В п.7.1.3 мы установили, что приближение Лиувилля – Грина (ВКБ-приближение) для решений уравнения
\[
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+\left[\lambda^{2} q_{1}(x)+q_{2}(x)\right] y=0
\]

при больших $\lambda$ и положительном $q_{1}(x)$ имеет вид
\[
y=\frac{a_{1} \cos \left[\lambda \int \sqrt{q_{1}(x)} d x+b_{1} \sin \left[\lambda \int \sqrt{q_{1}(x)} d x\right]\right.}{\sqrt[4]{q_{1}(x)}},
\]

а при отрицательном $q_{1}(x)$ – вид
\[
y=\frac{a_{2} \exp \left[\lambda \int \sqrt{-q_{1}(x)} d x\right]+b_{2} \exp \left[-\lambda \int \sqrt{-q_{1}(x)} d x\right]}{\sqrt[4]{-q_{1}(x)}} .
\]

Қак было отмечено в п.7.1.3, эти приближения пригодны, коль скоро значения $x$ далеки от корней функции $q_{1}(x)$. Из уравнений (7.3.2) и (7.3.3) видно, что решение $y$ имеет колебательный характер по одну сторону от нуля функции $q_{1}(x)$ и экспоненциальный характер – по другую; отсюда и название такой точки переходная точка. Ее называют также точкой возврата, потому что в классической механике это есть точка, в которой кинетическая энерғия движущейся частицы становится равной ее потенциальной энергии, и частица меняет направление движения. Точка $x=\mu$ называется точкой возврата или переходной точкой порядка $\alpha$, если точка $x=\mu$ является нулем кратности $\alpha$ функции $q_{1}(x)$.

Если функция $q_{2}(x)$ имеет особенность в точке возврата, то точка возврата называется особой точкой возврата; в противном случае это регулярная точка возврата. В этом пункте, начав с уравнений второго порядка, таких, как уравнение (7.3.1), дадим описание методики получения асимптотических решений в задачах с точкой возврата.

7.3.1. Метод сращивания асимптотических разложений
Предположим, что $q_{2}(x)$ – функция без особенностей, а
\[
q_{1}(x)=(x-\mu) f(x),
\]

где $f(x)$-положительная функция. Следовательно, приближенное решение уравнения (7.3.1) задается равенством (7.3.2) при $x>\mu$ и равенством (7.3.3) при $x<\mu$. Эти разложения, называемые внешними разложениями, нарушаются в окрестности точки $x=\mu$. Чтобы найти область неравномерности этих разложений, положим в (7.3.1) $\xi=(x-\mu) \lambda^{
u}$ с положительным $v$ и приведем это уравнение к виду
\[
\frac{d^{2} y}{d \xi^{2}}+\left\{\lambda^{2-3 v} \xi f[\mu+\xi \lambda-v]+\lambda-2 v q_{2}[\mu+\xi \lambda-v]\right\} y=0 .
\]

Третий член в (7.3.5) при $\lambda \longrightarrow \infty$ стремится к нулю для всех положительных $v$. Однако вид предельного уравнения зависит от значения $v$. При $\lambda \rightarrow \infty$ уравнение (7.3.5) имеет предельный вид
\[
\begin{array}{rll}
y=0 & \text { при } & v<\frac{2}{3}, \\
\frac{d^{2} y}{d \xi^{2}}=0 & \text { при } & v>\frac{2}{3}, \\
\frac{d^{2} y}{d \xi^{2}}+\xi f(\mu) y=0 & \text { при } & v=\frac{2}{3} .
\end{array}
\]

Очевидно, что первые два предела неприемлемы, поскольку с помощью их решений не удается срастить разложения (7.3.2) и (7.3.3). Поэтому приемлемым является предел, выделенный значением $v=2 / 3$ и задаваемый третьим уравнением в (7.3.6). Положив в этом уравнении
\[
z=-\xi \sqrt[3]{f(\mu)},
\]

придем к уравнению, которое в первом порядке описывает внутреннее решение
\[
\frac{d^{2} y}{d z^{2}}-z y=0 .
\]

Его общее решение имеет вид
\[
y=a_{3} A i(z)+b_{3} B i(z),
\]

где $A i(z)$ и $B i(z)$-функции Эйри первого и второго родов соответственно.

Отвлечемся на миг, чтобы дать некоторые свойства функций Эйри, которые нам понадобятся в дальнейшем. Эти функции допускают следующие интегральные представления (см., напри-

мер, Эрдейи [1956], раздел (4.6):
\[
\begin{array}{l}
A i(z)=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty} \cos \left(\frac{1}{3} t^{3}+z t\right) d t, \\
B i(z)=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty}\left[\exp \left(-\frac{1}{3} t^{3}+z t\right)+\sin \left(\frac{1}{3} t^{3}+z t\right)\right] d t .
\end{array}
\]

Эти функции выражаются также через функции Бесселя порядка $1 / 3$ при помощи формул
\[
\begin{array}{l}
A i(z)=\frac{1}{3} \sqrt{z}\left[I_{-1 / 3}(\zeta)-I_{1 / 3}(\zeta)\right]=\frac{1}{\pi} \sqrt{\frac{z}{3}} K_{1 / 3}(\zeta) \\
B i(z)=\sqrt{\frac{z}{3}}\left[I_{-1 / 3}(\zeta)+I_{1 / 3}(\zeta)\right] \\
A i(-z)=\frac{1}{3} \sqrt{z}\left[J_{-1 / 3}(\zeta)+J_{1 / 3}(\zeta)\right] \\
B i(-z)=\sqrt{\frac{z}{3}}\left[J_{-1 / 3}(\zeta)-J_{1 / 3}(\zeta)\right]
\end{array}
\]

где $\zeta=(2 / 3) z^{3 / 2}$. Для больших положительных значений $z$ эти функции имеют следующие асимптотические разложения:
\[
\begin{aligned}
A i(z) & =\frac{1}{2 \sqrt{\pi}} z^{-1 / 4} e^{-\zeta} \\
A i(-z) & =\frac{1}{\sqrt{\pi}} z^{-1 / 4} \sin \left(\zeta+\frac{\pi}{4}\right), \\
B i(z) & =\frac{1}{\sqrt{\pi}} z^{-1 / 4} e^{\zeta}, \\
B i(-z) & =\frac{1}{\sqrt{\pi}} z^{-1 / 4} \cos \left(\zeta+\frac{\pi}{4}\right) .
\end{aligned}
\]

Для того чтобы срастить внутреннее решение (7.3.9) с внешним решением (7.3.2), выразим последнее через $\xi=(x-\mu) \lambda^{2 / 3}$ и найдем его предел при $\lambda \rightarrow \infty$. В этом случае имеем $x>\mu$ и
\[
\lambda \int_{\mu}^{x} \sqrt{q_{1}(\tau)} d \tau=\lambda \int_{\mu}^{x} \sqrt{\tau-\mu} \sqrt{f(\tau)} d \tau=\frac{2}{3} \sqrt{f(\mu)} \xi^{8 / 2}+O(\lambda-2 / \mathbf{s}) .
\]

Следовательно,
\[
\begin{array}{c}
y=\frac{\lambda^{1 / 8}}{\sqrt[4]{\xi f(\mu)}}\left[a_{1} \cos \left(\frac{2}{3} \sqrt{f(\mu)} \xi^{3 / 2}\right)+\right. \\
\left.+b_{1} \sin \left(\frac{2}{3} \sqrt{f(\mu)} \xi^{3 / 2}\right)\right]+\ldots
\end{array}
\]

Выразив (7.3.9) через $\xi$, получим
\[
y=a_{3} A i(-\xi \sqrt[3]{f(\mu)})+b_{3} B i(-\xi \sqrt[3]{f(\mu)}) .
\]

Используя (7.3.17) и (7.3.19), можно получить для этой функции разложение для большого
\[
\begin{array}{l}
y=\frac{\xi^{-1 / 4} f^{-1 / 12}}{\sqrt{\pi}}\left[a_{3} \sin \left(\frac{2}{3} \sqrt{f(\mu)} \xi^{3 / 2}+\frac{\pi}{4}\right)+\right. \\
\left.+b_{3} \cos \left(\frac{2}{3} \sqrt{f(\mu)} \xi^{3 / 2}+\frac{\pi}{4}\right)\right]+\ldots \text { (7.3.21) }
\end{array}
\]

Принцип сращивания требует равенства (7.3.20) и (7.3.21); имеем поэтому
\[
\begin{array}{l}
a_{1}=\frac{\lambda^{-1 / 6} f^{1 / 6}}{\sqrt{\pi}}\left[a_{3} \sin \frac{\pi}{4}+b_{2} \cos \frac{\pi}{4}\right], \\
b_{1}=\frac{\lambda^{-1 / 6} f^{1 / 6}}{\sqrt{\pi}}\left[a_{3} \cos \frac{\pi}{4}-b_{3} \sin \frac{\pi}{4}\right] .
\end{array}
\]

Следовательно, равенство (7.3.2) принимает вид
\[
\begin{array}{l}
y=\frac{1}{\sqrt[4]{q_{1}(x)}}\left\{\tilde{b}_{3} \cos \left[\lambda \int_{\mu}^{x} \sqrt{q_{1}(\tau)} d \tau+\frac{\pi}{4}\right]+\right. \\
\quad+\tilde{a}_{3} \sin \left[\lambda \int_{\mu}^{x} \sqrt{q_{1}(\tau)} d \tau+\frac{\pi}{4}\right],
\end{array}
\]

где
\[
\left(\tilde{a}_{3}, \tilde{b}_{3}\right)=\frac{\lambda^{-1 / 6} f^{1 / 6}}{\sqrt{\pi}}\left(a_{3}, b_{3}\right) .
\]

Обращаясь к сращиванию (7.3.9) с внешним решением (7.3.3), заметим, что
\[
\lambda \int_{x}^{\mu} \sqrt{-q_{1}(\tau)} d t=\lambda \int_{x}^{\mu} \sqrt{(\mu-\tau) f(\tau)} d \tau=\frac{2}{3} \sqrt{f(\mu)}(-\xi)^{3 / 2}+\ldots .
\]

