Главная > Методы возмущений (А.Х. Найфэ)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Составные разложения, полученные в п. 4.1.1-4.1.7, являются частным случаем разложений вида
y(x;ε)=yo(x;ε)+yi(ζ;ε)(yo)i=yo+yi(yi)o,

где y-зависимая переменная, ε-малый параметр, x-внешняя переменная, ζ-внутренняя переменная. Составное разложение может рассматриваться как сумма двух членов F(x;ε)=y и G(ζ;ε)=yi(yo)i, т. е.
y(x;ε)=F(x;ε)+G(ζ;ε).

Вместо того чтобы определять внешнее и внутреннее разложения, сращивать их и затем строить составное разложение, Бромберг [1956] и Вишик и Люстерник [1957] предположили, что решение имеет вид (4.2.1б) и пригодно всюду. Следовательно, оно удовлетворяет всем граничным условиям. Взяв внешний предел от (4.2.1б) получим
yo(x;ε)=F+Go.

Эта функция должна удовлетворять исходному дифференциальному уравнению, выраженному через внешнюю переменную. Аналогично, функция
yi=Fi+G

должна удовлетворять исходному дифференциальному уравнению, записанному через внутреннюю переменную. Чтобы найти приближенное решение, F и G раскладывают по ε и для каждого уровня приближения получают уравнения и краевые условия. Этот метод применил Чудов [1966] для вязкого обтекания плоской пластины. Вариант метода Бромберга заново открыл О’Малли [1971].

Другой метод составных разложений ранее был предложен Латта [1951]. В соответствии с этим методом предполагалось, что решение также имеет вид (4.2.1б), но G является функцией внешней переменной и внутренней переменной ζ, которая имела более общий вид g(x)/δ(ε), а не x/δ(ε), причем функция g определялась в результате анализа. Кроме того, Латта исследовал внутреннее разложение и искал специальные функции, которые могут быть использованы для представления G(x,ζ;ε).

Ниже мы проиллюстрируем оба метода, применив их к частным примерам.

4.2.1. Уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
Рассмотрим задачу
εy+y+y=0,0x1,y(0)=α,y(1)=β.

Как показано в п. 4.1.1, прямое разложение становится непригодным вблизи точки x=0, а чтобы описать поведение y в области неравномерности, вводилось внутреннее разложение, использующее преобразование растяжения ζ=xε1. Было показано, что внутреннее разложение содержит функцию eζ=ex/ε. Поскольку при дифференцировании функция ex/ε выражается через саму себя, то нет других специальных функций, необходимых для представления составного разложения. Поэтому Латта пред-

положил, что y имеет равномерно пригодное разложение вида
y=n=0εnfn(x)+ex/εn=0εnhn(x)

Подставляя (4.2.3) в (4.2.2а) и (4.2.2б) и приравнивая к нулю коэффициенты при εn и εnex/ε для всех n, получим уравнения для fn и hn. Уравнения для n=0,1 и 2 имеют вид
f0+f0=0,h0h0=0,f1+f1=f0,h1h1=h0,f2+f2=f1,h2h2=h1.

Краевые условия имеют вид
f0(1)=β,f0(0)+h0(0)=α,fn(1)=0,fn(0)+hn(0)=0 при n1.

Здесь мы пренебрегли экспоненциально малыми членами e1/εhn(1).
Решения уравнений (4.2.4) с краевыми условиями (4.2.7) имеют вид
f0=βe1x,h0=(αβe)ex.

Подставив (4.2.9) в (4.2.5) и решив полученные уравнения при краевых условиях (4.2.8), получим
f1=β(1x)e1x,h1=[βe+(αβe)x]ex.

Подставляя решение первого порядка в (4.2.6) и решая полученные уравнения при краевых условиях (4.2.8), получим
f2=12β(1x)(5x)e1x,h2=[52βe+(2α3βe)x+12(αβe)x2]ex.

Используя полученные решения, найдем разложение (4.2.3). Имеем
y=β[1+ε(1x)+12(1x)(5x)]e1x++{αβe+ε[βe+(αβe)x]++ε2[52βe+(2α3βe)x+12(αβe)x2]}exx/ε+O(ε3).

