Рассмотрим консервативную динамическую систему, описываемую следующими уравнениями Лагранжа:
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_{i}}=0, \quad i=1,2, \ldots, N,
\]

где $\mathbf{q}=\left\{q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{N}\right\}$-вектор обобщенных координат, $t$-независимая переменная, а точка над буквой означает дифференцирование по $t$. Далее $L(\dot{\mathbf{q}}, \mathbf{q}, t) \equiv T-V$ представляет собой лагранжиан, $T$ и $V$-кинетическую и потенциальную энергии соответственно. Определим вектор обобщенных импульсов $\mathbf{p}=$ $=\left\{p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{N}\right\}$ равенством
\[
p_{i}=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}},
\]

а гамильтониан $H$ равенством
\[
H=\mathbf{p}^{T} \dot{\mathbf{q}}-L,
\]

где $\mathbf{p}^{T}$ – результат транспонирования $\mathbf{p}$ (если $\mathbf{p}$ – вектор-столбец, то $\mathbf{p}^{T}$ – вектор-строка). Считая $H$ функцией только от $\mathbf{p}, \mathbf{q}$ и $t$, можем записать
\[
d H=\sum_{i=1}^{N} \frac{\partial H}{\partial q_{i}} d q_{i}+\sum_{i=1}^{N} \frac{\partial H}{\partial p_{i}} d p_{i}+\frac{\partial H}{\partial t} d t .
\]

Из (5.5.3) имеем также
\[
d H=\sum_{i=1}^{N} \dot{q}_{i} d p_{i}+\sum_{i=1}^{N} p_{i} d \dot{q}_{i}-\sum_{i=1}^{N} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}} d \dot{q}_{i}-\sum_{i=1}^{N} \frac{\partial L}{\partial q_{i}} d q_{i}-\frac{\partial L}{\partial t} d t .
\]

Согласно (5.5.2), второе и третье слагаемые в правой части (5.5.5) сокрашаются. Кроме того, из (5.5.1) и (5.5.2) следует, что $\dot{p}_{i}=\partial L / \partial q_{i}$, поэтому (5.5.5) можно переписать в виде
\[
d H=\sum_{i=1}^{N} \dot{q}_{i} d p_{i}-\sum_{i=1}^{N} \dot{p}_{i} d q_{i}-\frac{\partial L}{\partial t} d t .
\]

Сравнив (5.5.4) с (5.5.6), получаем следующие канонические уравнения Гамильтона:
\[
\begin{array}{c}
\dot{q}_{i}=\frac{\partial H}{\partial p_{i}}, \\
\dot{p}_{i}=-\frac{\partial H}{\partial q_{i}}, \\
\frac{\partial L}{\partial t}=-\frac{\partial H}{\partial t} .
\end{array}
\]

Эти уравнения заменяют уравнения Лагранжа.
При переходе от переменных $\mathbf{q}$ и $\mathbf{p}$ к переменным $\mathbf{Q}(\mathbf{q}, \mathbf{p}, t)$ и $\mathbf{P}(\mathbf{q}, \mathbf{p}, t)$ уравнения (5.5.7), (5.5.8) преобразуются к виду
\[
\begin{array}{c}
\dot{Q}_{i}=f_{i}(\mathbf{P}, \mathbf{Q}, t), \\
\dot{P}_{i}=g_{i}(\mathbf{P}, \mathbf{Q}, t) .
\end{array}
\]

Если существует функция $K(\mathbf{P}, \mathbf{Q}, t)$, такая, что
\[
f_{i}=\frac{\partial K}{\partial P_{i}}, \quad g_{i}=-\frac{\partial K}{\partial Q_{i}},
\]

то (5.5.10) и (5.5.11) записываются в виде
\[
\dot{Q}_{i}=\frac{\partial K}{\partial P_{i}}, \quad \dot{P}_{i}=-\frac{\partial K}{\partial Q_{i}},
\]
a $\mathbf{Q}$ и $\mathbf{P}$ называются каноническими переменными. Переход от $\mathbf{q}$ и $\mathbf{p}$ к $\mathbf{Q}$ и $\mathbf{P}$ называется каноническим преобразованием относительно функции $K$.

