматривали поведение сильной ударной волны, вызванной точечным взрывом и непрерывно продвигаемой наружу внутренней поверхностью контакта.

В общей физике Кои и Пейн [1967] использовали сочетание метода многих масштабов и метода сращивания асимптотических разложений для решения уравнения Фоккера-Планка, которое описывает реакцию самовозбуждающихся осцилляторов на случайные возбуждения. Браун [1967] разработал стохастическую теорию диссоциации и рекомбинации двухатомных молекул. Рамнат [1970a] получил приближение к модели Томаса-Ферми в атомной физике и рассмотрел класс нелинейных дифференциальных уравнений, возникающих в астрофизике [1971]. Мейер [1971] исследовал рэлеевское рассеяние лазерного луча на тяжелом релятивистском атоме с двумя уровнями энергии; Нинхус [1970] изучал броуновское движение с вращательной степенью свободы.

В статистической механике Маоли [1966] решал уравнение Больцмана, чтобы построить кинетическую теорию высокочастотного резонансного пробоя в газе; Калдирола, де Барбьери и Мароли [1966] решали уравнение Больцмана для функции распределения электронов. Де Барбьери и Маоли [1967] решали уравнение Лиувилля для исследования динамики слабо ионизированных газов; Голдберг и Сандри 11967] и Раманатан и Сандри [1969] вывели системы иерархических уравнений.

В оставшейся части этого параграфа мы опишем три разновидности метода многих масштабов и рассмотрим их применение

к простому линейному демпфируемому осциллятору, который описывается уравнением (6.1.1). В следующих параграфах мы применим эти методики к различным задачам математической физики.

6.1.1. Метод многих переменных (процедура разложения производной)

Подставив (6.1.16) и (6.1.17) в (6.1.1) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях $\varepsilon$, получим следующие уравнения для $x_{0}, x_{1}$ и $x_{2}$ :
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial^{2} x_{0}}{\partial T_{0}^{2}}+x_{0}=0, \\
\frac{\partial^{2} x_{1}}{\partial T_{0}^{2}}+x_{1} \rightleftharpoons-2 \frac{\partial x_{0}}{\partial T_{0}}-2 \frac{\partial^{2} x_{0}}{\partial T_{0} \partial T_{1}},
\end{array}
\]
\[
\frac{\partial^{2} x_{2}}{\partial T^{2}}+x_{2}=-2 \frac{\partial x_{1}}{\partial T_{0}}-2 \frac{\partial^{2} x_{1}}{\partial T_{0} \partial T_{1}}-\frac{\partial^{2} x_{0}}{\partial T_{1}^{2}}-2 \frac{\partial^{2} x_{0}}{\partial T_{0} \partial T_{2}}-2 \frac{\partial x_{0}}{\partial T_{1}} .
\]

Общее решение уравнения (6.1.28) имеет вид
\[
x_{0}=A_{0}\left(T_{1}, T_{2}\right) e^{i T_{0}}+\bar{A}_{0}\left(T_{1}, T_{2}\right) e^{-i T_{0}},
\]

где $A_{0}$ и $\bar{A}_{0}$-комплексно сопряженные величины. Мы получили, попросту говоря, решение (6.1.6), в котором величины $a$ и $\varphi$ не постоянны, а являются функциями масштабов медленного времени $T_{1}$. и $T_{2}$. Подставляя $x_{0}$ из (6.1.31) в (6.1.29), получим
\[
\frac{\partial^{2} x_{1}}{\partial T_{0}^{2}}+x_{1}=-2 i\left(A_{0}+\frac{\partial A_{0}}{\partial T_{1}}\right) e^{i T_{0}}+2 i\left(\bar{A}_{0}+\frac{\partial \bar{A}_{0}}{\partial T_{1}}\right) e^{-i T_{0}} .
\]

Общее решение уравнения (6.1.32a) имеет вид
\[
\begin{aligned}
x_{1}=A_{1}\left(T_{1},\right. & \left.T_{2}\right) e^{i T_{0}}+\bar{A}_{1}\left(T_{1}, T_{2}\right) e^{-i T_{0}}- \\
& -\left(A_{0}+\frac{\partial A_{0}}{\partial T_{1}}\right) T_{0} e^{i T_{0}}-\left(\bar{A}_{0}+\frac{\partial \bar{A}_{0}}{\partial T_{1}}\right) T_{0} e^{-\prime T_{n}} .
\end{aligned}
\]