Легко проверить, что внешнее разложение (предел при ε0 и фиксированном x ) первых двух членов этого разложения дается выражением (4.1.49), а внутреннее разложение ( ε0 при фиксированном ζ=x/ε ) дается выражением (4.1.76). Таким обра-

зом, метод составных разложений дает равномерно пригодное разложение непосредственно без определения внешнего и внутреннего разложений, сращивания их и построения затем составного разложения.

Найдем теперь разложение для y с использованием метода Бромберга и Вишика и Люстерника. Предположим, что
y(x;ε)=F(x;ε)+G(ζ;ε)==F0(x)+G0(ζ)+ε[F1(x)+G1(ζ)]+ε2[F2(x)+G2(ζ)]+,

причем функцией G(ζ;ε) вне внутренней области можно пренебречь (Бромберг [1956]), т. е. G(ζ;ε)0 при ζ, поэтому
yo(x;ε)=F(x;ε)=F0(x)+εF1(x)+ε2F2(x)+.

Поскольку x=εζ, то
yi(x;ε)=F0(0)+G0(ζ)+ε[F0(0)ζ+F1(0)+G1(ζ)]++ε2[12F0(0)ζ2+F1(0)ζ+F2(0)+G2(ζ)]+.

Так как предполагается, что функцией G(ζ;ε) вне пограничного слоя можно пренебречь, то F(x;ε) удовлетворяет граничному условию y(1)=β. Следовательно,
F0(1)=β,Fn(1)=0 при n1.

Граничному условию y(0)=α должна удовлетворять функция F+G, т. е.
F0(0)+G0(0)=α,Fn(0)+Gn(0)=0 при n1.

Чтобы найти уравнения для Fn, подставим (4.2.14) в (4.2.2а) и приравняем коэффициенты при равных степенях ε, предполагая x фиксированным. Получим
F0+F0=0,Fn+Fn=Fn1 при n1.

Чтобы определить уравнение для Gn, выразим сначала (4.2.2а) через внутреннюю переменную ζ. Имеем
d2ydζ2+dydζ+εy=0.

Подставляя (4.2.15) в (4.2.20), приравнивая коэффициенты при равных степенях ε и считая ζ фиксированным, получим
G0+G0=0G1+G1=G0F0(0)F0(0),G2+G2=G1[F0(0)+F0(0)]ζF0(0)F1(0)F1(0).

Решение уравнения (4.2.18) при условии (4.2.16) имеет вид
F0=βe1x.

Следовательно, из (4.2.17) G0(0)=αβe, и, таким образом, решение уравнения (4.2.21), стремящееся к нулю при ζ, имеет вид
G0=(αβe)eζ.

Решение уравнения (4.2.19) при краевом условии (4.2.16) в случае n=1 имеет вид
F1=β(1x)e1x,

что вместе с условием (4.2.17) дает G1(0)=β. Подставляя выражения для F0 и G0 в (4.2.22), получим
G1+G1=(αβe)eζ.

Решение этого уравнения, подчиненное условию G1(0)=βe и стремящееся к нулю при ζ, имеет вид
G1=[(αβe)ζβe]eξ.

Переходя ко второму порядку, получим, что решение уравнения (4.2.19) при условии (4.2.16) имеет вид
F2=12β(1x)(5x)e1x.

Поэтому из (4.2.17) получим G2(0)=5βe/2, и уравнение (4.2.23) примет вид
G9+G2=[(αβe)ζβe]eζ.

Решение этого уравнения при условии G2(0)=5βe/2, стремящееся к нулю при ζ, имеет вид
G2=[12(αβe)ζ2+(α2βe)ζ52βe]eζ.

Таким образом, первые два члена результирующего равномерно пригодного разложения в точности совпадают с решением (4.1.81), полученным ранее с помощью метода сращивания асимптотических разложений.

4.2.2. Уравнение второго порядка с переменными коэффициентами

В качестве второго примера рассмотрим следующую задачу, которая является частным случаем задачи, рассмотренной в II. 4.1.3:
εy+(2x+1)y+2y=0,0x1,y(0)=α,y(1)=β.

