Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Составные разложения, полученные в п. 4.1.1-4.1.7, являются частным случаем разложений вида где Вместо того чтобы определять внешнее и внутреннее разложения, сращивать их и затем строить составное разложение, Бромберг [1956] и Вишик и Люстерник [1957] предположили, что решение имеет вид (4.2.1б) и пригодно всюду. Следовательно, оно удовлетворяет всем граничным условиям. Взяв внешний предел от (4.2.1б) получим Эта функция должна удовлетворять исходному дифференциальному уравнению, выраженному через внешнюю переменную. Аналогично, функция должна удовлетворять исходному дифференциальному уравнению, записанному через внутреннюю переменную. Чтобы найти приближенное решение, Другой метод составных разложений ранее был предложен Латта [1951]. В соответствии с этим методом предполагалось, что решение также имеет вид (4.2.1б), но Ниже мы проиллюстрируем оба метода, применив их к частным примерам. 4.2.1. Уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами Как показано в п. 4.1.1, прямое разложение становится непригодным вблизи точки положил, что Подставляя (4.2.3) в (4.2.2а) и (4.2.2б) и приравнивая к нулю коэффициенты при Краевые условия имеют вид Здесь мы пренебрегли экспоненциально малыми членами Подставив (4.2.9) в (4.2.5) и решив полученные уравнения при краевых условиях (4.2.8), получим Подставляя решение первого порядка в (4.2.6) и решая полученные уравнения при краевых условиях (4.2.8), получим Используя полученные решения, найдем разложение (4.2.3). Имеем Легко проверить, что внешнее разложение (предел при зом, метод составных разложений дает равномерно пригодное разложение непосредственно без определения внешнего и внутреннего разложений, сращивания их и построения затем составного разложения. Найдем теперь разложение для причем функцией Поскольку Так как предполагается, что функцией Граничному условию Чтобы найти уравнения для Чтобы определить уравнение для Подставляя (4.2.15) в (4.2.20), приравнивая коэффициенты при равных степенях Решение уравнения (4.2.18) при условии (4.2.16) имеет вид Следовательно, из (4.2.17) Решение уравнения (4.2.19) при краевом условии (4.2.16) в случае что вместе с условием (4.2.17) дает Решение этого уравнения, подчиненное условию Переходя ко второму порядку, получим, что решение уравнения (4.2.19) при условии (4.2.16) имеет вид Поэтому из (4.2.17) получим Решение этого уравнения при условии Таким образом, первые два члена результирующего равномерно пригодного разложения в точности совпадают с решением (4.1.81), полученным ранее с помощью метода сращивания асимптотических разложений. 4.2.2. Уравнение второго порядка с переменными коэффициентами В качестве второго примера рассмотрим следующую задачу, которая является частным случаем задачи, рассмотренной в II. 4.1.3: Поскольку коэффициент при где функция Чтобы существовало нетривиальное решение для Первый случай (4.2.37) приводит к Решение уравнения (4.2.34), подчиненное условию Подставив (4.2.38) в (4.2.35) и решив полученное уравнение при условии (4.2.36), получим Поэтому Рассмотрим далее применение второго варианта метода составных разложений в этой задаче. В этом случае можно применить (4.2.13)-(4.2.17). Подставляя (4.2.14) в (4.2.30), прирав- нивая коэффициенты при равных степенях Чтобы получить уравнение для Подставляя (4.2.15) в это уравнение, приравнивая коэффициенты при равных степенях Решение уравнения (4.2.42), подчиненное условию (4.2.16), имеет вид Это выражение вместе с (4.2.17) дает Подставляя выражение для Тогда (4.2.17) дает Решение этого уравнения, стремящееся к нулю при Поэтому 4.2.3. Краевая задача с начальными условиями для уравнения теплопроводности В качестве третьего примера применения метода составных разложений рассмотрим краевую задачу с начальными условиями для уравнения теплопроводности, поставленную Келлером [1968]. Предположим, что температура Заменив переменную Поскольку Подставляя это разложение в (4.2.53)-(4.2.55) и приравнивая к нулю коэффициенты при и при где через Решение задачи (4.2.57) имеет вид Поскольку краевые условия для Соответствующие нормированные собственные функции имеют вид Следовательно, где При известном Предположим, что Подставляя (4.2.68) в (4.2.67) и используя тот факт, что Если мы теперь умножим это уравнение на Это является условием разрешимости задачи (4.2.67). Поскольку Так как Следовательно, (4.2.70) и (4.2.71) приводят к Поэтому решение нулевого порядка имеет вид где 4.2.4. Ограничения метода составных разложений При попытке применить метод Латты к нелинейным задачам могут возникнуть осложнения. Кроме того, могут возникнуть трудности, если для описания поведения рассматриваемой функции во внутренней области необходимо использовать большое число специальных функций. Несмотря на эти ограничения, этот метод является огправной точкой для развития метода многих масштабов, описанного в гл. 6. Модифицированный метод составных разложений Бромберга, Вишика и Люстерника преодолевает эти осложнения, как будет показано на примере применения этого метода к нелинейному уравнению описывающему одномерную задачу о космическом корабле ЗемляЛуна, которая изучалась в п. 4.1.7 с помощью метода сращивания асимптотических разложений. Предположим, что составное разложение имеет вид где Из (4.2.78) имеем Это разложение, будучи подставленным в (4.2.77), дает Решения этих уравнений, подчиненные условиям (4.2.79), имеют вид Из (4.2.78) и (4.2.82) следует Чтобы определить Подставляя (4.2.83) в это уравнение и приравнивая коэффициенты при равных степенях Решение уравнения (4.2.85), стремящееся к нулю при Подставляя в (4.2.78) выражения для Упражнения 4.1. Рассмотреть задачу 4.2. Определить разложения второго порядка (трехчленные разложения) для задачи 4.3. Определить равномерно пригодные разложения второго порядка для задач 4.4. Определить равномерно пригодные разложения первого порядка для задачи 4.5. Рассмотреть задачу 4.6. Определить равномерно пригодные разложения первого порядка (двучленные равномерно пригодные разложения) для задачи (2.2.28)-(2.2.30), используя оба варианта MCP. 4.7. Показать, что МСАР не может быть использован для получения равномерно пригодного разложения для 4.8. Рассмотреть задачу, определяемую (2.2.28) при Определить двучленные равномерно пригодные разложения, используя а) МСАР и б) МСР. 4.9. Колебания балки с жестко закрепленными концами описываются уравнением Определить разложение первого порядка при малых 4.10. Теплопередача в одномерном стационарном потоке без диссипации описывается краевой задачей (Xанкс [1971]) 4.11. Определить равномерно пригодное разложение первого порядка для уравнения 4.12. Определить одночленные разложения для решения задач 4.13. Определить одночленные разложения для 4.14. Определить разложение первого порядка для задачи из предыдущего упражнения, если 4.15. Определить равномерно пригодные разложения первого порядка для 4.16. Ламинарный поток в канале с пористыми стенками в случае всасывання приводит к задаче (Праудмен [1960]; Террил и Шреста [1965]) 4.17. Рассмотреть задачу из предыдущего упражнения в случае 4.18. Рассмотреть задачу 4.19. Рассмотреть задачу 4.20. Рассмотреть задачу 4.21. Используя МСР, получить равномерное разложение при больших
|
1 |
Оглавление
|