В ходе уточнения первого приближения к решению уравнения (5.2.11), рассмотренного в п.5.2.2, Крылов и Боголюбов [1947] развили методику определения решения в любом приближении. Боголюбов и Митропольский [1961] углубили и обосновали эту методику, Митропольский [1965] распространил ее на случай нестационарных колебаний. Они рассматривали асимптотическое разложение вида
\[
u=a \cos \psi+\sum_{n=1}^{N} \varepsilon^{n} u_{n}(a, \psi)+O\left(\varepsilon^{N+1}\right),
\]
в котором каждое $u_{n}$ является периодической функцией $\psi$ периода $2 \pi$, а величины $a$ и $\psi$ изменяются во времени согласно уравнениям
\[
\begin{array}{c}
\frac{d a}{d t}=\sum_{n=1}^{N} \varepsilon^{n} A_{n}(a)+O\left(\varepsilon^{N+1}\right), \\
\frac{d \psi}{d t}=\omega_{0}+\sum_{n=1}^{N} \varepsilon^{n} \psi_{n}(a)+O\left(\varepsilon^{N+1}\right),
\end{array}
\]

причем функции $u_{n}, A_{n}$ и $\psi_{n}$ подбирались таким образом, чтобы функция (5.4.1) при условиях (5.4.2), (5.4.3) удовлетворяла дифференциальному уравнению (5.2.11). Для однозначного определения $A_{n}$ и $\psi_{n}$ потребуем, чтобы все $u_{n}$ не содержали $\cos \psi$. Производные преобразуются согласно равенствам
\[
\begin{array}{c}
\frac{d}{d t}=\frac{d a}{d t} \frac{\partial}{\partial a}+\frac{d \psi}{d t} \frac{\partial}{\partial \psi}, \\
\frac{d^{2}}{d t^{2}}=\left(\frac{d a}{d t}\right)^{2} \frac{\partial^{2}}{\partial a^{2}}+\frac{d^{2} a}{d t^{2}} \frac{\partial}{\partial a}+2 \frac{d a}{d t} \frac{d \psi}{d t} \frac{\partial^{2}}{\partial a \partial \psi}+\left(\frac{\partial \psi}{\partial t}\right)^{2} \frac{\partial^{2}}{\partial \psi^{2}}+\frac{d^{2} \psi}{d t^{2}} \frac{\partial}{\partial \psi},
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{l}
\frac{d^{2} a}{d t^{2}}=\frac{d}{d t}\left(\frac{d a}{d t}\right)=\frac{d a}{d t} \frac{d}{d a}\left(\frac{d a}{d t}\right)=\frac{d a}{d t} \sum_{n=1}^{N} \varepsilon^{n} \frac{d A_{n}}{d a}= \\
=\varepsilon^{2} A_{1} \frac{d A_{1}}{d a}+O\left(\varepsilon^{3}\right), \\
\frac{d^{2} \psi}{d t^{2}}=\frac{d}{d t}\left(\frac{d \psi}{d t}\right)=\frac{d a}{d t} \frac{d}{d a}\left(\frac{d \psi}{d t}\right)=\frac{d a}{d t} \sum_{n=1}^{N} \varepsilon^{n} \frac{d \psi_{n}}{d a}= \\
=\varepsilon^{2} A_{1} \frac{d \psi_{1}}{d a}+O\left(\varepsilon^{3}\right) .
\end{array}
\]

Далее эта техника иллюстрируется применением ее к уравнениям Дюффинга, Ван-дер-Поля и Клейна-Гордона.

5.4.1. Уравнение Дюффинга
Рассмотрим нелинейный осциллятор
\[
\ddot{u}+\omega_{0}^{2} u=-\varepsilon u^{3},
\]

который ранее изучался в п. 3.1.1, 5.2.2, § 5.3. Подставляя (5.4.1) – (5.4.7) в (5.4.8) и приравнивая коэффициенты при равных