Поскольку коэффициент при y положителен, неравномерность будет иметь место в окрестности x=0. Чтобы описать поведение y в области неоднородности, необходимо ввести преобразование растяжения ζ=xε1 и внутреннее разложение описывать с помощью функции eξ=ex/ε. Поскольку задача содержит переменные коэффициенты, то y имеет равномерно пригодное разложение вида
y=n=0εnfn(x)+eg(x)/εn=0εnhn(x),

где функция g(x), которая определитя при анализе, эквивалентна x при x0. Подставляя (4.2.32) в (4.2.30) и (4.2.31) и приравнивая нулю коэффициенты при εn и εneg(x)/ε при всех n, получим уравнения для определения g,fn и hn. Первые три уравнения и краевые условия имеют вид
h0g[g(2x+1)]=0,(2x+1)f0+2f0=0,(2g+2x+1)h0+(2g)h0=0,f0(1)=β,f0(0)+h0(0)=α.

Чтобы существовало нетривиальное решение для h0, в силу (4.2.33) требуется, чтобы
g=0 или g=2x+1.

Первый случай (4.2.37) приводит к g= const и должен быть отброішен, так как g(x)/x1 при x0. Следовательно,
g=x2+x.

Решение уравнения (4.2.34), подчиненное условию f0(1)=β, имеет вид
f0=3β2x+1.

Подставив (4.2.38) в (4.2.35) и решив полученное уравнение при условии (4.2.36), получим
h0=α3β

Поэтому
y=3β2x+1+(α3β)e(x2+x)/ε+O(ε).

Рассмотрим далее применение второго варианта метода составных разложений в этой задаче. В этом случае можно применить (4.2.13)-(4.2.17). Подставляя (4.2.14) в (4.2.30), прирав-

нивая коэффициенты при равных степенях ε к нулю и полагая x фиксированным, получим
(2x+1)F0+2F0=0,(2x+1)F1+2F1=F0.

Чтобы получить уравнение для Gn, выразим (4.2.30) через внутреннюю переменную ζ=x/ε. Имеем
d2ydξ2+(1+2εζ)dydζ+2y=0.

Подставляя (4.2.15) в это уравнение, приравнивая коэффициенты при равных степенях ε и считая ζ фиксированным, получим
G0+G0=0,G1+G1=2ζG02G02F0(0)F0(0).

Решение уравнения (4.2.42), подчиненное условию (4.2.16), имеет вид
F0=3β2x+1.

Это выражение вместе с (4.2.17) дает G0(0)=α3β. Следовательно, решение уравнения (4.2.45), стремящееся к нулю при ζ, имеет вид
G0=(α3β)eζ.

Подставляя выражение для F0 в (4.2.43) и решая полученное уравнение при условии (4.2.16), придем к
F1=8β(1x)(2+x)3(1+2x)3.

Тогда (4.2.17) дает G1(0)=16β/3, а (4.2.46) принимает вид
G1+G1=2(α3β)(ζ1)eξ.

Решение этого уравнения, стремящееся к нулю при ζ, имеет вид
G1=[163β+(α3β)ζ2]eζ.

Поэтому
y=3β2x+1+ε8β(1x)(2+x)3(1+2x)3+(α3β)eζ[163β+(α3β)ζ2]e5+O(ε2).

4.2.3. Краевая задача с начальными условиями для уравнения теплопроводности

В качестве третьего примера применения метода составных разложений рассмотрим краевую задачу с начальными условиями для уравнения теплопроводности, поставленную Келлером [1968]. Предположим, что температура u(x,t;ε) зависит от одной пространственной переменной x, которая изменяется от 0 до b(εt), где b-известная функция, а ε-малый параметр. Таким образом, b-слабо меняющаяся функция t. Математически задача записывается в виде
ut=uxx,0xb(εt),u(0,t)=φ(εt),u[b(εt),t]=0,u(x,0)=ψ(x),0xb(0).

Заменив переменную t на τ=εt, уравнение (4.2.51) и краевые условия (4.2.52) перепишем в виде
εuτ=uxx,0xb(τ),u(0,τ)=φ(τ),u[b(τ),τ]=0.