Равенство (7.3.3), следовательно, примет вид
\[
\begin{aligned}
y & =\frac{\lambda^{1 / 8}}{\sqrt[4]{-f(\mu) \xi}}\left\{a_{2} \exp \left[\frac{2}{3} \sqrt{f(\mu)}(-\xi)^{3 / 2}\right]+\right. \\
& \left.+b_{2} \exp \left[-\frac{2}{3} \sqrt{f(\mu)}(-\xi)^{3 / 2}\right]\right\}+\ldots .
\end{aligned}
\]

Поскольку в этом случае $\xi$-отрицательная величина, то $z=$ $=-\xi \sqrt[3]{f(\mu)}-$ величина положительная. Тогда с помощью (7.3.16)

и (7.3.18) можно получить следующее асимптотическое поведение внутреннего решения (7.3.9) при больших $z$ :
\[
\begin{aligned}
y=\frac{(-\xi)^{-1 / 4} f^{-1 / 12}}{\sqrt{\pi}}[ & \frac{1}{2} a_{3} \exp \left(-\frac{2}{3} \sqrt{f(\mu)}(-\xi)^{3 / 2}\right)+ \\
& \left.+b_{3} \exp \left(\frac{2}{3} \sqrt{f(\mu)}(-\xi)^{3 / 2}\right)\right]+\ldots .
\end{aligned}
\]

Приравняв (7.3.24) и (7.3.25), получим
\[
\left(a_{2}, b_{2}\right)=\left(\tilde{b}_{3}, \frac{1}{2} \tilde{a}_{3}\right) .
\]

Следовательно, внешнее решение (7.3.3) при отрицательном $q_{1}(x)$ имеет вид
\[
\begin{aligned}
y= & \frac{1}{\sqrt[4]{-q_{1}(x)}}\left[\tilde{b}_{3} \exp \left(\lambda \int_{x}^{\mu} \sqrt{-q_{1}(\tau)} d \tau\right)+\right. \\
& \left.+\frac{1}{2} \tilde{a}_{3} \exp \left(-\lambda \int_{x}^{\mu} \sqrt{-q_{1}(\tau)} d \tau\right)\right] .
\end{aligned}
\]

Таким образом, приближенное решение уравнения (7.3.1) с точкой возврата $x=\mu$ задается тремя отдельными разложениями: разложением (7.3.9)-в окрестности точки возврата, разложением (7.3.23) – при $x>\mu$ и разложением (7.3.27) – при $x<\mu$. Сращивание дает связь между постоянными $a_{1}, b_{1}$ и $a_{2}, b_{2}$. Bпервые эта связь была получена Рэлеем [1912] в исследовании по полному отражению звуковых волн от переходного слоя; явное представление он дал только для экспоненциально затухающего решения. Ганс [1915] дал формулы связи для обоих решений; Джеффрис [1924] вновь открыл их в применении к функции Матьё. Эта связь была еще раз открыта почти в одно и то же время Вентцелем [1926], Крамерсом [1926] и Бриллюэном [1926] при исследовании уравнения Шредингера. Поэтому в физической литературе название этого метода обычно образуется из букв $W$, $K$ и $B$; позднее к ним стали добавлять букву $J$ в ознаменоваиие вклада, который внес Джеффрис.

Цваан [1929] вывел формулы связи путем интегрирования на комплексной плоскости вдоль пути, который обходил точку возврата. Этот метод развил далее Кембл [1935].

Недостатком этой методики является то обстоятельство, что решение задается тремя разными разложениями. В п. 6.4.4 с помощью метода многих масштабов было получено одно разложение, равномерно пригодное для всех $x$. В следующем разделе мы рассмотрим весьма эффективный метод изучения задач с точкой возврата, который был предложен Лангером [1931], [1934] и развит Лангером и рядом исследователей, см. п. 7.3.2-7.3.10.

7.3.2. Преобразование Лангера

Суть подхода Лангера состоит в использовании того обстоятельства, что приблизительно одинаковые уравнения имеют приблизительно одинаковые решения. Он понял, что любая попытка выразить в элементарных функциях асимптотические разложения решений в задачах с точкой возврата обречена на неудачу в областях, содержащих точки возврата. Поэтому разложение, равномерно пригодное для всех $x$, должно быть выражено в неэлементарных функциях с теми же качественными особенностями, что и у решений уравнения.

Решающим шагом в подходе Лангера является введение следующего преобразования зависимой и независимой переменных:
\[
z=\varphi(x), \quad v=\psi(x) y(x),
\]

которое приводит уравнение
\[
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+\left[\lambda^{2} q_{1}(x)+q_{2}(x)\right] y=0
\]

к виду
\[
\begin{array}{c}
\frac{d^{2} v}{d z^{2}}+\frac{1}{\varphi^{\prime 2}}\left(\varphi^{\prime \prime}-\frac{2 \varphi^{\prime} \psi^{\prime}}{\psi}\right) \frac{d v}{d z}+ \\
+\frac{1}{\varphi^{\prime 2}}\left[\lambda^{2} q_{1}(x)+q_{2}(x)-\psi\left(\frac{\psi^{\prime}}{\psi^{2}}\right)^{\prime}\right] v=0 .
\end{array}
\]

При условии
\[
\Psi=\sqrt{\varphi^{\prime}}
\]

средний член обратится в нуль, и уравнение примет вид
\[
\frac{d^{2} v}{d z^{2}}+\left[\lambda^{2} \frac{q_{1}}{\varphi^{\prime 2}}+\frac{q_{2}}{\varphi^{\prime 2}}+\frac{3}{4} \frac{\varphi^{\prime \prime 2}}{\varphi^{\prime 4}}-\frac{1}{2} \frac{\varphi^{\prime \prime \prime}}{\varphi^{\prime 3}}\right] v=0 .
\]

Положив
\[
\frac{q_{1}}{\varphi^{\prime 2}}=1 \text { или } \varphi=\int \sqrt{q_{1}(\tau)} d \tau,
\]

мы вернемся к преобразованию Лиувилля – Грина. Получающееся при этом решение выражается, как и в п. 7.1.3, в тригономет. рических функциях и имеет особенность в точках возврата (нулях функции $q_{1}(x)$ ). Из равенств $\psi=\sqrt{\varphi^{\prime}}$ и $\varphi^{\prime}=\sqrt{q_{1}}$ имеем $\psi=\sqrt[4]{q_{1}}$; поэтому преобразование (7.3.28) имеет особенность в нулях функции $q_{1}(x)$.

Для получения равномерно пригодного разложения в задаче с точкой возврата в точке $x=\mu$ и функцией $q_{1}(x)$ вида
\[
q_{1}(x)=(x-\mu) f(x), f(x)>0,
\]

положим, следуя Лангеру [1931], [1934],
\[
\frac{q_{1}}{\varphi^{\prime 2}}=\varphi
\]

Тогда уравнение (7.3.32) примет вид
\[
\frac{d^{2} v}{d z^{2}}+\lambda^{2} z v=\delta v,
\]

где
\[
\delta=-\frac{q_{2}}{\varphi^{\prime 2}}-\frac{3}{4} \frac{\varphi^{\prime 2}}{\varphi^{\prime 4}}+\frac{1}{2} \frac{\varphi^{\prime \prime \prime}}{\varphi^{\prime 3}} .
\]

Решение уравнения (7.3.35) имеет вид
\[
\begin{aligned}
\frac{2}{3} \varphi^{3 / 2} & =\int_{\mu}^{x} \sqrt{(\tau-\mu) f(\tau)} d \tau \quad \text { при } \quad x \geqslant \mu, \\
\frac{2}{3}(-\varphi)^{3 / 2} & =\int_{x}^{\mu} \sqrt{(\mu-\tau) f(\tau)} d \tau \quad \text { при } \quad x \leqslant \mu .
\end{aligned}
\]

При $x \rightarrow \mu$ имеем $\varphi \rightarrow \sqrt[3]{f(\mu)}(x-\mu)$ и $\psi \rightarrow \sqrt[\hbar]{f(\mu)}$; следовательно, $\delta=O(1)$, если только функция $q_{2}(x)$ непрерывна. Кроме того, преобразование (7.3.28) является регулярным всюду, включая точку возврата $x=\mu$. Поскольку $\delta=O(1)$, а $\lambda$-большой параметр, то функция $v$ приближенно определяется уравнением, которое Лангер назвал присоединенным уравнением,
\[
\frac{d^{2} v}{d z^{2}}+\lambda^{2} z v=0
\]

Решение этого уравнения имеет вид
\[
v=c_{1} A i\left(-\lambda^{2 / 3} z\right)+c_{2} B i\left(-\lambda^{2 / 3} z\right),
\]

где $c_{1}$ и $c_{2}$ – постоянные интегрирования. Следовательно, в первом приближении
\[
y=\frac{1}{\sqrt{\varphi^{\prime}(x)}}\left\{c_{1} A i\left[-\lambda^{2 / 3} \varphi(x)\right]+c_{2} B i\left[-\lambda^{2 / 3} \varphi(x)\right]\right\},
\]

где $\varphi$ определено в (7.3.38).
Это-единственное разложение, равномерно пригодное для всех $x$, включая и окрестность точки возврата $x=\mu$. Используя асимптотические разложения (7.3.16)-(7.3.19), справедливые для больших значений аргумента функций Эйри $A i$ и $B i$, можно

получить
\[
\begin{array}{l}
y=\frac{\lambda^{-1 / 6}}{\sqrt{\pi} \sqrt[4]{q_{1}(x)}}\left\{c_{1} \sin \left[\lambda \int_{\mu}^{x} \sqrt{q_{1}(\tau)} d \tau+\frac{\pi}{4}\right]+\right. \\
\left.\quad+c_{2} \cos \left[\lambda \int_{\mu}^{x} \sqrt{q_{1}(\tau)} d \tau+\frac{\pi}{4}\right]\right\} \text { при } x>\mu, \quad \text { (7.3.42) } \\
y=\frac{\lambda^{-1 / \theta}}{\sqrt{\pi} \sqrt[4]{-q_{1}(x)}}\left\{c_{1} \exp \left[-\lambda \int_{x}^{\mu} \sqrt{-q_{1}(\tau)} d \tau\right]+\right. \\
\left.\quad+c_{2} \exp \left[\lambda \int_{x}^{\mu} \sqrt{-q_{1}(\tau)} d \tau\right]\right\} \text { при } x<\mu . \quad \text { (7.3.43) }
\end{array}
\]

