Эта глава посвящена методике сведения приближенных решений некоторых дифференциальных уравнений, описанных в предыдущих главах, к равномерно пригодным. Эта методика основана на введении почти тождественных преобразований независимых переменных и восходит к девятнадцатому столетию, когда астрономы, такие, как Линдштедт [1882], Бохлин [1889] и Гюльден [1893], разработали способ, позволявший избежать появления вековых членов в возмущенных решения уравнений вида
\[
\ddot{u}+\omega_{0}^{2} u=\varepsilon f(u, \dot{u}), \quad \varepsilon \ll 1 .
\]

В основе метода Линдштедта лежит идея, почерпнутая из следующего наблюдения: нелинейность изменяет частоту системы от значения $\omega_{0}$, отвечающего линейной системе, до $\omega(\varepsilon)$. Чтобы учесть это изменение частоты, Линдштедт ввел новую переменную $\tau=\omega t$ и разложил $\omega$ и $и$ по степеням $\varepsilon:$
\[
\begin{aligned}
u & =u_{0}(\tau)+\varepsilon u_{1}(\tau)+\varepsilon^{2} u_{2}(\tau)+\ldots, \\
\omega & =\omega_{0}+\varepsilon \omega_{1}+\varepsilon^{2} \omega_{2}+\ldots .
\end{aligned}
\]

Затем он выбрал параметры $\omega_{i}, i \geqslant 1$, так, чтобы предотвратить появление вековых членов. Пуанкаре [1892] доказал, что разложение, полученное Линдштедтом, является асимптотическим.

Различные формы этого метода используются для получения приближенных решений задач физики и техники. Идея заключается в том, чтобы найти параметр задачи, изменяющийся при возмущении (например, частота, волновое число, волновая скорость, собственное значение или энергетические уровни), и разложить зависимые переменные вместе с этим параметром, скажем, по степеням интенсивности возмущений. Возмущения параметра выбирают так, чтобы получить равномерно пригодное разложение. Этот метод мы называем методом растянутых параметров.

Эта идея лежит в основе метода Рэлея – Шредингера – метода получения приближенного стационарного решения уравнения Шредингера, при котором раскладывается не только волновая функция, но также и энергетический уровень (Шредингер [1926]). Эту же идею применил Стокер [1957] при исследовании волн конечs*

ной амплитуды на воде, разложив функцию тока и волновую скорость по степеням коэффициента крутизны волн.

Если разложение параметра интерпретировать как почти тождественное преобразование, то метод Лайтхилла сведения приближенных решений к равномерно пригодным будет обобщением метода растянутых параметров. Идея метода Лайтхилла [1949a], [1961] заключается в следующем. Пусть разложение функции $u\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} ; \varepsilon\right)$ по степеням $\varepsilon$ неравномерно по одной из независимых переменных, скажем, по $x_{t}$. В этом случае мы будем раскладывать по степеням $\varepsilon$ не только функцию $u$, но также и независимую переменную $x_{1}$, используя новую независимую переменную, т. е.
\[
\begin{aligned}
u & =\sum_{m=0}^{N-1} \varepsilon^{m} u_{m}\left(s, x_{2}, x_{3}, \ldots, x_{n}\right)+O\left(\varepsilon^{N}\right), \\
x_{1} & =s+\sum_{m=1}^{N} \varepsilon^{m} \xi_{m}\left(s, x_{2}, x_{3}, \ldots, x_{n}\right)+O\left(\varepsilon^{N+1}\right) .
\end{aligned}
\]

Последнее разложение можно рассматривать как почти тождественное преобразование переменной $x_{1}$ к переменной $s$. Функции $\xi_{m}$ называются растягивающими функциями и выбираются так, чтобы разложение для $u$ было равномерно пригодным. Другими словами, должно выполняться условие $u_{m} / u_{m-1}<\infty$ для всех рассматриваемых значений $x_{1}$, или, что то же самое, высшие приближения должны быть не более сингулярными, чем предыдущие. Заметим, что если $\xi_{m}=\omega_{m} s$ с постоянными $\omega_{m}$, то метод Лайтхилла переходит в метод Линдштедта-Пуанкаре. Так как в методе Лайтхилла преобразуется координата, а не параметр, то этот метод назван методом растянутых координат.

Для гиперболических уравнений метод Лайтхилла эквивалентен разложению зависимых и независимых переменных по некоторым или всем точным характеристикам уравнения (Уизэм [1952], [1953]; Линь [1954]; Фокс [1955]).

Вместо того чтобы вводить преобразование в дифференциальное уравнение, а затем выписывать разложение по новым переменным, Притуло [1962] предложил вводить преобразование в неоднородное прямое разложение. Преобразование затем может быть найдено непосредственно решением алгебраических, а не дифференциальных уравнений. Это является другой формой метода перенормировки (п. 7.4.2), введенного Рэлеем при анализе рассеяния. Рэлей получил разложение $u=u_{0}+\varepsilon u_{1}$ для рассеяния в тонком слое и затем представил разложение в форме $u=$ $=u_{0} \exp \left(\varepsilon u_{1} / u_{0}\right)$, чтобы сделать его верным для многих слоев.

В следующем параграфе дано описание метода растянутых параметров на примере нескольких физических задач. В § 3.2 метод Лайтхилла применен сначала к обыкновенным дифференциальным уравнениям, а затем к уравнениям в частных производных. Далее следует описание метода линеаризации Темпла. Метод перенормировки рассмотрен в § 3.4, в то время как ограничения метода растянутых координат обсуждены в § 3.5.