степенях $\varepsilon$ до $\varepsilon^{2}$ включительно, получим
\[
\begin{array}{c}
\omega_{0}^{2} \frac{\partial^{2} u_{1}}{\partial \psi^{2}}+\omega_{0}^{2} u_{1}=2 \omega_{0} \psi_{1} a \cos \psi+2 \omega_{0} A_{1} \sin \psi-a^{3} \cos ^{3} \psi, \\
\omega_{0}^{2} \frac{\partial^{2} u_{2}}{\partial \psi^{2}}+\omega_{0}^{2} u_{2}=\left[\left(2 \omega_{0} \psi_{2}+\psi_{1}^{2}\right) a-A_{1} \frac{d A_{1}}{d a}\right] \cos \psi+ \\
+\left[2\left(\omega_{0} A_{2}+A_{1} \psi_{1}\right)+a A_{1} \frac{d \psi_{1}}{d a}\right] \sin \psi- \\
-3 u_{1} a^{2} \cos ^{2} \psi-2 \omega_{0} \psi_{1} \frac{\partial^{2} u_{1}}{\partial \psi^{2}}-2 \omega_{0} A_{1} \frac{\partial^{2} u_{1}}{\partial a \partial \psi} .
\end{array}
\]

Чтобы $u_{1}$ оказалась периодической функцией, в правой части (5.4.9) должны исчезнуть те слагаемые, которые порождают вековые члены. Поскольку $\cos ^{3} \psi=(3 \cos \psi+\cos 3 \psi) / 4$, то это условие дает
\[
A_{1}=0, \quad \psi_{1}=\frac{3 a^{2}}{8 \omega_{0}} .
\]

Тогда решением уравнения (5.4.9) является функция
\[
u_{1}=\frac{a^{3}}{32 \omega_{0}^{2}} \cos 3 \psi \text {. }
\]

Подставляя это решение первого порядка в (5.4.10), получим
\[
\begin{aligned}
\omega_{0}^{2} \frac{\partial^{2} u_{2}}{\partial \psi^{2}}+\omega_{0}^{2} u_{2} & =\left(2 \omega_{0} \psi_{2}+\frac{1 \varepsilon a^{4}}{128 \omega_{0}^{2}}\right) a \cos \psi+ \\
& +2 \omega_{0} A_{2} \sin \psi+\frac{a^{5}}{128 \omega_{0}^{2}}(21 \cos 3 \psi-3 \cos 5 \psi) .
\end{aligned}
\]

Вековые члены будут исключены при условии
\[
A_{2} \rightleftharpoons 0, \quad \psi_{2}=-\frac{15 a^{4}}{256 \omega_{0}^{3}} .
\]

Тогда решение уравнения (5.4.13) будет иметь вид
\[
u_{2}=\frac{-a^{5}}{1024 \omega_{0}^{4}}(21 \cos 3 \psi-\cos 5 \psi) .
\]

Поэтому будем иметь для $u$ с точностью до второго порядка
\[
\begin{aligned}
u=a \cos \psi+\frac{\varepsilon a^{3}}{32 \omega_{0}^{2}} & \cos 3 \psi- \\
& -\frac{\varepsilon^{2} a^{5}}{1024 \omega_{0}^{4}}(21 \cos 3 \psi-\cos 5 \psi)+O\left(\varepsilon^{3}\right),
\end{aligned}
\]

причем
\[
\begin{array}{c}
\frac{d a}{d t}=0, \quad \text { или } a=a_{0}=\text { const }, \\
\frac{d \psi}{d t}=\omega_{0}+\frac{3 \varepsilon a^{2}}{8 \omega_{0}}-\frac{15 \varepsilon^{2} a^{4}}{256 \omega_{0}^{3}}+O\left(\varepsilon^{3}\right), \\
\psi=\omega_{0}\left[1+\frac{3 \varepsilon a^{2}}{8 \omega_{0}^{2}}-\frac{15 \varepsilon^{2} a^{4}}{256 \omega_{0}^{4}}\right] t+\psi_{0}+O\left(\varepsilon^{3}\right),
\end{array}
\]

где $\psi_{0}$-постоянная. Это решение согласуется с решением (5.3.19), (5.3.20), полученным методом Страбла.

5.4.2. Осциллятор Ван-дер-Поля
Далее мы рассмотрим нелинейный осциллятор
\[
\ddot{u}+u=\varepsilon\left(1-u^{2}\right) \dot{u}
\]