Эти формулы согласуются с результатами предыдущего пункта. Олвер [1954] обобщил преобразование Лангера, записав его в виде
\[
\begin{array}{l}
y=\chi^{-1 / 4} v, \\
\zeta=\zeta(z)=\int^{x} \sqrt{q_{1}(\tau)} d \tau, \\
\chi=\frac{q_{1}(x)}{\zeta^{\prime 2}},
\end{array}
\]

где независимая переменная $z$ является пока не определенной функцией $x$. Это преобразование приводит уравнение (7.3.29) к виду
\[
\frac{d^{2} v}{d z^{2}}+\lambda^{2} \zeta^{\prime 2} v=\delta v,
\]

где
\[
\delta=-\frac{q_{2}}{\chi}-\chi^{-3 / 4} \frac{d^{2}\left(\chi^{-1 / 4}\right)}{d x^{2}} .
\]

Если нам удастся подобрать функцию $\zeta(z)$ такой, чтобы имело место $\delta=O(1)$, то решения присоединенного уравнения
\[
\frac{d^{2} v}{d z^{2}}+\lambda^{2} \zeta^{\prime 2} v=0
\]

будут асимптотически эквивалентны решениям уравнения (7.3.29) при больших $\lambda$. Чтобы $\delta$ имела порядок $O(1)$, функция $\chi$ должна быть регулярной и не обращаться в нуль на рассматриваемом интервале. Следовательно, функция $\zeta$ должна быть выбрана такой, чтобы порядок и местоположение нулей и особенностей функции $\zeta^{\prime 2}$ были такими же, как у функции $q_{1}(x)$, и чтобы

$\zeta^{\prime 2}$ и $q_{1}(x)$ были одновременно положительны или отрицательны. Кроме того, желательно $\zeta^{\prime 2}$ выбрать и таким, чтобы присоединенное уравнение (7.3.47) решалось в известных функциях. Общее преобразование такого типа было вновь открыто Моригути [1959]. Положив
\[
q_{1}(x)=(x-\mu) f(x), f(x)>0, \zeta^{\prime 2}= \pm z,
\]

придем к преобразованию Лангера.

7.3.3. Задачи с двумя точками возврата
Рассмотрим случай, при котором
\[
q_{1}(x)=\left(x-\mu_{1}\right)\left(\mu_{2}-x\right) f(x), \quad \mu_{2}>\mu_{1}, f(x)>0,
\]

так что уравнение (7.3.29) имеет две простые точки возврата в точках $x=\mu_{1}$ и $x=\mu_{2}$. Подобные задачи с двумя точками возврата возникают, например, при решении уравнения Шредингера (см., например, Джеффрис [1962]; Пайк [1964]) для туннельного перехода или в задачах с классическим осциллятором, а также при определении переноса тепла в трубе (см., например, Джейкоб [1949], стр. 451-480).

Применив результаты предыдущего пункта к точке возврата $x=\mu_{1}$, получим
\[
y=\frac{1}{\sqrt{\varphi_{1}^{\prime}(x)}}\left\{a_{1} A i\left[-\lambda^{2 / 3} \varphi_{1}(x)\right]+b_{1} B i\left[-\lambda^{2 / 3} \varphi_{1}(x)\right]\right\},
\]

где
\[
\begin{aligned}
\frac{2}{3} \varphi_{1}^{3 / 2} & =\int_{\mu_{1}}^{x} \sqrt{\left(\tau-\mu_{1}\right)\left(\mu_{2}-\tau\right) f(\tau)} d \tau \quad \text { при } \quad x>\mu_{1}, \\
\frac{2}{3}\left(-\varphi_{1}\right)^{3 / 2} & =\int_{x}^{\mu_{1}} \sqrt{\left(\mu_{1}-\tau\right)\left(\mu_{2}-\tau\right) f(\tau)} d \tau \quad \text { при } \quad x<\mu_{1} .
\end{aligned}
\]

При $x \rightarrow \mu_{2}$, однако, $\varphi_{1}^{\prime}=O\left[\left(x-\mu_{2}\right)^{1 / 2}\right]$. Поэтому разложение (7.3.50) нарушается в окрестности точки $x=\mu_{2}$ и пригодно для значений $\mu_{2}-x>\delta_{2}$, где $\delta_{2}$ – положительная малая величина.

Применив результаты предыдущего пункта к точке возврата $x=\mu_{2}$, получим
\[
\begin{array}{r}
y=\frac{1}{\sqrt{\varphi_{2}^{\prime}(x)}}\left\{a_{2} A i\left[-\lambda^{2 / 3} \varphi_{2}(x)\right]+b_{i} B i\left[-\lambda^{2 / 3} \varphi_{2}(x)\right]\right\} \\
\text { при } x-\mu_{1}>\delta_{1},
\end{array}
\]

где $\delta_{1}$-малое положительное число и
\[
\begin{aligned}
\frac{2}{3} \varphi_{2}^{3 / 2} & =\int_{x}^{\mu_{2}} \sqrt{\left(\tau-\mu_{1}\right)\left(\mu_{2}-\tau\right) f(\tau)} d \tau \quad \text { при } \quad x<\mu_{2}, \\
\frac{2}{3}\left(-\varphi_{2}\right)^{3 / 2} & =\int_{\mu_{2}}^{x} \sqrt{\left(\tau-\mu_{1}\right)\left(\tau-\mu_{2}\right) f(\tau)} d \tau \quad \text { при } \quad x>\mu_{2} .
\end{aligned}
\]

Поскольку оба разложения (7.3.50) и (7.3.52) пригодны в интервале $\mu_{1}+\delta_{1}<x<\mu_{2}-\delta_{2}$, то их можно срастить. Разложив (7.3.50) для больших значений аргумента и для $x>\mu_{1}$, получим, используя (7.3.17) и (7.3.19),
\[
\begin{aligned}
y=\frac{\lambda^{-1 / 6}}{\sqrt{\pi}\left[\left(x-\mu_{1}\right)\left(\mu_{2}-x\right) f(x)\right]^{1 / 4}} & {\left[a_{1} \sin \left(\frac{2}{3} \lambda \varphi_{1}^{3 / 2}+\frac{\pi}{4}\right)+\right.} \\
& \left.+b_{1} \cos \left(\frac{2}{3} \lambda \varphi_{1}^{3 / 2}+\frac{\pi}{4}\right)\right] .
\end{aligned}
\]

Аналогично, разложив (7.3.52) для больших значений аргумента и для $x<\mu_{2}$, получим
\[
\begin{array}{l}
y=\frac{\lambda^{-1 / 6}}{\sqrt{\pi}\left[\left(x-\mu_{1}\right)\left(\mu_{2}-x\right) f(x)\right]^{1 / 4}}\left[a_{2} \sin \left(\frac{2}{3} \lambda \varphi_{2}^{3 / 2}+\frac{\pi}{4}\right)+\right. \\
\left.+b_{2} \cos \left(\frac{2}{3} \lambda \varphi_{2}^{3 / 2}+\frac{\pi}{4}\right)\right] \text {. } \\
\end{array}
\]

Приравняв (7.3.54) и (7.3.55), придем к уравнению
\[
\begin{array}{l}
a_{1} \sin \left(\frac{2}{3} \lambda \varphi_{1}^{3 / 2}+\frac{\pi}{4}\right)+b_{1} \cos \left(\frac{2}{3} \lambda \varphi_{1}^{8 / 2}+\frac{\pi}{4}\right)= \\
=a_{2} \sin \left(\frac{2}{3} \lambda \varphi_{2}^{3 / 2}+\frac{\pi}{4}\right)+b_{2} \cos \left(\frac{2}{3} \lambda \varphi_{2}^{3 / 2}+\frac{\pi}{4}\right) .
\end{array}
\]

Введя обозначение
\[
\Delta=\frac{2}{3} \lambda\left(\varphi_{1}^{3 / 2}+\varphi_{2}^{3 / 2}\right)+\frac{\pi}{2}=\lambda \int_{\mu_{1}}^{\mu_{1}} \sqrt{\left(\tau-\mu_{1}\right)\left(\mu_{2}-\tau\right) f(\tau)} d \tau+\frac{\pi}{2},
\]

получим
\[
\frac{2}{3} \lambda \varphi_{2}^{3 / 2}+\frac{\pi}{4}=\Delta-\left(\frac{2}{3} \lambda \varphi_{1}^{3 / 2}+\frac{\pi}{4}\right) .
\]

Тогда из (7.3.56) следует
\[
\begin{array}{l}
a_{1}=b_{2} \sin \Delta-a_{2} \cos \Delta, \\
b_{1}=a_{2} \sin \Delta+b_{2} \cos \Delta .
\end{array}
\]

Если теперь $y$-ограниченная функция $x$, как это имеет место для решений уравнения Шредингера, то в силу предельного соотношения $B i(z) \rightarrow \pi^{-1 / 2} z^{-1 / 4} \exp \left[(2 / 3) z^{3 / 2}\right]$ при $z \rightarrow \infty$ будем иметь $b_{1}, b_{2}=0$. Следовательно, второе из уравнений (7.3.59) дает
\[
\sin \Delta=0, \quad \Delta=n \pi,
\]

где $n$-целое число. Тогда в силу (7.3.57)
\[
\lambda=\frac{\left(n-\frac{1}{2}\right) \pi}{\int_{\mu_{1}}^{\mu_{2}}\left[\left(\tau-\mu_{1}\right)\left(\mu_{2}-\tau\right) f(\tau)\right]^{1 / 2} d \tau} .
\]

Чтобы не представлять решение в виде двух разложений, Миллер и Гуд [1953], Казаринов [1958] и Лангер [1959в] предложили выразить решение с помощью одного равномерно пригодного разложения в терминах функций параболического цилиндра. Обращаясь к преобразованию (7.3.44), выберем функцию $\zeta^{2}$ такой, чтобы она имела два простых нуля. Будем считать, что они расположены в точках $z= \pm 1$, причем точка $z=-1$ соответствует точке $x=\mu_{1}$, и положим (Пайк [1964])
\[
\zeta^{2}=4 a^{2}\left(1-z^{2}\right)
\]