Сравнение соотношений (6.1.32б) и (6.1.31) показывает, что величнна $\varepsilon x_{1}$ является малой поправой к $x_{0}$ только при условии, что $\varepsilon T_{0}=\varepsilon t$ мало. Чтобы получить разложение, пригодное для больших времен порядка $O\left(\varepsilon^{-1}\right)$, следует потребовать обращения в нуль вековых членов $T_{0} \exp \left( \pm i T_{0}\right)$ в (6.1.32б). Таким образом,
\[
A_{0}+\frac{\partial A_{0}}{\partial T_{1}}=0
\]

откуда
\[
A_{0}=a_{0}\left(T_{2}\right) e^{-T_{1}} .
\]

Тогда равенство (6.1.32б) примет вид
\[
x_{1}=A_{1}\left(T_{i}, T_{2}\right) e^{i T_{0}}+\bar{A}_{1}\left(T_{1}, T_{2}\right) e^{-i T_{0}} .
\]

Используя в (6.1.30) выражения для $x_{0}$ и $x_{1}$, получим

где принято обозначение
\[
Q\left(T_{1}, T_{2}\right)=2 i A_{1}+2 i \frac{\partial A_{1}}{\partial T_{1}}-a_{0} e^{-T_{1}}+2 i \frac{\partial a_{0}}{\partial T_{2}} e^{-T_{1}} .
\]

Слагаемые в правой части уравнения (6.1.36) порождают вековые члены, поскольку оно имеет частное решение вида
\[
x_{2}=\frac{1}{2} i Q\left(T_{1}, T_{2}\right) T_{0} e^{i T_{0}}-\frac{1}{2} i \bar{Q}\left(T_{1}, T_{2}\right) T_{0} e^{-i T_{0}} .
\]

Из-за наличия вековых членов величина $\varepsilon^{2} x_{2}$ сравнивается по порядку с $\varepsilon x_{1}$ при больших $t$ порядка $O\left(\varepsilon^{-1}\right)$. Чтобы исключить эти вековые члены, нужно потребовать обращения в нуль величины $Q$, т. е.
\[
\frac{\partial A_{1}}{\partial T_{1}}+A_{1}=\frac{1}{2} i\left(-a_{0}+2 i \frac{\partial a_{0}}{\partial T_{2}}\right) e^{-T_{1}} .
\]

Чтобы прийти к уравнению (6.1.39), вовсе не обязательно, вообще говоря, находить решение для $x_{2}$. Достаточно только, изучив уравнение (6.1.36), исключить те слагаемые, которые порождают вековые члены. Общее решение уравнения (6.1.39) имеет вид
\[
A_{1}=\left[a_{1}\left(T_{2}\right)+\frac{1}{2} i\left(-a_{0}+2 i \frac{\partial a_{0}}{\partial T_{2}}\right) T_{1}\right] e^{-T_{1}} .
\]

Подставляя это значение $A_{\mathbf{1}}$ в (6.1.35), получим
\[
x_{1}=\left[a_{1}\left(T_{2}\right)+\frac{1}{2} i\left(-a_{0}+2 i \frac{\partial a_{0}}{\partial T_{2}}\right) T_{1}\right] e^{-T_{1}} e^{i T_{0}}+C C,
\]

где символом $C C$ обозначено выражение, комплексно сопряженное к предыдущему выражению. Имеем, однако,
\[
x_{0}=\left[a_{0} e^{i T_{0}}+\bar{a}_{0} e^{-i T_{0}}\right] e^{-T_{1}} .
\]

Поэтому, хотя при $T_{1} \rightarrow \infty$ и выполнено $x_{0} \rightarrow 0, x_{1} \rightarrow 0$, но величина $\varepsilon x_{1}$ при увеличении $t$ до значений порядка $O\left(\varepsilon^{-2}\right)$ приобретает порядок $O\left(x_{0}\right)$. Таким образом, разложение $x_{0}+\varepsilon x_{1}$ нарушается для значений $t$ порядка $O\left(\varepsilon^{-2}\right)$, если только не обратился в нуль коэффициент при $T_{1}$ в круглых скобках в (6.1.41), т. е.

