Составные разложения, полученные в п. 4.1.1-4.1.7, являются частным случаем разложений вида
\[
y(x ; \varepsilon)=y^{o}(x ; \varepsilon)+y^{i}(\zeta ; \varepsilon)-\left(y^{o}\right)^{i}=y^{o}+y^{i}-\left(y^{i}\right)^{o},
\]

где $y$-зависимая переменная, $\varepsilon$-малый параметр, $x$-внешняя переменная, $\zeta$-внутренняя переменная. Составное разложение может рассматриваться как сумма двух членов $F(x ; \varepsilon)=y^{\circ}$ и $G(\zeta ; \varepsilon)=y^{i}-\left(y^{o}\right)^{i}$, т. е.
\[
y(x ; \varepsilon)=F(x ; \varepsilon)+G(\zeta ; \varepsilon) .
\]

Вместо того чтобы определять внешнее и внутреннее разложения, сращивать их и затем строить составное разложение, Бромберг [1956] и Вишик и Люстерник [1957] предположили, что решение имеет вид (4.2.1б) и пригодно всюду. Следовательно, оно удовлетворяет всем граничным условиям. Взяв внешний предел от (4.2.1б) получим
\[
y^{o}(x ; \varepsilon)=F+G^{o} .
\]

Эта функция должна удовлетворять исходному дифференциальному уравнению, выраженному через внешнюю переменную. Аналогично, функция
\[
y^{i}=F^{i}+G
\]

должна удовлетворять исходному дифференциальному уравнению, записанному через внутреннюю переменную. Чтобы найти приближенное решение, $F$ и $G$ раскладывают по $\varepsilon$ и для каждого уровня приближения получают уравнения и краевые условия. Этот метод применил Чудов [1966] для вязкого обтекания плоской пластины. Вариант метода Бромберга заново открыл О’Малли [1971].

Другой метод составных разложений ранее был предложен Латта [1951]. В соответствии с этим методом предполагалось, что решение также имеет вид (4.2.1б), но $G$ является функцией внешней переменной и внутренней переменной $\zeta$, которая имела более общий вид $g(x) / \delta(\varepsilon)$, а не $x / \delta(\varepsilon)$, причем функция $g$ определялась в результате анализа. Кроме того, Латта исследовал внутреннее разложение и искал специальные функции, которые могут быть использованы для представления $G(x, \zeta ; \varepsilon)$.

Ниже мы проиллюстрируем оба метода, применив их к частным примерам.

4.2.1. Уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
Рассмотрим задачу
\[
\begin{array}{c}
\varepsilon y^{\prime \prime}+y^{\prime}+y=0, \quad 0 \leqslant x \leqslant 1, \\
y(0)=\alpha, \quad y(1)=\beta .
\end{array}
\]

Как показано в п. 4.1.1, прямое разложение становится непригодным вблизи точки $x=0$, а чтобы описать поведение $y$ в области неравномерности, вводилось внутреннее разложение, использующее преобразование растяжения $\zeta=x \varepsilon^{-1}$. Было показано, что внутреннее разложение содержит функцию $e^{-\zeta}=e^{-x / \varepsilon}$. Поскольку при дифференцировании функция $e^{-x / \varepsilon}$ выражается через саму себя, то нет других специальных функций, необходимых для представления составного разложения. Поэтому Латта пред-

положил, что $y$ имеет равномерно пригодное разложение вида
\[
y=\sum_{n=0}^{\infty} \varepsilon^{n} f_{n}(x)+e^{-x / \varepsilon} \sum_{n=0}^{\infty} \varepsilon^{n} h_{n}(x)
\]

Подставляя (4.2.3) в (4.2.2а) и (4.2.2б) и приравнивая к нулю коэффициенты при $\varepsilon^{n}$ и $\varepsilon^{n} e^{-x / \varepsilon}$ для всех $n$, получим уравнения для $f_{n}$ и $h_{n}$. Уравнения для $n=0,1$ и 2 имеют вид
\[
\begin{array}{c}
f_{0}^{\prime}+f_{0}=0, \quad h_{0}^{\prime}-h_{0}=0, \\
f_{1}^{\prime}+f_{1}=-f_{0}^{\prime \prime}, \quad h_{1}^{\prime}-h_{1}=h_{0}^{\prime \prime}, \\
f_{2}^{\prime}+f_{2}=-f_{1}^{\prime \prime}, \quad h_{2}^{\prime}-h_{2}=h_{1}^{\prime \prime} .
\end{array}
\]

Краевые условия имеют вид
\[
\begin{array}{c}
f_{0}(1)=\beta, \quad f_{0}(0)+h_{0}(0)=\alpha, \\
f_{n}(1)=0, \quad f_{n}(0)+h_{n}(0)=0 \text { при } n \geqslant 1 .
\end{array}
\]

Здесь мы пренебрегли экспоненциально малыми членами $e^{-1 / \varepsilon} h_{n}(1)$.
Решения уравнений (4.2.4) с краевыми условиями (4.2.7) имеют вид
\[
f_{0}=\beta e^{1-x}, \quad h_{0}=(\alpha-\beta e) e^{x} .
\]

