Существуют три разновидности метода многих масштабов. Мы дадим их описание на примере линейного демпфируемого осциллятора
$$\ddot{x}+x=-2\epsilon \dot{x}.$$

Этот пример мы выбрали потому, что можно, во-первых, сравнить полученное приближенное решение с точным и, во-вторых ясней продемонстрировать различные варианты метода, не прибегая к алгебраическим выкладкам.

Получим сначала прямое асимптотическое разложение для малого \&. Пусть
$$x=x_0+\epsilon x_1+{\epsilon }^2{x}_2+\dots .$$

Подстановкой (6.1.2) в (6.1.1) и приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях $\epsilon$ получаем
$$\begin{array}{c}{\ddot{x}}_0+x_0=0,\\ {\ddot{x}}_1+x_1=-2{\dot{x}}_0,\\ {\ddot{x}}_2+x_2=-2{\dot{x}}_1.\end{array}$$

Общее решение уравнения (6.1.3) имеет вид
$$x_0=a\cos (t+\phi )\text{, }$$

где $a$ и $\phi$-произвольные постоянные. Подставив $x_0$ в (6.1.4) и решив полученное уравнение, получим
$$x_1=-at\cos (t+\phi )\text{. }$$

Подставив, далее, $x_1$ в (6.1.5) и решив это уравнение относительно $x_2$, получим
$$x_2=\frac{1}{2}a{t}^2\cos (t+\phi )+\frac{1}{2}at\sin (t+\phi )\text{. }$$

Следовательно,
$$\begin{array}{l}x=a\cos (t+\phi )-\epsilon at\cos (t+\phi )+\\ +\frac{1}{2}{\epsilon }^{2}a[t^2\cos (t+\phi )+t\sin (t+\phi )]+O\left({\epsilon }^3\right).\end{array}$$

Очевидно, что (6.1.9) дает плохое приближение для $x$, если $t$ имеет порядок ${\epsilon }^{-1}$. В этом случае второй $\left(\epsilon x_1\right)$ и третий $\left({\epsilon }^2{x}_2\right)$ члены уже не малы по сравнению соответственно с $x_0$ и $\epsilon x_1$ ( $x_1$ и $x_2$ содержат вековые члены), как это предполагалось при выводе полученного разложения. Таким образом, прямое разложение перестает быть справедливым, когда $t$ достигает величины $O\left({\epsilon }^{-1}\right)$. Как это обсуждалось в п. 2.1, трудность здесь заключается в том, что область определения бесконечна.

В несостоятельности прямого разложения можно убедиться, рассмотрев точное решение уравнения (6.1.1), которое имеет вид
$$x=\alpha e^{-\epsilon t}\cos [\sqrt{1-{\epsilon }^2}t+\phi ].$$

Равенство (6.1.9) может быть получено разложением решения (6.1.10) при малом $\epsilon$ и фиксированном $t$. Экспонента и косинус представляются в виде
$$\begin{array}{c}\exp (-\epsilon t)==1-\epsilon t+\frac{1}{2}{\epsilon }^2{t}^2+\dots ,\\ \cos (\sqrt{1-{\epsilon }^2}t+\phi )=\cos (t+\phi )+\frac{1}{2}{\epsilon }^{2}t\sin (t+\phi )+\dots .\end{array}$$

Ясно, что $\exp (-\epsilon t)$ можно аппроксимировать конечным числом членов только при условии, что $\epsilon t$ мало. В силу малости $\epsilon$ это означает, что $t=O$ (1). Если же $t$ имеет порядок ${\epsilon }^{-1}$, то $\epsilon t$ уже не мало, и приближение с помощью усеченного ряда оказывается неудовлетворительным. Приведенный выше усеченный ряд дает хорошее приближение только до некоторого значения $t$, после которого $\exp (-\epsilon t)$ отличается от усеченного ряда на величину, превышающую заданный предел точности. Добавлением новых членов к усеченному ряду значение $t$ можно увеличить до некоторого нового значения $t^{\prime }$, в пределах которого новый усеченный ряд будет давать удовлетворительное приближение. Однако при $t>t^{\prime }$ разность между $\exp (-\epsilon t)$ и новым усеченным рядом вновь превосходит заданную точность. Для того чтобы разложение $\exp (-\epsilon t)$ оказалось удовлетворительным для всех значений $t$, следует учесть в нем все члены. Таким образом, при построении разложения, справедливого для времен порядка $e^{-1}$, произведение $\epsilon t$ следует рассматривать как одну переменную величину $T_1=O(1)$. Тогда любое усеченное разложение $\exp (-\epsilon t)$, справедливое для времен порядка ${\epsilon }^{-1}$, имеет вид
$$\exp (-\epsilon t)=\exp (-T_1)$$

Аналогично, усеченное разложение (6.1.12) является неудовлетворительным при $t$ порядка $O\left({\epsilon }^{-2}\right)$. Для получения усеченного асимптотического разложения $\cos [\sqrt{1-{\epsilon }^2}t+\phi ]$, справедливого при $t=O\left({\epsilon }^{-2}\right)$, комбинацию ${\epsilon }^{2}t$ следует трактовать как

одну переменную величину $T_2=O(1)$. Тогда будем иметь
$$\begin{array}{l}\cos [\sqrt{1-{\epsilon }^2}t+\phi ]=\cos [t-\frac{1}{2}{T}_2+\phi -\frac{1}{8}{\epsilon }^{4}t+\dots ]=\\ =\cos [t-\frac{1}{2}{T}_2+\phi ]+\frac{1}{8}{\epsilon }^{4}t\sin [t-\frac{1}{2}{T}_2+\phi ]+\dots .\end{array}$$

Разложение (6.1.14) справедливо и при $t=O\left({\epsilon }^{-2}\right)$, так как поправочный (второй) член имеет порядок $O\left({\epsilon }^2\right)$ или меньший вплоть до времен порядка $O\left({\epsilon }^{-2}\right)$. Однако при $t=O\left({\epsilon }^{-4}\right)$ это раз.тожение нарушается, ибо второй член уже не мал по сравнению с первым. Чтобы получить разложение, справедливое для времен порядка $O\left({\epsilon }^{-4}\right)$, следует ввести еще одну переменную $T_4={\epsilon }^{4}t=O(1)$.

