Мы установили в п. 1.2.1, что одно из решений уравнения Бесселя
\[
x \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+\frac{d y}{d x}+x y=0
\]

задается рядом
\[
J_{0}(x)=1-\frac{x^{2}}{2^{2}}+\frac{x^{4}}{2^{2} \cdot 4^{2}}-\frac{x^{6}}{2^{2} \cdot 4^{2} \cdot 6^{2}}+\ldots+\frac{(-1)^{n} x^{2 n}}{2^{2} \cdot 4^{2} \ldots(2 n)^{2}}+\ldots,
\]

равномерно и абсолютно сходящимся для всех значений $x$.
Другое представление для $J_{0}$ можно получить, заметив, что замена переменных
\[
y=x^{-1 / 2} y_{1}
\]

преобразует уравнение (1.5.1) в
\[
\frac{d^{2} y_{1}}{d x^{2}}+\left(1+\frac{1}{4 x^{2}}\right) y_{1}=0 .
\]

При $x \rightarrow \infty$ это уравнение стремится к виду
\[
\frac{d^{2} y_{1}}{d x^{2}}+y_{1}=0
\]

с решениями
\[
y_{1}=e^{ \pm i x} .
\]

Это наводит на мысль о преобразовании вида
\[
y_{1}=e^{i x} y_{2},
\]

которое приводит к уравнению
\[
\frac{d^{2} y_{2}}{d x^{2}}+2 i \frac{d y_{2}}{d x}+\frac{1}{4 x^{2}} y_{2}=0 .
\]

Это уравнение формально удовлетворяется рядом
\[
y_{2}=1-\frac{1}{8 x} i-\frac{1 \cdot 3^{2}}{8^{2} \cdot 2 ! \cdot x^{2}}+\frac{1 \cdot 3^{2} \cdot 5^{2}}{8^{3} \cdot 3 ! \cdot x^{3}} i+\frac{1 \cdot 3^{2} \cdot 5^{2} \cdot 7^{2}}{8^{4} \cdot 4 ! \cdot x^{4}}+\ldots .
\]

Заменив в этом ряду $i$ на $-i$ и комбинируя полученный ряд с исходным, получим следующие два независимых решения:
\[
\begin{array}{l}
y^{(1)} \sim x^{-1 / 2}(u \cos x+v \sin x), \\
y^{(2)} \sim x^{-1 / 2}(u \sin x-v \cos x),
\end{array}
\]
где
\[
\begin{array}{l}
u=1-\frac{1 \cdot 3^{2}}{8^{2} \cdot 2 ! \cdot x^{2}}+\frac{1 \cdot 3^{2} \cdot 5^{2} \cdot 7^{2}}{8^{4} \cdot 4 ! \cdot x^{4}}+\ldots \\
v=\frac{1}{8 x}-\frac{1 \cdot 3^{2} \cdot 5^{2}}{8^{3} \cdot 3 ! \cdot x^{3}}+\ldots
\end{array}
\]

Используя интегральное представление
\[
\pi J_{0}(x)=\int_{0}^{\pi} \cos (x \cos \theta) d \theta,
\]

мы получаем связь между $J_{0}(x)$ и этими двумя независимыми решениями (см. п. 7.1.2):
\[
J_{0}(x) \sim \sqrt{\frac{2}{\pi x}}\left[u \cos \left(x-\frac{1}{4} \pi\right)+v \sin \left(x-\frac{i}{4} \pi\right)\right] .
\]

Проверка сходимости рядов с помощью отношения двух соседних членов показывает, что $y_{2}, u$ и $v$, а следовательно, и правая часть (1.5.13), расходятся для всех значений $x$. Однако для больших $x$ слагаемые в $u$ и $v$ убывают быстро с ростом номера, так что (1.5.13) задает асимптотическое разложение для больших $x$.

Для малых $x$ первые несколько членов в (1.5.2) дают вполне хорошую точность. В самом деле, первые 9 членов дают значение $J_{0}(2)$ с точностью до 11 значащих цифр. Однако с ростом $x$ число членов, необходимых для обеспечения такой точности, быстро растет. При $x=4$ восемь членов дают точность до третьей значащей цифры, в то время как такую точность обеспечивает первый член асимптотического разложения (1.5.13). При дальнейшем росте $x$ с гораздо меньшей затратой труда можно получать хорошую точность, используя асимптотический расходящийся ряд (1.5.13).