изученный в п. 5.2.2 и 5.2.3. Подставляя (5.4.1) – (5.4.7) в (5.4.19) и приравнивая коэффициенты при равных степенях $\varepsilon$ до $\varepsilon^{2}$ включительно, получим
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial^{2} u_{1}}{\partial \psi^{2}}+u_{1}=2 \psi_{1} a \cos \psi+2 A_{1} \sin \psi- \\
-a\left(1-\frac{1}{4} a^{2}\right) \sin \psi+\frac{1}{4} a^{3} \sin 3 \psi, \\
\frac{\partial^{2} u_{2}}{\partial \psi^{2}}+u_{2}=\left[\left(2 \psi_{2}+\psi_{1}^{2}\right) a-A_{1} \frac{d A_{1}}{d a}\right] \cos \psi+ \\
+ {\left[2\left(A_{2}+A_{1} \psi_{1}\right)+a A_{1} \frac{d \psi_{1}}{d a}\right] \sin \psi-} \\
-2 \psi_{1} \frac{\partial^{2} u_{1}}{\partial \psi^{2}}-2 A_{1} \frac{\partial^{2} u_{1}}{\partial a \partial \psi}+\left(1-a^{2} \cos ^{2} \psi\right) \times \\
\times\left(A_{1} \cos \psi-a \psi_{1} \sin \psi+\frac{\partial u_{1}}{\partial \psi}\right)+a^{2} u_{1} \sin 2 \psi .
\end{array}
\]

Вековые члены будут исключены, если на правую часть в (5.4.20) наложить условия
\[
\psi_{1}=0, \quad A_{1}=\frac{1}{2} a\left(1-\frac{1}{4} a^{2}\right) .
\]

Следовательно,
\[
u_{1}=-\frac{a^{3}}{32} \sin 3 \psi
\]

Имея это решение, можем переписать (5.4.21) в виде
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial^{2} u_{2}}{\partial \psi^{2}}+u_{2}=\left[2 a \psi_{2}-A_{1} \frac{d A_{1}}{d a}+\left(1-\frac{3}{4} a^{2}\right) A_{1}+\frac{a^{5}}{128}\right] \cos \psi+ \\
+2 A_{2} \sin \psi+\frac{a^{3}\left(a^{2}+8\right)}{128} \cos 3 \psi+\frac{5 a^{5}}{128} \cos 5 \psi .
\end{array}
\]

Чтобы в $u_{2}$ не было вековых членов, положим
\[
A_{2}=0, \psi_{2}=\frac{A_{1}}{2 a}\left(\frac{d A_{1}}{d a}-1+\frac{3}{4} a^{2}\right)-\frac{a^{4}}{256} .
\]

Следовательно,
\[
u_{2}=-\frac{5 a^{5}}{3072} \cos 5 \psi-\frac{a^{3}\left(a^{2}+8\right)}{1024} \cos 3 \psi .
\]

Поэтому с точностью до второго порядка решение имеет вид
\[
\begin{aligned}
u=a \cos \psi & -\frac{\varepsilon a^{3}}{32} \sin 3 \psi- \\
& -\frac{\varepsilon^{2} a^{3}}{1024}\left[\frac{5}{3} a^{2} \cos 5 \psi+\left(a^{2}+8\right) \cos 3 \psi\right]+O\left(\varepsilon^{3}\right),
\end{aligned}
\]

причем
\[
\begin{array}{c}
\frac{d a}{d t}=\frac{\varepsilon a}{2}\left(1-\frac{1}{4} a^{2}\right), \quad a^{2}=\frac{4}{1+\left(\frac{4}{a_{0}^{2}}-1\right) e^{-\varepsilon t}}, \\
\frac{d \psi}{d t}=1+\varepsilon^{2}\left[\frac{A_{1}}{2 a}\left(\frac{d A_{1}}{d a}-1+\frac{3}{4} a^{2}\right)-\frac{a^{4}}{256}\right],
\end{array}
\]

где $a_{0}$-постоянная. Используя (5.4.22) и (5.4.28), можем переписать (5.4.29) в виде
\[
\frac{d \psi}{d t}=1-\frac{\varepsilon^{2}}{16}-\frac{\varepsilon}{8 a}\left(1-\frac{7}{4} a^{2}\right) \frac{d a}{d t} .
\]

Следовательно,
\[
\psi=t-\frac{\varepsilon^{2}}{16} t-\frac{\varepsilon}{8} \ln a+\frac{7 \varepsilon}{64} a^{2}+\varphi_{0},
\]

где $\psi_{0}$-постоянная.