В проведенных выше рассуждениях предполагалось, что $x(t;\epsilon )$ явно зависит от $t,\epsilon t,{\epsilon }^{2}t,\dots$ и от $\epsilon$. Это можно усмотреть и из точного решения. Таким образом, для получения усеченного разложения, справедливого для времен порядка $O\left({\epsilon }^{-M}\right)$, где $M$-целое положительное число, мы должны считать х завйсящим от $M+1$ разных масштабов времени $T_0,T_1,\dots ,T_M$, где
$$T_m={\epsilon }^{m}t\text{. }$$

Масштаб времени $T_1$ соответствует более медленному времени, чем масштаб $T_0$, а $T_2$ соответствует более медленному времени, чем масштаб $T_1$. В общем случае время $T_n$ медленнее $T_{n-1}$. Итак, предположим, что
$$\begin{array}{rl}x(t;\epsilon )& =\tilde{x}(T_0,T_1,\dots ,T_M;\epsilon )=\\ & =\sum _{m=0}^{M-1}{\epsilon }^m{x}_m(T_0,T_1,\dots ,T_M)+O\left(\epsilon T_M\right).\end{array}$$

Остаточный член в (6.1.16) записан в виде $O\left(\epsilon T_M\right)$, чтобы напомнить читателю, что рассматриваемое разложение справедливо вплоть до времен порядка $O\left({\epsilon }^{-M}\right)$. Желая сохранить равномерное приближение вне этого интервала времени, мы должны использовать другие масштабы времени. Из (6.1.15) и (6.1.16) можно видеть, что исходная задача с обыкновенным дифференциальным уравнением перешла в задачу с уравнением в частных производных. Если же в исходной задаче рассматривалось уравнение в частных производных, то введение разных масштабов времени увеличит число независимых переменных. Применив правило дифференцирования сложной функции, получим, что дифференцирование по времени изменится в соответствии с равенством
$$\frac{d}{dt}=\frac{\partial }{\partial T_0}+\epsilon \frac{\partial }{\partial T_1}+{\epsilon }^2\frac{\partial }{\partial T_2}+\dots .$$

Равенства (6.1.15) вместе с (6.1.17) определяют одну из разновидностей метода многих масштабов, а именно метод многих переменных. Эта методика развита в работах Старрока [1957], [1963], Фримена [1963], Найфэ [1965 в, г], [1968] и Сандри [1965], [1967]. Из (6.1.16) и (6.1.17) видно, что при получении разложения с равномерным приближением вместе с зависимой переменной по степеням малого параметра разлагается и оператор дифференцирования. Поэтому Старрок и Найфэ назвали этот метод методом разложения производной.

Подставляя (6.1.16) и (6.1.17) в (6.1.1) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $\epsilon$, получим уравнения, из которых определяются $x_0,x_1,\dots ,x_M$. Решения этих уравнений будут содержать произвольные функции от масштабов времени $T_1,T_2,\dots ,T_M$. Для определения этих функций необходимо потребовать выполнения некоторых дополнительных условий. Поскольку равенство (6.1.16) должно выполняться для времен порядка ${\epsilon }^{-M}$, то величина ${\epsilon }^m{x}_m$ должна быть малой поправкой к ${\epsilon }^{m-1}{x}_{m-1}$. Последняя в свою очередь должна быть малой поправкой к ${\epsilon }^{m-2}{x}_{m-2}$. Итак, мы требуем, чтобы
$$\frac{x_m}{x_{m-1}}<\mathrm{\infty }\text{ для всех }{T}_0,T_1,\dots ,T_M.$$

Это условие не означает, что каждое $x_m$ ограничено. На самом деле каждое $x_m$ может быть неограниченным. Однако, как и в методике Лайтхилла ( $\mathrm{\S }3.2$ ), это условие требует, чтобы особенность высших приближений не превосходила особенности первого члена. Это условие эквивалентно исключению вековых членов. Вторая разновидность метода многих масштабов была введена Коулом и Кеворкяном [1963] и применена Кеворкяном [1966a] и Коулом [1968] при решении некоторых примеров. Моррисон [1966a] показал, что эта процедура с точностью до второго порядка эквивалентна методу усреднения; Перко [1969] установил их эквивалентность до $n$-го порядка. Кеворкян [1966b] показал эквивалентность этой процедуры в первом порядке методу фон Цайпеля. Рассмотрев точное решение (6.1.10), мы заметим, что время $t$ фигурирует в нем в одной из двух комбинаций: $\epsilon t$ или $\sqrt{1-{\epsilon }^2}t$. Следовательно, для получения разложения, справедливого для больших времен, необходимо ввести два масштаба времени
$$\xi =\epsilon t,\eta =\sqrt{1-{\epsilon }^2}t=(1-\frac{1}{2}{\epsilon }^2-\frac{1}{8}{\epsilon }^4+\cdots )t.$$

Поэтому Коул и Кеворкян [1963] предположили, что
$$x(t;\epsilon )=\tilde{x}(\xi ,\eta ;\epsilon )=\sum _{m=0}^{M-1}{\epsilon }^m{x}_m(\xi ;\eta )+O\left({\epsilon }^M\right),$$

где
$$\xi =\epsilon t,\eta =(1+{\epsilon }^2{\omega }_2+{\epsilon }^3{\omega }_3+\cdots +{\epsilon }^M{\omega }_M)t,$$

а ${\omega }_n$-постоянные величины. В данном случае $\xi$ медленнее, чем $\eta$, а производная по времени преобразуется в соответствии с равенством
$$\frac{d}{dt}=\epsilon \frac{\partial }{\partial \xi }+(1+{\epsilon }^2{\omega }_3+{\epsilon }^3{\omega }_3+\dots +{\epsilon }^{M^{\prime }}{\omega }_M)\frac{\partial }{\partial \eta }.$$

Обе эти разновидности можно значительно обобщить. Так, метод многих переменных можно обобщить (Найфэ [1967в]), применив вместо степеней $\epsilon$ асимптотическую последовательность ${\delta }_n(\epsilon )$, т. е., положив
$$\begin{array}{c}{T}_n={\delta }_n(\epsilon )t,\\ \frac{d}{dt}=\sum _{n=0}^M{\delta }_n(\epsilon )\frac{\partial }{\partial T_n}.\end{array}$$

Уравнения (6.1.22) и (6.1.23) можно далее обобщить, положив
$$\begin{array}{c}{T}_n={\delta }_n(\epsilon )g_n[{\mu }_n(\epsilon )t],\\ \frac{d}{dt}=\sum _{n=0}^M{\delta }_n(\epsilon ){\mu }_n(\epsilon )g_n^{\prime }[{\mu }_n(\epsilon )t]\frac{\partial }{\partial T_n},\end{array}$$

где ${\mu }_n(\epsilon )$ — другая асимптотическая последовательность. Таким образом, (6.1.24) позволяет рассмотреть линейные и нелинейные масштабы времени.