Поскольку ε умножается на uτ, то прямое разложение метода возмущений при малом ε и фиксированном τ не может, вообще говоря, удовлетворить начальному условию (4.2.53) и неравномерно вблизи τ=0 всюду, за исключением окрестности концов. Чтобы описать поведение функции u в окрестности t=0, необходимо применить преобразование растяжения t=τ/ε. Как подтвердится ниже, функция, описывающая поведение в этой области, имеет вид exp[g(τ)/ε], где g(τ)/τ1 при τ0. Поэтому предположим, что равномерно пригодное асимптотическое разложение для и имеет вид
u=n=0εnfn(x,τ)+eg(τ)/εn=0εnhn(x,τ).

Подставляя это разложение в (4.2.53)-(4.2.55) и приравнивая к нулю коэффициенты при εn и εneg(τ)/ε для всех n, получим
f0,xx=0,f0(0,τ)=φ(τ),f0[b(τ),τ]=0,h0,xx+gh0=0,h0(0,τ)=0,h0[b(τ),τ]=0,f0(x,0)+h0(x,0)=ψ(x),0xb(0)

и при n1
fn,xx=fn1,τ,fn(0,τ)=fn[b(τ),τ]=0,hn,xx+ghn=hn1,τ,hn(0,τ)=hn[b(τ),τ]=0,hn,xx+ghn=hn1,τ,hn(0,τ)=hn[bτ),τ]=0,fn(x,0)+hn(x,0)=0,

где через g обозначено dg/dτ.

Решение задачи (4.2.57) имеет вид
f0=φ(τ)[1xb(τ)].

Поскольку краевые условия для h0 однородны, то уравнение для h0 имеет нетривиальное решение, только если g равно одному из собственных значений
gk=[kπb(τ)],k=1,2,.

Соответствующие нормированные собственные функции имеют вид
χk=[2b(τ)]1/2sinkπxb(τ).

Следовательно,
h0=a0(τ)χk(x,τ),

где a0 — неизвестная пока функция, которая определится при исследовании уравнения для h1.

При известном h0 уравнение (4.2.61) в случае n=1 примет вид
h1,xx+gkh1=a0χk+a0χk,τ,h1(0,τ)=h1[b(τ),τ]=0.

Предположим, что h1 может быть разложено по собственным функциям χk, т. е.
h1=s=1cs(τ)χs(x,τ)

Подставляя (4.2.68) в (4.2.67) и используя тот факт, что χs,xx= =gsχs, получим
s=1(gkgs)csχs=a0χk+a0χk,τ.

Если мы теперь умножим это уравнение на χk и проинтегрируем от x=0 до b(τ), то правая часть обратится в нуль, так как χk ортогональна χs при keqs, а gs=gk при k=s. Поэтому
0b(τ)(a0χk2+a0χk,τχk)dx=0.

Это является условием разрешимости задачи (4.2.67). Поскольку
0b(τ)χk2dx=1,
To
ddτ1b(τ)χk2dx=0=b(τ)χk2[b(τ),τ]+20b(τ)χkχk,τdx=0.

Так как χk[b(τ),τ]=0, то
0b(τ)χkχk,τdx=0.

Следовательно, (4.2.70) и (4.2.71) приводят к
a0= const. 

Поэтому решение нулевого порядка имеет вид
u(x,τ;ε)=φ(τ)[1xb(τ)]++k=1ak[2b(τ)]1/2sinkπxb(τ)exp[k2π2ε0τb2(ξ)dξ]+O(ε),

где ak-постоянная, определяемая равенством
ak=[2b(0)]1/20b(0){ψ(x)φ(0)[1xb(0)]}sinkπxb(0)dx.

4.2.4. Ограничения метода составных разложений

При попытке применить метод Латты к нелинейным задачам могут возникнуть осложнения. Кроме того, могут возникнуть трудности, если для описания поведения рассматриваемой функции во внутренней области необходимо использовать большое число специальных функций. Несмотря на эти ограничения, этот метод является огправной точкой для развития метода многих масштабов, описанного в гл. 6.

Модифицированный метод составных разложений Бромберга, Вишика и Люстерника преодолевает эти осложнения, как будет показано на примере применения этого метода к нелинейному уравнению
12(dxdt)2=1μx+μ1x,t(0)=0,

описывающему одномерную задачу о космическом корабле ЗемляЛуна, которая изучалась в п. 4.1.7 с помощью метода сращивания асимптотических разложений.

