Для определения приближенных решений дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений мы предполагаем, что разложения можно подставлять в уравнения и выполнять над ними простейшие действия, такие, как сложение, вычитание, возведение в степень, интегрирование, дифференцирование и умножение. Правила действий будут выведены без обоснования, хотя некоторые из разложений расходящиеся. Условия, при которых указанные действия могут быть обоснованы, изучались Ван-дерКорпутом [1956], Эрдейи [1956] и де Брейном [1958].

Правила сложения и вычитания могут быть обоснованы в общем случае. Если, например,
\[
\begin{array}{l}
f(x ; \varepsilon) \sim \sum a_{n}(x) \varphi_{n}(\varepsilon) \quad \text { при } \quad \varepsilon \rightarrow 0, \\
g(x ; \varepsilon) \sim \sum b_{n}(x) \varphi_{n}(\varepsilon) \quad \text { при } \quad \varepsilon \rightarrow 0,
\end{array}
\]

где $\varphi_{n}(\varepsilon)$-асимптотическая последовательность, то имеем (Эрдейи [1956])
\[
\alpha f(x ; \varepsilon)+\beta g(x ; \varepsilon) \sim \Sigma\left[\alpha a_{n}(x)+\beta b_{n}(x)\right] \varphi_{n}(\varepsilon) .
\]

Если, кроме того, $f(x ; \varepsilon)$ и $a_{n}(x)$-интегрируемые функции $x$, то
\[
\int_{\alpha}^{x} f(x ; \varepsilon) d x \sim \Sigma \varphi_{n}(\varepsilon) \int_{\alpha}^{x} a_{n}(x) d x \quad \text { при } \quad \varepsilon \rightarrow 0 .
\]

Если же $f(x ; \varepsilon)$ и $\varphi_{n}(\varepsilon)$ – интегрируемые функции $\varepsilon$, то
\[
\int_{0}^{\varepsilon} f(x ; \varepsilon) d \varepsilon \sim \sum a_{n}(x) \int_{0}^{\varepsilon} \varphi_{n}(\varepsilon) d \varepsilon \quad \text { при } \quad \varepsilon \longrightarrow 0 .
\]

Правило умножения для общего случая не определяется, поскольку в формальном произведении рядов $\sum a_{n}(x) \varphi_{n}(\varepsilon)$ и $\sum b_{n}(x) \varphi_{n}(\varepsilon)$ встречаются все произведения вида $\varphi_{n}(\varepsilon) \varphi_{m}(\varepsilon)$, которые в общем случае невозможно расположить так, чтобы получить асимптотическую последовательность. Иными словами, умножение определено в тех случаях, когда в результате получается асимптотическое разложение. Это имеет место для всех асимптотических последовательностей $\varphi_{n}$, для которых произведения $\varphi_{n} \varphi_{m}$ либо образуют асимптотическую последовательность, либо имеют асимптотическое разложение. Важным классом таких последовательностей является набор степеней $\varepsilon$. Так, если при $\varepsilon \longrightarrow 0$ имеем
\[
\begin{array}{l}
f(x ; \varepsilon) \sim \sum a_{n}(x) \varepsilon^{n}, \\
g(x ; \varepsilon) \sim \sum b_{n}(x) \varepsilon^{n},
\end{array}
\]
то при $\varepsilon \longrightarrow 0$ справедливо соотношение
\[
f(x ; \varepsilon) g(x ; \varepsilon) \sim \sum c_{n}(x) \varepsilon^{n},
\]
где
\[
c_{n}(x)=\sum_{m=0}^{n} a_{m}(x) b_{n-m}(x) .
\]
Возведение в степень не может быть обогновано для общего случая. Формальное проведение этой операции в том случае, когда она не обоснована, приводит к неравномерностям. Например, равенство
\[
\sqrt{x+\varepsilon}=\sqrt{x}\left(1+\frac{1}{2} \cdot \frac{\varepsilon}{x}-\frac{1}{8} \cdot \frac{\varepsilon^{2}}{x^{2}}+\ldots\right) \quad \text { при } \quad \varepsilon \rightarrow 0(1.7 .8)
\]
не обосновано при $\varepsilon / x=O(1)$, потому что его правая часть является неравномерным разложением в области $x=O(\varepsilon)$. Аналогично, равенство
\[
\frac{1}{1+\varepsilon x}=1-\varepsilon x+\varepsilon^{2} x^{2}-\varepsilon^{3} x^{3}+\ldots \text { при } \quad \varepsilon \rightarrow 0
\]
не обосновано при $\varepsilon x=O(1)$, потому что правая часть его неравномерна для больших $x$.