Выберем $a$ таким образом, чтобы $z=1$ соответствовало бы точке $x=\mu_{2}$. Тогда из (7.3.44) получаем
\[
\zeta=2 a \int_{-1}^{z} \sqrt{1-\tau^{2}} d \tau=\int_{\mu_{1}}^{x} \sqrt{q_{1}(\tau)} d \tau .
\]

Здесь ветви квадратного корня должны быть выбраны таким образом, чтобы $z$ была бы регулярной функцией $x$ и чтобы области $q_{1}(x)>0$ и $q_{1}(x)<0$ отображались бы соответственно в области $z^{2}<1$ и $z^{2}>1$. Выбрав точку $z=1$, соответствующую точке $x=\mu_{2}$, мы получили следующее уравнение для $a$ :
\[
2 a \int_{-1}^{1} \sqrt{1-\tau^{2}} d \tau=\int_{-\mu_{1}}^{\mu_{2}} \sqrt{q_{1}(\tau)} d \tau .
\]

Следовательно,
\[
a=\frac{1}{\pi} \int_{\mu_{1}}^{\mu_{2}} \sqrt{q_{1}(\tau)} d \tau .
\]

С учетом (7.3.61) присоединенное уравнение запишется в виде
\[
\frac{d^{2} v}{d z^{2}}+4 a^{2} \lambda^{2}\left(1-z^{2}\right) v=0 .
\]

Решениями этого уравнения будут функции
\[
v=W_{v}(2 \sqrt{a \lambda} z), \quad v+\frac{1}{2}=a \lambda,
\]

где $W_{v}$-функция Вебера порядка $v$. Если $y$ ограничена на бесконечности, то и функция $v$ должна быть ограниченной. Следовательно, $v=n$, где $n$-целое число. А тогда
\[
\lambda=\frac{\pi\left(n+\frac{1}{2}\right)}{\int_{\mu_{1}}^{\mu_{2}} \sqrt{q_{1}(\tau)} d \tau},
\]

что согласуется с (7.3.60).
Задачи с двумя точками возврата изучались также Олвером [1959] и Моригути [1959]. В числе других авторов задачами с несколькими точками возврата занимались Евграфов и Федорюк [1966], Хзи и Сибуя [1966], Сибуя [1967], Линн и Келлер [1970].

7.3.4. Задачи с точками возврата высших порядков
В этом пункте положим
\[
q_{1}=(x-\mu)^{\alpha} f(x), \quad f(x)>0,
\]

где $\alpha$-положительное действительное число. Для нахождения одного равномерно пригодного разложения положим $\zeta^{2}=z^{\alpha}$, так, чтобы функция $\zeta^{\prime 2}$ имела бы такое же число нулей, что и $q_{1}(x)$. Следовательно,
\[
\zeta=\frac{2}{2+\alpha} z^{(\alpha+2) / \alpha}=\int_{u}^{x} \sqrt{q_{1}(\tau)} d \tau,
\]

где ветви квадратного корня выбраны таким образом, чтобы области $q_{1}(x)>0$ и $q_{1}(x)<0$ отображались в области $z^{\alpha}>0$ и $z^{\alpha}<0$ соответственно. Это преобразование приводит к присоединенному уравнению вида (Лангер [1931])
\[
\frac{d^{2} v}{d z^{2}}+\lambda^{2} z^{\alpha} v=0
\]

Решение уравнения (7.3.69) имеет вид
\[
v=z^{1 / 2}\left\{c_{1}^{*} J_{v}\left[\frac{2 \lambda}{2+\alpha} z^{(\alpha+2) / 2}\right]+c_{2}^{*} J_{-v}\left[\frac{2 \lambda}{2+\alpha} z^{(\alpha+2) / 2}\right]\right\},
\]

где $v=(2+\alpha)^{-1}$. Следовательно, в первом приближении
\[
\begin{array}{c}
y=\frac{\left[\int_{\mu}^{x}\left[(\tau-\mu)^{\alpha} f(\tau)\right]^{1 / 2} d \tau\right]^{1 / 2}}{\left[(x-\mu)^{\alpha} f(x)\right]^{1 / 4}}\left\{c_{1} J_{
u}\left[\lambda \int_{\mu}^{x}\left[(\tau-\mu)^{\alpha} f(\tau)\right]^{1 / 2} d \tau\right]+\right. \\
\left.+c_{2} J_{-
u}\left[\lambda \int_{\mu}^{x}\left[(\tau-\mu)^{\alpha} f(\tau)\right]^{1 / 2} d \tau\right]\right\} \cdot
\end{array}
\]

Маккелви [1955] выразил асимптотические решения задачи с точкой возврата второго порядка (т. е. при $\alpha=2$ ) через функции Уиттекера. Задача с точкой возврата второго порядка возникает при рассмотрении дифракции на эллиптических цилиндрах с почти единичным эксцентриситетом (Гудрич и Казаринов [1963]) и при решении уравнения Шредингера (Фосс [1933]). Первое исследование задачи с точкой возврата второго порядка провел Голдстейн [1931] с помощью метода сращивания асимптотических разложений, как это сделано в п. 7.3.1.

7.3.5. Высшие приближения

До сих пор в наших рассмотрениях мы получали только первый член асимптотического разложения. Существуют четыре разных подхода к определению членов высшего порядка.

Подход Лангера. Суть этого подхода состоит в том, что всякий раз решение того уравнения, которое надо решить, связывается с решением некоторой более простой задачи со сходной структурой, которая может быть явно решена в трансцендентных функциях (Лангер [1949]). Недостатком этого подхода является то, что он не пригоден для численных расчетов, так как коэффициенты асимптотических разложений являются функциями как независимой переменной, так и параметра возмущения. Кроме того, разложения определяются путем нескольких преобразований. Ниже мы увидим, что, используя подход Олвера, можно получить эквивалентные разложения более простым путем.

Подход Черри. В 1949 и 1950 гг. Черри развил методику получения членов высшего порядка в задаче с простой точкой возврата. С помощью преобразования Лангера (п. 7.3.2) эта задача приводилась к виду
\[
\frac{d^{2} v}{d z^{2}}+\left[-\lambda^{2} z+\lambda g(z, \lambda)\right] v=0,
\]

где
\[
g(z, \lambda)=\sum_{n=0}^{\infty} \lambda-n g_{n}(z)
\]

В рассмотрения Черри отсутствуют все $g_{n}$ с четными индексами $n$. Будем искать формальное разложение вида
\[
v=A(z ; \lambda) \zeta_{i}\left[\lambda^{2 / 3} \varphi(z ; \lambda)\right], \quad i=1,2,
\]

где $\zeta_{1}$ и $\zeta_{2}$ – функции Эйри первого и второго родов соответственно. Поскольку справедливы равенства
\[
\frac{d^{2} v}{d z^{2}}=A^{\prime \prime} \zeta_{i}+\left(2 A^{\prime} \varphi^{\prime}+A \varphi^{\prime \prime}\right) \frac{d \zeta_{i}}{d \varphi}+A \varphi^{\prime 2} \frac{d^{2} \zeta_{i}}{d \varphi^{2}}
\]

и
\[
\frac{d^{2} \zeta_{i}}{d \varphi^{2}}=\lambda^{2} \varphi \zeta_{i},
\]

то уравнение (7.3.22) принимает вид
\[
\left(A^{\prime \prime}+\lambda^{2} \varphi \varphi^{\prime 2} A-\lambda^{2} z A+\lambda g A\right) \zeta_{i}+\left(2 A^{\prime} \varphi^{\prime}+A \varphi^{\prime \prime}\right) \frac{d \zeta_{i}}{d \varphi}=0 .
\]

Приравнивая нулю коэффициенты при $\zeta_{i}$ и $d \zeta_{i} / d \varphi$, получим
\[
\begin{aligned}
2 A^{\prime} \varphi^{\prime}+A \varphi^{\prime \prime} & =0, \\
\lambda^{2}\left(\varphi \varphi^{\prime 2}-z\right)+\lambda g+\frac{A^{\prime \prime}}{A} & =0 .
\end{aligned}
\]

В силу $(7.3 .76)$
\[
A=\frac{1}{\sqrt{\varphi^{\prime}}} .
\]

Уравнение (7.3.77), следовательно, запишется в виде
\[
\lambda^{2}\left(\varphi \varphi^{\prime 2}-z\right)+\lambda g+\frac{3}{4}\left(\frac{\varphi^{\prime \prime}}{\varphi^{\prime}}\right)^{2}-\frac{\varphi^{\prime \prime \prime}}{2 \varphi^{\prime}}=0 .
\]

Чтобы решить это уравнение, положим в нем
\[
\varphi=z+\lambda^{-1} \varphi_{1}(z)+\lambda^{-2} \varphi_{2}(z)+\ldots
\]

и, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях $\lambda$, получим уравнения для последовательного определения $\varphi_{n}$. Первые два из этих уравнений имеют вид
\[
\begin{aligned}
2 z \varphi_{1}^{\prime}+\varphi_{1}+g_{0} & =0, \\
2 z \varphi_{2}^{\prime}+\varphi_{2} & =-g_{1}-z \varphi_{1}^{\prime 2}-2 \varphi_{1} \varphi_{1}^{\prime} .
\end{aligned}
\]

Их решениями являются функции
\[
\begin{array}{l}
\sqrt{z} \varphi_{1}=-\int_{0}^{z} \frac{g_{0}(\tau)}{2 \sqrt{\tau}} d \tau, \\
\sqrt{z} \varphi_{2}=-\int_{0} \frac{g_{1}(\tau)+\tau \varphi_{1}^{\prime 2}(\tau)+2 \varphi_{1}(\tau) \varphi_{1}^{\prime}(\tau)}{2 \sqrt{\tau}} d \tau,
\end{array}
\]

Нижний предел в этих интегралах выбран таким, чтобы функции $\varphi_{1}$ и $\varphi_{2}$ были бы регулярными в точке $z=0$.
Таким образом, решение $v$ задается формальным разложением
\[
\begin{aligned}
v & =\frac{\zeta_{i}\left(\lambda^{2 / 3} \varphi\right)}{\sqrt{\varphi^{\prime}}}, \\
\varphi(z ; \lambda) & =z+\lambda^{-1} \varphi_{1}(z)+\lambda^{-2} \varphi_{2}(z)+\ldots .
\end{aligned}
\]

Это формальное разложение является равномерным приближением к решению исходной задачи всюду, за исключением малых окрестностей нулей функции $v$, в которых Черри использовал следующую модифицированную формулу:
\[
v=A i\left(\lambda^{2 / 3} z\right)\left(1+\lambda^{-2} a_{1}+\lambda^{-4} a_{2}+\ldots\right)+\frac{d A i}{d z}\left(\lambda^{2 / 3} z\right)\left(\lambda-2 b_{1}+\lambda-4 b_{2}+\ldots\right) .
\]

Если справедливо разложение
\[
\lambda g(z, \lambda)=\sum_{n=0}^{\infty} \lambda^{-2 n} g_{2 n}(z)
\]

то $a_{n}$ и $b_{n}$ могут быть определены из (7.3.83). Для этого следует разложить $\varphi^{\prime}$ и $A i\left(\lambda^{2 / 3} \varphi\right)$ в точке $\varphi=\boldsymbol{z}$ и использовать соотношение $d^{2} A i / d z^{2}=\lambda^{2} z A i$.