если только не выполнено
\[
-a_{0}+2 i \frac{\partial \alpha_{0}}{\partial T_{2}}=0,
\]

или
\[
a_{0}=a_{00} e^{-i T_{2} / 2},
\]

где $a_{00}$-постоянная. Тогда равенство (6.1.40) принимает вид
\[
A_{1}=a_{1}\left(T_{2}\right) e^{-T_{1}} .
\]

Следовательно,
\[
\begin{aligned}
x=e^{-T_{1}}\left\{a_{00} e^{i\left(T_{0}-T_{2} / 2\right)}\right. & +\bar{a}_{00} e^{-i\left(T_{0}-T_{2} / 2\right)}+ \\
& \left.+\varepsilon\left[a_{1}\left(T_{2}\right) e^{i T_{0}}+\bar{a}_{1}\left(T_{2}\right) e^{-i T_{0}}\right]\right\}+O\left(\varepsilon^{2}\right)
\end{aligned}
\]

Доведя разложение до третьего порядка, можно получить функцию $a_{1}\left(T_{2}\right)$ вида
\[
a_{1}\left(T_{2}\right)=a_{11} e^{-i T_{2} / 2},
\]

где $a_{11}$-постоянная. Предположив, что начальные условия задаются равенствами $x(0)=a \cos \varphi$ и $\dot{x}(0)=-a\left(\sin \varphi \sqrt{1-\varepsilon^{2}}+\right.$ $+\varepsilon \cos \varphi)$, и заменив $T_{n}$ на $\varepsilon^{n} t$, получим
\[
x=a e^{-\varepsilon t} \cos \left(\dot{t}-\frac{1}{2} \varepsilon^{2} t+\varphi\right)+R,
\]

где $R$-остаточный член. Из (6.1.10) и (6.1.48) находим, что
\[
\begin{array}{c}
\left.R=a e^{-\varepsilon t} \left\lvert\, \cos \left(t \sqrt{1-\varepsilon^{2}}+\varphi\right)-\cos \left(t-\frac{1}{2} \varepsilon^{2} t+\varphi\right)\right.\right]= \\
=-2 a e^{-\varepsilon t} \sin \left[\frac{1}{2}\left(\sqrt{1-\varepsilon^{2}}+1-\frac{1}{2} \varepsilon^{2}\right) t+\varphi\right] \times \\
\times \sin \left[\frac{1}{2}\left(\sqrt{1-\varepsilon^{2}}-1+\frac{1}{2} \varepsilon^{2}\right) t\right]= \\
=-2 a e^{-\varepsilon t} \sin \left[\frac{1}{2}\left(\sqrt{1-\varepsilon^{2}}+1-\frac{1}{2} \varepsilon^{2}\right) t+\varphi\right] \times \\
\times \sin \left[\left(-\frac{1}{16} \varepsilon^{4}+\ldots\right) t\right]=O\left(\varepsilon^{4} t\right) .
\end{array}
\]

Для линейных уравнений вида (6.1.1) можно вводить разные масштабы времени, не прибегая к разложению $x$. Так, используя (6.1.17), получим для уравнения (6.1.1)
\[
\begin{aligned}
{\left[\frac{\partial^{2}}{\partial T_{0}^{2}}+2 \varepsilon \frac{\partial^{2}}{\partial T_{0} \partial T_{1}}+\varepsilon^{2}\right.} & \left.\left(\frac{\partial^{2}}{\partial T_{1}^{2}}+2 \frac{\partial^{2}}{\partial T_{0} \partial T_{2}}\right)+\ldots\right] x+x= \\
& =-2 \varepsilon\left(\frac{\partial}{\partial T_{0}}+\varepsilon \frac{\partial}{\partial T_{1}}+\varepsilon^{2} \frac{\partial}{\partial T_{2}}+\ldots\right) x
\end{aligned}
\]