Каноническое преобразование может быть получено с помощью так называемой производящей функции $S(\mathbf{P}, \mathbf{q}, t)$ в соответствии с равенствами (см., например, Голдстейн [1965], гл. 8; Мейрович [1970], гл. $\left.9^{1}\right)$ )
\[
p_{i}=\frac{\partial S}{\partial q_{i}}, \quad Q_{i}=\frac{\partial S}{\partial p_{i}} .
\]

Коль скоро эти уравнения будут разрешены относительно $\mathbf{q}=\mathbf{q}(\mathbf{P}, \mathbf{Q}, t)$ и $\mathbf{p}=\mathbf{p}(\mathbf{P}, \mathbf{Q}, t)$, функция $K$ выразится через $H$ следующим образом:
\[
K(\mathbf{P}, \mathbf{Q}, t)=H[\mathbf{p}(\mathbf{P}, \mathbf{Q}, t), \mathbf{q}(\mathbf{P}, \mathbf{Q}, t), t]+\frac{\partial S}{\partial t} .
\]

Если удастся найти каноническое преобразование, такое, что $K \equiv 0$, то, согласно второму соотношению в (5.5.13), вектор $\mathbf{P}$ будет постоянным. Поскольку из первого соотношения в (5.5.14)
1) Подробнее о канонических преобразованиях и уравнениях Гамильтона Якоби см. в книге Гантмахер [1966]. – Прим. ред.

имеем $p_{i}=\partial S / \partial q_{i}$, то функция $S$ должна удовлетворять следующему так называемому уравнению Гамильтона – Якоби:
\[
H\left(\frac{\partial S}{\partial q_{1}}, \quad \frac{\partial S}{\partial q_{2}}, \ldots, \frac{\partial S}{\partial q_{N}}, q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{N}, t\right)+\frac{\partial S}{\partial t}=0 .
\]

Если $S$-полный интеграл уравнения (5.5.16), то соотношения (5.5.14) доставляют общее решение системы уравнений
\[
\dot{q}_{i}=\frac{\partial H}{\partial p_{i}}, \quad \dot{p_{i}}=-\frac{\partial H}{\partial q_{i}} .
\]

Для функции $H$ общего вида невозможно получить полный интеграл уравнения (5.5.16). Пусть, однако, $H=H_{0}+\tilde{H}$, где $\tilde{H}$ мало по сравнению с $H_{0}$ и найден полный интеграл $S_{0}\left(P_{1}, \ldots\right.$ $\left.\ldots, P_{N}, q_{1}, \ldots, q_{N}, t\right)$ для уравнения
\[
H_{0}\left(\frac{\partial S_{0}}{\partial q_{1}}, \ldots, \frac{\partial S_{0}}{\partial q_{N}}, q_{1}, \ldots, q_{N}, t\right)+\frac{\partial S_{0}}{\partial t}=0 .
\]

Тогда с помощью метода усреднения и метода вариации произвольных постоянных может быть получено приближенное решение уравнений (5.5.17). Рассмотрим в качестве производящей функции
\[
S=S_{0}\left(P_{1}, \ldots, P_{N}, q_{1}, \ldots, q_{N}, t\right),
\]

где вектор $\mathbf{P}$ не постоянен, а меняется во времени. Тогда $\mathbf{P}$ и $\mathbf{Q}$ определяются уравнениями
\[
\dot{P}_{i}=-\frac{\partial K}{\partial Q_{i}}, \quad \dot{Q}_{i}=\frac{\partial K}{\partial P_{i}},
\]

где с учетом (5.5.18)
\[
K=H_{0}+\tilde{H}+\frac{\partial S_{0}}{\partial t}=\tilde{H} .
\]

Пусть решение $\mathbf{q}_{0}(\mathbf{P}, \mathbf{Q}, t), \mathbf{p}_{0}(\mathbf{P}, \mathbf{Q}, t)$ системы (5.5.17) при $H=H_{0}$ периодично по $t$ с периодом $T$. Тогда приближенное решение системы (5.5.17) опять-таки задается величинами $\mathbf{q}_{0}$ и $\mathbf{p}_{0}$, в которых, однако, $\mathbf{P}$ и $\mathbf{Q}$ меняются согласно (5.5.20), причем в последних уравнениях функция $K$ заменена своим средним значением по периоду $T$, т. е. значением
\[
\langle K\rangle=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} K(\mathbf{P}, \mathbf{Q}, t) d t .
\]

В (5.5.22) векторы $\mathbf{P}$ и $\mathbf{Q}$ предполагаются постоянными.
Далее мы проиллюстрируем эту технику на трех частных примерах.