5.4.3. Уравнение Клейна – Гордона

В качестве третьего примера рассмотрим, следуя Монтгомери и Тидману [1964], нелинейные волны, описываемые уравнением
\[
u_{t t}-c^{2} u_{x x}+\lambda^{2} u=\varepsilon f\left(u, u_{t}, u_{x}\right) .
\]

При $\varepsilon=0$ уравнение (5.4.31) допускает решение вида
\[
u=a \cos \left(k_{0} x-\omega_{0} t+\varphi\right),
\]

где $a$ и $\varphi$-постоянные, а $k_{0}$ и $\omega_{0}$ удовлетворяют дисперсионному соотношению
\[
\omega_{0}^{2}=c^{2} k_{0}^{2}+\lambda^{2} .
\]

Для малого, но конечного $\varepsilon$ будем искать разложение вида
\[
u=a \cos \psi+\varepsilon u_{1}(a, \psi)+\ldots,
\]

где $a$ слабо меняется в зависимости от времени и состояния согласно уравнениям
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial a}{\partial t}=\varepsilon A_{1}(a)+\varepsilon^{2} A_{2}(a)+\ldots, \\
\frac{\partial a}{\partial x}=\varepsilon B_{1}(a)+\varepsilon^{2} B_{2}(a)+\ldots,
\end{array}
\]
а $\psi$-новая фазовая переменная, совпадающая с фазой в (5.4.32) при $\varepsilon=0$ и удовлетворяющая уравнениям
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial \psi}{\partial t}=-\omega_{0}+\varepsilon C_{1}(a)+\varepsilon^{2} C_{2}(a)+\ldots, \\
\frac{\partial \psi}{\partial x}=k_{0}+\varepsilon D_{1}(a)+\varepsilon^{2} D_{2}(a)+\ldots
\end{array}
\]

В данном случае вновь ни одно $u_{n}$ не содержит основной тон $\cos \psi$.

Подставляя (5.4.34)-(5.4.38) в (5.4.31), используя (5.4.33) и приравнивая коэффициенты при $\varepsilon$ в обеих частях, получим
\[
\begin{array}{l}
\lambda^{2}\left(\frac{\partial^{2} u_{1}}{\partial \psi^{2}}+u_{1}\right)=-2\left(\omega_{0} A_{1}+c^{2} k_{0} B_{1}\right) \sin \psi- \\
-2 a\left(\omega_{0} C_{1}+c^{2} k_{0} D_{1}\right) \cos \varphi+ \\
+f\left[a \cos \psi, a \omega_{0} \sin \psi,-a k_{0} \sin \psi\right] .
\end{array}
\]

Разложим теперь функцию $f$ в ряд Фурье по переменной $\psi$ $f\left[a \cos \psi, a \omega_{0} \sin \psi,-a k_{0} \sin \psi\right]=$
\[
=g_{0}(a)+\sum_{n=1}^{\infty}\left[f_{n}(a) \sin n \psi+g_{n}(a) \cos n \psi\right] .
\]

Исключая вековые члены, придем к равенствам
\[
\begin{array}{c}
2 \omega_{0} A_{1}+2 c^{2} k_{0} B_{1}=f_{1}(a), \\
2 a\left(\omega_{0} C_{1}+c^{2} k_{0} D_{1}\right)=g_{1}(a) .
\end{array}
\]

Тогда решение уравнения (5.4.39) имеет вид
\[
u_{1}=\frac{g_{0}(a)}{\lambda^{2}}+\sum_{n=2}^{\infty} \frac{f_{n}(a) \sin n \psi+g_{n}(a) \cos n \psi}{\lambda^{2}\left(1-n^{2}\right)} .
\]

Подставляя $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ и $D_{1}$ из (5.4.35)-(5.4.38) в (5.4.41) и (5.4.42), получим
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial a}{\partial t}+\omega_{0}^{\prime} \frac{\partial a}{\partial x}=\varepsilon \frac{f_{1}(a)}{2 \omega_{0}}, \\
\frac{\partial \beta}{\partial t}+\omega_{0}^{\prime} \frac{\partial \beta}{\partial x}=\varepsilon \frac{g_{1}(a)}{2 a \omega_{0}},
\end{array}
\]

где $\omega_{0}^{\prime}=d \omega_{0} / d k_{0}-$ групповая скорость, а
\[
\beta=\psi-k_{0} x+\omega_{0} t .
\]

При $f_{1}=0$ будем иметь
\[
\begin{array}{c}
a=h_{1}\left(x-\omega_{0}^{\prime} t\right), \\
\beta=\varepsilon\left(x+\omega_{0}^{\prime} t\right) \frac{g_{1}(a)}{4 a \omega_{0} \omega_{0}^{\prime}}+h_{2}\left(x-\omega_{0}^{\prime} t\right),
\end{array}
\]

где $h_{1}$ и $h_{2}$ определяются из начальных или граничных условий. Уравнения (5.4.44) и (5.4.45) могут быть легко решены, если $a$ и $\beta$ являются функциями только времени, или только состояния.