Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Эта глава посвящена методике сведения приближенных решений некоторых дифференциальных уравнений, описанных в предыдущих главах, к равномерно пригодным. Эта методика основана на введении почти тождественных преобразований независимых переменных и восходит к девятнадцатому столетию, когда астрономы, такие, как Линдштедт [1882], Бохлин [1889] и Гюльден [1893], разработали способ, позволявший избежать появления вековых членов в возмущенных решения уравнений вида В основе метода Линдштедта лежит идея, почерпнутая из следующего наблюдения: нелинейность изменяет частоту системы от значения $\omega_{0}$, отвечающего линейной системе, до $\omega(\varepsilon)$. Чтобы учесть это изменение частоты, Линдштедт ввел новую переменную $\tau=\omega t$ и разложил $\omega$ и $и$ по степеням $\varepsilon:$ Затем он выбрал параметры $\omega_{i}, i \geqslant 1$, так, чтобы предотвратить появление вековых членов. Пуанкаре [1892] доказал, что разложение, полученное Линдштедтом, является асимптотическим. Различные формы этого метода используются для получения приближенных решений задач физики и техники. Идея заключается в том, чтобы найти параметр задачи, изменяющийся при возмущении (например, частота, волновое число, волновая скорость, собственное значение или энергетические уровни), и разложить зависимые переменные вместе с этим параметром, скажем, по степеням интенсивности возмущений. Возмущения параметра выбирают так, чтобы получить равномерно пригодное разложение. Этот метод мы называем методом растянутых параметров. Эта идея лежит в основе метода Рэлея – Шредингера – метода получения приближенного стационарного решения уравнения Шредингера, при котором раскладывается не только волновая функция, но также и энергетический уровень (Шредингер [1926]). Эту же идею применил Стокер [1957] при исследовании волн конечs* ной амплитуды на воде, разложив функцию тока и волновую скорость по степеням коэффициента крутизны волн. Если разложение параметра интерпретировать как почти тождественное преобразование, то метод Лайтхилла сведения приближенных решений к равномерно пригодным будет обобщением метода растянутых параметров. Идея метода Лайтхилла [1949a], [1961] заключается в следующем. Пусть разложение функции $u\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} ; \varepsilon\right)$ по степеням $\varepsilon$ неравномерно по одной из независимых переменных, скажем, по $x_{t}$. В этом случае мы будем раскладывать по степеням $\varepsilon$ не только функцию $u$, но также и независимую переменную $x_{1}$, используя новую независимую переменную, т. е. Последнее разложение можно рассматривать как почти тождественное преобразование переменной $x_{1}$ к переменной $s$. Функции $\xi_{m}$ называются растягивающими функциями и выбираются так, чтобы разложение для $u$ было равномерно пригодным. Другими словами, должно выполняться условие $u_{m} / u_{m-1}<\infty$ для всех рассматриваемых значений $x_{1}$, или, что то же самое, высшие приближения должны быть не более сингулярными, чем предыдущие. Заметим, что если $\xi_{m}=\omega_{m} s$ с постоянными $\omega_{m}$, то метод Лайтхилла переходит в метод Линдштедта-Пуанкаре. Так как в методе Лайтхилла преобразуется координата, а не параметр, то этот метод назван методом растянутых координат. Для гиперболических уравнений метод Лайтхилла эквивалентен разложению зависимых и независимых переменных по некоторым или всем точным характеристикам уравнения (Уизэм [1952], [1953]; Линь [1954]; Фокс [1955]). Вместо того чтобы вводить преобразование в дифференциальное уравнение, а затем выписывать разложение по новым переменным, Притуло [1962] предложил вводить преобразование в неоднородное прямое разложение. Преобразование затем может быть найдено непосредственно решением алгебраических, а не дифференциальных уравнений. Это является другой формой метода перенормировки (п. 7.4.2), введенного Рэлеем при анализе рассеяния. Рэлей получил разложение $u=u_{0}+\varepsilon u_{1}$ для рассеяния в тонком слое и затем представил разложение в форме $u=$ $=u_{0} \exp \left(\varepsilon u_{1} / u_{0}\right)$, чтобы сделать его верным для многих слоев. В следующем параграфе дано описание метода растянутых параметров на примере нескольких физических задач. В § 3.2 метод Лайтхилла применен сначала к обыкновенным дифференциальным уравнениям, а затем к уравнениям в частных производных. Далее следует описание метода линеаризации Темпла. Метод перенормировки рассмотрен в § 3.4, в то время как ограничения метода растянутых координат обсуждены в § 3.5.
|
1 |
Оглавление
|