5.5.1. Уравнение Дюффинга
Вновь рассмотрим уравнение
\[
\ddot{q}+\omega_{0}^{2} q+\varepsilon q^{3}=0 .
\]

Этому уравнению соответствует гамильтониан
\[
H=\frac{1}{2}\left(p^{2}+\omega_{0}^{2} q^{2}\right)+\frac{1}{4} \varepsilon q^{4} .
\]

Уравнение Гамильтона – Якоби при $\varepsilon=0$ имеет вид
\[
\frac{1}{2}\left[\left(\frac{\partial S}{\partial q}\right)^{2}+\omega_{0}^{2} q^{2}\right]+\frac{\partial S}{\partial t}=0 .
\]

Это уравнение может быть решено разделением переменных. Полагая
\[
S=S_{1}(q)+\sigma(t),
\]

получи . вместо (5.5.25)
\[
\begin{array}{l}
\dot{\sigma}=-\alpha, \text { или } \sigma=-\alpha t, \\
\left(\frac{d S_{1}}{d q}\right)^{2}+\omega_{0}^{2} q^{2}=2 \alpha, \text { или } S_{1}=\int \sqrt{2 \alpha-\omega_{0}^{2} q^{2}} d q . \\
\end{array}
\]

Следовательно,
\[
S=-\alpha t+\int \sqrt{2 \alpha-\omega_{0}^{2} q^{2}} d q,
\]

где $\alpha$-новый импульс. Соответственно новая координата $\beta$ задается равенством
\[
\beta=\frac{\partial S}{\partial \alpha}=-t+\int\left(2 \alpha-\omega_{0}^{2} q^{2}\right)^{-1 / 2} d q=-t+\frac{1}{\omega_{0}} \arcsin \frac{\omega_{0} q}{\sqrt{2 \alpha}},
\]

откуда получаем
\[
q=\frac{\sqrt{2 \alpha}}{\omega_{0}} \sin \omega_{0}(t+\beta) .
\]

Это решение можно было бы написать сразу по виду уравнения (5.5.23) при $\varepsilon=0$. Однако канонические переменные $\alpha$ и $\beta$ были найдены естественным путем при решении уравнения Гамильтона Якоби (5.5.25).

Поскольку $\tilde{H}=(1 / 4) \varepsilon q^{4}=\left(\varepsilon \alpha^{2} / \omega_{0}^{4}\right) \sin ^{4} \omega_{0}(t+\beta)$, то уравнения в вариациях (5.5.20) записываются в виде
\[
\alpha=-\frac{\partial \tilde{H}}{\partial \beta}, \quad \dot{\beta}=\frac{\partial \tilde{H}}{\partial \alpha} .
\]

Из вида
\[
\tilde{H}=\frac{\varepsilon \alpha^{2}}{\omega_{0}^{4}}\left[\frac{3}{8}-\frac{1}{2} \cos 2 \omega_{0}(t+\beta)+\frac{1}{8} \cos 4 \omega_{0}(t+\beta)\right]
\]

получаем
\[
\langle\tilde{H}\rangle=\frac{3 \varepsilon \alpha^{2}}{8 \omega_{0}^{4}} .
\]

Следовательно, имеем из (5.5.32a)
\[
\alpha=\mathrm{const}, \quad \beta=\frac{3 \varepsilon \alpha}{4 \omega_{0}^{4}} t+\beta_{0},
\]

где $\beta_{0}$-постоянная. Поэтому в первом приближении будем иметь
\[
q=\frac{\sqrt{2 \alpha}}{\omega_{0}} \sin \left[\omega_{0}\left(1+\frac{3}{4} \frac{\varepsilon \alpha}{\omega_{n}^{4}}\right) t+\omega_{0} \beta_{0}\right],
\]

что согласуется с разложениями, полученными в п. 5.4 .1 и $\S 5.3$ с помощью методик Крылова – Боголюбова-Митропольского и Страбла, если отождествить $\sqrt{2 \alpha / \omega_{0}}$ с $a_{0}$.