Подставив (4.2.9) в (4.2.5) и решив полученные уравнения при краевых условиях (4.2.8), получим
\[
f_{1}=\beta(1-x) e^{1-x}, \quad h_{1}=[-\beta e+(\alpha-\beta e) x] e^{x} .
\]

Подставляя решение первого порядка в (4.2.6) и решая полученные уравнения при краевых условиях (4.2.8), получим
\[
\begin{array}{c}
f_{2}=\frac{1}{2} \beta(1-x)(5-x) e^{1-x}, \\
h_{2}=\left[-\frac{5}{2} \beta e+(2 \alpha-3 \beta e) x+\frac{1}{2}(\alpha-\beta e) x^{2}\right] e^{x} .
\end{array}
\]

Используя полученные решения, найдем разложение (4.2.3). Имеем
\[
\begin{array}{c}
y=\beta\left[1+\varepsilon(1-x)+\frac{1}{2}(1-x)(5-x)\right] e^{1-x}+ \\
+\{\alpha-\beta e+\varepsilon[-\beta e+(\alpha-\beta e) x]+ \\
\left.+\varepsilon^{2}\left[-\frac{5}{2} \beta e+(2 \alpha-3 \beta e) x+\frac{1}{2}(\alpha-\beta e) x^{2}\right]\right\} e^{x-x / \varepsilon}+O\left(\varepsilon^{3}\right) .
\end{array}
\]

Легко проверить, что внешнее разложение (предел при $\varepsilon \rightarrow 0$ и фиксированном $x$ ) первых двух членов этого разложения дается выражением (4.1.49), а внутреннее разложение ( $\varepsilon \rightarrow 0$ при фиксированном $\zeta=x / \varepsilon$ ) дается выражением (4.1.76). Таким обра-

зом, метод составных разложений дает равномерно пригодное разложение непосредственно без определения внешнего и внутреннего разложений, сращивания их и построения затем составного разложения.

Найдем теперь разложение для $y$ с использованием метода Бромберга и Вишика и Люстерника. Предположим, что
\[
\begin{array}{l}
y(x ; \varepsilon)=F(x ; \varepsilon)+G(\zeta ; \varepsilon)= \\
=F_{0}(x)+G_{0}(\zeta)+\varepsilon\left[F_{1}(x)+G_{1}(\zeta)\right]+\varepsilon^{2}\left[F_{2}(x)+G_{2}(\zeta)\right]+\ldots,
\end{array}
\]

причем функцией $G(\zeta ; \varepsilon)$ вне внутренней области можно пренебречь (Бромберг [1956]), т. е. $G(\zeta ; \varepsilon) \rightarrow 0$ при $\zeta \rightarrow \infty$, поэтому
\[
y^{o}(x ; \varepsilon)=F(x ; \varepsilon)=F_{0}(x)+\varepsilon F_{1}(x)+\varepsilon^{2} F_{2}(x)+\ldots .
\]

Поскольку $x=\varepsilon \zeta$, то
\[
\begin{aligned}
y^{i}(x ; \varepsilon)= & F_{0}(0)+G_{0}(\zeta)+\varepsilon\left[F_{0}^{\prime}(0) \zeta+F_{1}(0)+G_{1}(\zeta)\right]+ \\
& +\varepsilon^{2}\left[\frac{1}{2} F_{0}^{\prime \prime}(0) \zeta^{2}+F_{1}^{\prime}(0) \zeta+F_{2}(0)+G_{2}(\zeta)\right]+\ldots .
\end{aligned}
\]

Так как предполагается, что функцией $G(\zeta ; \varepsilon)$ вне пограничного слоя можно пренебречь, то $F(x ; \varepsilon)$ удовлетворяет граничному условию $y(1)=\beta$. Следовательно,
\[
F_{0}(1)=\beta, \quad F_{n}(1)=0 \text { при } n \geqslant 1 .
\]

Граничному условию $y(0)=\alpha$ должна удовлетворять функция $F+G$, т. е.
\[
F_{0}(0)+G_{0}(0)=\alpha, \quad F_{n}(0)+G_{n}(0)=0 \text { при } n \geqslant 1 .
\]

Чтобы найти уравнения для $F_{n}$, подставим (4.2.14) в (4.2.2а) и приравняем коэффициенты при равных степенях $\varepsilon$, предполагая $x$ фиксированным. Получим
\[
\begin{array}{c}
F_{0}^{\prime}+F_{0}=0, \\
F_{n}^{\prime}+F_{n}=-F_{n-1}^{\prime \prime} \text { при } n \geqslant 1 .
\end{array}
\]

Чтобы определить уравнение для $G_{n}$, выразим сначала (4.2.2а) через внутреннюю переменную $\zeta$. Имеем
\[
\frac{d^{2} y}{d \zeta^{2}}+\frac{d y}{d \zeta}+\varepsilon y=0 .
\]

Подставляя (4.2.15) в (4.2.20), приравнивая коэффициенты при равных степенях $\varepsilon$ и считая $\zeta$ фиксированным, получим
\[
\begin{array}{c}
G_{0}^{\prime \prime}+G_{0}^{\prime}=0 \\
G_{1}^{\prime \prime}+G_{1}^{\prime}=-G_{0}-F_{0}^{\prime}(0)-F_{0}(0), \\
G_{2}^{\prime \prime}+G_{2}^{\prime}=-G_{1}-\left[F_{0}^{\prime}(0)+F_{0}^{\prime \prime}(0)\right] \zeta-F_{0}^{\prime \prime}(0)-F_{1}(0)-F_{1}^{\prime}(0) .
\end{array}
\]