Аналогичным образом может быть обобщена процедура разложения по двум переменным. Так, обобщив (6.1.20) и (6.1.21), можно записать
$$\begin{array}{c}\xi =\mu (\epsilon )t,\eta =\sum _{n=0}^M{\delta }_n(\epsilon )g_n[\mu (\epsilon )t],\\ \frac{d}{dt}=\mu (\epsilon )\frac{\partial }{\partial \xi }+(\sum _{n=0}^M{\delta }_n(\epsilon )\mu (\epsilon )g_n^{\prime }[\mu (\epsilon )t])\frac{\partial }{\partial \eta }.\end{array}$$

В таком общем виде эта техника была развита несколькими исследователями, в том числе Кузмаком [1959], Кокраном [1962], Махони [1962] и Найфэ [1964], [1965в]. Клима, Рамнат и Сандри [1970] исследовали роль преобразований масштабов в получении равномерных асимптотических разложений.

Метод многих масштабов столь популярен, что его заново открывают почти каждые полгода. Он применялся к широкому кругу задач физики, техники и прикладной математики.

Коул и Кеворкян [1963], Найфэ [1965с], [1967в], [1968], Кеворкян [1966a], Дэвис и Олфренд [1967], Швертассек [1969], и

Мьюза [1970], Расмуссен [1970] и Рейсс [1971] изучали слабо линейные и нелинейные колебания, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями второго или третьего порядка. Кузмак [1959] изучал нелинейные колебания, описываемые дифференциальными уравнениями второго порядка со слабо меняющимися коэффициентами. Кокран [1962], Найфэ [1964], [1965b] и Фаукес [1968] использовали обобщенную форму метода для изучения задач с точкой ветвления в линейных дифференциальных уравнениях второго порядка. Кокран [1962], Найфэ [1964], [1965b] и Рамнат и Сандри [1969] использовали обобщенный метод для изучения линейных уравнений с переменными коэффициентами, в то время как Чен и Ву [1970] исследовали действенность масштабов в задаче о старении пружины. Ноердлингер и Петросян [1971] рассматривали линейное неоднородное уравнение со слабо меняющимися коэффициентами, которое описывает влияние космологического расширения на систему самогравитирующих частиц. Кеворкян [1971] исследовал задачу прохождения через резонанс для одномерного осциллятора со слабо меняющейся частотой, Қокран [1962], О’Малли [1968a], [1968b] и Сёрл [1971] применили обобщенный метод к краевым задачам для некоторых нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка, в то время как Кокран [1962] и Акерберг и О’Малли [1970] применили этот метод к уравнениям второго порядка с точками ветвления или пограничным слоем. Там [1968] использовал обобщенную разновидность для решения уравнения Орра-Зоммерфельда.

В механике космического полета Найфэ [1965а] применил обобщенную разновидность метода при анализе задачи о полете аппарата Земля — Луна. Тин и Брофман [1964] и Найфэ [1966] проанализировали задачу старта спутника с малой тягой с круговой орбиты, Ши и Экштейн [1966] исследовали старт с эллиптической орбиты в малой тягой, Кеворкян [1966a] и Брофман [1967] изучили движение спутника с малыми тягой или сопротивлением и Экштейн и Ши [1967] рассмотрели движение спутника с переменной массой и малой тягой. Экштейн, Ши и Кеворкян [1966a] определили движение спутника вокруг основного тела в ограниченной задаче трех тел, в то время как Олфренд и Рэнд [1969] определили устойчивость треугольных точек в эллиптической ограниченной задаче трех тел. Экштейн, Ши и Кеворкян [1966с] оценили члены высших порядков в движении спутника, используя интеграл энергии, а также влияние эксцентриситета и наклонения [1966b]. Ши и Экштейн [1968] рассмотрели движение искусственного спутника, период обращения которого соизмерим с периодом вращения основного тела. В окрестности коллинеарных точек либрации Олфренд [1970] и Найфз [1971b] изучили резонансы при отношении частот два

к одному, а Найфэ и Кемел [1970b] и Олфренд [1971b]-при отношении частот три к одному. Для гамильтоновых систем с двумя степенями свободы Олфренд [1971a] исследовал резонансы при отношении частот два к одному.

Для задач механики полета Эшли [1967] обсуждал роль различных масштабов времени; Найфэ и Сарик [1971b] изучали нелинейные резонансы при движении снаряда со слабой асимметрией. С помощью обобщенной разновидности метода Найфэ [1969a] изучал движение вращающегося снаряда с переменными скоростью вращения и динамическим давлением, но с линейными аэродинамическими характеристиками, в то время как Найфэ и Сарик [1972a] изучали движение с нелинейными динамическими характеристиками и переменными скоростью вращения и динамическим давлением. Рамнат [1970b] изучал динамику переходных процессов для летательного аппарата.

В механике твердого тела Амазиго, Будянски и Кэрриер [1970] рассматривали нелинейное выпучивание неидеальной колонны; Рейсс и Матковский [1971] исследовали нелинейное динамическое выпучивание сжатой упругой колонны. Мортелл [1968] рассматривал задачу о бегущей волне в цилиндрической оболочке и распространение волн по сферической оболочке [1969]. Келли [1965] и Морино [1969] изучали нелинейный флаттер панели, Сприггс, Месситер и Андерсон [1969] рассматривали флаттер мембраны.

В теории дифференциальных уравнений в частных производных Кокран [1962], Найфэ [1965b] и Камсток [1971] изучали эллиптические уравнения. Фаукес ([1968], часть II) получил равномерно пригодные разложения для задач о каустике. Нойберт [1970] получил решения уравнения Гельмгольца для турбулентной воды. Уингейт и Дэвис [1970] рассматривали распространение волн в неоднородном стержне. Келлер и Когельман [1970] для уравнения в частных производных исследовали задачу с нелинейными начальными условиями.