5.5.2. Уравнение Матьё
В качестве второго примера рассмотрим уравнение
\[
\ddot{q}+\left(\omega^{2}+\varepsilon \cos 2 t\right) q=0
\]

при положительном $\omega$. Положив
\[
\dot{q}=p
\]

получим из (5.5.35)
\[
\dot{p}=-\left(\omega^{2}+\varepsilon \cos 2 t\right) q .
\]

Эти уравнения могут быть записаны в виде
\[
p=-\frac{\partial H}{\partial q}, \quad q=\frac{\partial H}{\partial p},
\]

где
\[
H=\frac{1}{2}\left(p^{2}+\omega^{2} q^{2}\right)+\frac{1}{2} \varepsilon q^{2} \cos 2 t .
\]

Действуя как в п. 5.5.1, получим для (5.5.38) при $\varepsilon=0$ решение
\[
q=\frac{\sqrt{2 \alpha}}{\omega} \cos \omega(t+\beta) .
\]

Следовательно, $\quad \tilde{H}=(1 / 2) \varepsilon q^{2} \cos 2 t=\left(\varepsilon \alpha / \omega^{2}\right) \cos 2 t \cos ^{2} \omega(t+\beta)$, и уравнения в вариация (5.5.20) запишутся в виде
\[
\dot{\alpha}=-\frac{\partial \tilde{H}}{\partial \beta}, \quad \dot{\beta}=\frac{\partial \tilde{H}}{\partial \alpha} .
\]

Из представления
\[
\tilde{H}=\frac{\varepsilon \alpha}{2 \omega^{2}}\left\{\cos 2 t+\frac{1}{2} \cos 2[(\omega+1) t+\omega \beta]+\frac{1}{2} \cos 2[(\omega-1) t+\omega \beta]\right\}
\]

получаем
\[
\langle\tilde{H}\rangle=\left\{\begin{array}{l}
0, \text { если } \omega \text { далеко от } 1 \\
\frac{\varepsilon \alpha}{4 \omega^{2}} \cos 2[(\omega-1) t+\omega \beta], \text { если } \omega-1=O(\varepsilon)
\end{array}\right\} .
\]

Если в (5.5.42) имеет место первый случай, то $\alpha$ и $\beta$ в первом приближении являются постоянными. Если имеет место второй случай, введем новые канонические переменные $\alpha^{*}$ и $\beta^{*}$ с помощью производящей функции
\[
S^{*}=\alpha^{*}[(\omega-1) t+\omega \beta] .
\]

Тогда
\[
\begin{array}{c}
\alpha=\frac{\partial S^{*}}{\partial \beta}=\omega \alpha^{*}, \\
\beta^{*}=\frac{\partial S^{*}}{\partial \alpha^{*}}=(\omega-1) t+\omega \beta .
\end{array}
\]

Следовательно, $\alpha^{*}$ и $\beta^{*}$ являются каноническими переменными относительно гамильтониана
\[
K=\langle\tilde{H}\rangle+\frac{\partial S^{*}}{\partial t}=\frac{\varepsilon \alpha^{*}}{4 \omega} \cos 2 \beta^{*}+(\omega-1) \alpha^{*} .
\]

Поэтому
\[
\begin{array}{c}
\dot{\alpha}^{*}=-\frac{\partial K}{\partial \beta^{*}}=\frac{\varepsilon \alpha^{*}}{2 \omega} \sin 2 \beta^{*}, \\
\dot{\beta}^{*}=\frac{\partial K}{\partial \alpha^{*}}=\omega-1+\frac{\varepsilon}{4 \omega} \cos 2 \beta^{*} .
\end{array}
\]

Исключив $t$ из (5.5.47) и (5.5.58), получим
\[
\frac{d \alpha^{*}}{\alpha^{*}}=-\frac{\frac{\varepsilon}{4 \omega} d\left(\cos 2 \beta^{*}\right)}{\omega-1+\frac{\varepsilon}{4 \omega} \cos 2 \beta^{*}} .
\]

Следовательно,
\[
\ln \alpha^{*}=-\ln \left[\omega-1+\frac{\varepsilon}{4 \omega} \cos 2 \beta^{*}\right]+\text { const. }
\]

Таким образом, движение неустойчиво ( $\alpha^{*}$ не ограничено), если
\[
\frac{\varepsilon}{4 \omega}>|\omega-1| \text {. }
\]

В первом приближении имеем
\[
\omega<1+\frac{1}{4} \varepsilon \text { или } \omega>1-\frac{1}{4} \varepsilon .
\]

Кривые
\[
\omega=1 \pm \frac{1}{4} \varepsilon \text { или } \omega^{2}=1 \pm \frac{1}{2} \varepsilon
\]

отделяют на плоскости $\omega-\varepsilon$ области устойчивости от областей неустойчивости. Эти кривые согласуются с кривыми, полученными в п. 3.1.2 с помощью метода Линдштедта-Пуанкаре и в п.3.1.3 с помощью метода Уиттекера.