Решение уравнения (4.2.18) при условии (4.2.16) имеет вид
\[
F_{0}=\beta e^{1-x} .
\]

Следовательно, из (4.2.17) $G_{0}(0)=\alpha-\beta e$, и, таким образом, решение уравнения (4.2.21), стремящееся к нулю при $\zeta \longrightarrow \infty$, имеет вид
\[
G_{0}=(\alpha-\beta e) e^{-\zeta} .
\]

Решение уравнения (4.2.19) при краевом условии (4.2.16) в случае $n=1$ имеет вид
\[
F_{1}=\beta(1-x) e^{1-x},
\]

что вместе с условием (4.2.17) дает $G_{1}(0)=-\beta$. Подставляя выражения для $F_{0}$ и $G_{0}$ в (4.2.22), получим
\[
G_{1}^{\prime \prime}+G_{1}^{\prime}=-(\alpha-\beta e) e^{-\zeta} .
\]

Решение этого уравнения, подчиненное условию $G_{1}(0)=-\beta e$ и стремящееся к нулю при $\zeta \rightarrow \infty$, имеет вид
\[
G_{1}=[(\alpha-\beta e) \zeta-\beta e] e^{-\xi} .
\]

Переходя ко второму порядку, получим, что решение уравнения (4.2.19) при условии (4.2.16) имеет вид
\[
F_{2}=\frac{1}{2} \beta(1-x)(5-x) e^{1-x} .
\]

Поэтому из (4.2.17) получим $G_{2}(0)=-5 \beta e / 2$, и уравнение (4.2.23) примет вид
\[
G_{9}^{\prime \prime}+G_{2}^{\prime}=-[(\alpha-\beta e) \zeta-\beta e] e^{-\zeta} .
\]

Решение этого уравнения при условии $G_{2}(0)=-5 \beta e / 2$, стремящееся к нулю при $\zeta \rightarrow \infty$, имеет вид
\[
G_{2}=\left[\frac{1}{2}(\alpha-\beta \mathrm{e}) \zeta^{2}+(\alpha-2 \beta e) \zeta-\frac{5}{2} \beta e\right] e^{-\zeta} .
\]

Таким образом, первые два члена результирующего равномерно пригодного разложения в точности совпадают с решением (4.1.81), полученным ранее с помощью метода сращивания асимптотических разложений.

4.2.2. Уравнение второго порядка с переменными коэффициентами

В качестве второго примера рассмотрим следующую задачу, которая является частным случаем задачи, рассмотренной в II. 4.1.3:
\[
\begin{array}{c}
\varepsilon y^{\prime \prime}+(2 x+1) y^{\prime}+2 y=0, \quad 0 \leqslant x \leqslant 1, \\
y(0)=\alpha, \quad y(1)=\beta .
\end{array}
\]

Поскольку коэффициент при $y^{\prime}$ положителен, неравномерность будет иметь место в окрестности $x=0$. Чтобы описать поведение $y$ в области неоднородности, необходимо ввести преобразование растяжения $\zeta=x \varepsilon^{-1}$ и внутреннее разложение описывать с помощью функции $e^{-\xi}=e^{-x / \varepsilon}$. Поскольку задача содержит переменные коэффициенты, то $y$ имеет равномерно пригодное разложение вида
\[
y=\sum_{n=0}^{\infty} \varepsilon^{n} f_{n}(x)+e^{-g(x) / \varepsilon} \sum_{n=0}^{\infty} \varepsilon^{n} h_{n}(x),
\]

где функция $g(x)$, которая определитя при анализе, эквивалентна $x$ при $x \rightarrow 0$. Подставляя (4.2.32) в (4.2.30) и (4.2.31) и приравнивая нулю коэффициенты при $\varepsilon^{n}$ и $\varepsilon^{n} e^{-g(x) / \varepsilon}$ при всех $n$, получим уравнения для определения $g, f_{n}$ и $h_{n}$. Первые три уравнения и краевые условия имеют вид
\[
\begin{array}{c}
h_{0} g^{\prime}\left[g^{\prime}-(2 x+1)\right]=0, \\
(2 x+1) f_{0}^{\prime}+2 f_{0}=0, \\
\left(-2 g^{\prime}+2 x+1\right) h_{0}^{\prime}+\left(2-g^{\prime \prime}\right) h_{0}=0, \\
f_{0}(1)=\beta, \quad f_{0}(0)+h_{0}(0)=\alpha .
\end{array}
\]

Чтобы существовало нетривиальное решение для $h_{0}$, в силу (4.2.33) требуется, чтобы
\[
g^{\prime}=0 \text { или } g^{\prime}=2 x+1 .
\]

Первый случай (4.2.37) приводит к $g=$ const и должен быть отброішен, так как $g(x) / x \rightarrow 1$ при $x \rightarrow 0$. Следовательно,
\[
g=x^{2}+x .
\]