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в, приходим к соотношениям
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial^{2} x}{\partial T_{0}^{2}}+x=0, \\
2 \frac{\partial^{2} x}{\partial T_{0} \partial T_{1}}=-2 \frac{\partial x}{\partial T_{0}}, \\
\frac{\partial^{2} x}{\partial T_{1}^{2}}+2 \frac{\partial^{2} x}{\partial T_{0} \partial T_{2}}=-2 \frac{\partial x}{\partial T_{1}} .
\end{array}
\]

Общее решение уравнения (6.1.51) имеет вид
\[
x=A\left(T_{1}, T_{2}\right) e^{i T_{0}}+\bar{A}\left(T_{1}, T_{2}\right) e^{-i T_{0}} .
\]

Подставляя его в (6.1.52), получим
\[
\left(\frac{\partial A}{\partial T_{1}}+A\right) e^{i T_{0}}+\left(\frac{\partial \bar{A}}{\partial T_{1}}+\bar{A}\right) e^{-i T_{0}}=0 .
\]

Поскольку уравнение (6.1.55) справедливо при любом $T_{0}$, коэффициенты при ехр ( $i T_{0}$ ) и ехр (-iT $T_{0}$ ) должны обратиться в нуль, т. е. должно быть выполнено
\[
\frac{\partial A}{\partial T_{1}}+A=0,
\]

откуда имеем
\[
A=a\left(T_{2}\right) e^{-T_{1}} .
\]

Подстановка (6.1.54) в (6.1.53) дает
\[
\left(\frac{\partial^{2} A}{\partial T_{1}^{2}}+2 i \frac{\partial A}{\partial T_{2}}+2 \frac{\partial A}{\partial T_{1}}\right) e^{i T_{0}} \cdot C C=0 .
\]

Таким образом,
\[
\frac{\partial^{2} A}{\partial T_{1}^{2}}+2 \frac{\partial A}{\partial T_{1}}+2 i \frac{\partial A}{\partial T_{2}}=0 .
\]

Подставляя $A$ вида (6.1.57) в (6.1.59), получим
\[
2 i \frac{\partial a}{\partial T_{2}}-a=0 \text {. }
\]

Следовательно, имеем
\[
a=a_{0} e^{-i T_{2} / 2},
\]

где $a_{0}$-постоянная.
Поэтому решение (6.1.54) принимает вид
\[
x=a_{0} e^{-T_{1}} e^{i\left(T_{0}-T_{2} / 2\right)}+C C .
\]

Выразив (6.1.62) через $t$, получим
\[
x=a e^{-\varepsilon t} \cos \left(t-\frac{1}{2} \varepsilon^{2} t+\varphi\right),
\]

где $a_{0}=(1 / 2) a \exp (i \varphi)$. Этот результат находится в полном согласии с (6.1.48).

6.1.2. Процедура разложения по двум переменным

Заменив независимую переменную $t$ на переменные $\xi$ и $\eta$ согласно (6.1.21), приведем уравнение (6.1.1) к виду
\[
\begin{array}{r}
\left(1+\varepsilon^{2} \omega_{2}+\ldots\right)^{2} \frac{\partial^{2} x}{\partial \eta^{2}}+2 \varepsilon\left(1+\varepsilon^{2} \omega_{2}+\ldots\right) \frac{\partial^{2} x}{\partial \xi \partial \eta}+\varepsilon^{2} \frac{\partial^{2} x}{\partial \xi^{2}}+x= \\
=-2 \varepsilon\left(1+\varepsilon^{2} \omega_{2}+\ldots\right) \frac{\partial x}{\partial \eta}-2 \varepsilon^{2} \frac{\partial x}{\partial \xi} .
\end{array}
\]

Будем искать разложение вида
\[
x=x_{0}(\xi, \eta)+\varepsilon x_{1}(\xi, \eta)+\varepsilon^{2} x_{2}(\xi, \eta)+\ldots .
\]