В общем случае не обосновано также дифференцирование асимптотических разложений по такой переменной, как $x$, или по параметру возмущения $\varepsilon$. Так же как при возведении в степень, дифференцирование, не будучи обоснованным, ведет к неравномерностям.

Упражнения

1.1. Определить при $\varepsilon \rightarrow 0$ порядок следующих выражений:
\[
\sqrt{\varepsilon(1-\varepsilon)}, \quad 4 \pi^{2} \varepsilon, \quad 1000 \varepsilon^{1 / 2}, \quad \ln (1+\varepsilon), \quad \frac{1-\cos \varepsilon}{1+\cos \varepsilon}, \quad \frac{\varepsilon^{3 / 2}}{1+\sin \varepsilon},
\]
\[
\frac{\varepsilon^{1 / 2}}{1-\cos \varepsilon}, \quad \operatorname{sech}^{-1} \varepsilon
\]
\[
e^{\operatorname{tg} \varepsilon}, \quad \ln \left[1+\frac{\ln (1+2 \varepsilon)}{\varepsilon(1-2 \varepsilon)}\right], \quad \ln \left[1+\frac{\ln \frac{1+2 \varepsilon}{\varepsilon}}{1-2 \varepsilon}\right], \quad e^{-\operatorname{ch}(1 / \varepsilon)}, \quad \int_{0}^{e} e^{-s^{*}} d s .
\]

1.2. Расположить следующие выражения в ряд по убывающему порядку при малых $\varepsilon$ :
\[
\begin{array}{l}
\varepsilon^{2}, \varepsilon^{1 / 2}, \ln \left(\ln \varepsilon^{-1}\right), 1, \varepsilon^{1 / 2} \ln \varepsilon^{-1}, \quad \varepsilon \ln \varepsilon^{-1}, e^{-1 / 8}, \ln \varepsilon^{-1}, \\
\varepsilon^{3 / 2}, \varepsilon, \quad \varepsilon^{2} \ln \varepsilon^{-1} \text {. } \\
\end{array}
\]

1.3. Разложить каждое из следующих выражений при малом $\varepsilon$, сохранив три члена:
(a) $\sqrt{1-\frac{1}{2} \varepsilon^{2} t-\frac{1}{8} \varepsilon^{4} t}$,
(6) $(1+\varepsilon \cos f)^{-1}$,
(B) $\left(1+\varepsilon \omega_{1}+\varepsilon^{2} \omega_{i 2}\right)^{-2}$,
(г) $\sin \left(s+\varepsilon \omega_{1} s+\varepsilon^{2} \omega_{2} s\right)$,
(д) $\arcsin \left(\frac{\varepsilon}{\sqrt{1+\varepsilon}}\right)$,
(e) $\ln \frac{1+2 \varepsilon-\varepsilon^{2}}{\sqrt[3]{1+2 \varepsilon}}$.

1.4. Пусть $\mu=\mu_{0}+e \mu_{1}+e^{2} \mu_{2}, \quad h=(3 / 2)[1-\sqrt{1-3 \mu(1-\mu)}]$. Разложить величину $h$ при малом $e$, сохранив три члена.

1.5. Найти с точностью до второго порядка решение уравнения
\[
x=1+\varepsilon x^{2}, \quad \varepsilon \ll 1,
\]
и сравнить его с точным решением при $\varepsilon=0,1$ и $\varepsilon=0,001$.

1.6. Показать, что асимптотическое разложение функции
\[
F(x)=\int_{x}^{\infty} \frac{\cos t}{t} d t
\]

для больших $x$ имеет вид
\[
F(x)=\left(-\frac{1}{x}+\frac{2 !}{x^{3}}-\frac{4 !}{x^{5}}+\ldots\right) \sin x+\left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{3 !}{x^{4}}+\frac{5 !}{x^{6}}-\ldots\right) \cos x .
\]
Сходится ли этот ряд? Оценить остаточный член сверху и показать, что при $\boldsymbol{x} \rightarrow \infty$ он стремится к нулю быстрее, чем последний член разложения.

1.7. Найти при $x=0$ два члена разложения для $s$, если $x=s-\left(\varepsilon / 3 s^{2}\right)-$ $-\left(3 \varepsilon^{2} / 10 s^{4}\right)$.