Решение уравнения (4.2.34), подчиненное условию $f_{0}(1)=\beta$, имеет вид
\[
f_{0}=\frac{3 \beta}{2 x+1} .
\]

Подставив (4.2.38) в (4.2.35) и решив полученное уравнение при условии (4.2.36), получим
\[
h_{0}=\alpha-3 \beta \text {. }
\]

Поэтому
\[
y=\frac{3 \beta}{2 x+1}+(\alpha-3 \beta) e^{-\left(x^{2}+x\right) / \varepsilon}+O(\varepsilon) .
\]

Рассмотрим далее применение второго варианта метода составных разложений в этой задаче. В этом случае можно применить (4.2.13)-(4.2.17). Подставляя (4.2.14) в (4.2.30), прирав-

нивая коэффициенты при равных степенях $\varepsilon$ к нулю и полагая $x$ фиксированным, получим
\[
\begin{array}{c}
(2 x+1) F_{0}^{\prime}+2 F_{0}=0, \\
(2 x+1) F_{1}^{\prime}+2 F_{1}=-F_{0}^{\prime \prime} .
\end{array}
\]

Чтобы получить уравнение для $G_{n}$, выразим (4.2.30) через внутреннюю переменную $\zeta=x / \varepsilon$. Имеем
\[
\frac{d^{2} y}{d \xi^{2}}+(1+2 \varepsilon \zeta) \frac{d y}{d \zeta}+2 y=0 .
\]

Подставляя (4.2.15) в это уравнение, приравнивая коэффициенты при равных степенях $\varepsilon$ и считая $\zeta$ фиксированным, получим
\[
\begin{array}{c}
G_{0}^{\prime \prime}+G_{0}^{\prime}=0, \\
G_{1}^{\prime \prime}+G_{1}^{\prime}=-2 \zeta G_{0}^{\prime}-2 G_{0}-2 F_{0}(0)-F_{0}^{\prime}(0) .
\end{array}
\]

Решение уравнения (4.2.42), подчиненное условию (4.2.16), имеет вид
\[
F_{0}=\frac{3 \beta}{2 x+1} .
\]

Это выражение вместе с (4.2.17) дает $G_{0}(0)=\alpha-3 \beta$. Следовательно, решение уравнения (4.2.45), стремящееся к нулю при $\zeta \longrightarrow \infty$, имеет вид
\[
G_{0}=(\alpha-3 \beta) e^{-\zeta} .
\]

Подставляя выражение для $F_{0}$ в $(4.2 .43)$ и решая полученное уравнение при условии (4.2.16), придем к
\[
F_{1}=\frac{8 \beta(1-x)(2+x)}{3(1+2 x)^{3}} .
\]

Тогда (4.2.17) дает $G_{1}(0)=-16 \beta / 3$, а (4.2.46) принимает вид
\[
G_{1}^{\prime \prime}+G_{1}^{\prime}=2(\alpha-3 \beta)(\zeta-1) e^{-\xi} .
\]

Решение этого уравнения, стремящееся к нулю при $\zeta \longrightarrow \infty$, имеет вид
\[
G_{1}=-\left[\frac{16}{3} \beta+(\alpha-3 \beta) \zeta^{2}\right] e^{-\zeta} .
\]

Поэтому
\[
\begin{array}{l}
y=\frac{3 \beta}{2 x+1}+\varepsilon \frac{8 \beta(1-x)(2+x)}{3(1+2 x)^{3}}+(\alpha-3 \beta) e^{-\zeta}- \\
– {\left[\frac{16}{3} \beta+(\alpha-3 \beta) \zeta^{2}\right] e^{-5}+O\left(\varepsilon^{2}\right) . }
\end{array}
\]

4.2.3. Краевая задача с начальными условиями для уравнения теплопроводности

В качестве третьего примера применения метода составных разложений рассмотрим краевую задачу с начальными условиями для уравнения теплопроводности, поставленную Келлером [1968]. Предположим, что температура $u(x, t ; \varepsilon)$ зависит от одной пространственной переменной $x$, которая изменяется от 0 до $b(\varepsilon t)$, где $b$-известная функция, а $\varepsilon$-малый параметр. Таким образом, $b$-слабо меняющаяся функция $t$. Математически задача записывается в виде
\[
\begin{aligned}
u_{t} & =u_{x x}, & & 0 \leqslant x \leqslant b(\varepsilon t), \\
u(0, t) & =\varphi(\varepsilon t), & & u[b(\varepsilon t), t]=0, \\
u(x, 0) & =\psi(x), & & 0 \leqslant x \leqslant b(0) .
\end{aligned}
\]

Заменив переменную $t$ на $\tau=\varepsilon t$, уравнение (4.2.51) и краевые условия (4.2.52) перепишем в виде
\[
\begin{array}{l}
\varepsilon u_{\tau}=u_{x x}, \quad 0 \leqslant x \leqslant b(\tau), \\
u(0, \tau)=\varphi(\tau), \quad u[b(\tau), \tau]=0 . \\
\end{array}
\]