Подставляя (6.1.65) в (6.1.64) и приравнивая коэффициенты при равных степенях $\varepsilon$ в обеих частях, получим
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial^{2} x_{0}}{\partial \eta^{2}}+x_{0}=0, \\
\frac{\partial^{2} x_{1}}{\partial \eta^{2}}+x_{1}+2 \frac{\partial^{2} x_{0}}{\partial \xi \partial \eta}=-2 \frac{\partial x_{0}}{\partial \eta}, \\
\frac{\partial^{2} x_{2}}{\partial \eta^{2}}+x_{2}+2 \omega_{2} \frac{\partial^{2} x_{0}}{\partial \eta^{2}}+2 \frac{\partial^{2} x_{1}}{\sigma \xi \partial \eta}+\frac{\partial^{2} x_{0}}{\partial \xi^{2}}=-2 \frac{\partial x_{1}}{\partial \eta}-2 \frac{\partial x_{0}}{\partial \xi} .
\end{array}
\]

Общее решение уравнения (6.1.66) имеет вид
\[
x_{0}=A_{0}(\xi) e^{i \eta}+\overline{A_{0}}(\xi) e^{-i \eta} .
\]

С учетом этого решения уравнение (6.1.67) примет вид
\[
\frac{\partial^{2} x_{1}}{\partial \eta^{2}}+x_{1}=-2 i\left(\frac{d A_{0}}{d \xi}+A_{0}\right) e^{i \eta}+C C .
\]

Желая исключить в (6.1.70) те слагаемые, которые порождают вековые члены, придем к уравнению
\[
\frac{d A_{0}}{d \xi}+A_{0}=0 .
\]

Следовательно,
\[
x_{1}=A_{1}(\xi) e^{i \eta}+\overline{A_{1}}(\xi) e^{-i \eta} .
\]

Решение уравнения (6.1.71) имеет вид
\[
A_{0}=a_{0} e^{-\xi} \text {, }
\]

где $a_{0}$ — постоянная.
Подстановка полученных выше решений для $x_{0}$ и $x_{1}$ в (6.1.68) даст
\[
\frac{\partial^{2} x_{2}}{\partial \eta^{2}}+x_{2}=\left[-2 i\left(\frac{d A_{1}}{d \xi}+A_{1}\right)+\left(2 \omega_{2}+1\right) a_{0} e^{-\xi}\right] e^{i \eta}+C C .
\]

Исключая в (6.1.74) те слагаемые, которые порождают вековые члены, придем к уравнению
\[
\frac{d A_{1}}{d \xi}+A_{1}=-\frac{1}{2} i\left(2 \omega_{2}+1\right) a_{\hat{j}} e^{-\xi},
\]

которое имеет своим решением функцию
\[
A_{1}=a_{1} e^{-\xi}-\frac{1}{2} i\left(2 \omega_{2}+1\right) a_{0} \xi e^{-\xi} .
\]

Подставив $A_{1}$ в $(6.1 .72)$ и сравнив результат с (6.1.69), увидим, что отношение $x_{1} / x_{0}$ при $\xi \rightarrow \infty$ не ограничено, если только не выполнено условие
\[
\omega_{2}=-\frac{1}{2} .
\]

При выполнении этого условия равенство (6.1.65) запишется в виде следующей функции от $t$ :
\[
x=a e^{-\varepsilon t} \cos \left(t-\frac{1}{2} \varepsilon^{2} t+\varphi\right)+O\left(\varepsilon^{2}\right),
\]

где принято $a_{0}+\varepsilon a_{1}=(1 / 2) a \exp (i \varphi)$. Это выражение полностью согласуется с выражением, полученным с помощью метода многих переменных (метода разложения производной).

6.1.3. Обобщенный метод — нелинейшые масштабы

Преобразуем сначала уравнение (6.1.1) с помощью новой переменной $\tau=\varepsilon t$ к виду
\[
\varepsilon^{2}\left(\frac{\partial^{2} x}{\partial \tau^{2}}+2 \frac{d x}{d \tau}\right)+x=0 .
\]

Чтобы получить равномерно пригодное разложение, положим
\[
\xi=\tau, \quad \eta=\frac{g_{-1}(\tau)}{\varepsilon}+g_{0}(\tau)+\varepsilon g_{1}(\tau)+\ldots, g_{i}(0)=0,
\]