Подход Олвера. Олвер [1954] предложил отыскивать полное асимптотическое разложение, предположив, что
\[
v=A(z ; \lambda) \zeta_{i}\left(\lambda^{2 / 3} z\right)+B(z ; \lambda) \zeta_{i}^{\prime}\left(\lambda^{2 / 3} z\right) .
\]

Этот вид совпадает с окончательным видом разложения, полученного Лангером [1949], и с модифицированной формулой Черри (7.3.84). Это разложение может быть рассмотрено так же, как результат применения метода составных разложений, описанного в $\$ 4.2$.
Из равенства
\[
\begin{aligned}
\zeta_{i}^{\prime \prime} & =\lambda^{2} z \zeta_{i}, \quad v^{\prime}=A^{\prime} \zeta_{i}+\left(A+B^{\prime}\right) \zeta_{i}^{\prime}+B \zeta_{i}^{\prime \prime}= \\
& =\left(A^{\prime}+\lambda^{2} z B\right) \zeta_{i}+\left(A+B^{\prime}\right) \zeta_{i}^{\prime}
\end{aligned}
\]

имеем
\[
\begin{aligned}
v^{\prime \prime} & =\left(A^{\prime \prime}+\lambda^{2} B+\lambda^{2} z B^{\prime}\right) \zeta_{i}+\left(2 A^{\prime}+\lambda^{2} z B+B^{\prime \prime}\right) \zeta_{i}^{\prime}+\left(A+B^{\prime}\right) \zeta_{i}^{\prime}= \\
& =\left[A^{\prime \prime}+\lambda^{2} B+\lambda^{2} z\left(A+2 B^{\prime}\right)\right] \zeta_{i}+\left(2 A^{\prime}+\lambda^{2} z B+B^{\prime \prime}\right) \zeta_{i}^{\prime} .
\end{aligned}
\]

Следовательно, (7.3.72) принимает вид
\[
\left.A^{\prime \prime}+\lambda^{2} B+2 \lambda^{2} z B^{\prime}+\lambda g A\right) \zeta_{i}+\left(2 A^{\prime}+B^{\prime \prime}+\lambda g B\right) \zeta_{i}^{\prime}=0 .
\]

Приравняв нулю коэффициенты при $\zeta_{i}$ и $\zeta_{i}^{\prime}$, получим
\[
\begin{aligned}
2 A^{\prime}+B^{\prime \prime}+\lambda g B & =0, \\
A^{\prime \prime}+\lambda^{2} B+2 \lambda^{2} z B^{\prime}+\lambda g A & =0 .
\end{aligned}
\]

Этим уравнениям удовлетворяют формальные разложения вида
\[
\begin{array}{l}
A=\sum_{n=0}^{\infty} \lambda^{-n} A_{n}(z), \\
B=\sum_{n=1}^{\infty} \lambda^{-n} B_{n}(z),
\end{array}
\]

где
\[
\begin{array}{c}
2 A_{0}^{\prime}+g_{0} B_{1}=0, \\
2 z B_{1}^{\prime}+B_{1}+g_{0} A_{0}=0, \\
2 A_{n}^{\prime}+g_{0} B_{n+1}=-\sum_{m=1}^{n} g_{m} B_{n-m+1}=\alpha_{n}, \quad n \geqslant 1, \\
2 z B_{n+1}^{\prime}+B_{n+1}+g_{0} A_{n}=-A_{n-1}^{\prime}-\sum_{m=1}^{n} g_{m} A_{n-m}=\beta_{n}, \quad n \geqslant 1 .
\end{array}
\]

Решение системы (7.3.89) имеет вид
\[
\begin{array}{l}
A_{0}=\operatorname{ch} \int_{0}^{2} \frac{g_{0}(\tau)}{2 \sqrt{\tau}} d \tau, \\
B_{1}=-\frac{\operatorname{sh} \int_{0}^{2} \frac{g_{0}(\tau)}{2 \sqrt{\tau}} d \tau}{\sqrt{z}} .
\end{array}
\]

Следовательно, решение системы (7.3.90) задается равенствами
\[
\begin{array}{c}
A_{n}=a_{n}(z) \operatorname{ch} \int_{0}^{z} \frac{g_{0}(\tau)}{2 \sqrt{\tau}} d \tau+b_{n}(z) \operatorname{sh} \int_{0}^{z} \frac{g_{0}(\tau)}{2 \sqrt{\tau}} d \tau, \\
\sqrt{z} B_{n+1}=-a_{n}(z) \operatorname{sh} \int_{0}^{2} \frac{g_{0}(\tau)}{2 \sqrt{\tau}} d \tau-b_{n}(z) \operatorname{ch} \int_{0}^{z} \frac{g_{0}(z)}{2 \sqrt{\tau}} d \tau,
\end{array}
\]

где
\[
\begin{array}{l}
a_{n}=\frac{1}{2} \int_{0}^{2}\left[\alpha_{n}(\tau) A_{0}(\tau)-\beta_{n}(\tau) B_{1}(\tau)\right] d \tau, \\
b_{n}=\frac{1}{2} \int_{0}^{2}\left[\sqrt{\tau} \alpha_{n}(\tau) B_{1}(\tau)-\frac{\beta_{n}(\tau) A_{0}(\tau)}{V \bar{\tau}}\right] d \tau .
\end{array}
\]

В том случае, когда
\[
\lambda g=\sum_{n=0}^{\infty} \lambda-{ }^{2 n} g_{n}(z),
\]

системе (7.3.87) удовлетворяют формальные разложения вида
\[
\begin{array}{l}
A=A_{0}+\sum_{n=1}^{\infty} \lambda^{-2 n} A_{n}(z), \quad A_{0}=1, \\
B=\sum_{n=1}^{\infty} \lambda^{-2 n} B_{n}(z) .
\end{array}
\]

Подставив эти разложения в (7.3.87) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях $\lambda$, получим
\[
\begin{array}{c}
2 A_{n}^{\prime}=-B_{n}^{\prime \prime}-g_{0} B_{n}-\sum_{m=1}^{n-1} g_{m} B_{n-m}=\alpha_{n}, \\
2 z B_{n}^{\prime}+B_{n}=-A_{n-1}^{\prime \prime}-g_{0} A_{n-1}-\sum_{m=1}^{n-1} g_{m} A_{n-m-1}=\beta_{n} .
\end{array}
\]

Решение этой системы имеет вид
\[
\begin{aligned}
\sqrt{z} B_{n} & =\int_{0}^{z} \frac{\beta_{n}(\tau)}{2 \sqrt{\tau}} d \tau, \\
A_{n} & =\frac{1}{2} \int_{0}^{z} \alpha_{n}(\tau) d \tau .
\end{aligned}
\]

Последовательные преобразования Лангера. Для нахождения высших приближений к решению уравнения
\[
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+\lambda^{2} q(x) y=0,
\]

в котором $q(x)$ обращается в нуль на рассматриваемом интервале, Имаи [1948], [1950] предложил повторно применять преобразование Лангера. Моригути [1959] применил и значительно расширил эту методику. В случае простой точки возврата при $x=\mu$ мы вводим сначала преобразование Лангера
\[
\frac{2}{3} z^{3 / 2}=\int_{\mu}^{x} \sqrt{q(\tau)} d \tau, \quad y=\chi^{-1 / 4} v, \quad \chi=\frac{q}{z},
\]

с помощью которого уравнение (7.3.97) приводится к виду
\[
\frac{d^{2} v}{d z^{2}}+\left[\lambda^{2} z-\delta(z)\right] v=0,
\]

где
\[
\delta=\chi^{-1 / 4} \frac{d^{2}\left(\chi^{-1 / 4}\right)}{d z^{2}}=-\chi^{-3 / 4} \frac{d^{2}\left(\chi^{-1 / 4}\right)}{d x^{2}} .
\]

Поскольку $\delta=O(1)$ и $\lambda$-большое число, то $v$ приближенно задается решениями уравнения
\[
\frac{d^{2} v}{d z^{2}}+\lambda^{2} z v=0
\]

которые имеют вид
\[
v==\zeta_{i}\left(\lambda^{2 / 3} z\right)
\]

где $\zeta_{1}$ и $\zeta_{2}$-функции Эйри первого и второго родов. Чтобы уточнить разложение (7.3.101), перепишем уравнение (7.3.99) в исходной форме (7.3.97) и заменим независимую переменную $z$ на $x_{1}$ по формуле
\[
x_{1}=z-\mu_{1},
\]

где $\mu_{1}$-корень уравнения $\lambda^{2} z-\delta(z)=0$, т. е.
\[
\lambda^{2} \mu_{1}-\delta\left(\mu_{1}\right)=0
\]

Тогда уравнение (7.3.99) может быть записано в виде
\[
\frac{d^{2} v}{d x_{1}^{2}}+\lambda^{2}\left[a_{1} x_{1}+R_{1}\left(x_{1}\right)\right] v=0,
\]