Поскольку $\varepsilon$ умножается на $u_{\tau}$, то прямое разложение метода возмущений при малом $\varepsilon$ и фиксированном $\tau$ не может, вообще говоря, удовлетворить начальному условию (4.2.53) и неравномерно вблизи $\tau=0$ всюду, за исключением окрестности концов. Чтобы описать поведение функции $u$ в окрестности $t=0$, необходимо применить преобразование растяжения $t=\tau / \varepsilon$. Как подтвердится ниже, функция, описывающая поведение в этой области, имеет вид $\exp [-g(\tau) / \varepsilon]$, где $g(\tau) / \tau \rightarrow 1$ при $\tau \rightarrow 0$. Поэтому предположим, что равномерно пригодное асимптотическое разложение для $и$ имеет вид
\[
u=\sum_{n=0}^{\infty} \varepsilon^{n} f_{n}(x, \tau)+e^{-g(\tau) / \varepsilon} \sum_{n=0}^{\infty} \varepsilon^{n} h_{n}(x, \tau) .
\]

Подставляя это разложение в (4.2.53)-(4.2.55) и приравнивая к нулю коэффициенты при $\varepsilon^{n}$ и $\varepsilon^{n} e^{-g(\tau) / \varepsilon}$ для всех $n$, получим
\[
\begin{array}{cl}
f_{0, x x}=0, \quad f_{0}(0, \tau)=\varphi(\tau), & f_{0}[b(\tau), \tau]=0, \\
h_{0, x x}+g^{\prime} h_{0}=0, \quad h_{0}(0, \tau)=0, \quad h_{0}[b(\tau), \tau]=0, \\
f_{0}(x, 0)+h_{0}(x, 0)=\psi(x), \quad 0 \leqslant x \leqslant b(0)
\end{array}
\]

и при $n \geqslant 1$
\[
\begin{array}{c}
f_{n, x x}=f_{n-1, \tau}, \quad f_{n}(0, \tau)=f_{n}[b(\tau), \tau]=0, \\
h_{n, x x}+g^{\prime} h_{n}=h_{n-1, \tau}, \quad h_{n}(0, \tau)=h_{n}[b(\tau), \tau]=0, \\
\left.h_{n, x x}+g^{\prime} h_{n}=h_{n-1, \tau}, \quad h_{n}(0, \tau)=h_{n}[b \tau), \tau\right]=0, \\
f_{n}(x, 0)+h_{n}(x, 0)=0,
\end{array}
\]

где через $g^{\prime}$ обозначено $d g / d \tau$.

Решение задачи (4.2.57) имеет вид
\[
f_{0}=\varphi(\tau)\left[1-\frac{x}{b(\tau)}\right] .
\]

Поскольку краевые условия для $h_{0}$ однородны, то уравнение для $h_{0}$ имеет нетривиальное решение, только если $g^{\prime}$ равно одному из собственных значений
\[
g_{k}^{\prime}=\left[\frac{k \pi}{b(\tau)}\right], \quad k=1,2, \ldots .
\]

Соответствующие нормированные собственные функции имеют вид
\[
\chi_{k}=\left[\frac{2}{b(\tau)}\right]^{1 / 2} \sin \frac{k \pi x}{b(\tau)} .
\]

Следовательно,
\[
h_{0}=a_{0}(\tau) \chi_{k}(x, \tau),
\]

где $a_{0}$ – неизвестная пока функция, которая определится при исследовании уравнения для $h_{1}$.

При известном $h_{0}$ уравнение (4.2.61) в случае $n=1$ примет вид
\[
\begin{array}{c}
h_{1, x x}+g_{k}^{\prime} h_{1}=a_{0}^{\prime} \chi_{k}+a_{0} \chi_{k, \tau}, \\
h_{1}(0, \tau)=h_{1}[b(\tau), \tau]=0 .
\end{array}
\]

Предположим, что $h_{1}$ может быть разложено по собственным функциям $\chi_{k}$, т. е.
\[
h_{1}=\sum_{s=1}^{\infty} c_{s}(\tau) \chi_{s}(x, \tau)
\]

Подставляя (4.2.68) в (4.2.67) и используя тот факт, что $\chi_{s, x x}=$ $=-g_{s}^{\prime} \chi_{s}$, получим
\[
\sum_{s=1}^{\infty}\left(g_{k}^{\prime}-g_{s}^{\prime}\right) c_{s} \chi_{s}=a_{0}^{\prime} \chi_{k}+a_{0} \chi_{k, \tau} .
\]

Если мы теперь умножим это уравнение на $\chi_{k}$ и проинтегрируем от $x=0$ до $b(\tau)$, то правая часть обратится в нуль, так как $\chi_{k}$ ортогональна $\chi_{s}$ при $k
eq s$, а $g_{s}^{\prime}=g_{k}^{\prime}$ при $k=s$. Поэтому
\[
\int_{0}^{b(\tau)}\left(a_{0}^{\prime} \chi_{k}^{2}+a_{0} \chi_{k, \tau} \chi_{k}\right) d x=0 .
\]

Это является условием разрешимости задачи (4.2.67). Поскольку
\[
\int_{0}^{b(\tau)} \chi_{k}^{2} d x=1,
\]
To
\[
\frac{d}{d \tau} \int_{1}^{b(\tau)} \chi_{k}^{2} d x=0=b^{\prime}(\tau) \chi_{k}^{2}[b(\tau), \tau]+2 \int_{0}^{b(\tau)} \chi_{k} \chi_{k, \tau} d x=0 .
\]