Предположим, что составное разложение имеет вид
t(x;μ)=F0(x)+G0(ξ)+μ[F1(x)+G1(ξ)]+,

где ξ=(1x)/μ внутренняя переменная, найденная в п. 4.1.7, и Gn0 при ξ. Начальное условие t(0)=0 дает
F0(0)=F1(0)=0.

Из (4.2.78) имеем
t0=F0(x)+μF1(x)+.

Это разложение, будучи подставленным в (4.2.77), дает
2F02=x,F1F03=1x+1x1.

Решения этих уравнений, подчиненные условиям (4.2.79), имеют вид
2F0=23x3/2,2F1=23x3/2+x12ln1+x1x.

Из (4.2.78) и (4.2.82) следует
2ti=23+2G0(ξ)+μ[ξ+53+12lnμξ4+2G1(ξ)]+.

Чтобы определить G0 и G1, перейдем в уравнении (4.2.77) к внутренней переменной ξ. Имеем
12μ2(dξdt)2=1μ1μξ+1ξ.

Подставляя (4.2.83) в это уравнение и приравнивая коэффициенты при равных степенях μ, получим
G0=0,[2G1+12lnξξ]=(1+1ξ)1/2.

Решение уравнения (4.2.85), стремящееся к нулю при ξ, есть G0=0, в то время как решение уравнения (4.2.86), стремящееся к нулю при ξ, имеет вид
2G1=ξξ(ξ+1)+Arshξ12lnξ+12ln2.

Подставляя в (4.2.78) выражения для F0 и F1 из (4.2.82) и используя найденные значения G0 и G1, получим разложение, в точности совпадающее с (4.1.202), которое было получено с помощью метода сращивания асимптотических разложений.

Упражнения

4.1. Рассмотреть задачу
εy+y=2x,y(0)=α,y(1)=β.
(a) Определить трехчленное внешнее разложение.
(б) Определить трехчленное внутреннее разложение.
(в) Срастить оба эти разложения и построить составное разложение.
(г) Определить трехчленное равномерно пригодное разложение, используя метод составных разложений (МСР) и сравнить результат с результатом (в).

4.2. Определить разложения второго порядка (трехчленные разложения) для задачи
εyy=2x,y(0)=α,y(1)=β,
используя а) метод сращивания асимптотических разложений (MCAP) и б) МСР.

4.3. Определить равномерно пригодные разложения второго порядка для задач
εy±(2x+1)y+2y=0,y(0)=α,y(1)=β,
используя а) МСАР, б) метод Латты и в) метод Бромберга-Вишика-Люстерника.

4.4. Определить равномерно пригодные разложения первого порядка для задачи
εya(x)y+b(x)y=0,a(x)>0,y(0)=α,y(1)=β,
используя а) МСАР и б) МСР.

4.5. Рассмотреть задачу
εyy+y=0,y(0)=x,y(1)=β,y(1)=γ.
a) Показать, что пограничный слой существует у обоих концов и характеризуется преобразованиями растяжения
η=x/ε и ζ=(1x)/ε.
б) Определить равномерно пригодное разложение второго порядка, используя МСАР.
в) Определить разложение второго порядка, используя МСР и полагая
y=F(x;ε)+G(η;ε)+H(ζ;ε),
где G0 при η и H0 при ξ.

4.6. Определить равномерно пригодные разложения первого порядка (двучленные равномерно пригодные разложения) для задачи (2.2.28)-(2.2.30), используя оба варианта MCP.

4.7. Показать, что МСАР не может быть использован для получения равномерно пригодного разложения для
ε2y+y=f(x),y(0)=α,y(1)=β.
Можно ли из этого примера заключить, что МСАР неприменим к задачам колебаний?

4.8. Рассмотреть задачу, определяемую (2.2.28) при arb с граничными условиями
u(b)=bα,dudr(b)=α.

Определить двучленные равномерно пригодные разложения, используя а) МСАР и б) МСР.

4.9. Колебания балки с жестко закрепленными концами описываются уравнением
ε2d4udx4d2udx2=λ2u,u(0)=u(1)=u(0)=u(1)=0.