5.5.3. Качающаяся пружина

Следуя Кейну и Кану [1968], рассмотрим нелинейные колебания пружины, качающейся в вертикальной плоскости, как показано на рис. 5.1. Эту задачу ввели в рассмотрение Витт и
Рис. 5.1.

Горелик [1933] для иллюстрации внутреннего резонанса. Кинетическая и потенциальная энергии массы $m$ равны соответственно
\[
\begin{array}{c}
T=\frac{1}{2} m\left[\dot{x}^{2}+(l+x)^{2} \dot{\theta}^{2}\right], \\
V=\frac{1}{2} k x^{2}+m g(l+x)(1-\cos \theta),
\end{array}
\]

где $x$-удлинение пружины относительно длины в положении равновесия. Отсюда
\[
L=T-V=\frac{1}{2} m\left[\dot{x}^{2}+(l+x)^{2} \dot{\theta}^{2}\right]-m g(l+x)(1-\cos \theta)-\frac{1}{2} k x^{2} .
\]

Для импульсов и гамильтониана имеем следующие выражения:
\[
\begin{array}{c}
p_{x}=\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=m \dot{x}, \quad p_{\theta}=\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}=m(l+x)^{2} \dot{\theta}, \\
H=\dot{x} p_{x}+\dot{\theta} p_{\theta}-L= \\
=\frac{1}{2}\left[\frac{p_{x}^{2}}{m}+\frac{p_{\theta}^{2}}{m(l+x)^{2}}\right]+m g(l+x)(1-\cos \theta)+\frac{1}{2} k x^{2} .
\end{array}
\]

Для малых $x$ и $\theta$ и при $x=O(\theta)$ можно записать следующее разложение для $H$ :
\[
\begin{array}{l}
H=\frac{1}{2}\left[\frac{p_{x}^{2}}{m}+\frac{p_{\theta}^{\prime}}{m l^{2}}\right]+\frac{1}{2} m g l \theta^{2}+\frac{1}{2} k x^{2}+\frac{1}{2} m g x \theta^{2}- \\
-\frac{x p_{\hat{\theta}}^{2}}{m l^{3}}-\frac{1}{24} m g l \theta^{4}+\frac{3 x^{2} p_{\hat{\theta}}^{2}}{2 m l^{4}}+O\left(\theta^{5}\right) .
\end{array}
\]

Если сохранить в $H$ квадратичные члены, то полный интеграл соответствуюшего уравнения Гамильтона – Якоби можно получить так. Уравнение Гамильтона – Якоби в этом случае имеет вид
\[
\frac{1}{2}\left[\frac{1}{m}\left(\frac{\partial S}{\partial x}\right)^{2}+k x^{2}\right]+\frac{1}{2}\left[\frac{1}{m l^{2}}\left(\frac{\partial S}{\partial \theta}\right)^{2}+m g l \theta^{2}\right]+\frac{\partial S}{\partial t}=0,
\]

где $S=S(x, \theta, t)$. Положив
\[
S=-\left(\alpha_{1}+\alpha_{2}\right) t+W_{1}(x)+W_{2}(\theta),
\]

придем к уравнениям
\[
\begin{array}{c}
\frac{1}{m}\left(\frac{d W_{1}}{d x}\right)^{2}+k x^{2}=2 \alpha_{1}, \\
\frac{1}{m l^{2}}\left(\frac{d W_{2}}{d \theta}\right)^{2}+m g l \theta^{2}=2 \alpha_{2} .
\end{array}
\]