Так как $\chi_{k}[b(\tau), \tau]=0$, то
\[
\int_{0}^{b(\tau)} \chi_{k} \chi_{k, \tau} d x=0 .
\]

Следовательно, (4.2.70) и (4.2.71) приводят к
\[
a_{0}=\text { const. }
\]

Поэтому решение нулевого порядка имеет вид
\[
\begin{array}{l}
u(x, \tau ; \varepsilon)=\varphi(\tau)\left[1-\frac{x}{b(\tau)}\right]+ \\
+\sum_{k=1}^{\infty} a_{k}\left[\frac{2}{b(\tau)}\right]^{1 / 2} \sin \frac{k \pi x}{b(\tau)} \exp \left[-\frac{k^{2} \pi^{2}}{\varepsilon} \int_{0}^{\tau} b^{-2}(\xi) d \xi\right]+O(\varepsilon),
\end{array}
\]

где $a_{k}$-постоянная, определяемая равенством
\[
a_{k}=\left[\frac{2}{b(0)}\right]^{1 / 2} \int_{0}^{b(0)}\left\{\psi(x)-\varphi(0)\left[1-\frac{x}{b(0)}\right]\right\} \sin \frac{k \pi x}{b(0)} d x .
\]

4.2.4. Ограничения метода составных разложений

При попытке применить метод Латты к нелинейным задачам могут возникнуть осложнения. Кроме того, могут возникнуть трудности, если для описания поведения рассматриваемой функции во внутренней области необходимо использовать большое число специальных функций. Несмотря на эти ограничения, этот метод является огправной точкой для развития метода многих масштабов, описанного в гл. 6.

Модифицированный метод составных разложений Бромберга, Вишика и Люстерника преодолевает эти осложнения, как будет показано на примере применения этого метода к нелинейному уравнению
\[
\frac{1}{2}\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}=\frac{1-\mu}{x}+\frac{\mu}{1-x}, \quad t(0)=0,
\]

описывающему одномерную задачу о космическом корабле ЗемляЛуна, которая изучалась в п. 4.1.7 с помощью метода сращивания асимптотических разложений.

Предположим, что составное разложение имеет вид
\[
t(x ; \mu)=F_{0}(x)+G_{0}(\xi)+\mu\left[F_{1}(x)+G_{1}(\xi)\right]+\ldots,
\]

где $\xi=(1-x) / \mu-$ внутренняя переменная, найденная в п. 4.1.7, и $G_{n} \rightarrow 0$ при $\xi \rightarrow \infty$. Начальное условие $t(0)=0$ дает
\[
F_{0}(0)=F_{1}(0)=0 .
\]

Из (4.2.78) имеем
\[
t^{0}=F_{0}(x)+\mu F_{1}(x)+\ldots .
\]

Это разложение, будучи подставленным в (4.2.77), дает
\[
\begin{array}{c}
2 F_{0}^{\prime 2}=x, \\
\frac{F_{1}^{\prime}}{F_{0}^{\prime 3}}=\frac{1}{x}+\frac{1}{x-1} .
\end{array}
\]

Решения этих уравнений, подчиненные условиям (4.2.79), имеют вид
\[
\begin{array}{l}
\sqrt{2} F_{0}=\frac{2}{3} x^{3 / 2}, \\
\sqrt{2} F_{1}=\frac{2}{3} x^{3 / 2}+\sqrt{x}-\frac{1}{2} \ln \frac{1+\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}} .
\end{array}
\]

Из (4.2.78) и (4.2.82) следует
\[
\sqrt{2} t^{i}=\frac{2}{3}+\sqrt{2} G_{0}(\xi)+\mu\left[-\xi+\frac{5}{3}+\frac{1}{2} \ln \frac{\mu \xi}{4}+\sqrt{2} G_{1}(\xi)\right]+\ldots .
\]

Чтобы определить $G_{0}$ и $G_{1}$, перейдем в уравнении (4.2.77) к внутренней переменной $\xi$. Имеем
\[
\frac{1}{2} \mu^{2}\left(\frac{d \xi}{d t}\right)^{2}=\frac{1-\mu}{1-\mu \xi}+\frac{1}{\xi} .
\]

Подставляя (4.2.83) в это уравнение и приравнивая коэффициенты при равных степенях $\mu$, получим
\[
\begin{array}{c}
G_{0}^{\prime}=0, \\
{\left[\sqrt{2} G_{1}+\frac{1}{2} \ln \xi-\xi\right]^{\prime}=-\left(1+\frac{1}{\xi}\right)^{-1 / 2} .}
\end{array}
\]

Решение уравнения (4.2.85), стремящееся к нулю при $\xi \rightarrow \infty$, есть $G_{0}=0$, в то время как решение уравнения (4.2.86), стремящееся к нулю при $\xi \rightarrow \infty$, имеет вид
\[
\sqrt{2} G_{1}=\xi-\sqrt{\xi(\xi+1)}+\operatorname{Arsh} \sqrt{\xi}-\frac{1}{2} \ln \xi+\frac{1}{2}-\ln 2 .
\]

Подставляя в (4.2.78) выражения для $F_{0}$ и $F_{1}$ из (4.2.82) и используя найденные значения $G_{0}$ и $G_{1}$, получим разложение, в точности совпадающее с (4.1.202), которое было получено с помощью метода сращивания асимптотических разложений.