где
\[
a_{1}=1-\lambda^{-2} \delta^{\prime}\left(\mu_{1}\right), \quad R_{1}=-\lambda-2\left[\frac{1}{2} \delta^{\prime \prime}\left(\mu_{1}\right) x_{1}^{2}+\frac{1}{3 !} \delta^{\prime \prime \prime}\left(\mu_{1}\right) x_{1}^{3}+\ldots\right] .
\]

Это уравнение совпадает по виду с уравнением (7.3.97), и, следовательно, его приближенное решение может быть получено с помощью преобразования
\[
\begin{aligned}
\frac{2}{3} z_{1}^{3 / 2} & =\int_{0}^{x_{1}} \sqrt{q_{1}(\tau)} d \tau, \quad v=\chi_{1}^{-1 / 4} v_{1}, \\
\chi_{1} & =\frac{q_{1}}{z_{1}}, \quad q_{1}=a_{1} x_{1}+R_{1}\left(x_{1}\right) .
\end{aligned}
\]

Это преобразование приводит уравнение (7.3.104) к виду
\[
\frac{d^{2} v_{1}}{d z_{1}^{2}}+\left[\lambda^{2} z_{1}-\delta_{1}\left(z_{1}\right)\right] v_{1}=0,
\]

где
\[
\delta_{1}=-\chi_{1}^{-3 / 4} \frac{d^{2}\left(\chi_{1}^{-1 / 4}\right)}{d x_{1}^{2}} .
\]

Первым приближением к $v_{1}$ является решение уравнения
\[
\frac{d^{2} v_{1}}{d z_{1}^{2}}+\lambda^{2} z_{1} v_{1}=0
\]

Следовательно,
\[
v_{1}=\zeta_{i}\left(\lambda^{2 / 3} z_{1}\right) .
\]

Совершив теперь обратный переход к переменным $x$ и $y$, получим уточненное приб́лижение к решению исходного уравнения. Из (7.3.106) имеем
\[
\frac{2}{3} z_{1}^{3 \cdot 2}=\int_{0}^{x_{1}} \sqrt{a_{1} \tau} \sqrt{1+\frac{R_{1}}{a_{1} \tau}} d \tau=\frac{2}{3} \sqrt{a_{1}} x_{1}^{3 / 2}+O\left(\lambda^{-2}\right) .
\]

Следовательно,
\[
\begin{array}{l}
z_{1}=\sqrt[3]{a_{1}} x_{1}+O\left(\lambda^{-2}\right), \\
\chi_{1}=a_{1}^{2 / 3}+O\left(\lambda^{-2}\right) .
\end{array}
\]

Из равенств
\[
y=\frac{v}{\sqrt[4]{\chi}}=\frac{v_{1}}{\sqrt[4]{\chi \chi_{1}}} \approx \frac{z^{1 / 4} v_{1}}{q^{1 / 4} a_{1}^{1 / \beta}}
\]

следует, что два независимых решения уравнения (7.3.97) приближенно задаются соотношением
\[
y=\sqrt{\frac{z(x)}{q(x)}} \zeta_{i}\left[\lambda^{2 / 3} a_{1}^{1 / 3}\left(z(x)-\mu_{1}\right)\right],
\]

где $z(x)$ определено в (7.3.98).
Высшие приближения могут быть получены повторным применением описанной выше процедуры.

7.3.6. Неоднородная задача с простой точкой возврата – первое приближение

В этом пункте мы найдем первое приближение к частному решению уравнения
\[
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+\left[\lambda^{2} q_{1}(x)+q_{2}(x)\right] y=\lambda^{2} G(x)
\]

для больших $\lambda$ и при условии, что $q_{1}(x)$ имеет простой корень в точке $x=\mu$. Разделив (7.3.113) на $\lambda^{2}$ и положив $\lambda \rightarrow \infty$, получим в качестве приближенного частного решения функцию
\[
y=\frac{G(x)}{q_{1}(x)} .
\]

Это решение имеет особенность в точке $x=\mu$, если только функция $G(x)$ не имеет в точке $x=\mu$ простого корня или корня большей кратности.

Для нахождения первого приближения к частному решению в случае, когда $G(\mu)
eq 0$, применим сначала преобразование
\[
z=\varphi(x), \quad \frac{2}{3} z^{3 / 2}=\int_{\mu}^{x} \sqrt{q_{1}(\tau)} d \tau, \quad y=\frac{v}{\sqrt{\varphi^{\prime}}}
\]

к уравнению (7.3.114) и приведем его к виду
\[
\frac{d^{2} v}{d z^{2}}+\left(\lambda^{2} z-\delta\right) v=\lambda^{2} g(z),
\]

где $\delta$ определено равенством (7.3.37) и
\[
g(z)=\left\{\varphi^{\prime}[x(z)]\right\}^{-3 / 2} G[x(z)] .
\]

Поскольку $\delta=O(1)$ и $\lambda$-большое число, то первое приближение к уравнению (7.3.116) можно записать в виде
\[
\frac{d^{2} v}{d z^{2}}+\lambda^{2} z v=\lambda^{2} g(z) .
\]

Для нахождения частного решения запишем $g(z)$ в виде суммы двух слагаемых
\[
g(z)=g(0)+[g(z)-g(0)]
\]

и определим частные решения, соответствующие каждому из них. Если функция $g(z)$ дифференцируема в точке $z=0$, то частное решение, соответствующее второму слагаемому, приближенно задается равенством
\[
v_{1}=\frac{g(z)-g(0)}{z}
\]

равномерно для всех $z$. Для нахождения частного решения, соответствующего первому слагаемому, положим $\xi=\lambda^{2 / 3} z$ и приведем уравнение (7.3.118) к виду
\[
\frac{d^{2} v}{d \xi^{2}}+\xi v=\lambda^{2 / 3} g(0) .
\]

Частное решение этого уравнения имеет вид
\[
v_{2}=\lambda^{2 / 8} g(0) T(\xi),
\]

где функция $T(\xi)$ определяется из условий
\[
\frac{d^{2} T}{d \xi^{2}}+\xi T=1, \quad T(\xi)=\frac{1}{\xi} \quad \text { при } \quad|\xi| \rightarrow \infty .
\]

Таким образом, $T(\xi)$ может быть выражено через функции Ломмеля (см., например, Ватсон [1944], стр. 345-351) согласно равенствам
\[
\begin{array}{l}
T(\xi)=\frac{2}{3} \xi^{1 / 2} S_{0,1 / 3}\left(\frac{2}{3} \xi^{3 / 2}\right)=\int_{0}^{\infty} e^{-\xi t} e^{-t^{3 / 3}} d t, \quad|\xi|<\infty, \\
T(\xi)=3^{-2 / 3} \sum_{n=0}^{\infty} 3^{n / 3} \Gamma\left(\frac{n+1}{3}\right) \frac{(-\xi)^{n}}{n !}, \quad|\xi|<\infty, \\
T(\xi) \sim \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(3 n) !}{3^{n} n !} \xi^{-3 n-1}, \quad|\arg \xi|<\frac{2 \pi}{3},
\end{array}
\]

где через $S_{0,1 / 3}$ обозначена функция Ломмеля.
Поэтому частное решение уравнения (7.3.118) приближенно задается равенством
\[
v=\lambda^{2 / 3} g(0) T\left(\lambda^{2 / 3} z\right)+\frac{g(z)-g(0)}{z} .
\]

Совершив обратное преобразование к переменным $x$ и $y$, получим
\[
y=\lambda^{2 / 3} \frac{G(\mu)}{\left[\varphi^{\prime}(x) f(\mu)\right]^{1 / 2}} T\left(\lambda^{2 / 3} z\right)+\frac{1}{q_{1}(x)}\left[G(x)-\frac{G(\mu) \varphi^{\prime 3 / 2}}{\sqrt{f(\mu)}}\right],
\]

где
\[
f(x)=\frac{q_{1}(x)}{(x-\mu)} .
\]

Неоднородные задачи с точками возврата возникают при исследовании устойчивости пограничного слоя (Холстайн [1950]), при рассмотрении тонких упругих тороидальных оболочек и изгиба кривых труб (см., например, Кларк [1964]). Вышеизложенная методика развита Гольштайном [1950], Кларком [1958], [1963] и Тумаркиным [1959]. Стил [1965] получил одно частное решение уравнения второго порядка, выраженное через общие функции Ломмеля $S_{\mu, v}$.

7.3.7. Неоднородная задача с простой точкой возврата – высшие приближения

Чтобы найти полное асимптотическое представление решения уравнения
\[
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+\left[\lambda^{2} f(x)+\lambda_{\chi}(x, \lambda)\right] y=\lambda^{2} G(x, \lambda),
\]

в котором функция $f(x)$ имеет простой нуль в точке $x=\mu$ и
\[
\chi(x, \lambda)=\sum_{n=0}^{\infty} \lambda^{-n} \chi_{n}(x), \quad G(x, \lambda)=\sum_{n=0}^{\infty} \lambda^{-n} G_{n}(x) \quad \text { при } \quad \lambda \rightarrow \infty,
\]

применим сначала к этому уравнению преобразование
\[
z=\varphi(x), \quad \frac{2}{3} z^{3 / 2}=\int_{\mu}^{x} \sqrt{f(\tau)} d \tau, \quad y=v / \sqrt{\varphi^{\prime}} .
\]

Тогда это уравнение приведется к виду
\[
\frac{d^{2} v}{d z^{2}}+\left[\lambda^{2} z+\lambda q(z, \lambda)\right] v=\lambda^{2} g(z, \lambda),
\]

где
\[
\begin{array}{l}
q(z(x), \lambda)=P^{4}(x) \chi(x, \lambda)+\lambda^{-1} P^{3}(x) P^{\prime \prime}(x), \\
g(z(x), \lambda)=P^{3}(x) G(x, \lambda), \quad P(x)=\frac{1}{\sqrt{\varphi^{\prime}(x)}} .
\end{array}
\]

Предположив, что справедливы разложения
\[
g(z, \lambda)=\sum_{n=0}^{\infty} \lambda^{-n} g_{n}(z), \quad q(z, \lambda)=\sum_{n=0}^{\infty} \lambda^{-n} q_{n}(z) \quad \text { при } \quad \lambda \rightarrow \infty,
\]

