Эта методика первоначально была развита для решения неоднородных линейных уравнений при условии, что известны общие решения соответствующих однородных уравнений. В качестве примера рассмотрим общее линейное неоднородное уравнение второго порядка
\[
y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+q(x) y=R(x) .
\]

Пусть $y_{1}(x)$ и $y_{2}(x)$-два линейно независимых решения соответствующего однородного уравнения. Будем искать решение уравнения (5.1.1) в виде
\[
y=A_{1}(x) y_{1}(x)+A_{2}(x) y_{2}(x),
\]

где функции $A_{1}$ и $A_{2}$ подлежат определению. Отметим, что в выражении для общего решения однородной задачи величины $A_{1}$ и $A_{2}$ являются постоянными, в неоднородном же случае они могут изменяться. Отсюда и название метода-„вариация произвольных постоянных“.
Дифференцирование (5.1.2) по $x$ дает
\[
y^{\prime}=A_{1} y_{1}^{\prime}+A_{2} y_{2}^{\prime}+A_{1}^{\prime} y_{1}+A_{2}^{\prime} y_{2} .
\]

Поскольку для трех неизвестных функций ( $A_{1}, A_{2}, y$ ) имеем всего два уравнения – (5.1.1) и (5.1.2), -то мы вольны наложить на $A_{1}, A_{2}, y$ еще одно условие. Потребуем, чтобы
\[
A_{1}^{\prime} y_{1}+A_{2}^{\prime} y_{2}=0 .
\]

Тогда (5.1.3) примет вид
\[
y^{\prime}=A_{1} y_{1}^{\prime}+A_{2} y_{2}^{\prime} .
\]

Дифференцирование (5.1.5) по $x$ дает
\[
y^{\prime \prime}=A_{1} y_{1}^{\prime \prime}+A_{2} y_{2}^{\prime \prime}+A_{1}^{\prime} y_{1}^{\prime}+A_{2}^{\prime} y_{2}^{\prime} .
\]

Подставляя в (5.1.1) выражения для $y, y^{\prime}, y^{\prime \prime}$ и используя тот факт, что $y_{1}$ и $y_{2}$ являются решениями соответствующего однородного уравнения, получим
\[
A_{1}^{\prime} y_{1}^{\prime}+A_{2}^{\prime} y_{2}^{\prime}=R
\]

Решив систему (5.1.4), (5.1.7) относительно $A_{1}^{\prime}$ и $A_{2}^{\prime}$, получим
\[
\begin{aligned}
A_{1}^{\prime} & =-\frac{R(x) y_{2}(x)}{W(x)}, \\
A_{2}^{\prime} & =\frac{R(x) y_{1}(x)}{W(x)} .
\end{aligned}
\]

Величина $W(x)$ называется вронскианом и задается равенством
\[
W(x)=y_{1}(x) y_{2}^{\prime}(x)-y_{1}^{\prime}(x) y_{2}(x) .
\]

Общее решение уравнения (5.1.1) примет вид
\[
y=c_{1} y_{1}(x)+c_{2} y_{2}(x)+y_{p}(x),
\]

где $c_{1}$ и $c_{2}$-постоянные, а частное решение $y_{p}$ задается формулой
\[
y_{p}(x)=\int_{x_{0}}^{x} \frac{y_{1}(t) y_{2}(x)-y_{2}(t) y_{1}(x)}{W(t)} R(t) d t .
\]
Изложенная методика обобщена и может применяться для нахождения решений в задачах, где неоднородность представлена функцией как зависимой, так и независимой переменной. Причем зависимая переменная может входить в правую часть и нелинейным образом. Ниже будут рассмотрены два примера; первый из них – линейный, второй – нелинейный.

5.1.1. Решения уравнения Шредингера, зависящие от времени
Рассмотрим уравнение Шредингера
\[
H_{0} \psi+\frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial \psi}{\partial t}=-H_{1} \psi
\]

при однородных граничных условиях. Здесь $H_{0}$ и $H_{1}$-линейные операторы, соответственно независящий и зависящий от времени. Предположим, что уравнение
\[
H_{0} \psi+\frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial \psi}{\partial t}=0
\]

при тех же однородных граничных условиях имеет решение
\[
\psi=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} u_{n}(x) e^{-i \omega_{n} t}, \quad \omega_{n}=\frac{2 \pi}{h} E_{n} .
\]

Здесь $a_{n}$ – постоянные, $u_{n}$ и $E_{n}$ – соответственно собственная функция и принадлежащее ей собственное значение задачи
\[
H_{0} u=E u
\]
при тех же однородных условиях. Собственные функции $u_{n}$ предполагаются ортонормированными в некоторой области $D$.