Люк [1966] изучал уравнение Клейна-Гордона и общие вариационные уравнения второго порядка; Эмери [1970] исследовал случай нескольких зависимых переменных и несколько быстро вращающихся фаз. Абловитц и Бенни [1970] для уравнения Клейна — Гордона исследовали эволюцию многофазных колебаний. Найфэ и Хассан [1971] и Найфэ и Сарик [1972b] исследовали нелинейные диспергирующие волны на поверхности раздела двух жидкостей и в горячей электронной плазме. Паркер [1969] рассматривал влияние релаксации и диффузионного демпфирования на диспергирующие волны.

В теории взаимодействия волн Бенни и Саффмэн [1966], Бенни [1967], Дейвидсон [1967], Бенни и Ньюэлл [1967], Хоулт [1968], Ньюэлл [1968] и Бенни и Ньюэлл [1969] исследовали

нелинейное взаимодействие случайных волн в среде с дисперсией. Дейвидсон [1969] изучал эволюцию во времени волновых корреляций в равномерно турбулентной совокупности слабо нелинейных систем с дисперсией.

В теории волн на воде Кэрриер [1966] рассматривал гравитационные волны в воде переменной глубины, Хугстратен [1968], Фримен и Джонсон [1970] изучали волны в мелкой воде в течениях со сдвигом. Джейкобс [1967] решал уравнения приливов. Меррей [1968] рассматривал поверхностные колебания в баке, возникающие при истечении жидкости. Чу и Мей [1970] изучали медленно меняющиеся волны Стокса. Мак Голдрик [1970] и Найфэ [1970b] рассматривали случай резонанса во второй гармонике при взаимодействии капиллярных и гравитационных волн, в то время как Найфэ [1970d], [1971a] исследовал случай резонанса в третьей гармонике.

В теории атмосферы Ньюэлл [1969] рассматривал резонансное взаимодействие пакетов волн Россби, Стоун [1969] — задачу о бароклинных волнах. Шаббар [1971] исследовал механизм резонанса, поддерживающего волны Россби; Линдзен [1971] изучал распространение экваториальных волн Танаи и Кельвина.

В физике плазмы Болл [1964], Тауссиг [1969] и Там [1969], [1970] рассматривали распространение нелинейных волн в холодной плазме; Найфэ [1965c] и Дас [1971] исследовали нелинейные колебания в горячей электронной плазме. Дейвидсон [1968] рассматривал нелинейные колебания в плазме Власова-Максвелла. Пейре [1966] изучал волны в плазме, возникающие в ускорителе; Батлер и Гриббен [1968] рассматривали нелинейные волны в неоднородной плазме. Мароли и Поццоли [1969] изучали проникновение высокочастотных электромагнитных волн в слабо ионизированную плазму. Абрахам-Шраунер [1970a] [1970в] исследовал подавление ухода электронов в газе Лорентца. Чень и Левак [ 1970], Чень [1971] и Прасад [1971] изучали параметрическое возбуждение в плазме, в то время как Левак [1971] рассматривал взаимодействие электростатических волн в плазме. Добровольный и Роджистер [1971] и Роджистер [1971] рассматривали распространение гидромагнитных волн в плазме с большой концентрацией электронов.

В теории гидродинамической устойчивости и устойчивости плазмы Фримен и Резерфорд [1964] развили кинетическую теорию для слабо неустойчивой плазмы; Олбрайт [1970] рассматривал стабилизацию поперечной неустойчивости плазмы. Келли [1967] исследовал устойчивость невязкого слоя со сдвигом. Бенни и Роскес [1969] рассматривали неустойчивость гравитационных волн. Киан [1969] и Найфэ [1969в] изучали неустойчивость Рэлея — Тейлора; Ньюэлл и Уайтхед [1969] рассматривали послекритическую конвекцию Рэлея — Бонара. Найфэ [1970с] исследо-

вал нелинейную устойчивость жидкой струи. Найфэ и Сарик [1971а] изучали нелинейную неустойчивость Қельвина-Гельмгольца; Пюри [1971] исследовал влияние вязкости и наличия мембраны на колебания двух жидкостей, имеющих общую границу. Стюартсон и Стюарт [1971] рассматривали нелинейную устойчивость плоского течения Пуазейля. Митчелл [1971] применил эту методику для исследования неустойчивости горения.

В механике жидкости Жермен [1967] и Лик [1970] дали обзор исследований, выполненных в последнее время по аэродинамике и нелинейному распространению волн в жидкостях с помощью методов сращивания асимптотических разложений, координатных преобразований и многих масштабов. Бенни [1965] исследовал картину течения, которая возникает, когда на стационарное вращение диска накладываются колебания с конечной амплитудой; Барсилон [1970] рассматривал линейную вязкую теорию установившихся течений вращающейся жидкости. Рабберт и Ландал [1937] изучали задачу о трансзвуковом обтекании крыла. Пейре [1970] рассматривал задачу об установившемся течении в канале проводящей сжимаемой жидкости. Чон и Сирович [1971] изучали задачу газовой динамики для установившегося сверхзвукового течения с диссипацией. Чень, Кирш и Ли [1971] рассматривали поведение сильной ударной волны, вызванной точечным взрывом и непрерывно продвигаемой наружу внутренней поверхностью контакта.

В общей физике Кои и Пейн [1967] использовали сочетание метода многих масштабов и метода сращивания асимптотических разложений для решения уравнения Фоккера-Планка, которое описывает реакцию самовозбуждающихся осцилляторов на случайные возбуждения. Браун [1967] разработал стохастическую теорию диссоциации и рекомбинации двухатомных молекул. Рамнат [1970a] получил приближение к модели Томаса-Ферми в атомной физике и рассмотрел класс нелинейных дифференциальных уравнений, возникающих в астрофизике [1971]. Мейер [1971] исследовал рэлеевское рассеяние лазерного луча на тяжелом релятивистском атоме с двумя уровнями энергии; Нинхус [1970] изучал броуновское движение с вращательной степенью свободы.