сосредоточим наше внимание на уравнении (7.3.129).
Будем предполагать, что полное асимптотическое разложение частного решения задачи (7.3.129) и (7.3.131) имеет вид
\[
v=C(z, \lambda)+\lambda^{2 / 3} A(z, \lambda) T(\xi)+\lambda^{1 / 3} B(z, \lambda) T^{\prime}(\xi), \quad \xi=\lambda^{2 / 3} z,
\]

где $T(\xi)$ определена в (7.3.124) как решение уравнения
\[
T^{\prime \prime}+\xi T=1, \quad T=\frac{1}{\xi} \quad \text { при } \quad|\xi| \rightarrow \infty .
\]

В силу равенств
\[
\begin{aligned}
\frac{d v}{d z} & =C^{\prime}+\lambda^{2 / 3} A^{\prime} T+\lambda^{1 / 3}\left(\lambda A+B^{\prime}\right) T^{\prime}+\lambda B T^{\prime \prime}= \\
& =C^{\prime}+\lambda B+\lambda^{2 / 3}\left(A^{\prime}-\lambda z B\right) T+\lambda^{1 / 3}\left(\lambda A+B^{\prime}\right) T^{\prime}, \\
\frac{d^{2} v}{d z^{2}} & =C^{\prime \prime}+2 \lambda B^{\prime}+\lambda^{2} A+\lambda^{2 / 3}\left(A^{\prime \prime}-\lambda^{2} A z-\lambda B-2 \lambda z B^{\prime}\right) T+ \\
& +\lambda^{1 / 3}\left(2 \lambda A^{\prime}-\lambda^{2} z B+B^{\prime \prime}\right) T^{\prime}
\end{aligned}
\]

уравнение (7.3.129) принимает вид
\[
\begin{array}{l}
{\left[\left(\lambda^{2} z+\lambda q\right) C+C^{\prime \prime}+2 \lambda B^{\prime}+\lambda^{2} A-\lambda^{2} g\right]+} \\
+\lambda^{2 / 3}\left[A^{\prime \prime}-\lambda B-2 \lambda z B^{\prime}+\lambda q A\right] T+\lambda^{1 / 3}\left[2 \lambda A^{\prime}+\right. \\
\left.+B^{\prime \prime}+\lambda q B\right] T^{\prime}=0 .
\end{array}
\]

Для того чтобы соотношение (7.3.134) было тождеством, необходимо, чтобы коэффициенты в квадратных скобках обратились в нуль, т. е. чтобы были выполнены равенства
\[
\begin{aligned}
\left(\lambda^{2} z+\lambda q\right) C+\lambda^{2} A-\lambda^{2} g+2 \lambda B^{\prime}+C^{\prime \prime} & =0, \\
2 \lambda z B^{\prime}+\lambda B-A^{\prime \prime}-\lambda q A & =0, \\
2 \lambda A^{\prime}+\lambda q B+B^{\prime \prime} & =0 .
\end{aligned}
\]

Для решения уравнений (7.3.135)-(7.3.137) предположим, что имеют место формальные разложения вида
\[
A=\sum_{n=0}^{\infty} \lambda^{-n} A_{n}(z), \quad B=\sum_{n=0}^{\infty} \lambda^{-n} B_{n}(z), \quad C=\sum_{n=0}^{\infty} \lambda^{-n} C_{n},
\]

и, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях $\lambda$, получим
\[
\begin{array}{c}
z C_{n}=g_{n}-A_{n}-2 B_{n-1}^{\prime}-C_{n-2}^{\prime \prime}-\sum_{k=0}^{n-1} q_{n-k-1} C_{k}, \\
2 z B_{n}^{\prime}+B_{n}-q_{0} A_{n}=A_{n-1}^{\prime \prime}+\sum_{k=0}^{n-1} q_{n-k} A_{k}, \\
2 A_{n}^{\prime}+q_{0} B_{n}=-B_{n-1}^{\prime \prime}-\sum_{k=0}^{n-1} q_{n-k} B_{k} .
\end{array}
\]

Здесь все коэффициенты с отрицательными индексами равны нулю по определению. Положив
\[
\begin{array}{l}
M_{z} A_{n}=A_{n}^{\prime \prime}(z)+\sum_{k=0}^{n} q_{n-k+1}(z) A_{k}(z), \\
u_{n}(z)=A_{n}(z)+i \sqrt{z} B_{n}(z),
\end{array}
\]

объединим уравнения (7.3.140) и (7.3.141) в одно уравнение
\[
2 \sqrt{z} u_{n}^{\prime}-i q_{0} u_{n}=i M_{z} A_{n-1}-\sqrt{z} M_{z} B_{n-1}
\]

с общим решением
\[
\begin{aligned}
u_{n}=\left(\alpha_{n}+i \beta_{n}\right) e^{i \theta(z)} & +\frac{i}{2} \int_{0}^{2} e^{i \theta(z)-i \theta(\tau)}\left[\tau^{-1 / 2} M_{\tau} A_{n-1}+\right. \\
& \left.+i M_{\tau} B_{n-1}\right] d \tau, \quad n=0,1,2, \ldots .
\end{aligned}
\]

Здесь $\alpha_{n}$ и $\beta_{n}$ – произвольные постоянные и
\[
\theta(z)=\int_{0}^{z} \frac{q_{0}(\tau)}{2 \sqrt{\tau}} d \tau .
\]

Поскольку коэффициенты с отрицательными индексами равны нулю, то при $n=0$ формула (7.3.144) принимает вид
\[
u_{0}=\left(\alpha_{0}+i \beta_{0}\right) e^{i \theta} .
\]

Следовательно,
\[
\begin{aligned}
A_{0} & =\alpha_{0} \cos \theta-\beta_{0} \sin \theta, \\
\sqrt{z} B_{0} & =\alpha_{0} \sin \theta+\beta_{0} \cos \theta .
\end{aligned}
\]

Поскольку $\theta(0)=0$, то для ограниченности $B_{0}$ при $z \rightarrow 0$ необходимо, чтобы $\beta_{0} \equiv 0$. Далее, уравнение (7.3.139) при $n=0$ записывается в виде
\[
z C_{0}=g_{0}-A_{0} .
\]

Для того чтобы $C_{0}$ было ограниченным при $z \longrightarrow 0$, необходимо, чтобы выполнялось
\[
A_{0}(0)=g_{0}(0)=\alpha_{0} .
\]

Тогда для $v$ в первом приближении имеем
\[
v=\frac{g_{0}(z)-g_{0}(0) \cos \theta}{z}+\lambda^{2 / 3} g_{0}(0) \cos \theta T(\xi)+\lambda^{1 / 3} g_{0}(0) z^{-1 / 2} \sin \theta T^{\prime}(\xi) \text {. }
\]

При $q_{0}=0$ (т. е. $\theta=0$ ) эта формула сводится к (7.3.125).
Вообще, чтобы $B_{n}$ были регулярными в точке $z=0$, будем требовать выполнения равенств $\beta_{n}=0$, а для регулярности $C_{n}$ в точке $z=0$ будем требовать, чтобы
\[
\begin{aligned}
\alpha_{n}=A_{n}(0)= & g_{n}(0)-2 B_{n-1}^{\prime}(0)-C_{n-2}^{\prime \prime}(0)- \\
& -\sum_{k=0}^{n-1} q_{n-k-1}(0) C_{k}(0), \quad n=0,1,2, \ldots .
\end{aligned}
\]

Следовательно,
\[
\begin{array}{c}
A_{n}(z)=\alpha_{n} \cos \theta(z)-\frac{1}{2} \int_{0}^{z} \tau^{-1 / 2} \sin [\theta(z)-\theta(\tau)] M_{\tau} A_{n-1} d \tau- \\
-\frac{1}{2} \int_{0}^{z} \cos [\theta(z)-\theta(\tau)] M_{\tau} B_{n-1} d \tau, \\
\sqrt{z} B_{n}(z)=\alpha_{n} \sin \theta(z)+\frac{1}{2} \int_{0}^{2} \tau^{-1 / 2} \cos [\theta(z)-\theta(z)] M_{\tau} A_{n-1} d \tau- \\
-\frac{1}{2} \int_{0}^{z} \sin [\theta(z)-\theta(\tau)] M_{\tau} B_{n-1} d \tau .
\end{array}
\]
Это общее решение было получено Тумаркиным [1959] и обосновано Кларком [1963].

7.3.8. Неоднородная задача с точкой возврата второго порядка

В исследованиях по тороидальным мембранам с внутренним давлением Сандерс и Липинс [1963] столкнулись с неоднородной задачей, содержащей точку возврата второго порядка и описываемой уравнением вида
\[
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+\lambda^{2} q(x) y=\lambda^{2} G(x)
\]

где $q(x)$ имеет двукратный нуль в точке $x=\mu$. Чтобы найти первое приближение к частному решению этого уравнения, положим
\[
z=\varphi(x), \quad \frac{1}{2} z^{2}=\int_{\mu}^{x} \sqrt{q(\tau)} d \tau, \quad y=\frac{v}{\sqrt{\varphi^{\prime}}}
\]

и приведем уравнение (7.3.154) к виду
\[
\frac{d^{2} v}{d z^{2}}+\left(\lambda^{2} z^{2}-\delta\right) v=\lambda^{2} g(z),
\]

в котором $\delta$ и $g$ определены соотношениями (7.3.37) и (7.3.117). Поскольку $\delta=O(1)$, а $\lambda$-большое число, то частное решение уравнения (7.3.156) задается приближенно уравнением
\[
\frac{d^{2} v}{d z^{2}}+\lambda^{2} z^{2} v=\lambda^{2} g(z)
\]

Для нахождения приближенного частного решения уравнения (7.3.157) выразим $g(z)$ в виде суммы трех слагаемых согласно равенству
\[
g(z)=g(0)+g^{\prime}(0) z+\left[g(z)-g(0)-g^{\prime}(0) z\right]
\]

и определим частные решения, соответствующие этим трем членам. Если существует $g^{\prime \prime}(0)$, то частное решение, соответствующее последнему члену, приближенно задается равенством
\[
v_{1}=\frac{g(z)-g(0)-g^{\prime}(0) z}{z^{2}}
\]