Имеем поэтому
\[
\begin{array}{c}
p_{x}=\frac{\partial S}{\partial x}=\sqrt{m\left(2 \alpha_{1}-k x^{2}\right)}, \\
p_{\theta}=\frac{\partial S}{\partial \theta}=\sqrt{m l^{2}\left(2 \alpha_{2}-m g l \theta^{2}\right)},
\end{array}
\]
\[
S=-\left(\alpha_{1}+\alpha_{2}\right) t+\int \sqrt{m\left(2 \alpha_{1}-k x^{2}\right)} d x+\int \sqrt{m l^{2}\left(2 \alpha_{2}-m g l \theta^{2}\right)} d \theta \text {. }
\]

Следовательно,
\[
\begin{array}{c}
\beta_{1}=\frac{\partial S}{\partial \alpha_{1}}=-t+\int \frac{m d x}{\sqrt{m\left(2 \alpha_{1}-k x^{2}\right)}}=-t+\sqrt{\frac{m}{k}} \arcsin x \sqrt{\frac{k}{2 \alpha_{1}}}, \\
\beta_{2}=\frac{\partial S}{\partial \alpha_{2}}=-t+\int \frac{m l^{2} d \theta}{\sqrt{m l^{2}\left(2 \alpha_{2}-m g l \theta^{2}\right)}}=-t+\sqrt{\frac{l}{g}} \arcsin \theta \sqrt{\frac{m g l}{2 \alpha_{2}}}
\end{array}
\]
и, далее,
\[
\begin{aligned}
x & =\sqrt{\frac{2 \alpha_{1}}{k}} \sin B_{1}, \\
\theta & =\sqrt{\frac{2 \alpha_{2}}{m g l}} \sin B_{2}, \\
p_{x} & =\sqrt{2 m \alpha_{1}} \cos B_{1}, \\
p_{\theta} & =l \sqrt{2 m \alpha_{2}} \cos B_{2},
\end{aligned}
\]

где приняты обозначения
\[
B_{i}=\omega_{i}\left(t+\beta_{i}\right), \quad \omega_{1}=\sqrt{\frac{k}{m}}, \quad \omega_{2}=\sqrt{\frac{g}{l}} .
\]

В первом приближении уравнения в вариациях записываются с помощью ${ }^{1}$ )
\[
\begin{aligned}
\tilde{H} & =\frac{1}{2} m g x \theta^{2}-\frac{x p_{\theta}^{2}}{m !^{3}}= \\
& =-\frac{\alpha_{2} \sqrt{\alpha_{1}}}{l \sqrt{2 k}}\left\{\sin B_{1}+\frac{3}{2} \sin \left(B_{1}+2 B_{2}\right)+\right. \\
& \left.+\frac{3}{2} \sin \left[\left(\omega_{1}-2 \omega_{2}\right) t+\omega_{1} \beta_{1}-2 \omega_{2} \beta_{2}\right]\right\} .
\end{aligned}
\]

Таким образом, $\tilde{H}$-быстро меняющаяся величина, если только не выполнено $\omega_{1}-2 \omega_{2}=\varepsilon$, где $\varepsilon$-малая величина. В последнем случае медленно меняющаяся часть $\tilde{H}$ имеет вид
\[
\langle\tilde{H}\rangle=-\frac{3}{2 l \sqrt{2 k}} \alpha_{2} \sqrt{\alpha_{1}} \sin \left(\varepsilon t+\omega_{1} \beta_{1}-2 \omega_{2} \beta_{2}\right) .
\]

Чтобы исключить явную зависимость $\langle\tilde{H}\rangle$ от $t$, сделаем еще одно каноническое преобразование переменных $\alpha_{1}$ и $\beta_{1}$ к переменным $\alpha_{1}^{*}$ и $\beta_{1}^{*}$ с помощью производящей функции
\[
S^{*}\left(\alpha_{1}^{*}, \beta_{1}, t\right)=\frac{\varepsilon \alpha_{1}^{*}}{2 \omega_{2}} t+\frac{\omega_{1}}{2 \omega_{2}} \alpha_{1}^{*} \beta_{1} .
\]