В статистической механике Маоли [1966] решал уравнение Больцмана, чтобы построить кинетическую теорию высокочастотного резонансного пробоя в газе; Калдирола, де Барбьери и Мароли [1966] решали уравнение Больцмана для функции распределения электронов. Де Барбьери и Маоли [1967] решали уравнение Лиувилля для исследования динамики слабо ионизированных газов; Голдберг и Сандри 11967] и Раманатан и Сандри [1969] вывели системы иерархических уравнений.

В оставшейся части этого параграфа мы опишем три разновидности метода многих масштабов и рассмотрим их применение

к простому линейному демпфируемому осциллятору, который описывается уравнением (6.1.1). В следующих параграфах мы применим эти методики к различным задачам математической физики.

6.1.1. Метод многих переменных (процедура разложения производной)

Подставив (6.1.16) и (6.1.17) в (6.1.1) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях $\epsilon$, получим следующие уравнения для $x_0,x_1$ и $x_2$ :
$$\begin{array}{c}\frac{{\partial }^2{x}_0}{\partial T_0^2}+x_0=0,\\ \frac{{\partial }^2{x}_1}{\partial T_0^2}+x_1\rightleftharpoons -2\frac{\partial x_0}{\partial T_0}-2\frac{{\partial }^2{x}_0}{\partial T_0\partial T_1},\end{array}$$
$$\frac{{\partial }^2{x}_2}{\partial T^2}+x_2=-2\frac{\partial x_1}{\partial T_0}-2\frac{{\partial }^2{x}_1}{\partial T_0\partial T_1}-\frac{{\partial }^2{x}_0}{\partial T_1^2}-2\frac{{\partial }^2{x}_0}{\partial T_0\partial T_2}-2\frac{\partial x_0}{\partial T_1}.$$

Общее решение уравнения (6.1.28) имеет вид
$$x_0=A_0(T_1,T_2)e^{i{T}_0}+{\overline{A}}_0(T_1,T_2)e^{-i{T}_0},$$

где $A_0$ и ${\overline{A}}_0$-комплексно сопряженные величины. Мы получили, попросту говоря, решение (6.1.6), в котором величины $a$ и $\phi$ не постоянны, а являются функциями масштабов медленного времени $T_1$. и $T_2$. Подставляя $x_0$ из (6.1.31) в (6.1.29), получим
$$\frac{{\partial }^2{x}_1}{\partial T_0^2}+x_1=-2i(A_0+\frac{\partial A_0}{\partial T_1})e^{i{T}_0}+2i({\overline{A}}_0+\frac{\partial {\overline{A}}_0}{\partial T_1})e^{-i{T}_0}.$$

Общее решение уравнения (6.1.32a) имеет вид
$$\begin{array}{rl}{x}_1=A_1(T_1,& T_2)e^{i{T}_0}+{\overline{A}}_1(T_1,T_2)e^{-i{T}_0}-\\ & -(A_0+\frac{\partial A_0}{\partial T_1})T_0{e}^{i{T}_0}-({\overline{A}}_0+\frac{\partial {\overline{A}}_0}{\partial T_1})T_0{e}^{-\prime T_n}.\end{array}$$

Сравнение соотношений (6.1.32б) и (6.1.31) показывает, что величнна $\epsilon x_1$ является малой поправой к $x_0$ только при условии, что $\epsilon T_0=\epsilon t$ мало. Чтобы получить разложение, пригодное для больших времен порядка $O\left({\epsilon }^{-1}\right)$, следует потребовать обращения в нуль вековых членов $T_0\exp (\pm i{T}_0)$ в (6.1.32б). Таким образом,
$$A_0+\frac{\partial A_0}{\partial T_1}=0$$

откуда
$$A_0=a_0\left(T_2\right)e^{-T_1}.$$

Тогда равенство (6.1.32б) примет вид
$$x_1=A_1(T_i,T_2)e^{i{T}_0}+{\overline{A}}_1(T_1,T_2)e^{-i{T}_0}.$$

Используя в (6.1.30) выражения для $x_0$ и $x_1$, получим

где принято обозначение
$$Q(T_1,T_2)=2i{A}_1+2i\frac{\partial A_1}{\partial T_1}-a_0{e}^{-T_1}+2i\frac{\partial a_0}{\partial T_2}{e}^{-T_1}.$$

Слагаемые в правой части уравнения (6.1.36) порождают вековые члены, поскольку оно имеет частное решение вида
$$x_2=\frac{1}{2}iQ(T_1,T_2)T_0{e}^{i{T}_0}-\frac{1}{2}i\overline{Q}(T_1,T_2)T_0{e}^{-i{T}_0}.$$

Из-за наличия вековых членов величина ${\epsilon }^2{x}_2$ сравнивается по порядку с $\epsilon x_1$ при больших $t$ порядка $O\left({\epsilon }^{-1}\right)$. Чтобы исключить эти вековые члены, нужно потребовать обращения в нуль величины $Q$, т. е.
$$\frac{\partial A_1}{\partial T_1}+A_1=\frac{1}{2}i(-a_0+2i\frac{\partial a_0}{\partial T_2})e^{-T_1}.$$

Чтобы прийти к уравнению (6.1.39), вовсе не обязательно, вообще говоря, находить решение для $x_2$. Достаточно только, изучив уравнение (6.1.36), исключить те слагаемые, которые порождают вековые члены. Общее решение уравнения (6.1.39) имеет вид
$$A_1=[a_1\left(T_2\right)+\frac{1}{2}i(-a_0+2i\frac{\partial a_0}{\partial T_2})T_1]e^{-T_1}.$$

Подставляя это значение $A_{\mathbf{1}}$ в (6.1.35), получим
$$x_1=[a_1\left(T_2\right)+\frac{1}{2}i(-a_0+2i\frac{\partial a_0}{\partial T_2})T_1]e^{-T_1}{e}^{i{T}_0}+CC,$$

где символом $CC$ обозначено выражение, комплексно сопряженное к предыдущему выражению. Имеем, однако,
$$x_0=[a_0{e}^{i{T}_0}+{\overline{a}}_0{e}^{-i{T}_0}]e^{-T_1}.$$

Поэтому, хотя при $T_1\to \mathrm{\infty }$ и выполнено $x_0\to 0,x_1\to 0$, но величина $\epsilon x_1$ при увеличении $t$ до значений порядка $O\left({\epsilon }^{-2}\right)$ приобретает порядок $O\left(x_0\right)$. Таким образом, разложение $x_0+\epsilon x_1$ нарушается для значений $t$ порядка $O\left({\epsilon }^{-2}\right)$, если только не обратился в нуль коэффициент при $T_1$ в круглых скобках в (6.1.41), т. е.