Упражнения

4.1. Рассмотреть задачу
\[
\begin{array}{c}
\varepsilon y^{\prime \prime}+y^{\prime}=2 x, \\
y(0)=\alpha, \quad y(1)=\beta .
\end{array}
\]
(a) Определить трехчленное внешнее разложение.
(б) Определить трехчленное внутреннее разложение.
(в) Срастить оба эти разложения и построить составное разложение.
(г) Определить трехчленное равномерно пригодное разложение, используя метод составных разложений (МСР) и сравнить результат с результатом (в).

4.2. Определить разложения второго порядка (трехчленные разложения) для задачи
\[
\begin{array}{c}
\varepsilon y^{\prime \prime}-y^{\prime}=2 x, \\
y(0)=\alpha, \quad y(1)=\beta,
\end{array}
\]
используя а) метод сращивания асимптотических разложений (MCAP) и б) МСР.

4.3. Определить равномерно пригодные разложения второго порядка для задач
\[
\begin{array}{c}
\varepsilon y^{\prime \prime} \pm(2 x+1) y^{\prime}+2 y=0, \\
y(0)=\alpha, \quad y(1)=\beta,
\end{array}
\]
используя а) МСАР, б) метод Латты и в) метод Бромберга-Вишика-Люстерника.

4.4. Определить равномерно пригодные разложения первого порядка для задачи
\[
\begin{array}{c}
\varepsilon y^{\prime \prime}-a(x) y^{\prime}+b(x) y=0, \quad a(x)>0, \\
y(0)=\alpha, \quad y(1)=\beta,
\end{array}
\]
используя а) МСАР и б) МСР.

4.5. Рассмотреть задачу
\[
\begin{array}{c}
\varepsilon y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime}+y=0, \\
y(0)=x, \quad y(1)=\beta, \quad y^{\prime}(1)=\gamma .
\end{array}
\]
a) Показать, что пограничный слой существует у обоих концов и характеризуется преобразованиями растяжения
\[
\eta=x / \varepsilon \quad \text { и } \quad \zeta=(1-x) / \varepsilon .
\]
б) Определить равномерно пригодное разложение второго порядка, используя МСАР.
в) Определить разложение второго порядка, используя МСР и полагая
\[
y=F(x ; \varepsilon)+G(\eta ; \varepsilon)+H(\zeta ; \varepsilon),
\]
где $G \rightarrow 0$ при $\eta \rightarrow \infty$ и $H \rightarrow 0$ при $\xi \rightarrow \infty$.

4.6. Определить равномерно пригодные разложения первого порядка (двучленные равномерно пригодные разложения) для задачи (2.2.28)-(2.2.30), используя оба варианта MCP.

4.7. Показать, что МСАР не может быть использован для получения равномерно пригодного разложения для
\[
\begin{array}{c}
\varepsilon^{2} y^{\prime \prime}+y=f(x), \\
y(0)=\alpha, \quad y(1)=\beta .
\end{array}
\]
Можно ли из этого примера заключить, что МСАР неприменим к задачам колебаний?

4.8. Рассмотреть задачу, определяемую (2.2.28) при $a \leqslant r \leqslant b$ с граничными условиями
\[
u(b)=b \alpha, \quad \frac{d u}{d r}(b)=\alpha .
\]

Определить двучленные равномерно пригодные разложения, используя а) МСАР и б) МСР.

4.9. Колебания балки с жестко закрепленными концами описываются уравнением
\[
\begin{array}{c}
\varepsilon^{2} \frac{d^{4} u}{d x^{4}}-\frac{d^{2} u}{d x^{2}}=\lambda^{2} u, \\
u(0)=u(1)=u^{\prime}(0)=u^{\prime}(1)=0 .
\end{array}
\]

Определить разложение первого порядка при малых $\varepsilon$ для $u$ и $\lambda$.

4.10. Теплопередача в одномерном стационарном потоке без диссипации описывается краевой задачей (Xанкс [1971])
\[
\begin{array}{c}
\varepsilon \frac{d^{2} T}{d x^{2}}+x \frac{d T}{d x}-x T=0 . \\
T(0)=T_{0}, \quad T(l)=T_{l} .
\end{array}
\]
Определить разложения первого порядка, используя а) MCAP и б) два варианта МСР.

4.11. Определить равномерно пригодное разложение первого порядка для уравнения
\[
(x+\varepsilon y) y^{\prime}+(2+x) y=0, \quad y(1)=A e^{-1},
\]
используя МСАР. Можно ли сделать вывод, что метод растянутых координат (MPK) является более пригодным к таким задачам?

4.12. Определить одночленные разложения для решения задач
\[
\begin{array}{c}
\varepsilon y^{\prime \prime} \pm(2 x+1) y^{\prime}+y^{2}=0, \\
y(0)=\alpha, \quad y(1)=\beta,
\end{array}
\]
используя МСАР и МС.Р.