где величины $g_{i}$ будут определены в процессе вычислений. Производные по $\tau$ преобразуются тогда в соответствии с равенствами
\[
\begin{aligned}
\frac{d}{d \tau} & =\frac{\partial}{\partial \xi}+\left[\frac{g_{-1}^{\prime}(\xi)}{\varepsilon}+g_{0}^{\prime}(\xi)+\varepsilon g_{1}^{\prime}(\xi)+\ldots\right] \frac{\partial}{\partial \eta}, \\
\frac{d^{2}}{d \tau^{2}} & =\frac{\partial^{2}}{\partial \xi^{2}}+2\left[\frac{g_{-1}^{\prime}(\xi)}{\varepsilon}+g_{0}^{\prime}(\xi)+\varepsilon g_{1}^{\prime}(\xi)+\ldots\right] \frac{\partial^{2}}{\partial \xi \partial \eta}+ \\
& +\left[\frac{g_{-1}^{\prime \prime}(\xi)}{\varepsilon}+g_{0}^{\prime \prime}(\xi)+\varepsilon g_{1}^{\prime \prime}(\xi)+\ldots\right] \frac{\partial}{\partial \eta}+ \\
& +\left[\frac{g_{-1}^{\prime}(\xi)}{\varepsilon}+g_{0}^{\prime}(\xi)+\varepsilon g_{1}^{\prime}(\xi)+\ldots\right]^{2} \frac{\partial^{2}}{\partial \eta^{2}} .
\end{aligned}
\]

Предположим, что $x$ представляется равномерно пригодным разложением вида
\[
x=x_{0}(\xi, \eta)+\varepsilon x_{1}(\xi, \eta)+\varepsilon^{2} x_{2}(\xi, \eta)+\ldots .
\]

Подставляя (6.1.81)-(6.1.83) в (6.1.79) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $\varepsilon$, получим
\[
\begin{array}{c}
g_{-1}^{\prime 2} \frac{\partial^{2} x_{0}}{\partial \eta^{2}}+x_{0}=0 \\
g_{-1}^{\prime 2} \frac{\partial^{2} x_{1}}{\partial \eta^{2}}+x_{1}+2 g_{-1}^{\prime} g_{0}^{\prime} \frac{\partial^{2} x_{0}}{\partial \eta^{2}}+g_{-1} \frac{\partial x_{0}}{\partial \eta}+2 g_{-1}^{\prime} \frac{\partial^{2} x_{0}}{\partial \xi \partial \eta}+2 g_{-1}^{\prime} \frac{\partial x_{0}}{\partial \eta}=0
\end{array}
\]

Общее решение уравнения (6.1.84) имеет вид
\[
x_{0}=A_{0}(\xi) \exp \left(i \frac{\eta}{g_{-1}^{\prime}}\right)+\bar{A}_{0}(\xi) \exp \left(-i \frac{\eta}{g_{-1}^{\prime}}\right) \text {. }
\]

Подстановка этого выражения для $x_{0}$ в (6.1.85) дает
\[
\begin{aligned}
g_{-1}^{\prime 2} \frac{\partial^{2} x_{1}}{\partial \eta^{2}}+x_{1} & =-\left[\left(-\frac{2 g_{0}^{\prime}}{g_{-1}^{\prime}}+i \frac{g_{-1}^{\prime \prime}}{g_{-1}^{\prime}}+2 i\right) A_{0}+\right. \\
& \left.+2 i g_{-1}^{\prime}\left(\frac{A_{0}}{g_{-1}^{\prime}}\right)^{\prime}+2 \frac{g_{-1}^{\prime \prime}}{g_{-1}^{\prime 2}} A_{0} \eta\right] \exp \left(i \frac{\eta}{g_{-1}^{\prime}}\right)+C C .
\end{aligned}
\]

Слагаемые в правой части (6.1.87), вообще говоря, порождают вековые члены. Чтобы избежать вековых членов, следует положить
\[
\left(-\frac{2 g_{0}^{\prime}}{g_{-1}^{\prime}}+i \frac{g_{-1}^{\prime \prime}}{g_{-1}^{\prime}}+2 i\right) A_{0}+2 i g_{-1}^{\prime}\left(\frac{A_{0}}{g_{-1}^{\prime}}\right)^{\prime}+2 \frac{g_{-1}^{\prime \prime}}{g_{-1}^{\prime 2}} \eta A_{0}=0 .
\]