если только не выполнено
$$-a_0+2i\frac{\partial {\alpha }_0}{\partial T_2}=0,$$

или
$$a_0=a_{00}{e}^{-i{T}_2/2},$$

где $a_{00}$-постоянная. Тогда равенство (6.1.40) принимает вид
$$A_1=a_1\left(T_2\right)e^{-T_1}.$$

Следовательно,
$$\begin{array}{rl}x=e^{-T_1}\{a_{00}{e}^{i(T_0-T_2/2)}& +{\overline{a}}_{00}{e}^{-i(T_0-T_2/2)}+\\ & +\epsilon [a_1\left(T_2\right)e^{i{T}_0}+{\overline{a}}_1\left(T_2\right)e^{-i{T}_0}]\}+O\left({\epsilon }^2\right)\end{array}$$

Доведя разложение до третьего порядка, можно получить функцию $a_1\left(T_2\right)$ вида
$$a_1\left(T_2\right)=a_{11}{e}^{-i{T}_2/2},$$

где $a_{11}$-постоянная. Предположив, что начальные условия задаются равенствами $x(0)=a\cos \phi$ и $\dot{x}(0)=-a(\sin \phi \sqrt{1-{\epsilon }^2}+$ $+\epsilon \cos \phi )$, и заменив $T_n$ на ${\epsilon }^{n}t$, получим
$$x=a{e}^{-\epsilon t}\cos (\dot{t}-\frac{1}{2}{\epsilon }^{2}t+\phi )+R,$$

где $R$-остаточный член. Из (6.1.10) и (6.1.48) находим, что
$$\begin{array}{c}R=a{e}^{-\epsilon t}|\cos (t\sqrt{1-{\epsilon }^2}+\phi )-\cos (t-\frac{1}{2}{\epsilon }^{2}t+\phi )]=\\ =-2a{e}^{-\epsilon t}\sin [\frac{1}{2}(\sqrt{1-{\epsilon }^2}+1-\frac{1}{2}{\epsilon }^2)t+\phi ]\times \\ \times \sin \left[\frac{1}{2}(\sqrt{1-{\epsilon }^2}-1+\frac{1}{2}{\epsilon }^2)t\right]=\\ =-2a{e}^{-\epsilon t}\sin [\frac{1}{2}(\sqrt{1-{\epsilon }^2}+1-\frac{1}{2}{\epsilon }^2)t+\phi ]\times \\ \times \sin \left[(-\frac{1}{16}{\epsilon }^4+\dots )t\right]=O\left({\epsilon }^{4}t\right).\end{array}$$

Для линейных уравнений вида (6.1.1) можно вводить разные масштабы времени, не прибегая к разложению $x$. Так, используя (6.1.17), получим для уравнения (6.1.1)
$$\begin{array}{rl}[\frac{{\partial }^2}{\partial T_0^2}+2\epsilon \frac{{\partial }^2}{\partial T_0\partial T_1}+{\epsilon }^2& (\frac{{\partial }^2}{\partial T_1^2}+2\frac{{\partial }^2}{\partial T_0\partial T_2})+\dots ]x+x=\\ & =-2\epsilon (\frac{\partial }{\partial T_0}+\epsilon \frac{\partial }{\partial T_1}+{\epsilon }^2\frac{\partial }{\partial T_2}+\dots )x\end{array}$$

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в, приходим к соотношениям
$$\begin{array}{c}\frac{{\partial }^{2}x}{\partial T_0^2}+x=0,\\ 2\frac{{\partial }^{2}x}{\partial T_0\partial T_1}=-2\frac{\partial x}{\partial T_0},\\ \frac{{\partial }^{2}x}{\partial T_1^2}+2\frac{{\partial }^{2}x}{\partial T_0\partial T_2}=-2\frac{\partial x}{\partial T_1}.\end{array}$$

Общее решение уравнения (6.1.51) имеет вид
$$x=A(T_1,T_2)e^{i{T}_0}+\overline{A}(T_1,T_2)e^{-i{T}_0}.$$

Подставляя его в (6.1.52), получим
$$(\frac{\partial A}{\partial T_1}+A)e^{i{T}_0}+(\frac{\partial \overline{A}}{\partial T_1}+\overline{A})e^{-i{T}_0}=0.$$

Поскольку уравнение (6.1.55) справедливо при любом $T_0$, коэффициенты при ехр ( $i{T}_0$ ) и ехр (-iT $T_0$ ) должны обратиться в нуль, т. е. должно быть выполнено
$$\frac{\partial A}{\partial T_1}+A=0,$$

откуда имеем
$$A=a\left(T_2\right)e^{-T_1}.$$

Подстановка (6.1.54) в (6.1.53) дает
$$(\frac{{\partial }^{2}A}{\partial T_1^2}+2i\frac{\partial A}{\partial T_2}+2\frac{\partial A}{\partial T_1})e^{i{T}_0}\cdot CC=0.$$

Таким образом,
$$\frac{{\partial }^{2}A}{\partial T_1^2}+2\frac{\partial A}{\partial T_1}+2i\frac{\partial A}{\partial T_2}=0.$$

Подставляя $A$ вида (6.1.57) в (6.1.59), получим
$$2i\frac{\partial a}{\partial T_2}-a=0\text{. }$$

Следовательно, имеем
$$a=a_0{e}^{-i{T}_2/2},$$

где $a_0$-постоянная.
Поэтому решение (6.1.54) принимает вид
$$x=a_0{e}^{-T_1}{e}^{i(T_0-T_2/2)}+CC.$$

Выразив (6.1.62) через $t$, получим
$$x=a{e}^{-\epsilon t}\cos (t-\frac{1}{2}{\epsilon }^{2}t+\phi ),$$

где $a_0=(1/2)a\exp (i\phi )$. Этот результат находится в полном согласии с (6.1.48).

