В этой главе дадим описание новых методов, которые вместе с некоторыми методами, описанными в предыдущих главах, будут использованы для получения асимптотических решений линейных обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных. Нас будут интересовать дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами. Применяемый подход состоит в том, чтобы, использовав наличие большого или малого параметров, получить возмущения по параметру, или, использовав малые или большие значения координат, получить возмущения по координате.

Если для системы обыкновенных дифференциальных уравнений бесконечно удаленная точка является регулярной особой точкой, то решения могут быть получены в виде сходящихся рядов по обратным степеням координаты; исключение составляют лишь некоторые случаи задач с регулярной особой точкой, в которых одно из решений может содержать логарифм координаты. В данной главе нас будут интересовать случаи с нерегулярной особенностью, когда решение должно быть представлено асимптотическим разложением. При получении возмущений по параметру последний может быть малым или большим, причем первый случай охватывает также случай с медленно меняющимися коэффициентами. В этих случаях разложения получаются с помощью преобразования Лиувилля – Грина (ВКБ) и его обобщений. Получающиеся разложения являются пригодными всюду, за исключением некоторых точек, называемых точками возврата, или переходными точками. Разложения, пригодные всюду, включая и точки возврата, получаются с помощью преобразования Лангера и его обобщений.

Рассмотрение дифференциальных уравнений в частных производных ограничено случаем приведенного волнового уравнения с переменным показателем преломления. Вначале с помощью процедуры Борна – Неймана строится разложение для случая, когда показатель преломления мало отличается от постоянной, и затем решение представляется диаграммами Фейнмана. Получающееся разложение пригодно только на коротких расстояниях, а область его равномерности может быть расширена с помощью метода

перенормировок. Затем описаны приближение геометрической оптики и метод сглаживания.

Поскольку рассматриваемые задачи являются линейными, то существует обширная литература, посвященная их асимптотическому решению и математическому обоснованию этих решений. В этой главе мы даем описание методов получения формальных асимптотических разложений для решений уравнений, не вдаваясь в математическое обоснование их. Кроме того, процитировано ограниченное число статей. Читателя, интересующегося более обширными ссылками и математической строгостью, отсылаем к Эрдейи [1956], Джеффрису [1962], Чезари [1971], Беллману [1964], Уилкоксу [1964], Вазову [1965], Фещенко, Шкилеву и Николенко [1967], Вазову [1968] и Фришу [1968].

Сначала, в § 7.1, рассмотрены обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка; системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка рассмотрены в $\$ 7.2$. Задачи с точками возврата исследуются в § 7.3, приведенное волновое уравнение изучается в $\S 7.4$.