Следуя Дираку [1926], мы будем предполагать, что решения возмущенной задачи имеют тот же вид (5.1.15), но величины $a_{n}$ меняются во времени. Подстановка (5.1.15) в (5.1.13) дает
\[
\begin{aligned}
\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\left[H_{0} u_{n}(x)-E_{n} u_{n}(x)\right] e^{-i \omega} n^{t} & +\frac{h}{2 \pi i} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{d a_{n}}{d t} u_{n}(x) e^{-i \omega_{n} t}= \\
& =-\sum_{n=1}^{\infty} H_{1}\left[a_{n} u_{n}(x) e^{-i \omega} n^{t}\right] .
\end{aligned}
\]

В соответствии с (5.1.16) первое слагаемое в левой части этого уравнения обращается в нуль, и тогда (5.1.17) принимает вид
\[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{d a_{n}}{d t} u_{n}(x) e^{-i \omega_{n}{ }^{t}}=-\frac{2 \pi i}{h} \sum_{n=1}^{\infty} H_{1}\left|a_{n} u_{n}(x) e^{-i \omega_{n} t}\right| .
\]

Умножая (5.1.18) на $^{u_{m}}(x)$, интегрируя по области $D$ и используя ортонормированность функций $u_{n}$, получим
\[
\frac{d a_{m}}{d t}=-\frac{2 \pi i}{h} \sum_{n=1}^{\infty} e^{i \omega_{m} t} H_{1 n n},
\]
где
\[
H_{1 m n}=\int_{D} \bar{u}_{m}(x) H_{1}\left[a_{n} u_{n}(x) e^{-i \omega n^{t}}\right] d x .
\]

Если $H_{1}$ не содержит производной по $t$, то (5.1.19) запишется в виде
\[
\frac{d a_{m}}{d t}=-\frac{2 \pi i}{h} \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} e^{i \omega}{ }_{m} n^{t} \tilde{H}_{1 m n},
\]
где
\[
\omega_{m n}=\frac{2 \pi}{h}\left(E_{m}-E_{n}\right), \tilde{H}_{1 m n}=\int_{D} \bar{u}_{m}(x) H_{1}\left[u_{n}(x)\right] d x .
\]

Уравнение (5.1.21) эквивалентно полной задаче, определяемой уравнением (5.1.13). Если $H_{1}$ является малым возмущением, то мы можем разложить $a_{m}$ в ряд
\[
a_{m}=a_{m 0}+a_{m 1}+a_{m 2}+\ldots,
\]

где $a_{m o}$-постоянная, которая равна $a_{m}$ при $t=0$, и выполнено $a_{m n} \ll a_{m(n-1)}$. Тогда первое приближение к $a_{m}$ будет задаваться

уравнением
\[
\frac{d a_{m 1}}{d t}=-\frac{2 \pi i}{h} \sum_{n=1}^{\infty} a_{n 0} e^{i \omega m n^{t}} \tilde{H}_{1 m n} .
\]

Если, кроме того, будем иметь $a_{n 0}=\delta_{n k}$, то (5.1.24) запишется в виде
\[
\frac{d a_{m 1}}{d t}=-\frac{2 \pi i}{h} e^{i \omega_{m k} t} \tilde{H}_{1 m k}
\]

Положим, для примера,
\[
H_{1} \psi=\psi f(x) \sin \omega t .
\]

Тогда
\[
\tilde{H}_{1 m k}=f_{m k} \sin \omega t=-\frac{1}{2} i f_{m k}\left(e^{i \omega t}-e^{-i \omega t}\right),
\]

где
\[
f_{m k}=\int_{D} \bar{u}_{m}(x) f(x) u_{k}(x) d x .
\]

Подставляя эти выражения в (5.1.25) и разрешая относительно $a_{m 1}$, получим
\[
a_{m 1}=i \frac{\pi f_{m k}}{h}\left[\frac{e^{i\left(\omega_{m k}+\omega\right) t}-1}{\omega_{m k}+\omega}-\frac{e^{i\left(\omega_{m k}-\omega\right) t}-1}{\omega_{m k}-\omega}\right], \quad m
eq k .
\]

5.1.2. Пример нелинейной устойчивости

Метод вариации произвольных постоянных в сочетании с разложением по собственным функциям был развит и широко применялся в нелинейных задачах об устойчивости следующими авторами: Стюартом [1958], [1960a, b], [1961], Ватсоном [1960!, Экхаусом [1965], Рейнольдсом и Поттером [1967]. Эта методика приобрела единообразие и получила последовательное изложение благодаря Экхаусу [1965].