6.1.2. Процедура разложения по двум переменным

Заменив независимую переменную $t$ на переменные $\xi$ и $\eta$ согласно (6.1.21), приведем уравнение (6.1.1) к виду
$$\begin{array}{r}{(1+{\epsilon }^2{\omega }_2+\dots )}^2\frac{{\partial }^{2}x}{\partial {\eta }^2}+2\epsilon (1+{\epsilon }^2{\omega }_2+\dots )\frac{{\partial }^{2}x}{\partial \xi \partial \eta }+{\epsilon }^2\frac{{\partial }^{2}x}{\partial {\xi }^2}+x=\\ =-2\epsilon (1+{\epsilon }^2{\omega }_2+\dots )\frac{\partial x}{\partial \eta }-2{\epsilon }^2\frac{\partial x}{\partial \xi }.\end{array}$$

Будем искать разложение вида
$$x=x_0(\xi ,\eta )+\epsilon x_1(\xi ,\eta )+{\epsilon }^2{x}_2(\xi ,\eta )+\dots .$$

Подставляя (6.1.65) в (6.1.64) и приравнивая коэффициенты при равных степенях $\epsilon$ в обеих частях, получим
$$\begin{array}{c}\frac{{\partial }^2{x}_0}{\partial {\eta }^2}+x_0=0,\\ \frac{{\partial }^2{x}_1}{\partial {\eta }^2}+x_1+2\frac{{\partial }^2{x}_0}{\partial \xi \partial \eta }=-2\frac{\partial x_0}{\partial \eta },\\ \frac{{\partial }^2{x}_2}{\partial {\eta }^2}+x_2+2{\omega }_2\frac{{\partial }^2{x}_0}{\partial {\eta }^2}+2\frac{{\partial }^2{x}_1}{\sigma \xi \partial \eta }+\frac{{\partial }^2{x}_0}{\partial {\xi }^2}=-2\frac{\partial x_1}{\partial \eta }-2\frac{\partial x_0}{\partial \xi }.\end{array}$$

Общее решение уравнения (6.1.66) имеет вид
$$x_0=A_0(\xi )e^{i\eta }+\overline{A_0}(\xi )e^{-i\eta }.$$

С учетом этого решения уравнение (6.1.67) примет вид
$$\frac{{\partial }^2{x}_1}{\partial {\eta }^2}+x_1=-2i(\frac{d{A}_0}{d\xi }+A_0)e^{i\eta }+CC.$$

Желая исключить в (6.1.70) те слагаемые, которые порождают вековые члены, придем к уравнению
$$\frac{d{A}_0}{d\xi }+A_0=0.$$

Следовательно,
$$x_1=A_1(\xi )e^{i\eta }+\overline{A_1}(\xi )e^{-i\eta }.$$

Решение уравнения (6.1.71) имеет вид
$$A_0=a_0{e}^{-\xi }\text{, }$$

где $a_0$ — постоянная.
Подстановка полученных выше решений для $x_0$ и $x_1$ в (6.1.68) даст
$$\frac{{\partial }^2{x}_2}{\partial {\eta }^2}+x_2=[-2i(\frac{d{A}_1}{d\xi }+A_1)+(2{\omega }_2+1)a_0{e}^{-\xi }]e^{i\eta }+CC.$$

Исключая в (6.1.74) те слагаемые, которые порождают вековые члены, придем к уравнению
$$\frac{d{A}_1}{d\xi }+A_1=-\frac{1}{2}i(2{\omega }_2+1)a_{\hat{j}}{e}^{-\xi },$$

которое имеет своим решением функцию
$$A_1=a_1{e}^{-\xi }-\frac{1}{2}i(2{\omega }_2+1)a_0\xi e^{-\xi }.$$

Подставив $A_1$ в $(6.1.72)$ и сравнив результат с (6.1.69), увидим, что отношение $x_1/x_0$ при $\xi \to \mathrm{\infty }$ не ограничено, если только не выполнено условие
$${\omega }_2=-\frac{1}{2}.$$

При выполнении этого условия равенство (6.1.65) запишется в виде следующей функции от $t$ :
$$x=a{e}^{-\epsilon t}\cos (t-\frac{1}{2}{\epsilon }^{2}t+\phi )+O\left({\epsilon }^2\right),$$

где принято $a_0+\epsilon a_1=(1/2)a\exp (i\phi )$. Это выражение полностью согласуется с выражением, полученным с помощью метода многих переменных (метода разложения производной).

6.1.3. Обобщенный метод — нелинейшые масштабы

Преобразуем сначала уравнение (6.1.1) с помощью новой переменной $\tau =\epsilon t$ к виду
$${\epsilon }^2(\frac{{\partial }^{2}x}{\partial {\tau }^2}+2\frac{dx}{d\tau })+x=0.$$

Чтобы получить равномерно пригодное разложение, положим
$$\xi =\tau ,\eta =\frac{g_{-1}(\tau )}{\epsilon }+g_0(\tau )+\epsilon g_1(\tau )+\dots ,g_i(0)=0,$$

где величины $g_i$ будут определены в процессе вычислений. Производные по $\tau$ преобразуются тогда в соответствии с равенствами
$$\begin{array}{rl}\frac{d}{d\tau }& =\frac{\partial }{\partial \xi }+[\frac{g_{-1}^{\prime }(\xi )}{\epsilon }+g_0^{\prime }(\xi )+\epsilon g_1^{\prime }(\xi )+\dots ]\frac{\partial }{\partial \eta },\\ \frac{d^2}{d{\tau }^2}& =\frac{{\partial }^2}{\partial {\xi }^2}+2[\frac{g_{-1}^{\prime }(\xi )}{\epsilon }+g_0^{\prime }(\xi )+\epsilon g_1^{\prime }(\xi )+\dots ]\frac{{\partial }^2}{\partial \xi \partial \eta }+\\ & +[\frac{g_{-1}^{\prime \prime }(\xi )}{\epsilon }+g_0^{\prime \prime }(\xi )+\epsilon g_1^{\prime \prime }(\xi )+\dots ]\frac{\partial }{\partial \eta }+\\ & +{[\frac{g_{-1}^{\prime }(\xi )}{\epsilon }+g_0^{\prime }(\xi )+\epsilon g_1^{\prime }(\xi )+\dots ]}^2\frac{{\partial }^2}{\partial {\eta }^2}.\end{array}$$