Таким образом,
\[
\begin{array}{l}
\alpha_{1}=\frac{\partial S^{*}}{\partial \beta_{1}}=\frac{\omega_{1}}{2 \omega_{2}} \alpha_{1}^{*}, \\
\beta_{1}^{*}=\frac{\partial S^{*}}{\partial \alpha_{1}^{*}}=\frac{\varepsilon}{2 \omega_{2}} t+\frac{\omega_{1}}{2 \omega_{2}} \beta_{1},
\end{array}
\]
\[
K=\langle\tilde{H}\rangle+\frac{\partial S^{*}}{\partial t}=\frac{\varepsilon \alpha_{1}^{*}}{2 \omega_{2}}-\frac{3}{4 l} \sqrt{\frac{\omega_{1}}{\omega_{2} k}} \alpha_{2} \sqrt{\alpha_{1}^{*}} \sin 2 \omega_{2}\left(\beta_{1}^{*}-\beta_{2}\right) .
\]

Поскольку $\partial K / \partial t=0$, то $K$-постоянная. Уравнения в вариациях записываются в виде
\[
\begin{array}{c}
\dot{\alpha}_{1}^{*}=-\frac{\partial K}{\partial \beta_{1}^{*}}=2 \omega_{2} C \alpha_{2} \sqrt{\alpha_{1}^{*}} \cos \gamma, \\
\dot{\alpha}_{2}=-\frac{\partial K}{\partial \beta_{2}}=-2 \omega_{2} C \alpha_{2} V \overline{\alpha_{1}^{*}} \cos \gamma, \\
\dot{\beta}_{1}^{*}=\frac{\partial K}{\partial \alpha_{1}^{*}}=\frac{\varepsilon}{2 \omega_{2}}-\frac{1}{2} C \alpha_{2} \alpha_{1}^{*-1 / 2} \sin \gamma, \\
\dot{\beta}_{2}=\frac{\partial K}{\partial \alpha_{2}}=-C \sqrt{\alpha_{1}^{*}} \sin \gamma,
\end{array}
\]

где
\[
C=\frac{3}{4 l} \sqrt{\frac{\omega_{1}}{\omega_{2} k}}, \quad \gamma=2 \omega_{2}\left(\beta_{1}^{*}-\beta_{2}\right) .
\]

Меттлер [1959] и Сетна [1965] с помощью метода усреднения получили уравнения, сходные с (5.5.76)-(5.5.80).

Сложив уравнения (5.5.76) и (5.5.77) и проинтегрировав, получим
\[
\alpha_{1}^{*}+\alpha_{2}=E=\text { const. }
\]

Следовательно, движение полностью ограничено ${ }^{1}$ ). Исключая $\gamma$ из (5.5.75) и (5.5.77), получим
\[
\begin{aligned}
\left(\frac{\dot{\alpha}_{2}}{2 \omega_{2}}\right)^{2} & =C^{2} \alpha_{2}^{2}\left(E-\alpha_{2}\right)-\left[\frac{\varepsilon\left(E-\alpha_{2}\right)}{2 \omega_{2}}-K\right]^{2}= \\
& =C^{2}\left[F^{2}\left(\alpha_{2}\right)-G^{2}\left(\alpha_{2}\right)\right],
\end{aligned}
\]

где
\[
F= \pm \alpha_{2} \sqrt{E-\alpha_{2}}, \quad G=\frac{1}{C}\left[\frac{\varepsilon\left(E-\alpha_{2}\right)}{2 \omega_{2}}-K\right] .
\]

Функции $F\left(\alpha_{2}\right)$ и $G\left(\alpha_{2}\right)$ схематически показаны на рис. 5.2. Для реального движения величина $G^{2}$ не должна превосходить $F^{2}$. Точки, в которых значения $G$ и $F$ равны, соответствуют обращению в нуль обеих производных $\dot{\alpha}_{2}$ и $\dot{\alpha}_{1}^{*}$. Кривая типа $G_{1}$, которая пересекает обе ветви графика функции $F$ или одну ветвь в двух различных точках, соответствует периодическому движению для фаз и амплитуд и, следовательно, соответствует непериодическому движению. Решение для фаз и амплитуд может быть выражено в эллиптических функциях Якоби. Однако точки,
1) В самом деле, из соотношений (5.5.81), (5.5.74), (5.5.60), (5.5.61) вытекает ограниченность обеих координат $x, \theta .-$ Прим. ред.

в которых кривая $G_{2}$ касается ветвей графика функции $F$, соответствуют периодическим движениям, при которых нелинейность настраивает частоты $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ на точный резонанс.
Рис. 5.2.