1.8. Пусть $x=s+\varepsilon\left(2-(2 / 3) s^{1 / 2}\right)+(42 / 5) \varepsilon^{2} s^{1 / 2}$. Показать, что решение уравнения $d x / d s=0$ имеет вид
\[
s=\frac{1}{9} \varepsilon^{2}-\frac{14}{5} \varepsilon^{3}+O\left(\varepsilon^{4}\right) .
\]
Найти затем значение $x$, соответствующее этой величине.

1.9. Пусть
\[
y_{0}(s)+\varepsilon y_{1}(s)+\varepsilon^{2} y_{2}(s)+\ldots=A
\]
и
\[
1=s+\varepsilon x_{1}(s)+\varepsilon^{2} x_{2}(s)+\ldots
\]

Показать, что
\[
s=1-\varepsilon x_{1}(1)-\varepsilon^{2}\left[x_{2}(1)-x_{1}^{\prime}(1) x_{1}(1)\right]+\cdots
\]

и найти затем $y_{0}(1), y_{1}(1)$ и $y_{2}(1)$.

1.10. Рассмотреть уравнение
\[
y^{\prime}+y=\varepsilon y^{2}, \quad y(0)=1 .
\]
(a) Определить три члена разложения решения для малого $\varepsilon$.
(6) Показать, что точное решение имеет вид
\[
y=e^{-x}\left[1+\varepsilon\left(e^{-x}-1\right)\right]^{-1} .
\]
(в) Разложить это точное решение для малого $\varepsilon$ и сравнить с результатом п. (а).
(г) Справедливо ли это разложенне для всех $x$ ?

1.11. Для решения уравнения
\[
y^{\prime \prime}-\left(\frac{2}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}\right) y=0
\]
определить разложение по координате вида
\[
y=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{-n+\sigma} .
\]

1.12. Определить с точностью до второго порядка (т. е. найти три члена) разложения для решений
(a) $\ddot{u}+u=\varepsilon u^{2}, \quad \varepsilon \ll 1$,
(б) $\ddot{u}+u=-\varepsilon \dot{u}$

при условиях $u(0)=a, \dot{u}(0)=0$. Являются ли эти разложения равномерно пригодными?

1.13. Найти при малом $\varepsilon$ разложение первого порядка (двучленное) для решения системы
\[
\begin{array}{l}
s \frac{d x}{d s}=x+\varepsilon y, \\
s \frac{d y}{d s}=-(2+x) y, \quad y(1)=e^{-1}, \quad x(1)=1 .
\end{array}
\]

1.14. Используя асимптотическое разложение (1.5.13), показать, что большие нули $\xi$ функции $J_{0}(x)$ являются решениями уравнения
\[
\operatorname{ctg}\left(\xi-\frac{1}{4} \pi\right)=-\frac{1}{8 \xi}+\frac{33}{512 \xi^{3}}+\ldots
\]

и что
\[
\xi=\frac{1}{4} \pi(4 n+3)+\frac{1}{2 \pi(4 n+3)}+\ldots \text { при } n \text { целом. }
\]

1.15. Показать, что уравнение
\[
u \ddot{u}+\dot{u}+t u=t^{2}
\]

удовлетворяется при $t \rightarrow \infty$ разложениями (Левинсон [1969])
\[
\begin{array}{l}
u=-\frac{t^{3}}{6}+c_{1} t+c_{2}-9 t \ln t+O\left(\frac{\ln t}{t}\right), \\
u=t+\left(b_{1} \sin t+b_{2} \cos t\right) t^{-1 / 2}+O(t-1)
\end{array}
\]
где $c_{i}$ и $b_{i}$ – постоянные.

1.16. Показать, что уравнение Беллмана [1955]
\[
(\ddot{u})^{2}=\dot{u}+u
\]

при $t \rightarrow \infty$ удовлетворяется разложениями (Левинсон [1969])
\[
\begin{array}{l}
u=a e^{-t}-a^{2} e^{-2 t}+O\left(e^{-3 t}\right), \\
u=\frac{1}{144} t^{4}+\frac{1}{30} t^{3} \ln t+c_{1} t^{3}+c_{2} t^{-2}+O\left(t^{2} \ln ^{2} t\right),
\end{array}
\]

где $a$ и $c_{i}$ – постоянные.