Страбл [1962] развил методику для рассмотрения слабо нелинейных колебательных систем, описываемых уравнением
\[
\ddot{u}+\omega_{0}^{2} u=\varepsilon f(u, \dot{u}, t) .
\]

Он выразил при малом $\varepsilon$ асимптотическое решение этого уравнения в виде
\[
u=a \cos \left(\omega_{0} t-\theta\right)+\sum_{n=1}^{N} \varepsilon^{n} u_{n}(t)+O\left(\varepsilon^{N+1}\right),
\]

где $a$ и $\theta$-слабо меняющиеся функции времени. Если положить каждое $u_{n}=0$, то (5.3.2) примет вид того решения, которое Крылов и Боголюбов использовали для получения первого приближения к $u$ (см. п.5.2.2). Мы не будем проводить выкладки для функции общего вида $f$, а зададимся лишь частным видом ее, соответствующим уравнению Дюффинга.
Итак, рассмотрим уравнение
\[
\ddot{u}+\omega_{0}^{2} u=-\varepsilon u^{3} .
\]

Подставляя (5.3.2) в (5.3.3), получим
\[
\begin{aligned}
{\left[2 a \omega_{0} \frac{d \theta}{d t}\right.} & \left.+\frac{d^{2} a}{d t^{2}}-a\left(\frac{d \theta}{d t}\right)^{2}\right] \cos \left(\omega_{0} t-\theta\right)+ \\
& +\left[-2 \omega_{0} \frac{d a}{d t}+a \frac{d^{2} \theta}{d t^{2}}+2 \frac{d a}{d t} \frac{d \theta}{d t}\right] \sin \left(\omega_{0} t-\theta\right)+ \\
& +\varepsilon\left(\frac{d^{2} u_{1}}{d t^{2}}+\omega_{0}^{2} u_{1}\right)+\varepsilon^{2}\left(\frac{d^{2} u_{2}}{d t^{2}}+\omega_{0}^{2} u_{2}\right)+\cdots= \\
= & -\varepsilon a^{3} \cos ^{3}\left(\omega_{0} t-\theta\right)-3 \varepsilon^{2} u_{1} a^{2} \cos ^{2}\left(\omega_{0} t-\theta\right)+\cdots .
\end{aligned}
\]

Если, учитывая члены порядка до $O(\varepsilon)$, приравняем коэффициенты при $\cos \left(\omega_{0} t-\theta\right)$ и $\sin \left(\omega_{0} t-\theta\right)$ в обеих частях уравнения (5.3.4), то получим следующие так называемые уравнения в вариациях:
\[
\begin{array}{l}
2 a \omega_{0} \frac{d \theta}{d t}+\frac{d^{2} a}{d t^{2}}-a\left(\frac{d \theta}{d t}\right)^{2}=-\frac{3}{4} \varepsilon a^{3}, \\
-2 \omega_{0} \frac{d a}{d t}+a \frac{d^{2} \theta}{d t^{2}}+2 \frac{d a}{d t} \frac{d \theta}{d t}=0 .
\end{array}
\]

После этого будем иметь следующее так называемое уравнение возмущения:
\[
\frac{d^{2} u_{1}}{d l^{2}}+\omega_{0}^{2} u_{1}=-\frac{1}{4} a^{3} \cos 3\left(\omega_{0} t-\theta\right) .
\]

В первом порядке по $\varepsilon$ уравнения (5.3.5), (5.3.6) сводятся к виду ${ }^{1}$ )
\[
\frac{d a}{d t}=0, \quad \frac{d \theta}{d t}=-\frac{3}{8 \omega_{0}} \varepsilon a^{2} .
\]
С.тедовательно,
\[
a=a_{0}, \quad \theta=-\frac{3}{8 \omega_{0}} \varepsilon a_{0}^{2} t+\theta_{0},
\]

где $a_{0}, \theta_{0}$– постоянные. Тогда решение уравнения (5.3.7) в первом порядке по $\varepsilon$ можно получить, считая $a$ и $\theta$ постоянными. Проделав это, получим
\[
u_{1}=\frac{1}{32 \omega_{0}^{2}} a^{3} \cos 3\left(\omega_{0} t-\theta\right) .
\]

Следовательно, решение первого порядка имеет вид
\[
u=a \cos \left(\omega_{0} t-\theta\right)+\frac{1}{32 \omega_{0}^{2}} \varepsilon a^{3} \cos 3\left(\omega_{0} t-\theta\right),
\]