равномерно для всех $z$. Для нахождения частных решений, соответствующих двум другим слагаемым в $g(z)$, положим $\xi=\lambda^{1 / 2} z$

и преобразуем уравнение (7.3.157) к виду
\[
\frac{d^{2} v}{d \xi^{2}}+\xi^{2} v=\lambda g(0)+\lambda^{1 / 2} g^{\prime}(0) \xi .
\]

Сандерс и Липинс [1963] определили две функции $T_{1}(\xi)$ и $T_{2}(\xi)$, удовлетворяющие условиям
\[
\begin{array}{lll}
\frac{d^{2} T_{1}}{d \xi^{2}}+\xi^{2} T_{1}=1, & T_{1}=\frac{1}{\xi^{2}} & \text { при }|\xi| \rightarrow \infty, \\
\frac{d^{2} T_{2}}{d \xi^{2}}+\xi^{2} T_{2}=\xi, & T_{2}=\frac{1}{\xi} & \text { при }|\xi| \rightarrow \infty .
\end{array}
\]

С помощью этих функций частное решение уравнения (7.3.160) может быть записано в виде
\[
v_{2}=\lambda g(0) T_{1}(\xi)+\lambda^{1 / 2} g^{\prime}(0) T_{2}(\xi) .
\]

Поэтому частное решение уравнения (7.3.157) приближенно задается равенством
\[
v=\frac{g(z)-g(0)-g^{\prime}(0) z}{z^{2}}+\lambda g(0) T_{1}(\xi)+\lambda^{1 / 2} g^{\prime}(0) T_{2}(\xi) .
\]

Совершив обратный переход к переменным $x$ и $y$, можем получить равномерно пригодное первое приближение к решению исходного уравнения.

7.3.9. Задачи с особенностями в точках возврата
Рассмотрим асимптотические разложения решений уравнения
\[
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+\left[\lambda^{2} q(x)+r(x)\right] y=0
\]

для больших $\lambda$ и при условиях
\[
\begin{array}{l}
q(x)=q_{0}(x-\mu)^{\alpha}[1+O(x-\mu)], \quad \text { при } x \rightarrow \mu . \\
r(x)=r_{0}(x-\mu)^{-2}[1+O(x-\mu)], \quad \text {. }
\end{array}
\]

при $x \rightarrow \mu$.
Задачи, рассмотренные в предыдущих разделах (в которых $r_{0}=0$ и $\alpha \geqslant 0$ ), являются частными случаями настоящей задачи, в которой $r_{0}
eq 0$ и $\alpha$ может иметь отрицательные значения. При $x \rightarrow \mu$ уравнение (7.3.164) стремится к виду
\[
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+\left[\lambda^{2} q_{0}(x-\mu)^{\alpha}+\frac{r_{0}}{(x-\mu)^{2}}\right] y=0 .
\]

Поэтому в качестве присоединенного мы выберем уравнение
\[
\frac{d^{2} v}{d z^{2}}+\left(\lambda^{2} z^{\alpha}+\frac{r_{0}}{z^{2}}\right) v=0,
\]

решения которого выражаются в виде
\[
\begin{array}{c}
v=z^{1 / 2} \mathscr{C}_{v}\left(\gamma z^{\beta}\right), \\
\beta \gamma=\lambda, \quad \beta=\frac{\alpha+2}{2}, \quad v=\frac{\sqrt{1-4 r_{0}}}{2+\alpha} .
\end{array}
\]

Здесь цилиндрические функции $\mathscr{C}_{v}(t)$ удовлетворяют дифференциальному уравнению
\[
\frac{d^{2} \mathscr{C}_{v}}{d t^{2}}+\frac{1}{t} \frac{d \mathscr{C}_{v}}{d t}+\left(1-\frac{v^{2}}{t^{2}}\right) \mathscr{C}_{v}=0 .
\]

Функции Бесселя, Неймана и Ганкеля $\left(J_{v}(t), Y_{v}(t), H_{v}^{1}(t)\right.$ и $\left.H_{v}^{2}(t)\right)$ являются частными видами цилиндрических функций.

Исследование задач с особенностями в точках возврата было начато Лангером [1935]. Значительный вклад в изучение этих задач внесли также Кэшуэлл [1951], Олвер [1954], Свенсон [1956], Казаринов и Маккелви [1956], Эрдейи [1960] и Вазов [1965].

Чтобы определить асимптотические разложения решений уравнения (7.3.164), введем в рассмотрение преобразование
\[
z=\varphi(x), \quad v=\psi(x) y(x), \quad \psi(x)=\sqrt{\varphi^{\prime}},
\]

которое приводит уравнение (7.3.164) к виду
\[
\frac{d^{2} v}{d z^{2}}+\left\{\frac{\lambda^{2} q(x)}{\varphi^{\prime 2}}+\frac{1}{\varphi^{\prime 2}}\left[r(x)+\frac{2 \psi^{\prime 2}}{\psi^{2}}-\frac{\psi^{\prime \prime}}{\psi}\right]\right\} v=0 .
\]

Для того чтобы это уравнение приближенно совпадало бы с уравнением (7.3.167), потребуем выполнения равенства
\[
\varphi^{\alpha} \varphi^{\prime 2}=q(x),
\]

откуда следует, что
\[
\frac{2}{\alpha+2} \varphi^{(\alpha+2) / 2}=\int_{\mu}^{x} \sqrt{q(\tau)} d \tau .
\]

Следовательно, уравнение (7.3.171) принимает вид
\[
\frac{d^{2} v}{d z^{2}}+\left(\lambda^{2} z^{\alpha}+\frac{r_{0}}{z^{2}}\right) v=F(z) v,
\]

где
\[
F=\frac{r_{0}}{\varphi^{2}}-\frac{1}{\varphi^{\prime 2}}\left[r(x(z))+\frac{2 \psi^{\prime 2}}{\psi^{2}}-\frac{\psi^{\prime \prime}}{\psi}\right] .
\]

При $x \rightarrow \mu$
\[
\frac{2}{\alpha+2} \varphi^{(\alpha+2) / 2} \rightarrow \frac{2}{\alpha+2} \sqrt{q_{0}}(x-\mu)^{(\alpha+2) / 2},
\]

откуда следует
\[
\begin{array}{c}
\varphi \longrightarrow q_{0}^{1 /(\alpha+2)}(x-\mu), \quad \varphi^{\prime} \longrightarrow q_{0}^{1 /(\alpha+2)}, \quad \psi \longrightarrow q_{0}^{1 / 2(\alpha+2)}, \\
F=O\left(\frac{1}{x-\mu}\right) .
\end{array}
\]

Следовательно, первое приближение к $v$ задается решением (7.3.168) уравнения (7.3.167). Тогда $у$ приближенно задается равенством
\[
\boldsymbol{g}=\frac{\left[\int_{\mu}^{x} \sqrt{q(\tau)} d \tau\right]^{1 / 2}}{\sqrt[4]{q(x)}} \mathscr{C}_{v}\left[\lambda \int_{\mu}^{x} \sqrt{q(\tau)} d \tau\right] .
\]

Используя подход Олвера (п.7.3.5) и предположив, что
\[
v=A(z, \lambda) \zeta_{i}(z ; \lambda)+B(z, \lambda) \zeta_{i}^{\prime}(z ; \lambda),
\]

где $\zeta_{1}$ и $\zeta_{2}$ – независимые решения уравнения (7.3.167), можно получить высшие приближения к решению уравнения (7.3.174).

7.3.10. Задачи высшего порядка с точками возврата

Интерес к задачам с точкой возврата для дифференциальных уравнений порядка выше двух обусловлен большей частью задачей о гидродинамической устойчивости параллельных течений. Линейная задача об устойчивости параллельного течения может быть сведена к решению так называемого уравнения ОрраЗоммерфельда (см., например, Линь [1955])
\[
\varphi^{\mathrm{IV}}-2 \alpha^{2} \varphi^{\prime \prime}+\alpha^{4} \varphi=i \alpha R\left\{[U(y)-c]\left(\varphi^{\prime \prime}-\alpha^{2} \varphi\right)-U^{\prime \prime}(y) \varphi\right\}
\]

относительно амплитуды возмущения $\varphi(y)$. В этом уравнении профиль скоростей невозмущенного потока $U(y)$ – известная функция. Параметры $\alpha$ и $R$ являются положительными постоянными, представляющими собой волновое число возмущения и число Рейнольдса для потока соответственно. Параметр $c$-комплексная постоянная, действительная часть которой $c_{r}$ определяет волновую скорость, а мнимая часть $c_{i}$-скорость затухания или возрастания возмущения. Это уравнение, дополненное четырьмя однородными граничными условиями, при известных $\alpha$ и $R$ образует задачу на собственные значения с собственной функцией $\varphi$ и собственными значениями $c_{r}$ и $c_{i}$. Система является неустойчивой при $c_{i}>0$, устойчивой при $c_{i}<0$ и при $c_{i}=0$ находится в состоянии безразличного равновесия.

Для больших $\alpha R$ можно получить два независимых решения этой задачи в виде
\[
\varphi=\varphi_{0}(y)+(\alpha R)^{-1} \varphi_{1}(y)+\ldots .
\]

Два других решения могут быть получены в виде
\[
\varphi=e^{ \pm \sqrt{\alpha R}} \hbar\left[(U-c)^{-5 / 4}+(\alpha R)^{-1 / 2} f_{1}(y)+\ldots\right],
\]

где $\zeta=\int_{y_{0}}^{y} \sqrt{i(U-c)} d y$. Вышеприведенное решение нарушается в окрестности нулей функции $U-c$, которые являются точками возврата для уравнения (7.3.180).

Толлмин [1947] и Вазов [1953] получили равномерно пригодные асимптотические решения первого порядка для уравнения (7.3.180). Полные равномерно пригодные разложения были получены Лангером [1957], [1959a], Рабенстайном [1959], Линем и Рабенстайном [1960], [1969]. К. Там получил для уравнения (7.3.180) равномерно пригодные разложения с помощью метода многих масштабов. Задачи с точкой возврата для уравнений $n$-го порядка изучал Сибуя [1963a], [1963b].