Для описания этой методики рассмотрим вслед за Экхаусом [1965] следующий пример:
\[
L(\varphi)-\frac{\partial \varphi}{\partial t}=F(\varphi),
\]

где $L$-линейный, а $F(\varphi)$-нелинейный операторы. Предположим, что $L$ зависит от одной пространственной переменной, скажем, $x$, с областью изменения $0 \leqslant x \leqslant 1$, и что функция $\varphi$ удовлетворяет линейным однородным граничным условиям
\[
B_{1}(\varphi)=0 \quad \text { при } \quad x=0, \quad B_{2}(\varphi)=0 \quad \text { при } \quad x=1 .
\]

Очевидно, что линейная задача
\[
L(\varphi)-\frac{\partial \varphi}{d t}=0
\]

при граничных условиях (5.1.30) допускает решение вида
\[
\varphi=u(x) e^{-\lambda . t},
\]

причем
\[
\begin{array}{c}
L(u)+\lambda u=0, \\
B_{1}(u)=0 \quad \text { при } \quad x=0, \quad B_{2}(u)=0 \quad \text { при } \quad x=1 .
\end{array}
\]

Предположим, что задача на собственное значение (5.1.33), (5.1.34) разрешима для счетного множества собственных значений $\lambda_{n}$ (действительных или комплексных), соответствующих собственным функциям $u_{n}$. Собственные числа предполагаются отличными друг от друга и пронумерованными так, что $\operatorname{Re} \lambda_{n}>$ $>\operatorname{Re} \lambda_{n-1}$. Пусть $L$-самосопряженный оператор, так что собственные функции $u_{n}$ являются взаимно ортогональными. Предположим, что они нормированы согласно условию
\[
\int_{0}^{1} u_{n}(x) \bar{u}_{m}(x) d x=\delta_{m n}
\]

Тогда общее решение линейной задачи запишется в виде
\[
\varphi=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} u_{n}(x) e^{-\lambda_{n} t},
\]

где $a_{n}$-постоянные, определяемые из начальных условий.
Предположим, что решение нелинейной задачи также выражается в виде (5.1.36) с $a_{n}$, зависящими от времени, и запишем его в форме
\[
\varphi=\sum_{n=1}^{\infty} A_{n}(t) u_{n}(x)
\]

где принято $A_{n}=a_{n} \exp \left(-\lambda_{n} t\right)$. Подстановка (5.1.37) в (5.1.29) дает
\[
\begin{array}{c}
\sum_{n=1}^{\infty} A_{n}(t) L\left[u_{n}(x)\right]-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{d A_{n}}{d t}(t) u_{n}(x)= \\
=F\left[\sum_{n=1}^{\infty} A_{n}(t) u_{n}(x)\right] .
\end{array}
\]

Поскольку $L\left(u_{n}\right)=-\lambda_{n} u_{n}$, то (5.1.38) можно переписать в виде
\[
-\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{d A_{n}(t)}{d t}+\lambda_{n} A_{n}(t)\right] u_{n}(x) \rightleftharpoons F\left[\sum_{n=1}^{\infty} A_{n}(t) u_{n}(x)\right] .
\]

Помножая (5.1.39) на $\bar{u}_{m}(x)$, интекрируя от $x=0$ до $x=1$ с учетом условия ортонормированности (5.1.35), получим
\[
\frac{d A_{m}}{d t}+\lambda_{m} A_{m}=-\int_{0}^{1} F\left[\sum_{n=1}^{\infty} A_{n}(t) u_{n}(x)\right] \bar{u}_{m}(x) d x
\]

для $m=1,2, \ldots$.
Если $L$ не является самосопряженным оператором, то собственные функции $u_{n}$ не будут взаимно ортогональны. Однако можно определить сопряженный к $L$ оператор $M$, удовлетворяющий условию
\[
\psi_{1} L\left(\psi_{2}\right)-\psi_{2} M\left(\psi_{1}\right)=\frac{d}{d x}\left[P\left(\psi_{1}, \psi_{2}\right)\right],
\]

где $\psi_{1}, \psi_{2}$-функции $x ; P$-билинейная форма. С учетом этого определения сопряженную задачу можно задать с помощью уравнения
\[
M \tilde{u}+\lambda \tilde{u}=0
\]

и граничных условий обращения в нуль формы $P(u, \tilde{u})$ в обеих точках $x=0$ и $x=1$. Тогда функции $u_{n}$ и $\tilde{u}_{n}$ окажутся ортогональными и могут быть нормированы условием
\[
\int_{0}^{1} u_{n}(x) \tilde{u}_{m}(x) d x=\delta_{m n} .
\]

Данный случай рассматривается так же, как и самосопряженный с заменой $\bar{u}_{m}(x)$ на $\tilde{u}_{m}(x)$. В частности, (5.1.40) принимает вид
\[
\frac{d A_{m}}{d t}+\lambda_{m} A_{n}=-\int_{0}^{1} F\left[\sum_{n=1}^{\infty} A_{n}(t) u_{n}(x)\right] \tilde{u}_{m}(x) d x .
\]