4.13. Определить одночленные разложения для
\[
\begin{array}{l}
y^{\prime \prime}+a(x) y^{\prime}+y^{2}=0, \\
y(0)=\alpha, \quad y(1)=\beta,
\end{array}
\]
используя МСАР и МСР, если $a(x)$ а) отрицательно и б) положительно на интерва;і $0 \leqslant x \leqslant 1$.

4.14. Определить разложение первого порядка для задачи из предыдущего упражнения, если $a(x)$ имеет простой нуль $\mu$, где $0 \leqslant \mu \leqslant 1$.

4.15. Определить равномерно пригодные разложения первого порядка для
\[
\begin{array}{c}
\varepsilon y^{\prime \prime} \pm y y^{\prime}-y=0, \\
y(0)=\alpha, \quad y(1)=\beta,
\end{array}
\]
испотьзуя МСАР и МСР.

4.16. Ламинарный поток в канале с пористыми стенками в случае всасывання приводит к задаче (Праудмен [1960]; Террил и Шреста [1965])
\[
\begin{array}{c}
\varepsilon f^{\prime \prime \prime}-f f^{\prime \prime}+f^{\prime 2}=c(\varepsilon), \\
f(0)=1-\alpha=a, \quad f^{\prime}(0)=0, \\
f(1)=1, \quad f^{\prime}(1)=0 .
\end{array}
\]
При положительных $a$ : а) показать, что внешнее и внутреннее раз.тожения первого порядка имеют вид
\[
\begin{array}{c}
f^{0}=a \operatorname{ch} x b+\varepsilon f_{1}(x)+\ldots, \\
f^{i}=1+\varepsilon B\left(1-\eta-e^{-\eta}\right)+\ldots, \quad \eta=(1-x) / \varepsilon, \\
\beta=a b+\varepsilon \beta_{1}+\ldots, \quad x=-\beta^{2},
\end{array}
\]
и определить $b, B, \beta_{1}$ и $f_{1}$; б) сформировать составное разложение; в) определить разложение первого порядка, используя МСР.

4.17. Рассмотреть задачу из предыдущего упражнения в случае $a<0$.
a) Показать, џто равномерно пригодное разложение дается выражениями
\[
\begin{array}{c}
f^{o}=1-\alpha+\alpha x+\varepsilon f_{1}(x)+\ldots, \\
f^{i}=1+\alpha\left(1-\eta-e^{-\eta}\right)+\ldots, \quad \eta=(1-x) / \varepsilon, \\
f^{\prime}=a+\frac{\varepsilon \alpha}{a-1}\left(1-\zeta-e^{-\zeta}\right)+\ldots, \quad \zeta=(\alpha-1) x / \varepsilon, \\
\beta=\alpha+\varepsilon \beta_{1}+\ldots, c=\beta^{2},
\end{array}
\]
и определить $f_{1}$ и $\beta_{1}$.
б) Построить составное разложение.
в) Определить разложение первого порядка, используя МСР.

4.18. Рассмотреть задачу
\[
\begin{array}{c}
\varepsilon u_{x x}+u_{y y}+a(x) u_{x}=0, \\
u(0, y)=F_{1}(y), \quad u(1, y)=F_{2}(y), \\
u(x, 0)=G_{1}(x), \quad u(x, 1)=G_{2}(x) .
\end{array}
\]
a) Показать, что пограничный слой присутствует при $x=0$, если $a(x)>0$, и при $x=1$, если $a(x)<0$. В первом случае он характеризуется переменцой $\xi=x / \varepsilon$, а во втором $-\zeta=(1-x) / \varepsilon$.
б) Найти уравнения, определяющие первые члены внешнего и внутреннего разложений, и срастить эти разложения.
в) Используя метод Латта, показать, что
\[
u=A(x, y)+B(x, y) e^{-Q(x) / \varepsilon}+O(\varepsilon),
\]
где
\[
Q(x)=\int_{0}^{x} a(x) d x \quad \text { при } \quad a(x)>0
\]
и
\[
Q(x)=\int_{x}^{1} a(x) d x \text { при } \quad a(x)<0 .
\]
Определить уравнения для $A$ и $B$.

4.19. Рассмотреть задачу
\[
\begin{array}{c}
\varepsilon\left(u_{x x}+u_{y y}\right)+a(x, y) u_{x}+b(x, y) u=0, \\
u(x, 0)=F_{1}(x), \quad u(x, 1)=F_{2}(x), \\
u(0, y)=G_{1}(y), \quad u(1, y)=G_{2}(y) .
\end{array}
\]
a) Найти уравнения для первых членов внешнего и внутренчего разложений и срастить эти разложения.
б) Использовать МСР для получения равномерно пригодного разложения первого порядка.

4.20. Рассмотреть задачу
\[
\begin{array}{c}
\varepsilon^{2}
abla^{4} u+a(x, y) u_{x x}+b(x, y) u_{x}+c(x, y) u_{y}=0, \\
u(x, 0)=F_{1}(x), \quad u(x, 1)=F_{2}(x), \\
u(0, y)=G_{1}(y), \quad u(1, y)=G_{2}(y) .
\end{array}
\]
Определить уравнения для первых членов внешнего и внутреннего разложений и срастить их.

4.21. Используя МСР, получить равномерное разложение при больших $R$ для задачи (2.1.37)-(2.1.40), описывающей обтекание сферы.