Уравнение (6.1.88) должно выполняться для любого $\eta$, а величина $A_{0}
eq 0$ для нетривиального решения; потребуем поэтому
\[
g_{-1}^{*}=0 \text { или } g_{-1}=c \xi \text {, поскольку } \eta(0)=0 .
\]

Здесь $c$-произвольная постоянная, которую, не теряя общности, можно положить равной единице. Тогда уравнение (6.1.88) примет

вид
\[
A_{0}^{\prime}+\left(1+i g_{0}^{\prime}\right) A_{0}=0
\]

и будет иметь своим решением функцию
\[
A_{0}=a_{0} e^{-\xi-i g_{0}(\xi)},
\]

где $a_{0}$ — постоянная. Поскольку $A_{0}$ и $g_{-1}$ найдены, имеем
\[
x_{0}=a_{0} e^{-\tau} e^{t(\tau / \varepsilon)}+\bar{a}_{0} e^{-\tau} e^{-i(\tau / \varepsilon)} .
\]

Из равенства (6.1.92) видно, что величина $g_{0}$ сократилась, и, следовательно, решение не зависит от значения $g_{0}$. Поэтому без потери общности можно положить ее равной нулю. Тогда $A_{0}$ принимает вид
\[
A_{0}=a_{0} e^{-\xi} .
\]

С учетом (6.1.88) получим следующее решение для $x_{1}$ :
\[
x_{1}=A_{1}(\xi) e^{i \eta}+\overline{A_{1}}(\xi) e^{-i \eta} .
\]

Зная функции $g_{-1}=\xi$ и $g_{0}=0$, можно получить уравнение для $x_{2}$. Подставим с этой целью соотношения (6.1.81)-(6.1.83) в (6.1.79) и приравняем нулю коэффициент при $\varepsilon^{2}$. Получим
\[
\frac{\partial^{2} x_{2}}{\partial \eta^{2}}+x_{2}+2 \frac{\partial^{2} x_{1}}{\partial \xi \partial \eta}+2 \frac{\partial x_{1}}{\partial \eta}+2 g_{1}^{\prime} \frac{\partial^{2} x_{0}}{\partial \eta^{2}}+\frac{\partial^{2} x_{0}}{\partial \xi^{2}}+2 \frac{\partial x_{0}}{\partial \xi}=0 .
\]

Подстановка выражений для $x_{0}$ и $x_{1}$ в (6.1.95) дает
\[
\frac{\partial^{2} x_{2}}{\partial \eta^{2}}+x_{2}=-\left[2 i\left(A_{1}^{\prime}+A_{1}\right)-\left(2 g_{1}^{\prime}+1\right) a_{0} e^{-\xi}\right] e^{i \eta}+C C .
\]

Исключая в (6.1.96) слагаемые, которые порождают вековые члены, получим
\[
A_{1}^{\prime}+A_{1}=-\frac{1}{2} i\left(2 g_{1}^{\prime}+1\right) a_{0} e^{-\xi} .
\]

Решение уравнения (6.1.97) имеет вид
\[
A_{1}=a_{1} e^{-\xi}-\frac{1}{2} i a_{0}\left(2 g_{1}+\xi\right) e^{-\xi},
\]

где $a_{1}$-постоянная. Из равенства (6.1.98) видно, что отношение $x_{1} / x_{0}$ при $\xi \rightarrow \infty$ не ограничено, если только не выполнено
\[
g_{1}=-\frac{1}{2} \xi .
\]

При использовании переменной $t=\tau / \varepsilon$ разложение примет вид
\[
x=a e^{-\varepsilon t} \cos \left(t-\frac{1}{2} \varepsilon^{2} t+\varphi\right)+O\left(\varepsilon^{2}\right),
\]
где принято $a_{0}+\varepsilon a_{1}=(1 / 2) a \exp (i \varphi)$. Это разложение опять-таки согласуется с разложениями, полученными с помощью разновидностей метода многих масштабов-метода разложения производной и метода разложения двух переменных.