где $a$ и $\theta$ задаются равенствами (5.3.9).
При известном $u_{1}$ для второго слагаемого из правой части (5.3.4) имеем
\[
\begin{aligned}
-3 \varepsilon^{2} u_{1} a^{2} \cos ^{2}\left(\omega_{0} t-\theta\right)= & -\frac{3}{128 \omega_{0}^{2}} \varepsilon^{2} a^{5}\left[\cos \left(\omega_{0} t-\theta\right)+\right. \\
& \left.+2 \cos 3\left(\omega_{0} t-\theta\right)+\cos 5\left(\omega_{0} t-\theta\right)\right] .
\end{aligned}
\]

Кроме того, для следующего шага нужно вычислить члены порядка $O(\varepsilon)$ в выражении $\left(d^{2} u_{1} / d t^{2}\right)+\omega_{0}^{2} u_{1}$, т. е. нужно рассмотреть слагаемое
\[
\frac{9}{16 \omega_{0}} a^{3} \frac{d \theta}{d t} \cos 3\left(\omega_{0} t-\theta\right) .
\]

Учитывая теперь члены порядка до $O\left(\varepsilon^{2}\right)$, получим уравнения в вариациях
\[
\begin{array}{c}
2 a \omega_{0} \frac{d \theta}{d t}+\frac{d^{2} a}{d t^{2}}-a\left(\frac{d \theta}{d t}\right)^{2}=-\frac{3}{4} \varepsilon a^{3}-\frac{3}{128 \omega_{\theta}^{2}} \varepsilon^{2} a^{5}, \\
-2 \omega_{0} \frac{d a}{d t}+a \frac{d^{2} \theta}{d t^{2}}+2 \frac{d a}{d t} \frac{d \theta}{d t}=0
\end{array}
\]

и уравнение возмущения
\[
\begin{array}{r}
\frac{d^{2} u_{2}}{d t^{2}}+\omega_{0}^{2} u_{2}=-\frac{3}{128 \omega_{0}^{2}} a^{5}\left[2 \cos 3\left(\omega_{0} t-\theta\right)+\cos 5\left(\omega_{0} t-\theta\right)\right]- \\
-\frac{9}{16 \omega_{0} \varepsilon} a^{3} \frac{d \theta}{d t} \cos 3\left(\omega_{0} t-\theta\right) .
\end{array}
\]

Отправляясь от (5.3.9), методом последовательных приближений можно получить следующие решения для (5.3.14) и (5.3.15):
\[
a=a_{0}, \quad \theta=-\frac{3}{8 \omega_{0}} \varepsilon a_{0}^{2} t+\frac{15}{256 \omega_{0}^{3}} \varepsilon^{2} a_{0}^{4} t+\theta_{0}+O\left(\varepsilon^{3}\right),
\]

в которых $a_{0}$ и $\theta_{0}$ – постоянные. Найдя из (5.3.9) $d \theta / d t$, подставив в (5.3.16) и разрешив получающееся уравнение, получим с точностью до членов $O(\varepsilon)$
\[
u_{2}=-\frac{21}{1024 \omega_{0}^{4}} a^{5} \cos 3\left(\omega_{0} t-\theta\right)+\frac{1}{1024 \omega_{0}^{4}} a^{5} \cos 5\left(\omega_{0} t-\theta\right) \text { (5.3.18) }
\]

Отсюда будем иметь для решения второго порядка
\[
\begin{aligned}
u=a \cos \left(\omega t-\theta_{0}\right)+\frac{\varepsilon a^{3}}{32 \omega_{0}^{2}}(1 & \left.-\frac{21 \varepsilon}{32 \omega_{0}^{2}} a^{2}\right) \cos 3\left(\omega t-\theta_{0}\right)+ \\
& +\frac{\varepsilon^{2} a^{5}}{1024 \omega_{0}^{4}} \cos 5\left(\omega t-\theta_{0}\right)+O\left(\varepsilon^{3}\right),
\end{aligned}
\]

где
\[
\omega=\omega_{0}\left(1+\frac{3 \varepsilon a^{2}}{8 \omega_{0}^{2}}-\frac{15 \varepsilon^{2} a^{4}}{256 \omega_{0}^{4}}\right)+O\left(\varepsilon^{3}\right) .
\]

Чтобы получить решение третьего порядка, нужно вычислить члены порядка $O\left(\varepsilon^{2}\right)$ в $d^{2} u_{1} / d t^{2}$ и члены порядка $O(\varepsilon)$ в $d^{2} u_{2} d t^{2}$ и затем составить уравнения в вариациях и уравнение возмущения. Это обстоятельство является главным ограничением в применении изложенной методики. Вторым ограничением является способ решения уравнения в вариациях – метод последовательных приближений. Систематический путь к рассмотрению подобных задач указывают методика Линдштедта– Пуанкаре (п.3.1.1), методика Крылова – Боголюбова-Митропольского ( $\$ 5.4$ ), ряды и преобразования Ли (§5.7) и метод многих масштабов, рассмотренный в гл. 6.