Определить разложение первого порядка при малых ε для u и λ.

4.10. Теплопередача в одномерном стационарном потоке без диссипации описывается краевой задачей (Xанкс [1971])
εd2Tdx2+xdTdxxT=0.T(0)=T0,T(l)=Tl.
Определить разложения первого порядка, используя а) MCAP и б) два варианта МСР.

4.11. Определить равномерно пригодное разложение первого порядка для уравнения
(x+εy)y+(2+x)y=0,y(1)=Ae1,
используя МСАР. Можно ли сделать вывод, что метод растянутых координат (MPK) является более пригодным к таким задачам?

4.12. Определить одночленные разложения для решения задач
εy±(2x+1)y+y2=0,y(0)=α,y(1)=β,
используя МСАР и МС.Р.

4.13. Определить одночленные разложения для
y+a(x)y+y2=0,y(0)=α,y(1)=β,
используя МСАР и МСР, если a(x) а) отрицательно и б) положительно на интерва;і 0x1.

4.14. Определить разложение первого порядка для задачи из предыдущего упражнения, если a(x) имеет простой нуль μ, где 0μ1.

4.15. Определить равномерно пригодные разложения первого порядка для
εy±yyy=0,y(0)=α,y(1)=β,
испотьзуя МСАР и МСР.

4.16. Ламинарный поток в канале с пористыми стенками в случае всасывання приводит к задаче (Праудмен [1960]; Террил и Шреста [1965])
εfff+f2=c(ε),f(0)=1α=a,f(0)=0,f(1)=1,f(1)=0.
При положительных a : а) показать, что внешнее и внутреннее раз.тожения первого порядка имеют вид
f0=achxb+εf1(x)+,fi=1+εB(1ηeη)+,η=(1x)/ε,β=ab+εβ1+,x=β2,
и определить b,B,β1 и f1; б) сформировать составное разложение; в) определить разложение первого порядка, используя МСР.

4.17. Рассмотреть задачу из предыдущего упражнения в случае a<0.
a) Показать, џто равномерно пригодное разложение дается выражениями
fo=1α+αx+εf1(x)+,fi=1+α(1ηeη)+,η=(1x)/ε,f=a+εαa1(1ζeζ)+,ζ=(α1)x/ε,β=α+εβ1+,c=β2,
и определить f1 и β1.
б) Построить составное разложение.
в) Определить разложение первого порядка, используя МСР.

4.18. Рассмотреть задачу
εuxx+uyy+a(x)ux=0,u(0,y)=F1(y),u(1,y)=F2(y),u(x,0)=G1(x),u(x,1)=G2(x).
a) Показать, что пограничный слой присутствует при x=0, если a(x)>0, и при x=1, если a(x)<0. В первом случае он характеризуется переменцой ξ=x/ε, а во втором ζ=(1x)/ε.
б) Найти уравнения, определяющие первые члены внешнего и внутреннего разложений, и срастить эти разложения.
в) Используя метод Латта, показать, что
u=A(x,y)+B(x,y)eQ(x)/ε+O(ε),
где
Q(x)=0xa(x)dx при a(x)>0
и
Q(x)=x1a(x)dx при a(x)<0.
Определить уравнения для A и B.

4.19. Рассмотреть задачу
ε(uxx+uyy)+a(x,y)ux+b(x,y)u=0,u(x,0)=F1(x),u(x,1)=F2(x),u(0,y)=G1(y),u(1,y)=G2(y).
a) Найти уравнения для первых членов внешнего и внутренчего разложений и срастить эти разложения.
б) Использовать МСР для получения равномерно пригодного разложения первого порядка.

4.20. Рассмотреть задачу
ε2abla4u+a(x,y)uxx+b(x,y)ux+c(x,y)uy=0,u(x,0)=F1(x),u(x,1)=F2(x),u(0,y)=G1(y),u(1,y)=G2(y).
Определить уравнения для первых членов внешнего и внутреннего разложений и срастить их.

4.21. Используя МСР, получить равномерное разложение при больших R для задачи (2.1.37)-(2.1.40), описывающей обтекание сферы.

1
Оглавление
email@scask.ru