Предположим, что $x$ представляется равномерно пригодным разложением вида
$$x=x_0(\xi ,\eta )+\epsilon x_1(\xi ,\eta )+{\epsilon }^2{x}_2(\xi ,\eta )+\dots .$$

Подставляя (6.1.81)-(6.1.83) в (6.1.79) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $\epsilon$, получим
$$\begin{array}{c}{g}_{-1}^{\prime 2}\frac{{\partial }^2{x}_0}{\partial {\eta }^2}+x_0=0\\ g_{-1}^{\prime 2}\frac{{\partial }^2{x}_1}{\partial {\eta }^2}+x_1+2g_{-1}^{\prime }{g}_0^{\prime }\frac{{\partial }^2{x}_0}{\partial {\eta }^2}+g_{-1}\frac{\partial x_0}{\partial \eta }+2g_{-1}^{\prime }\frac{{\partial }^2{x}_0}{\partial \xi \partial \eta }+2g_{-1}^{\prime }\frac{\partial x_0}{\partial \eta }=0\end{array}$$

Общее решение уравнения (6.1.84) имеет вид
$$x_0=A_0(\xi )\exp \left(i\frac{\eta }{g_{-1}^{\prime }}\right)+{\overline{A}}_0(\xi )\exp (-i\frac{\eta }{g_{-1}^{\prime }})\text{. }$$

Подстановка этого выражения для $x_0$ в (6.1.85) дает
$$\begin{array}{rl}{g}_{-1}^{\prime 2}\frac{{\partial }^2{x}_1}{\partial {\eta }^2}+x_1& =-[(-\frac{2g_0^{\prime }}{g_{-1}^{\prime }}+i\frac{g_{-1}^{\prime \prime }}{g_{-1}^{\prime }}+2i)A_0+\\ & +2i{g}_{-1}^{\prime }{\left(\frac{A_0}{g_{-1}^{\prime }}\right)}^{\prime }+2\frac{g_{-1}^{\prime \prime }}{g_{-1}^{\prime 2}}{A}_0\eta ]\exp \left(i\frac{\eta }{g_{-1}^{\prime }}\right)+CC.\end{array}$$

Слагаемые в правой части (6.1.87), вообще говоря, порождают вековые члены. Чтобы избежать вековых членов, следует положить
$$(-\frac{2g_0^{\prime }}{g_{-1}^{\prime }}+i\frac{g_{-1}^{\prime \prime }}{g_{-1}^{\prime }}+2i)A_0+2i{g}_{-1}^{\prime }{\left(\frac{A_0}{g_{-1}^{\prime }}\right)}^{\prime }+2\frac{g_{-1}^{\prime \prime }}{g_{-1}^{\prime 2}}\eta A_0=0.$$

Уравнение (6.1.88) должно выполняться для любого $\eta$, а величина $A_{0}eq0$ для нетривиального решения; потребуем поэтому
$$g_{-1}^{\ast }=0\text{ или }{g}_{-1}=c\xi \text{, поскольку }\eta (0)=0.$$

Здесь $c$-произвольная постоянная, которую, не теряя общности, можно положить равной единице. Тогда уравнение (6.1.88) примет

вид
$$A_0^{\prime }+(1+i{g}_0^{\prime })A_0=0$$

и будет иметь своим решением функцию
$$A_0=a_0{e}^{-\xi -i{g}_0(\xi )},$$

где $a_0$ — постоянная. Поскольку $A_0$ и $g_{-1}$ найдены, имеем
$$x_0=a_0{e}^{-\tau }{e}^{t(\tau /\epsilon )}+{\overline{a}}_0{e}^{-\tau }{e}^{-i(\tau /\epsilon )}.$$

Из равенства (6.1.92) видно, что величина $g_0$ сократилась, и, следовательно, решение не зависит от значения $g_0$. Поэтому без потери общности можно положить ее равной нулю. Тогда $A_0$ принимает вид
$$A_0=a_0{e}^{-\xi }.$$

С учетом (6.1.88) получим следующее решение для $x_1$ :
$$x_1=A_1(\xi )e^{i\eta }+\overline{A_1}(\xi )e^{-i\eta }.$$

Зная функции $g_{-1}=\xi$ и $g_0=0$, можно получить уравнение для $x_2$. Подставим с этой целью соотношения (6.1.81)-(6.1.83) в (6.1.79) и приравняем нулю коэффициент при ${\epsilon }^2$. Получим
$$\frac{{\partial }^2{x}_2}{\partial {\eta }^2}+x_2+2\frac{{\partial }^2{x}_1}{\partial \xi \partial \eta }+2\frac{\partial x_1}{\partial \eta }+2g_1^{\prime }\frac{{\partial }^2{x}_0}{\partial {\eta }^2}+\frac{{\partial }^2{x}_0}{\partial {\xi }^2}+2\frac{\partial x_0}{\partial \xi }=0.$$

Подстановка выражений для $x_0$ и $x_1$ в (6.1.95) дает
$$\frac{{\partial }^2{x}_2}{\partial {\eta }^2}+x_2=-[2i(A_1^{\prime }+A_1)-(2g_1^{\prime }+1)a_0{e}^{-\xi }]e^{i\eta }+CC.$$

Исключая в (6.1.96) слагаемые, которые порождают вековые члены, получим
$$A_1^{\prime }+A_1=-\frac{1}{2}i(2g_1^{\prime }+1)a_0{e}^{-\xi }.$$

Решение уравнения (6.1.97) имеет вид
$$A_1=a_1{e}^{-\xi }-\frac{1}{2}i{a}_0(2g_1+\xi )e^{-\xi },$$

где $a_1$-постоянная. Из равенства (6.1.98) видно, что отношение $x_1/x_0$ при $\xi \to \mathrm{\infty }$ не ограничено, если только не выполнено
$$g_1=-\frac{1}{2}\xi .$$

При использовании переменной $t=\tau /\epsilon$ разложение примет вид
$$x=a{e}^{-\epsilon t}\cos (t-\frac{1}{2}{\epsilon }^{2}t+\phi )+O\left({\epsilon }^2\right),$$
где принято $a_0+\epsilon a_1=(1/2)a\exp (i\phi )$. Это разложение опять-таки согласуется с разложениями, полученными с помощью разновидностей метода многих масштабов-метода разложения производной и метода разложения двух переменных.